限定振幅の電磁バイブレーターの解析
谷
口
紀
男
1．緒 言
貴イ瀕及び硝子類等の脆控硬質物質の加工を行ふ場
合に衝撃を與へて材料を少しづふ破砕しつX加工を行
ふことが能率的であることは既に発表したところであ
る（1）。その際に自動的に一定の衝撃力を與へる目的
をもつて考案した電磁バイゾレータ・t−・の作動機構を解
析し設計の資料としたのでその結果を報告する。
2．構 造
第1図 パイブレ・一 X’ 一の構造
雷藤’・イデレ9一
＝：二脚＝坊
構造は第1図に示す如きばね作用をする曲つた軟鉄
片及びハソマーよりなる機械的な振動系と鉄心をもつ
電磁石よりなる電磁彊制振勤系の組合はさつたもので
ある。実際に用ひたものは交流100ボルト50サイクル
で励振させ100サイクルの振勤を生ぜしむるものであ
る。実際には第1図に示す如きチゼルをハソマ・一で叩
きつ！・．穿孔を行ふものに用ふる目的で考案せるもの
で、ハソマー底部とチゼル頭部との間隙αを常に一定
に保つ糠にすることによつて安定な定常振動を続ける
ことが出來るものである。
この場合その聞隙αの如何によつてチゼルを叩くハ
ソ・？・e一の振幅κは大いに変化するのでその条件を調べ
るのがこの目的である。勿論チゼルの長さ、大さ、材
質、及び被穿孔吻の材質その他でこれら等件は当然変
化することは云ふまでもない。
3．定常振動条件
今このパイプレーターを構i成する機械系の固有角振
動速度をλrad／secとし、電磁的な角強制振動速度
をωrad／secとすればこのバイブ1・・ ・一ターの振勤方程
式はi次の如くなるo
蒙楠一・（・一・…t） …・・…・（・）
qは強制振動力の振幅に相当するものである。勿論
粘性抵抗、摩擦抵抗等を無規して右辺の電磁強制振動
力に相当するもののみを問題にした場合である。電磁
強制振動力は供給する交流が正弦波電流とするとその
2藁に比例することになるので、從つで振動周期は2
倍となり（1）式の如くになる。その場合電磁強制振動
力は振幅Xによらないものと考へて置く。
（1）式を初期条件を入れて解くために一般解を求む
れば次の如くになる。
・−C・ぷ＋C・c・s・・t＋5一天ゐ・…t…（2）
現実にはこの（2）式の右辺の第1項及第2項は減衰項
を俘つてくるので衝突せしめないで振動をつX“けさせ
れば
・鵡一。，三。，・…t ………（2）’
の形の彊制振動をするのである。
叉入かωに近くなつて振幅が大きくなると前の仮定
の電磁強制力がκによらないといふ仮定がくずれて非
線形の振動となり振幅は無限には大ぎくはならない。
而しこの場合は一一周期以内に衝突をおこすのでこの
項を考へねばならない。從つてこの振動系を解析する
方式として一つの振動漠型を考へて処理することにす
第2図 振勤 援型
PtPt
∼ξ
↑
o
振
f
v＝o
∫（t−一一 Cesw±）
一＼一一十
＿」Lτ1
．L
／↑
．＿＿＄一＿Ll
ぱ く
ひ（w Lv、（幽
昭和29年7月
山梨大学工学部研究報告
第 5 号
る。EPちハソマーがチゼルと衝突を続け乍ら定常振動
を行ふ模型として第2図に示す如く強制振動力の位相
にたいして少し異つた位相ではあるが周期は全く同一
であるものであるo
この場合初期条件として次のものを考へる。
ま＝ア でx＝一一ax・＝（1一α）v……（3）
t＝ア十Tでx＝＝ −a ut＝： −v V ……（4）
即ち電磁石に電流の流れていない時のハソマー底部
の位置をx＝0とし、ヂゼル頭に近い方を負にとる。
時間は強制振動力が0の瞬間を原点とする。從つてハ
ソマーとチゼルとの間の電磁力の働かない場合の間隙
はaであり且つチゼルと衝突する位置がκ＝一αである
わけである。又チゼルと衝突する前のハソマーの速度
をvとすると、反嬢する速度がく1一α）vであることに
