岡 林 隆 敏 *

非定常不規則荷重を受ける構造物系の自乗平均応答 (II)

岡 林 隆 敏 *

Mean ‑Square Response of Structural Systems to  Nonstationary Random Excitation (II) 

by 

Takatoshi OKABA Y ASHI  (Department of Civi1 Engineering) 

A special  class  of  nonstationary  random excitation which acts upon a simple structural system is  considered.  The class of nonstationary random excitation is  specified by the equation 

Y(t) = X(t) f (t) 

where X(t) is  a stationary correlated noise process and f(t)  is  a diterministic intencity function.  Author presents the covariance equation method for the mean square response and covariance it  to  structural system.  Since this method is  expressed  by  differential  type， it  is  possible  to  analyze  the  nonstationary random probrem.  When the stochastic propaties of X(t) are given by its  autocorrelation  function 

R(τ)=e‑^Iβ￨τcos nτ 

and f(t)  is  a unit step function and  an exponential  function， the  solution  of  covariance  equation  is  good agreement with an exact solution. 

In addition， this method easily caluculates  the  mean square  response  and  covariance  it  for  the  displacement， velocity and acceleration. 

1.緒 ^{宅 吉}区司

前報では，任意のパワースペクトラム密度を有する 定常確率過程を任意の確定関数で変調した形の非定常 外力が構造物系に作用した場合の応答の分散，共分散 について論じた.特にその定常確率過程は白色雑音過 程が Shapingfilterに作用することにより得られる ことに注目して，外力の定常確率過程部の自己相関関 数が与えられた場合 Shaping filterを表現する微 分方程式を構成し，構造物系の運動方程式，形状関数 およびフィルタ一方程式を一つの系と考え，この系に 白色雑音過程が作用するものとする.この系の運動を 記述する確率微分方程式より，構造物系の応答の変位，

速度，加速度に関する分散，共分散を求める基礎式と して共分散方程式を誘導した.さらに数値計算例とし

*土木工学科

て(i)白色雑音過程が単位階段関数で変調された外力，

(ii)帯域制限白色雑音が単位階段関数および半正弦波 関数で、変調された外力について，従来の解法と共分散 方程式による解法と比較して，共分散方程式による解 法は計算機処理により極めて容易に十分な精度で応答 の分散，共分散が計算できることを示した.

本論では系の分散，共分散応答の解析法として，従 来の解法と共分散方程式による解法の関係について論 及した.系に作用する外力が，白色雑音過程を外力と する微分方程式で表わされる Shapingfilterの定常 応答と形状関数の積で記述される場合，共分散方程式 による解法は従来の解法が積分形式であることに対し て微分形式で表現されることを示した.このことによ り本解法では煩雑な積分演算を回逃でき，複雑な非定 常応答解析が可能であることを示している.

 前報に続き，数値解析例として，相関のある定常確 率過程を各種の形状関数で変調した外力が1自由度系 に作用した場合の応答の分散，共分散について考察す る．このモデルの解析は，従来次の解法によりなされ 厳密解が得られている．（i）系のインパルス応答関数 を用いる時間領域での解法（2）（3）（4），（ii）一般化したパ

ワースペクトラム密度を用いて周波数領域で演算し逆 フーリエ変換によって解を得る解法（5x6）．両法によっ て得られる解は特異点があり，特異点での解は改めて その条件下で解を得なければならないことが指適され

