岡 林 隆 敏 *

長崎大学工学部研究報告第

1 4

l

69 

確率変量を有する力学系の非定常不規則応答

岡 林 隆 敏 *

Nonstationary Random Response o f   Dynamic Systems with  Uncertine Properties 

by 

Takatoshi OKABA  YASHI  ( D e p a r t m e n t  o f   C i v

E n g i n e e r i n g )  

N o n s t a t i o n a r y  random r e s p o n s e s  o f   d y n a m i c a l  s y s t e m s  w i t h  u n c e r t a i n  p r o p e r t i e s   a r e  s t u d i e d  i n  t h i s  p a p e r .  H i e r a r c h y  methods a r e  a p p l i e d  t o  t h e  c o v a r i a n c e  e q u a t i o n   d e r i v e d  from t h e  s t o c h a s t i c  d i f f e r e n t i a l  e q u a t i o n .   The cumulant t r u n c a t i o n  scheme  i s   employed t o   t r u n c a t e  t h e  i n f i n a t e  h i e r a r c h y  o f   moment e q u a t i o n s .   The v a l i d i t y   o f  t h e  t r u n c a t i o n  h i e r a r c h y   method  i s   i n v e s t i g a t e d   by  comparing  w i t h  a Monte  C a l r o  s i m u l a t i o n .  

N u m e r i c a l  r e s u 1 t s show t h e  h i e r a r c h y  method i s   s u c c e s s f u l  u n t

t h e   c o e f f i c i e n t   o f   v a r i a t i o n  o f  u n c e r t a i n  s y s t e m  p a r a m e t e r s  0 . 3 ，  and t h e  r o o t   mean s q u a r e   v a l u e s   o f   r e s p o n e s  i n c r e a s e  w i t h  an i n c r e a s e  i n  t h e  u n c e r t a i n t y  o f   s y s t e m   p a r a m e t e r s  f o r   s t a t i o n a r y  and n o n s t a t i o n a r y  w h i t e  n o i s e  e x c i t a t i o n s .  

1 .  

多くの土木構造物に作用する外力は，発生する間隔 が不規則であるばかりでなく，荷重そのものも確定的 でない複雑な形状を呈するものが多い。典形的なもの に，地震，台風による風荷重および波浪がある。また，

橋梁に作用する車両の接地力のようなものもある。乙 のような不規則な外力を受ける構造物の解析は，不規 則振動論の応用としてすでに定着しているものと考え られる。一方，実在の構造物から解J斤モデノレを構成す る際，解析モデjレには多くの不確定要因が含まれるが，

乙の不確定要素が応答解析の結果に及ぼす影響は少な くない。構造物の解析モデルに内在する不確定要因と しては，質量，間

j

5 4

9

2 6 日受理

*土木工学科

した場合，力学特性が不確定な系と考えられる。乙の ような確率変量を有する系の応答解析には，まだ一般 的な解法があると言えない。

確率変量を有する系の解析の初期のものとして，

Ke

e r ¹ )

さらに，

B o g d a n o f f  

C h e n e a

K o z i n ³ )

l

B o y c e

6)

70 確率変量を有する力学系の非定常本規則応答 度をシミュレーションにより点検している。

 一方，不確定変量の変動の大きい場合，有力な手法 が階層法である。階層法の手順は次のようにしてなさ れる。与えられた運動方程式の両辺に不確定変量によ る平均操作を施し，モーメントに関する方程式を誘導 する。このモーメントに関する方程式は，無限に連鎖

したものになる。そこで，適当な打切りを行い，適当 な近似操作を導入して，閉じた方程式群を誘導する。

Rtchardson7）は階層法を初期値問題に適用し，打切

切，IC最小二乗誤差を提案している。 Haines8）は階 層法を境界値問題に適用した。岩壷9）等は，確率変量 を有する1自由度系の非定常不規則外力による応答解 析を，階層法を用いて行っている。