なる。この場合αは反嬢速度係数とでも云ふ可きもの
で一応Vとは無関係の常数と考へることにする。この
（3）（4）式の条件は（2）式にたいして過剰条件ではあ
るがαが如何なる時にこの模型振動が成tr．するかを見
るためのものである。
そのためにまず（1）式及び（2）式を時間について微
分した型のものに（3），（4）式を代入し夫々より積分
常数C1及びC2を求める。邸ち（3）式の条件よりCl，
C2を求めれば
一（a＋S，r−x，9。d，c・…）・・i・…＋（・一・）⑭λ・一
謬♂・伽・…入・−Cl入 …・一（3）’
一（a十一q＿＿＿9 COS λ2 入2一ω2）・…λ・一（・一の・醜入・＋
、．一くql9＿−szva・LV・Tsin．N7’＝C2入 ………（3）ft
入2 一・ cv 2
戴にT＝2π／ωである。
（4）式の条件よりC1，C2を求めれば
≦・環㌃そ。，…（・・＋・T））λsi・（・・＋・T）一
・…（・・＋・T）一 A竃，sin（・・＋・T）・・1（・・＋の
＝C1入 …・・ご…（4）’ ．
一（a＋票一詰冨，c・・（・・＋・T））・…（・・＋・T）＋
魎・・＋・T）・x，竺評・（ω．十ωT）蜘・＋・T）
＝＝C2λ ・・一・一・・（4）”
（3）’＝（4）t，（3）”＝（4）”と置いてCt，CL・を
消去し且つωT＝＝2rrを考へに入れると、それらは
夫々
（弓一天ゐω・ωア）・｛一・i・…＋瓢・・＋・T）｝
＋荒，｛一…入・＋c・・（・・＋・T）｝si・・x，・一
一vo（・一・）…入・＋…（・・＋・T）｝…一（5）
（・曝一捻，…ω・）・｛一…入・＋…（・・＋・T）｝
＋天鑑，｛一瓢・・＋・T）＋si・・v｝si・… ：
＋v｛（・一）si・il N7 ＋Sitl（・・＋・T）｝一一（6）
上の（5），（6）式よりvを滑去すれば
｛・十誌、・・叶・〔｛−s・i・n ，・・＋瓢・・＋・T）｝
｛（・一・）伽蹄・（・・＋・T）｝＋｛（一醐・＋
…（・・＋・T）｝｛（・一）…炸＋…（・・＋・T）｝〕
巨竺。、・卿・〔｛一…入・＋…（・・＋・T）｝
｛（・一）si・n・・7＋瓢・・＋・T）｝＋｛−si・（・・＋の
＋・ﾋ｛（・一・）…λ・＋…（・・＋・T）｝〕一・
一……（7）
之如鴇礪磁郁作剛・の実際の一ソマー底
部とチゼル頭部との卒均間隙になることを考慮に入れ
て整頓すれば吹式の如くになりαがきまる。
＿．．q lω．2二些．一一L−sゴ拒。＋ωsω〔〕
a＋！＝
λ2入2・ω2・・ a tan rr A ；
ω
………（8）
叉（8）式を（6）式に代入すればvが求められる。
qω ．2 ．sin vT ・・・・・・… （9）
彩＝一
λ2一ω2 α
（8），（9）式よりアを滑去すれば上述の模型の定常
振動が起つた場合の衝撃速度0と静間隙αとの関係が
求められる。即ち
針ぞ・一天・三忌÷三・誌・へ㌢三・；
ω
土シ・一（荒2八菱阿
これらの諸式よりすぐわかることはσ，ω，λ，及びα
等が與へられた場合はaの如何なる値にたいしても必
ず定常振動がおこるわけではないこと、及び最も強い
衝撃力を出す静間隙αがありうることである。この間
題を取扱ふために（8），（9）式を吹元のない形に変換
して調べることにする。
限定振幅の電磁バイプレータ｛の解析
今下の如く無次元量を作る。郎ち
・≠耀…λ／・
と置いて、ρを比静間隙と称し、σを比固有振動角速
度比と称することにする。すれば（8）式は吹の如くに
なる。
・＝＝一，：”；，1．1−f−一／／i，i．一一・i・…7＋・・…〕………（・・）
ω7は0から2πまで変化しうるものだからρとの
関係を求めるためまずρの取りうる最大値を求めてみ
る。自］ち静間wa aの値の中定常振動可能のものの最大
の値を求めてみることである。
儒「：司蕊㊨一輌」・一・
之よりρのとりうる最大値がおこる角度reは