ている（2）．

 形状関数が単位階段関数，指数関数の場合について，

厳密解と共分散方程式による解の精度の検討を行っ た．形状関数が単位階段関数，半正弦波関数の場合，

応答に関する種々の確率量を求めるための基礎量とな る変位，速度，加速度間の分散，共分散を共分散方程 式により数値計算した．

2．従来の解法と共分散方程式による解法との関係  構造物系として線形系を考えると，系の運動方程式

は次式で記述される．

     X（の＝A（のX（の一トF（の        （1−1）

初期条件

  X（ o）＝Xo       （1−2）

 X（の，F（のは各々π次元ベクトル， A（のは1（η×π）

の正方行列，・は時間に関する微分

 F⑦は相関のある確率過程ベクトルであり，その 確率特性は次式で与えられるものとする．

  平均値  E〔F（の〕＝F（の       （2−1）

  共分散  E〔（F（の一F（の）（F（τ）

       一F（τ））T〕＝RF（ちτ）   （2−2）

 ただし，．E〔〕は集合平均のための記号，7は行列 の転置を示す記号．RF（ちτ）は（η×π）の正方行列．

 線形微分方程式の理論より（1）式の解過程は次式で与

えられる（7）．

       古

  X（の一X・＋￠（ち ・）＋」φ（ ・・）F（・）ゐ （3）

        0

 の（ち古。）は状態遷移行列であり（ηxπ）の正方行列 である。

 G）従来の手法（積分法）

  （a）平均値

 （3）式に平均の演算を作用させると次式を得る．

       め

  惹〔X（の〕一E〔X・〕の（ち ・）＋∫の（ち・）F（・）4・

       孟0

      （4）

  （b）共分散

 X（のの共分散は次式で定義される．

  Rx（の＝E〔（X（の一E〔X（の〕）（X（の

   一E〔X（の〕）『〕      （5）

 Rx（のは（π×η〉の正方行列．（3）式より次式を得る．

  Rx（の＝の（ち彦0）Rx（ 0）φ（ち 0）7      ポ  む

   ＋∫∫の（ち・）R・（・の・（ち・）・ゐ4・ （6）

     ε0 ε0

 （5）式より系の応答の平均値，共分散は外力の確率特 性F（の，RF（のが明らかであり，系の動特性の（∫，r）

が求められると計算される．

 （ii）共分散方程式による解法   （a）平均値

 （1）式より微分と平均操作を変換すると次式を得る．

  ● E〔X（彦）〕＝A（のE〔X（彦）〕十F（の

初期条件

 E〔X（彦。）〕＝E〔Xo〕

 （b）共分散

X（のの共分散は（5）式で定義されるので

 ロ      

 Rx（の＝。E〔（X（の一E〔X（の〕）（X（の   一E〔X（の〕）7〕十E〔（X（の一E〔X（の〕）

    の      

  （E〔X（の一E〔X（の〕）7〕

（3）（4）（5）式より（8）式は次式になる．

 Rx（の＝A（彦）Rx（の＋Rx（孟）A（彦）T＋Q（の

初期条件  Rx（虚。）＝RXo

ただし，Q（のは次式で与えられる．

     め      む

Q（の一∫R・（のの（ち・）・4・＋∫の（ち・）

       孟0      εO

  RF（ちα）T4α

（7−1）

（8）

（9−1）

（9−2）

（9−3）

 （i）と同じくF（のの確率特性が明らかであり，系 の動特性が求められていると平均値は（8）式より，共分 散は（9）式より得られる．しかし（9−3）式には積分が含 まれているのでこの積分演算：を回逃するために次の操 作を行う．