 本論文は，非定常不規則外力を受ける，確率変量を有 する力学系のr．m．s．（root mean square）応答解 析の手法を提案するものである。すなわち，伊藤形の 確率微分方程式から誘導される共分散方程式に，階層 法を適用することにより，応答の共分散の時間的変化 を支配する微分方程式を誘導した。階層法の打切り近 似には，中心モーメント打切とキユムラント打切を適 用した。数値計算例として，質量をばね定数が確率変 数である1自由度系に，定常および非定常不規則外力 が作用する場合を考え，確率変量の変動と応答の関係

を表す演算子である。

K

C

x（t）

fω

2 力学系の表現

  （1｝係数が確定量の場合

 図一1に示されるような1自由度系に，外力 f（t）

が作用する場合，系の運動方程式は

 日劇（オ）十 ココ（孟）十々記（zケ）＝∫（の        （1）

で表される。なお，初期条件は

 エ（診0）＝∬0，￠（彦0）＝￠0

である。ここに，窺，Cおよび々はそれぞれ質：量，

減衰係数およびばね定数である。また・は時間微分を

 外力としては，正規性白色雑音過程η（のが，確定 関数g（t）で変調された

 ∫（の＝9（の●π（の      （3）

の形の非定常確率過程を考える。正規銀白色雑音過程 の確率特性は

 E〔π（の〕＝o      ．       （4）

 E〔π（オ1）π（ち）〕＝3δ（オ1一オ2）      （5）

で規定される。ここに，Sは白色雑音過程のパワース ペクトル密度，δ（のはDiracのデルタ関数， EOは 考えている確率変数または確率過程に関する集合平均

Fig． l Single degree−of−freedorn system

 （1）式を状態空闇でベクトル表示するために，状態ベ

 ［二じ1」じ2］「￡＝ ［必∬］T      （6）

を導入し，これをX（ので表す。この状態ベクトル を用いて，（1）式は伊藤型の確率微分方程式10）

 4X（孟）＝AX（孟）4診十B（オ）4礪7（オ）， X（オ。）＝Xo   （71

で表現できる。ここに，係数行列AおよびBは，

A一 mO     l一々／窩一6／7η，］   （8）

     0    0

       ］     （9）

     0 9（の加

である。初期条件X。は外力と独立な正規確率変数と する。またW（ ）はブラウン運動過程（Wiener過程）

であり，

 （i） 

 （ii）甦E［4w（の4w（のT］＝Q4≠       （11）

のような確率特性を有する正規性確率過程である10）

ブラウン運動過程は，白色雑音過程と形式的に

 4W（オ）＝＝こQ   22（オ）6『オ］

の関係がある。なお，⑳式のQは

Q一［0  0 _O  5］

であ・る。

α2

㈲

 （7）式の応答X（のは，外力が正規過程であり，かっ 線形系であるから，正規過程となる。従って，時刻t における応答の確率特性は，・平均値と分散，共分散に より規定される。本研究は，系の分散・共分散応答に 着目するものであるために，解析の対象を