2
−−1
taB （o Te 7＝一∫竺
σ抗〃πσ
となり、その場合のρの値をρeとすれば
…函｛；認∴…一・（・・）
となる。即ちこのρより大ぎい値では定常振動は起
りえないことをいみするのである。
叉我々が実際に必要なのは衝撃力Fが静間隙αとど
の棲な関係にあるかであるからそれを求めると
F＝〃2ψ＋（1一α）mV
旦
cv
………（12）
の形となる。弦にεはハソrt・e一とチ
ゼルが衝撃をしてゐる位相角の大き
さ、從つてε／ωはその時間を表はす。
εは2πにたいして充分小さL・も
のと考へるとこのεは衝撃速度に一
応無関係の材質等のみによる常数と
なる。（αにも無関係と考へて置
く）
勿論Fはそのε／ω時間中の4S均
衝撃力である。猶吻を軍純機賊振動
と考へてのハソマー一の質量として今
取り扱つてゐる振動系をmを陽に表 tS・
はしてかけば
擁多裟＋P・・＝＝f（1−cos ．：1 1‘） …・一一…（・3）
式と比べればλ2＝p／mでq＝f／mである。依つて（12）
式を書き直し且つφ＝F／2アなる比衝撃力を考へれば
φ一6−≒旦・芸・v一え・（2−a）÷
㌃ b−
・・・・・・… （14）
從つて（9）式を用ふれば
2
ψ一亘三．，・・．、i。。丁
ε ω2−一・ ？LZ
2
＿1㌃一1 1 ．
一、’ 1 L if2si ’i3 ”Lv・ T −一…”（15）
邑防（・5）式よりφの駄値は・・一’・｛｝喘舗
りその値伽は
‘2
φ。、、＝＝：τ1．・ ………（・6）
1ε 1一σ2
叉その値を出す静間隙に対応する値ρ肌は
1 2 1
，∋・．丁一1 ………（・6）’
ll−・・玩嘉
（10）式及び（15）式を用ひてω〔をパラメーターとし
噺算して2・φ一
?黶i2一α）と己篇絆
㌃
との関係を図表に示せばσ＜1の場合は第3
図に示す如くなる。σ＞1の場合には（15）式ですぐわ
となり、it｝はばね常数であり、∫は強制振動力の振隔
で從つて2∫がその最大の強制ノ」である。從つて（1）
o
第3図 2ε（，bとpの曲線
かる如くsinUl7＝−1の場合にφが最大値となり、そ
の場合のρは一（σ／σ2−1）（2／α一1）／♂anπifの形で負
となるので図の曲線が左側の位置にくるので大体第3
昭和29年7月 山梨大学工学部研究報告
第 5 号
図と似た形となる。この場合ρが負といふことは静間
隙・韻であつ誼つ・憶く・賜合で換計れば
電磁力が働いていない時にチゼ、レ頭部がハソ…一一を
1・矧だけ押し上げてゐ端である・叉φ頒
といふことは反撲の際の速度が負であることをいみ
し、從つてハソマーが上に上る時に衝突するのでこの
場合は考へてゐる機構と異るので現実性はないので第
3図では切り捨てxゐるわけである。
4．結 言
以上の計算よりして此の如き限定振幅の電磁パイブ
レー・／e・・一の特性として次のことが言ひ得られる。
（a）静間隙αがある一定値以．ヒ大になるとこの振
動1まり起りえない。その限度は（11）式で示す値であ
る。叉最大衝撃力を生ぜしむる静間wa aの値は（16）’
式で求められその場合の衝撃力は（16）式で求められ
るo
猶この電磁バイプV一ターをチゼルと衝突せしめず
に自由に振動せしめれば（2）式の第1項及び第2項は
実際には減衰項を伴ふ値なので滑失し第3項及び第4
項のみがのこる。郎ちハソマー底部は
＿q q
− COSceT
x−− −−−−
λ2 λ2一ω2
の形で振動をすることになる。從つてその場合その
振動の最下端はx＝0の原点から測つて負の方に向つ
て暗ω，謡（λ＜・の場合）である・岳ぴ
頭部はx＝0から負の方に向つてaの位置にある。よ
つて粒・〉。・ζλ，ゴ，なればこ礪突による陛
振幅振動は自然にはおこりえないので初めに人爲的に
初速をハソマーに與へて大きくふらせねばならない。