 前面で論じたように，ある種の非定常確率過程は確 定関数である形状関数と定常確率過程の積として表わ すことができ，定常確率過程は白色雑音がShaping・

filterを通過することにより形成される．

  F（の＝B（のY（の      （10）

 B⑦は（π×η）の形状関数行列，Y（のはπ次元 ベクトルで，次式より形成される．

     Y（彦）＝C（のY（の＋Dv（の      （11）

 C（の，D（のは（π×η）の正方行列， v（のは〃z次 元の平均値を持つ白色雑音過程ベクトルであり，次の 確率特性を持つものとする．

  E〔v（の〕＝v（の       （12−1）

  E〔（V（ ）一V（の）（V（τ）一V（τ））7〕＝K（彦）δ（彦一τ）

      （12−2）

K（彦）は（吻×〃2）の対角行列，δ（孟一τ）はDirac のデルタ関数ここで（1）⑩⑪式を改めて状態変数Z（の

としてベクトル表示すると次式になる．

 Z（の＝｛劣1，…，諾π，ly 1，…，ごyπし｝z7

   Z（の＝H（彦）Z（の十G（彦）n（∫）

初期条件

 Z（渉。） ＝Zo

（13−1）

（13−2）

（13−3）

 H（の，G（のは（2z十ηz）2の正方行列， n（のは次式 で表わされる（π十彫）次元の白色雑音過程ベクトルで あり，以下に示される確率特性を持つ

  n（診） ＝  ｛0，… 0，τ，1，… ηηz｝T       （13−4）

  E〔n（の〕＝：n（の       （14−1）

  E〔（n（の一n（の）（n（の一n（の）T〕＝Pδ（彦一τ）

      （14−2）

 ただし，Pは＠＋㎜）2の正方行列で，（初）2の対 角要素以外全て0である．

 （1）式より（7）（8）（9）式を導いた同じ過程より⑬式より次 式が誘導される．

 （a）平均値

  ● E〔Z（の〕＝H（のE〔Z（の〕十Gv（彦）

初期条件

 E〔Z（ o）〕＝Zo

（b）共分散

   Rz（の＝H（のRz（彦）十Rz（のH（彦）7十S 初期条件

 Rz（孟0）＝R二〇

ただし

   じ      め

s一∫R・（ち・）Ψ（ち・）物＋∫Ψ（ち・）

    0       60   Rn（ ，α）4α

（15−1）

（15−2）

（16−1）

（16−3）

 Ψ（診，α）は（16−1）式の（η＋魏）2の状態遷移行列．

 （16−3）式は（14−2）式と次の状態遷移行列の性質よ り次式となる．ただし1は（π十祝）2の単位行列であ

る．

  Ψ（ ，の ＝ 1       （16−4）

  Sニ，p       （16−5）

 白色雑音過程ベクトルを入力とするブイルター方程 式と形状関数よりF（のが形成されたものとすると，

応答の共分散は⑳式で示されるように微分方程式で表 現され，求める値はRz（のの要素中Rx（のに関係し たものになる．系の応答の分散，共分散を求める従来 の解法は積分形式で記述され，共分散方程式による解

法は微分形式で表現される．前者を積分法，後者を微 分法と称することにする．

 積分法によれば，応答の変位，速度，加速度に関す る分散，共分散を得るためには，各々の動特性を決定 し，さらた外力り自己相関関数と供に積分する．この 積分は解析的に行なわなければならないために，系の 動特性，外力の自己相関関数および形状関数が複雑に

なると極めて煩雑な計算となる．

 一方共分散方程式による解法は微分形式で表現でき るので，計算機による数値解析が可能であるために，

系の動特性の決定が不必要であり，形状関数として解 析関数の形でなく，任意のデーターを用いることがで きる点は，複雑な非定常応答の解析に極めて有利に作 用する．以上より共分散方程式による解法とは，従来 の解法の積分演算を回逃するために，系の応答の分散，