 ．E［X（のコ＝O       働 の場合に限定する。このことにより，解析の一般性を

 ベクトル過程X（のの共分散をRx（ので表すと，

これは

 R・（の一E［X（のX（の円       ㈲

で定義される。この共分散の時間的変化は，（7）式の確

率微分方程式から誘導される共分散方程式

 Rx（の＝＝ARx（の十Rx（のAT十B（のQB（彦）T

 Rx（彦0）一RxO

に支配される。10）11）

 ② 係数が確率変量の場合

期条件と独立な確率変数と考える。 さらに，

々，Cを新たな確率変数鴻，為，為

合を

 」一（π、，濯2，∠3）

で定義する。また，左の実現値の集合を

 A＝（λ 1，）㌧2，λ 3）

岡 林 隆 敏

（16）

cを外力ならびに初

     1／m，

  で表し，この集

（17）

      （18

と，応答X（のは外力さらに係数の確率特性に依存し た確率変数となる。このことを強調して，係数が確率

 4X（ちz重）一A（のX（ち孟）4オ＋B（ち歪）4W（の，

 X（の一X。       （1窃 のように書き改められる。

 この確率微分方程式に対応する，共分散方程式を誘 導するために，応答X（ちzl）の共分散を定義する。

濯＝AのときのX（ち1歪）の条件付確率密度関数は，

×（ち∠）と漆の結合確率密度関数p（x，のと4の確率 密度関数p（のを用いて，

 ρ（謬レ1一λ）一ρ（κ，λ）／ρ（え）         ⑳

により定義される11）。なお，κはX（ちA）の実現値で ある。濯＝λのときの×⑰，1のの共分散Rxα，A）は，

条件付期待値となり，

E〔x（ち差）×（剛輔一∫κ勘（κ陶蜘21）

で定義される。この共分散職（ちλ）の時間的挙動を支

られ，

』R・（ちλ）一A（2）R・（オ，λ）＋R・（ちλ）A（え）・

†8（ちλ）9B（ちえ） ・R・α・）一感1 9  ㈱ となる。ここで，詫を確率変数濯とすると，R・（ち遷）

は運に関する確率変数とぢり，㈱式は確率微分方程式

 本研究の解析の対象は，Rx（ち護）：の蓬に関する平均値

〈Rx（ち謹）〉一∫R・（ちλ）ρ（λ）4λ   ⑳

       一∫∫罵鴇μ繍   、⑳

である。ζこに，護に関する平均操作を〈〉で表すも

3．階層法による定式化

（1＞階層方程式の誘導

Ri・h・・d…7）・・は・確率過程を係数賄する線形

71 系の初期値問題に，階層法を適用している。本研究は，

この手法を，非定常不規則外力を入力とする，確率変 量を有する力学系の非定常不規則応答解析に拡張する

 ここでは，⑳式の共分散方程式に階層法を適用する。

解析の便宜上，マトリックス形式で表現された㈱式の 微分方程式を，ベクトル形式の微分方程式に変換する。

共分散行列は対称行列であるから，（n×n）の共分散

換される。この変換によって，幽晦は，

 の H（ち遜）＝6（∠）H（ち∠）十F（ち∠）        ⑳

となる。係数行列G（五）は（n（n十1）／2）2のマトリ ックスで，㈲式のA（のの要素から構成され．る。

A（のマトリックスからG（のマトリックズへの変換

についてはBe111nan（12）およびChen（13）等により 研究され，変換のための演算が明らかになっている。

Fx（ちのは勧式の翫孟，A）QB（ちのTをベクトルに変 換したものであり，n（n＋1）／2次元ベクトルである。

 次に，G（のおよびF（ちのがオ、の2次の項まで

含むものと仮定する。この仮定は，（8）（9）式において，

A（逐），賦ち滋） マトゾックスの要素が，ん／解，c／アη

以上の積の項を含まないことより妥当なものである。

この場合，G伝）および F（ち遵）は次式のように表す

        3      3  ∫

 e（∠）＝G。＋．Σ」1e」＋ ．Σ 』 」、π」G、」  ⑳

       ガ＝1   ∫＝1ブ＝1

          3  1   3 ゴ

 F（ち差）一F。（の＋万∠、F、（の＋ΣΣ』〃」F，」（の・

         ∫＝l    f＝1ゴ＝1

       （2の ここに，（∋oおよびF（のは，6（遜）およびF（ち涯）

において，確率肇数濯を含む要素を除いたマトリッ

クスである。

 階層方程式を誘導する。⑳（27式を⑳式に代入し，．両

辺に濯に関する平均操作を施せば，

  ．           3

〈H（ちの〉一G・〈解（ち護）〉＋．ΣG・＜蝋ち溢）＞

       z＝1

 ＋．Σ〜6・」〈躍」R（ちの〉＋F。（の   Z目1ノ＝1

   3         3  ガ

 →一  2『  ＜ノ歪i＞F」（オ）十  29     Σ   ＜ノ1iノ望j＞1＝、j（彦）    （28）

  ♂一1      ガ＝1ブー1

を得る。H（ち1盃）はベクトルに展開したしたもので

ﾉ関する平均値ナなわち，

〈Rx（ちの〉はく畝ち歪）〉より求められる。この微

目（ちの〉が確定しなければならない。 そこで，⑳

72 確率変量を有する力学系の非定常不規則応答

得る。

   。       3

 〈∠kH（ち頭）〉一G・〈濯・H（ち濯）〉＋Σ9・〈〃・

       f・＝1

 H（ちの〉＋2 Σ G且」〈頭！π」4H（ち4）＞

      2寓1ノ講1          3

 十Fo（診）＜！fk＞十Σ＜！fi・4k＞F1（の

        f＝1

   3 ま

 十 2  27 ＜zfl／1」ノ望k＞Fij（オ）       （29》

  9嵩1ノ＝1

この式では，さらに新たな未知数として，

〈ノ1i、4』ノ1k目（ちZ置）〉が現れる。さらにく三期H（ちの〉

に関する微分方程式を得るために，⑳式の両辺に 4、∠。を掛けて，両辺に」に関する平均操作を施す。

この操作を続ける限り，この連鎖は無限に続くことに なり，閉じた形の方程式は得られない。そこで，適当 な段階でこの操作を打切り，何らかの仮定を導入する ことにより，解析可能な微分方程式群を得るための手 段を考えなければならない。