勿論その場合その静間wa aの値は（11）式の値以内であ
ればそれ以後は安定な振動をつX“けることはいふまで
もない。このことは実際に使用したものについて明か
に認められる現象である。然し電磁石の非線形的な性
質からいつて数値的には勿論相当のつれが認められる
が定性的には確つぎりとこの限界は現はれる。
（b）同じ静間隙αにたいして二つの安定な定常振
動がある如く第3図に現はれてくる△EBち同じσにつ
いてαが小さくなれば、換言すれば衝突の際のエネル
ギー−as失が少ない現象の場合に衝撃力が大となる曲線
（第3図の上側の曲線群）と、その逆の曲線。この二
つが一応可能の定常振動として現はれてゐる。この場
合又同じaにたいしては前者の方が衝撃力の絶対値が
大である。叉両者はρの最大値、即ち振動可能のaの
最大値では一致してゐる△猶強制振動力にたいする位
相の遅れも前者が少ない。
之を具体的に振動の状態を表はすためにσ＝0．85
・一・…醐合につ・・て・−5・244・a−4・244（一q一λ2）に
ついて実際に計算してみればその安定な振動は第4図
及び第5図に示す如くなる。皇口ち衝撃反擾速度は
醐P賦振幅振勤 例1神定） te，・・3‘。謝
σエ。・85 0t引oo ア・εぷ α・4・2“（幻
Cl
8
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↓嘉）6
5
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｛賜
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鷺
第4図
粥制限定振幅援初 剤 （宕’芝）
信・刷d・脚f・．糾a・酬±ノ，v・・r・・si｝’
あ・一…ぷ・刷”一鋼㎡
のちヨムみ（ゆり
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第5図
限定振幅の電磁バイブレ｛ターの解析
vl＝3，605q／ω1の＝7，025q／・v 1であり、位相のおく
れはωア1＝150°，w72 ＝＝ 77°でVlω71が後者にv2，
ωT2が前者に対応するものである。
問題はこの二種の振動のいつれが実際に存在する可
能性があるかであるが、之は以．ヒの考へ方からして前
者の方が安定であるものと考へられる（第5図）
即ちαが小さくなるといふことは前述の如く衝突の
際の損失が少なくなることで、そうなる時に衝撃力が
大となる曲線群の方がエネルギー概念からいつて妥当
なので安定になる可能性が強いと思はれること。叉強
制振動力にたいして位相のおくれの少ないことはその
方に被強制振動は引きづられるのであるからその方に
移つていつて安定な定常振動をつN“ける可能性が多い
こと。又振動エネルギーの大きい位置の方が安定なこ
と。
以ltの様な事項より第5図の方がより安定と考へら
れる。勿論反嬢力を求める場合の運動量の取扱ひ、又
衝突位相角εの取扱ひ又αの取扱ひ等について仮定を
今少しく考へてxの変数等に考へやれば一つの安定位
置しか表はれえない様になるものと思はれるが電磁力
そのものが仮定の如く線型ではないので、それらのみ
余り嚴重に取扱つても無意味であるから計算の簡軍さ
のために前述の如く取つたのでこの様になつたものと
思はれるが之は止むをえないものと思はれる。
（c）λが1に近いほど同じ間隙αで且つ同じ反援
係数αの場合にFが大となりうるので、機械振動系
としては共振系を用ひた方が良い様に計算hは考へら
れるが之も電磁石の非線型特性等を考慮に入れると実
際にはλ＜1の場合の方が安定な振動をつx“けうるも
のの如くであるo
文 献
1） 谷口、 精機学会誌 XVIII 5
谷口、 〃 XIX 2