共分散を計算機処理可能な微分形で表現したもめであ ると言える．

3．相関がある定常確率過程が形状関数で変調された 外力に対する1自由度系の応答

 3−1 基礎方程式

 1 自由度系の運動方程式は次式で記述される．

  ロじ       

  躍（彦）十2ζω灘（の十・ω2灘（の『戸（の        （17）

 ただし，ζ；減衰定数，ω；固有円振動数

 外力は定常確率過程ッ（のと形状関数g（のの積で 表わされるものとする．

  ∫（の＝ツ（の9⑦      （18）

 ッ（のは特定の系に白色雑音を作用させて得られるも のとし，これを以後ブイルター系と称する．ッ（のの確 率特性は平均値0，自己相関関数は次式で与えられる．

  R，（・）一。・，一β1τ1、。、Ω。   ・（19）

ッ（ののパワースペクトラム密度はWiner・Kinchin の定理より次式になる．

  5〃（ω）＝2β2σ2〔β2十Ω2十ω2）／（（β2

   十Ω2一ω2）2十4β2ω2）      （20）

 ブイルター系の周波数伝達関数をH（ブω），白色雑 音過程のパワースペクトラム密度を30，ブイルター系 出力のパワースペクトラム密度を砺（ω）とすると，

次式を得る．

5Ψ（ω）＝IH（ブω）1230 H（ブω）＝H1（ブω）・H2（ブω）

H1（：1ω）＝1／（β2十Ω2一ω2十2ノωβ）

H，（ブ。）一（β・＋Ω・）｝6一ブ。

（21−1）

（21−2）

（21−3）

（21−4）

 H1（ブω），π2（ブω）の周波数伝達関数を有するブイ ルター系の微分方程式は次式で記述される．

  ツ⑦一β・＋Ω・）｝6、（の一；（・）  （22−1）

  ココ       

  z（の一ト2βz（t）十（β2十Ω2）z（の＝π（の   （22−2）

 π⑦は平均値0パワースペクトラム密度が50の正 規性白色雑音過程である．

 3−2 共分散方程式の誘導

 ⑰⑱㈲式を状態空間でベクトル表示するために次の ような変数を導入する．

       ●        ●

 X（の＝｛諾，￠，ッ，ッ｝T＝｛￠1，必2，ツ1，ツ2｝7  （23）

⑯⑱㈱式は次式になる．

   X（の＝A（のX（の十U（の         （24−1）

A（のは次の要素を持つ（4×4）の行列       0  1  0   0       一α1 一α2 4C1 −4C2

 A（彦）＝       （24−2）

       0   0  0  1

       0      0   一日1   一う2

U（のは次式で表わされる外力ベクトル

 U（の＝｛0，0，0，η（の｝T       （24−3）

一方（8）式のブイルター方程式をベクトル表示すると      Y（の＝BY（の十N（の

Y（彦），B， N⑦は次式で示される．

  Y（彦）＝｛ッ1，ッ2｝T

B一m一1、，∴、］

（25−1）

（25−2）

（25−3）

 ただし，α1＝ω2，α2＝2ζω，う1＝（β2十Ω2），ゐ2＝2β

。、一（う1う2）｝6，。、一わ，｝6，d−9（の

 回報より⑩⑪式から得られる共分散方程式は次式に

なる．

   コ  〔Rx〕2＝〔A（のR（のx〕＋〔Rx（のA（の〕2

   一ト〔F〕2       （26−1）

 ブイルター条件

  正BI己Y（孟）十RY（孟）Bz7＝G       （26−2）

 初期条件

  〔Rx（0）〕2＝〔0〕2      （26−3）

 ここでは，E〔X（の〕＝｛0｝Tとなるので， X（の，

Y（のの共分散は次式で定義される．

  Rx（の＝E〔X（のX（の7〕

  RY（の＝E〔Y（のY（の7〕

 ：F，Gは次式で与えられる（7×7），

行列，0は（7×7）の0行列である．

旺1＼1］

G一m0  00  80］

   （27）

   （28）

（2×2）の

（29−1）

（29−2）

〔〕2は〔〕内の行列の2列のみを取り出す記号．

（4）式を整理し，各要素について次の共分散方程式を得

る．

     E〔堵〕＝2E〔詔、諾2〕    （30−1）

E〔諾、記2〕＝一α、E〔灘1〕一α2E〔∬、劣2〕＋

E〔場〕＋4・・E〔詔・ツ・〕一4・2E〔劣・ツ2〕（30−2）

E〔場〕＝一2・・E〔躍・躍2〕一2・2E〔∬髭〕＋

 26Zcl E〔∬2ツ1〕一2401 E〔諾2∠y2〕

E〔詔1ッ1〕＝E〔灘1ッ2〕＋E〔灘2ッ1〕

E〔￠1ッ2〕＝一う1E〔￠1ッ1〕一う2E〔劣1ッ2〕

 ＋E〔∬2ッ2〕

サ

E〔露2ッ1〕＝一α1E〔∬1ッ1〕一α2E〔∬2ッ1〕

 ＋E〔灘2ッ2〕一σ24／2c1

E〔諾2ッ2〕＝一α1E〔勾ッ1〕一み2E〔範ッ1〕

 一（α2＋62）IE〔劣2ッ2〕一σ2み2・2

（30−3）

（30−4）

（30−5）

（30−6）

（30−7）

 上式を（14−3）式の初期条件で解くと系の応答に 関する分散，共分散としてE〔堵〕，E〔絢￠2〕， E〔場〕

を得ることができる．さらにこれらの定常応答を得る ためには⑱式の微分項を0とした代数方程式を解くこ とにより得られる．各々の定常解をE〔琉〕蹴．，E〔町 諾2〕、伽，E〔錫〕蹴．とすると次式を得る．