 本研究では，四式の段階の階層で打切りを行う。こ

の・とき，〈ノ11∠lk日（ち∠皇）〉およびくム角4kH（ち淫）〉は未

知数として残るが，これを低次のモーメントを用いて 記述する手段を考える。高次のモーメントを低次のモ 両メントで近似する手段としては，（a沖心モーメント

切り精度について検討した結果，キユムラント打切が 良い精度を示すことを指摘している。本研学では，中

法について検討した。

 ② 中心モーメント打切

 〃をn次元ベクトルとして，n次元結合確率密度

関数をP（〃）で表す。このとき，k且…k。次の結合中 心モーメントは

・M…k・一轣iツ5槻μ1）・1…（錐噛）・ラ（・）4（・）⑳

 篇E［（ッ1一μユ）起！…（ッ甑一μ。）翠馳］       ㊤1）

で定義される。ここで，1次のモーメントに限り，

μ、，…，μnは，それぞれE［ッ、］，…，巳［ッ。］を表すもの とする。

 （i）1次の中心モーメント

   E［．y1一μ！］鵠0       鵬

 （ii）2次の中心モーメゾト

   E［（ッ，一μ、）（ッ2一μ2）］轟σ二22    尉

    ．2次のモーメント

   E〔y1ッ，］一σ、，2＋μ、μ，      ｛鋤』

 （111）竃次の中心モーメント

 E［（ッ1」μ！）（ッ2一μ，）（ッ3一μ3）］謡μ、、、

  3次のモーメント

 E［ッ、ッ2ッ3］漏μ111＋σ・12μ3＋σ232μ、一σ3、2μ2  十4μ！μ2μ3

（iv）4次の中心モーメント

㈲

（i蜀

   E［（ツ1一μ1）（ッ2一μ2）（y3一μ3）（ッ、一μ、）］

   編0      ㈱  （v）5次の中心モーメント

   E［（ツ1一μ租）（ッ，一μ，）．（ッ、一μ3）（ッ、一μ、）

   （ッ5一μ，）］謬0        ㈱  4次，5次の中心モーメントを0とすることにより，

4次，5次のモーメント

   E［ッ1ッ2ッ3ッ、］，E［こ）ノ℃こ）ノ2二）ノ3∠）ノ4ツ5］

は3次以下の中心モーメントで記述される。

 そこで，4次以上の中心モーメント打切りを，

〈ノ41バjH（ち∠置）〉および〈4互4晦H（ち1歪）〉の表現に

適用する。H（ちのの要素をE［蜘職］とする。（19式 の応答X（ち∠）の平均値は0と仮定しているので

となる。ここで，｛｝の記号は，∠のみの平均値：〈〉

と区別して，外力の確率過程および確率変数∠の両

者に関する平均値を表すものとする。

 ㈲ 4次のモーメント

   砿π』￠m副＝一μ1μ」｛灘mπ。｝＋μ星｛濯幽婦

（b）

十μ童｛！望」￠m灘n｝

5次のモーメント

｛ノ為ノfjノ望影じm5ロn｝隅＝一2μiμ3μk ｛謬mごご織｝

十μ1μk｛バ」∬m≦τn｝＋μ」μk｛4為銑｝

＋μ正μ」｛ノk謬m副

ここで，

｛π互 τm｝騙｛躍二κn｝謹｛バμm｝＝偽編｝

螺｛4コじ鵬｝＝｛∠k謬、｝＝0『

ω

働

㈱ の関係を用いた。㈲幽式より，次の2式が得られる。

   〈！41143H（ちノ置）〉躍＝一μ！μ」〈｝4（ち∠霊）〉

＋μ」〈∠置監卜1（∫，∠匠）〉＋μ、〈瓜H（ ，の〉  ㈱

〈！1藍∠置」イ4kH（診，ノ1＞漏一一・2μ μ3μ」kH〈（≠，∠量）〉

＋μ」μKπ、H（ち濯）〉＋μ，μ、〈π泪（ちの〉

＋μ1μ」〈んH（ち∠）〉         ㈲ ただし，

   μF〈4雪〉，μド〈オ、〉，μ・＝〈π・〉

である。

 （3｝キユムラント打切

（姻

 （21で示したn次元結合確率密度関数の特性関数は．

   φ（t）イ・ψ（糊ρ（〃）4（〃）  ㈲

で定義される。ここに，毛はn次元ベクトルであり，

ゴは虚数単位ゾー1である。このとき，k1…k．次のキ

鱗ラン1は淑式で臓され畿縄15）である9

岡林 隆敏

姶・三一（f）一Σ畳＝一∂z｝ユユ＿鳶＿k＿ Z72φ（t），一〇㈱

 次に，5次までのキユムラントを示すが，記述の便 宜上，0平均の場合のキユムラントである。平均値を

有する場合は，変数ッ葦をッi一μ1に置き換えること       へ により，容易に変換可能である。なお，ッ、は平均値

回りの変動である。

 （i） 1次のキユムラント

 k1＝μ1雛G

（ii） 2次のキユムラント

 k11＝＝E［y1」y21＝σ122

（iii） 3次のキユムラント  kln＝μ：1ユ

（iv） 4次のキユムラント

（v） 5次のキユムラント

働

（5①

61）

   k1隻録1＝μm鷲1一μ11100μ00011一μ11010μ00101

     一μ010Uμ10！OO｛μ01101μ蒐000一μ00111μ録000

 4次，5次のキユムラントを0とすることにより，

4次，5次の中心モーメントは，62㈹式を用いて3次

以下の中心モーメントで記述される。§3②に用いた 同じ条件に基づいて，4次以上のキユムラント打切を

  〈H（ち滋）〉

  の  ヒ

〈zf1ト4（診，ノf）〉

   の1＜ノ・H（ち∠）＞

i ・

／〈π3H（ちの〉

GoO GO墾G。2 Go3

Glo 6疑e12 G重8

e20 G21 G22 G23

G30 G31 G32 G33

73

｛a｝4次のモーメント

  ｛〃」￠m∬。｝一（σ2，一絢μ」）｛∬訟。｝＋μ1｛肋mコじ。｝

  ＋μ1｛4ぼmτ。｝

（b｝5次のモーメント

  ｛ノ望iノ定」諾mのn｝冨（μijk−2μiμjμk）｛τmτn｝

  ＋（σ2」k＋μjμk）｛如渦｝＋（σ2，k＋μiμ、）

  ｛∠j謬皿必。｝＋（σ2、j＋μ，μ」）｛オ、∬m婦

従って，次式を得る。

｛5の

個

   〈zl」14jH（ちz重）〉＝（σ2ij一μ1μ」）〈トi（ち謹）〉

   十μ」〈πiH（ち透）〉十μi＜4：ト1（ち4）＞   66＞

   〈zff／1j∠fk｝弓（ちノ歪）〉＝（μ」jk−2μ；μ」μk）

   〈凹（ち遵）〉＋（σ2」、＋μ、μ」）〈4目（ちの〉

   ＋（σ2k、＋μ。μ、）〈∠jH（ち濯）〉＋（σ2、」＋μ、μ」）

   ＜4H（ち躍）＞       67）

4の統計量として，次の諸量を用いた。

1：前出1企淵≧路野ブ 々）｝㈱

 （4）階層方程式の構成