  E〔￠釜〕8茜α．＝30（β．A十2（β十ζω）

   ・（ω2十2βζω））／2ζω3五1         （31−1）

  E〔∬1諾2〕 86α． ＝・0      （31−2）

 ．E〔場〕8めα・＝80（（2ζω＋β）∠L十2ω2

   ・（β十ζω））／2ζω．A1       （31−3）

 ただし，．A＝β2十Ω2一ω2，．A1＝．A2十4ζω（β十ζω）

．A＋4ω2（β＋ζω）2である．

 （i）形状関数が単位階段関数の場合（8）

  g（の ＝ 1       （ ⊇≧0）      （32）

 （ii）形状関数が指数関数の場合（9）（10）

  g（孟）：＝θ一γ        （ ⊇≧0）      （33）

 3−3 数値計算

 形状関数が単位階段関i数の場合の計算結果はFig．1 に示した．計算条件は減衰定数ζ＝0．1，固有円振動 数ωニ2πである．図上においては厳密解と共分散方 程式の差は識別できない．Table 1（a）（b）はζ＝0．1，

ζ＝0．01の場合の厳密解と共分散方程式による解の比 較である．ζ＝0．1の場合は良好な一致を見るが，

ζ＝0．01の場合は誤差が増加する．これは微分方程式 の数値計算に際しての時間刻みが後者は前者の1／10倍 になっているためである．

 形状関数が指数関数の場合の計算結果はFig，2に 示した，ただし計算条件は年中に記した．数値計算の ための時間刻みは単位時間当り100分割である．厳密 解と共分散方程式による解の比較はTable 2（a）（b）

に示した．Table 1とTable 2を比較すると形状関 数が単位階段関数に比べ指数関数の場合精度が悪くな っている．この主要な原因は共分散方程式の解法に際        ドして微分方程式を数値解析するが，その時連続関数は 階段関数で近似される．従って指数関数はこの近似が なされ，一方単位階段関数の場合そのような近似がな いためでめる．数値計算の時間刻みを1／2倍にとると，

この時の値は厳密解に近づく．

 以上の結果より、，共分散方程式による解法は十分な 精度で計算でき，その誤差は微分方程式の数値計算に

より生ずるものと考えられる．

 なお，形状関数が単位階段関数の場合は， β＝ζω，

〆1一ζ2ω＝Ω，指数関数の場合はβ・＝7なる時，厳 密解は特異点となるので単位階段関数の場合βノζω＝

5

4

野 3 遷 ヨ 望32

1

βμ＝0．1

・≠P．001

傷な；10

0 1     2     3     4       ωt 2瓦．

Root mean spuare of〆the response

5

1．001，指数関数の場合β〃＝1．01で計算を行なった．

4．応答の変位，速度，加速度に関する分散および共  分散

 4−1 加速度に関する分散，共分散の基礎式  応答に関する各種の確率量：を検討するためには，変 位，速度間だけでなく加速度に関する分散，共分散が 必要になる．共分散方程式による解法では，変位，速 度に関する分散，共分散が既知の場合，．加速度に関す