 3個の確率変量π、42および編を係数に有する場

合，それぞれ中心モーメント打切およびキユムラント

に書き改める。すなわち，中心モーメント打切の場合

は達せられる。他方キユムラント打切の場合は，66㈲

式を用いれば良い。確率変量を3個有する場合，各打 切に対する階層方程式は次のようになる。

「〈H（ちの〉

〈濯1H（ち遜）〉．

〈ノ2H（ち躍）〉

〈濯3H（ちz歪）〉

十

＿   、 Fo

下霊

コミ2

引

（59

＼

ここに，係数行列および外力ベクトルは次の通りである。

㈲ キユムラント打切の場合       3

     ゴ誰1

GOk＝e致十μ盆（∋敏牽 f

ブ講1

∫累1

Gi」（σij一μ…μ3）

μkGlk   （々篇1，2，3）

G1！謀Go十μ1GI十（σ12十μ12）G11十

      3   ∫、

    十2 Σ（μψ」十σlj2）G日      z器1 フ饗1

    3      3   ゴ

G正。犀 Σ  Gi（q H2一μ・隻μ三）十  ・ε   Σ  （μ藍jk−2μiμ3μ1）e2」  σ算1，2，3）

   ∫＝1      ∫驕1 ゴ鵠1       3

Glk謀μβ垂十（μ1μ：k十σ1のelk 十  Σ  （μ1μi十σH2）G藍k （」瓢1，2，3，ゐ漏し2、3，々≠♂）

       f鴬1

       3

      Σ（μ聾G嚢十（σ呈12十μiμ監）Gi塞）

       誠1

（Z零1，2，3）

⑳

74 確率変量を有する力学系の非定常不規則応答

  Fo（彦）＝Fo（t）十Σμ！F1（∫）十2 2（σ・ij2十μ！μ」）F！」（の

         f＝1幽      f＝1 ブ鶉1

  ＿         3      3   f

  FIω＝F。（のμ1＋万 （σゴ12＋μ且μ1）F豊（の＋ Σ Σ Fd（の（μ、」1＋σ、」2μ1＋σ」12μ1

      ∫＝1      f＝1 ブ嵩1

      ＋2σ11＋μ1脳）（1−1，2，3）

㈲ 中心モーメント打切         3   ∫

Goo＝60一 Σ

Σ  μ且μj（3i1．

ブ隅1

＿       3

GOk＝Gk十μkGkk十  Σ  μ置Glk  （々臨1，2，3）

         ガ＝1

     3         3   f

Glo＝ 一      

     ゴ＝1      ガ＝1 ブ＝1

＿       3

Glk＝μIGk十μ1μkGik十μ1万  μiG！k（の  σ諸1，2，3，々＝1，2，3， Z≠々）

      f＝1

       3       3   ∫

Gii＝60十μIG1十μ2βu十 Σ  （μ竃G1十μ阻1eu）十 Σ   万  μ聾μ」《5，5  （♂＝1，2，3）

f＝1

 F。，Fzはキユムラント打切の場合と同じ式にな

る。このように，，中心モーメント打切では，係数行列 に確率変数の変動を示す統計量が表れない。このこと は，中心モーメント打切による近似では，確率変量の 変動が応答に及ぼす影響は評価できないことを示して

いる。

 4．数値計算と考察

 数値計算は図一1に示した1自由度系について行ら

た。一般性を失うことなく解析を単純化するために，

系のパラメーターであるばね定数kと質量mを正規確

率変数とし，減衰係数。は確定量とした。§3の解析

本解法は，確率変量が正規確率変数に限定されること なく，一般的な確率分布の場合にも適用できる。

 解析に必要なk，mの統計量を次のように定義する。

 質量の平均値     ＜rn＞       μm  ばね定数の平均値   ＜k＞       μk  質量の分散      ＜（m一μm）2＞   σm2

質量の変動係数 ばね定数の変動係数 質量とばね定数の   相関係数

σm／μ皿 圏σk／μ』

σmk2

Vn｝

v二

rmk

数値計算の対象にした1自由度系の諸元は，次の通り

 質量の平均値  ばね定数の平均値

メノm1  （kg．sec2／cm）

1！k 4π2     （kg／cm）

∫＝1 ブ盟1

ミ

i翻

62）

減衰係数    cO・4π （sec／cm）

 減衰定数の平均値   五一〇．2

 固有振動数の平均値  可2π   （rad／sec）

 外力のパワースペクトル密度S1  （kg2・sce）

数値計算において，質量およびばね定数の分散・共分 散は，それぞれの変動係数Vm， Vkならびに相関係数

を正規確率変数と仮定しているので，1／mは正規確率

動で展開して，

      さ   ヰ

 1／m一（1−m＋m−m＋m）／＜m＞  纐

平均値回りの変動mの多項式として処理する。rnを正 規確率変数と仮定した場合，この統計的特性は次式で

  E［費｛一｝一｛02n！2π1 2σnr（（n十1）／2）翼：＝蔑難  （6蜀

この関係を用いて，変動係数を4次の項まで考慮する と，解析に必要な統計量は表一1のように得られる。

確率変量が正規確率変量でない場合，所定の確率分布 に対応した統計的特性値を用いることにより，表山1 に対応する統計量を計算するは可能である。

 （1）定常応答解析

 定常応答とは，（3）式の形状関数に単位階段関数を用

いて，t→。。としたときの応答である。このとき，応

答の共分散は定数になる。従って，本解法による定常

応答は囎式の微分方程式の時聞微分の項を0とした連

立方程式より求められる。

岡 林 隆 敏 75 Table l Statistics of k and 1／m

＜k＞

〈1／m＞

〈（k一μ1）2＞

＜（1／m一μ2）2＞

〈（k一μ、）（1／m一μ2）〉

＜（1／m）2＞

＜（1／m）3＞

＜k／m＞

＜k／m2＞

〈（k一μ1）2（1／m一μ2）〉

〈（k一μ1）（1／血一μ2）2＞

μ1

μ2 σ！2

σ22

σ122

rno2

mo3 m11

μ21

μ21

 μk

（1＋Vm2＋3v皿4）／μm

 σ・k2

Vm2（1＋8Vm2）／μ㎜2

「μkV皿v、Vm、（1＋3Vm2）／μ孤  （1十3v皿2十15v珈4）／μm2

（1＋6v瓢2＋45Vm4）／μm3

 μ1μ2＋σ22

 μ虻 ｛1十3vm2十1SVm4 −2vmvkr皿k （1十6vm2） ｝／μm2  2拶k2v皿2Vk2r組k2／μm

−4μkVkV凱3rmk／μm2

 階層方程式の誘導は，階層方程式の打切，さらに中 心モーメント打切およびキユムラン、ト打切のような仮 定1と基づいている。ゆえに，確率変量の変動係数が大 きくなると，階層法による応答と，実際の応答との間 に誤差が生ずることが予想される。そこで，階層法の 妥当性を検討するために，解析解とシミュレーション による結果を比較レた。セミュレーションの手順は次

 ①白色雑音は0〜4（H：z）区間で帯域制限された

白色雑音で近似するものとして，この区間を400分割

 ② 合成された波形に対応して，応答の標本関数が 得られるが，各回の試行において，ばね定数と質量は 二次元正規乱数より発生させている。

 ③シミュレーションの結果は200本の標本関数を

平均することにより得る。

 図一2は，質量およびばね定数の変動係数λと，変位 応答の標準偏差の関係を示したものである。変位応答 は，変動係数が0のときの応答を基準として，変化を

数の相関係数が0および0，5の場合である。変動係数 の変化に対して応答の変化が小さいために，シミュレ ーションの結果が変動することは免れ得ないが，変動

シミュレーションの結果を比較すると，相関係数が0 および0．5いずれの場合でも，変動係数が0〜O。3の範 囲では，解析解とシミュレーションは良い一致を示し ている。この計算結果より，階層法による解析は，変