る分散，共分散を求める基礎式を誘導する．

 加速度に関する状態変数を鞠とし，㈱式の記号を 用いると㈲式は次式となる．

  ∬3 ＝ 一ω2劣1−2ζωκ2一！（の       （34）

 ㈹式に各々κ1，灘2，∬3を掛けて平均操作を行えば，

各々E＠3謬1〕，E膨3詔2〕， E〔堵〕を得る．

1．0

差

玄

ミ、，

茎

E〔ごじ3」じ1〕＝一α・E〔∬1〕一α2E〔諾・∬2〕

 一4E〔ζτ1ツ〕

E〔諾3諾2〕＝一α・恥・劣2〕一α2E〔場〕

 一4E〔∬2ッ〕

E〔場〕＝αぞE〔￠釜〕＋2α1α2E〔劣・￠2〕

（35−1）

Fig．1

（35−2）

Table l Comparison of covariance equation     method and exact solution to （a）

    ζ・＝0．1・and （b） ζ＝0．01  （unit step     fun．ction）

＋α霧E〔錫〕一2α14E〔灘1ッ〕一2α14

E〔詔2ツ〕十5042       （35−3）

＼司…レ一悪 1

＼t ｝

   ＼＼澱

｝1脇  ｝

「一「「

一・鼈黶D．一L  l

      ■『・一 ＿．」

ime isec） εxact

唐盾撃浮狽奄盾 CovarianCe

・曹浮≠狽奄盾

Tユ庸e i＄ec） 互xacc

rOlut工on CQvaΨiance

・曹浮≠狽奄盾

05 ^{134251 1．34250} 5．o 13．夢中。 13．4100

Lo 2．3σ515 2．306f5 10．0 23．0999 23．0867 1．5 2．曾9921 2．99921 15．o 30．060｛ oo58

2．0 3．49678 3．496τ8 20．0 35．0706 35．0711

25 ^{3．85鵠9 3．B5338 25．0 38．6693} 38．6701 3．O 4．10852 妬．10852 50．0 与1．2弓88 与1，2495 ヨ5 ^為．2go76 ち．2go76 35．0 弗3．0945 43．0951 4．o 4．42073 斗．4207き 40．o 鱗．年133 仙．与137 牛．5 451330 4．5f330 彗5．o 辱5，55婿 〜卜5．3545

（a） 1（b）

0

Fig．2

1         2         3         4         5

     ω全ノ2凡

Root mean spuare of the response

Table 2 Comparison of covariance equation     method and exact snluton to（a）α／β     ニ＝0．1ζ＝0．1 （b）α／β＝10．0，ζ＝0．1     （・xp・n・nti・l fu耳・ti・n）

T工皿e isec）． Exact

@so工uしion

CQvariance

・曹浮℃ｵion

？i獄e isec Exact

@SOコ、U七ion

Covariance

・曹浮≠柏ｳon

Q5 ^{雪，02281xIO 1．02498x1Q O．5 6．0853辱 6．0982導}

1．0 1，05226艮10 1．04783x10 1．o 6．10杯9｛ 6」1785

15 ^{1．67828 5．6903f} L5 ^{5，391塘 5．聖0287}

2．O ，．76852 1．77228 2．o 恥．51408 452365

2．5 3．0069∋ 3．0133り 25 ^3．66773 3．67551 3．O 2．9邦τ67 3．95778 3．0 2．92978 2．92938

35 ^{可．65896 1．66247 3．5 2．2986g 2．30356}

尋．0 6．93853．T♂ ^一1U．95326・碕 4．o L7699｛ 1．？9360

45 ^{8．8。2ヨ6．¶♂         rεW．82暫Oい，o 4．5 1．38304} 138597

（a） （b）

 上式にブイルター条件（26−2）式を代入して整理す ると次式を得る．

  E〔灘3灘1〕＝一α1E〔碍〕一α2E〔灘1諾2〕＋4C1       ●E〔」じ12：1〕一4c2 E〔劣191〕     （36−1）

  E〔諾3躍2〕一一α、E〔灘、諾2〕一α2E〔諾舞〕＋4・1       のE〔諾22fエ〕一6162 E〔灘221〕     （36−2）

  E〔 2劣3〕＝・釜E〔露1〕＋2…2E〔塀2〕＋・舞

     ・E〔 2灘2〕一24c1（α1E〔諾1 z1〕＋α2      ・E〔灘12：2〕）＋24c2（α1E〔灘122〕

      一←α2E〔灘22：2〕）十6Z280      （36−3）

 上式において常常値を各々E＠3婿〕、伽，E＠3劣2〕

・ α．，E堵〕・ ・．とすると次式を得る．    1

  E〔諾3劣1〕86α．＝一E〔￡舞〕8 α．      （37−1）

  E〔灘3∬2〕sεα．＝0      （37−2）

  E〔垢〕・ α．＝30（2ζωノ12十（βω2十4βζ2ω2        十8ζ2ω3）。A十2ω2（（ω2十2ζ2ω2）

       （β十ζω）十2ζ3ω3）／2ρ。A1  （37−3）

4−2 数値計算

 1自由度系の応答の変位，速度，加速度間の分散，

共分散を，系の固有円振動数2π，減衰定数ζニ0．1の

場合，形状関数が単位階段関数と半正弦波関数につい て数値計算を行った．Fig．5， Fig．6は形状関数が 単位階段関数の場合であり，Fig．7， Fig，8は半正 弦波形の場合であり，各々の値は定常値で規準化して

ある．

 なお， Fig．4， Fig．6において各々E＠3釘〕／

（E〔場〕E〔媛〕）渥の値は他の値の1／10倍で図示した．

5．結   言

 構造物系の応答の分散，共分散の解析法として，共 分散方程式による解法と従来の解法との関係を示し，

相関がある定常確率過程が形状関数で変調されるよう な外力による系の応答の分散について，数値計算によ

り両者の精度の検討を行った．さらに，応答の加速度の 分散，これと変位，速度間の共分散を求める基礎式を誘 導し，数値計算を行った結果次の結論を得た．

 （1）系に作用する外力が定常確率過程と形状関数の 積の形で表現され，定常確率過程がブイルター系に白 色雑音が作用した結果得られたものである場合，共分 散方程式による解法は，従来の積分法の際必要であっ た系の遷移行列の計算および煩雑な積分を回逃するた

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。・O  t。  2・0ωt／2♂L＿ 4・0  5・O Fig．3 Variance of th￠response（unit step     function）

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0，0      1．0      2．0      3．0      4．0          5．0

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Fig．5 Variance of the response（half．sine     function）

1ρ α10

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Covariance of the response（unit step function）

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Fig．6 Covar主ance of the response（halfsine     function）

めに，応答の共分散を微分形式で表現したものと言え

る．

 （2）従来の手法では積分演算のために，形状関数が 積分可能な関数である制限があった．共分散方程式は 微分形式で表現されるために，形状関数を任意な関数，

例えば，データーの形，として入力できる．このこと は複雑な非定常応答計算の可能性を示している．

 （3）相関を持つ定常確率過程と形状関数の積の形で 表わされる外力が作用した系の応答の分散，共分散を 従来の解法と共分散方程式による解法で求めた．共分 散分程式による解法は微分方程式を数値解析するため に厳密解との間に誤差を生つるが，数値計算の誤差の 範囲内で両解法の解は一致する．

 （4）共分散方程式による解法では，変位，、速度，加 速度に関する分散，共分散は容易に解析されることを 示し，その数値計算を行った．

 おわりに，本研究に協力いただいた中富素六（鹿島 建設），杣辰雄（橋梁設計事務所），ならびに末永弘

（佐藤工業）各氏に感謝の意を表する．

参考文献

1）岡林隆敏，非定常不規則荷重を受ける構造物系の  自乗平均応答（1），長崎大学工学部研究報告，第  5号，昭和49年12月

2）：L．：L．Bucciarelli， C． Kuo；Mean Square Response of a Second−Order System to Nonsta−

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3）T．K．Hasselman；AComparison of Solutions for the Mean−Square Response of a Simple Mechanical Oscillator to Nonstationary Random Excitation， Jour． ApP． Mech．，Vol．37， Series  E，No，4， Dec．，1970， pp．1187−1189．

4）T、K． Hasselman；Linear Response to Non stationaτy Random Excitation， EM3， ASCE，

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5）R．L． Barnoski， J． R． Maurer；Mean−Square  Response of Simple Mechanical Systems to Nons・

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6）R．L． Barnoski；J． R． Maurer；Transient  Characteristics of Simple Systems to Nonsta

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7）T．T． Soong；Random Differential Eguations  in Sience and Engimeering；Academic Press，

 1973

8）岡林隆敏；非定常不規則外力を受ける1自由度系  の応答（1），昭和49年度土木学会西部支部研究発表会  論文集，PP．51−52

9）岡林隆敏，中富素六，杣辰雄；非定常不規則外力  を受ける1自由度系の応答（2），昭和49年度土木学会  西部支部研究発表会論文集，PP．53−54

10）杣辰雄，、中富素六；不規則振動を受け る構造物の  応答，長崎大学工学部土木工学科卒業論文，昭和  49年