6

4 登

3 62

．）

x10檜2

 r＝0

0

  o

＿1

Hierαrchy

o

  o

♂imulαli。・

o

0      0・1       0．2      03   C。e鷲1clent・f・。・iqti。n（入〉

重

8

乏

2

6

4

2

0

＿1

 一2

  r＝0．5

Hierαrchy

Simu1α霊ion

o     o

0     0・1     012    0・3   Coe貿icient ofvαriαtion（λ｝

Fig．2 Root mean square value of stationary resporlse （｛a｝coefficient

76 確率変量を有する力学系の非定常不規則応答 動係数が0．3程度まで信頼性のある解析が可能である

ことが確認できる。

 （2）非定常応答解析

 本解法では，非定常応答解析は，司式を直接数値解

関数である場合，変位の過渡応答を計算したものであ

る。応答は変動係数がOであるときの最大応答で基準 化してある。定常応答の結果と同様に，変動係数の増 加に伴って，応答も増加している。

 三一5は，形状関数として

9（t）一

を用いた場合である。

 1．〇

三

毫 セ モ

つ

λ謬0．3 λ題。②

λ30心

非定常不規則外力が作用した場合，r． m． s．応答の

た。本解法は，階層法を伊藤型の確率微分方程式から

た。

 数値解析例として，質量とばね定数が正規確率変数 である1自由度系が，定常および非定常白色雑音を受 ける場合の解析に，本解法を適用した。質量およびば ね定数の変動係数が0〜0．3の範囲では，本解法によ る解と対店するシミュレーションは良い一致を示し，

本解法の妥当性が確認できた。本解法によれば，非定 常応答解析は，微分方程式の数値解析に帰着させられ るために，形状関数の形式に関係なく実行される。

0    1

2    3    4

Fig．3 Root mean square value of

三 碁 旧 き

1．0

λ300

λ冨03

5

   0   1    2    3    4    5           「置岡E  t 了

Fig．4 Root mean square value of

     （9（t）詔sin（t／3）：

0≦；t≦；3，9（t）謹・O：t＞3）

 このように，本解法では，非定常応答解は，微分：方 程式の数値解析の問題に帰着する。従って，解析の難 易は，形状関数の関数形に依存しない。

5．おわ りに

本研究では，係数が確率変量で表される力学系に，

参考文献

1）Keller， J．B．： Wave propagation in ran−

dom Inedia ジProc． Symp． App1． Math．，New

York，1960，13， PP．22フー246

2） Bogdanoff， J． L． and Chenea， P． F．：

Dynamics of some disordered linear sys−

tems ，Internat． J。 Mech． Sci．，1961，3， pp．

 1517−169．

3） Kozin， F．： On the probability densities of the output◎f some randoln systems ，J． AppL

Mech．，1961，28， PP．161−165．

4）Boyce， W．践．： Rando孤eigenvalue pro−

blems Probabilistic Methods in Applied Mathematics（A． T． Bh皐rucha−Reid， ed），，

Vol．1， PP．1−73， Academic press， New  York，1968．

5）松島豊：確率変数から成る振動系の：地震応答量  の変動，建築学会論文報告集，Vo1．210， Aug．

 1973，pp． 5−10．

6）星谷勝，千葉利晃：弾性せん断ばりの自由振動

 に与える不確定要因の影響，土木学会論文報告集，

第234号 1975年  2月， pp．23−31．

7）Richardson， J． M．： The applicatioロ

 of truncated hierarchy techniques in the

       岡 林

 equation ， proc． Symp． App1． Math．，1964，

 16，pp．290−302．

8）Haines， C． W．： Hierarchy methods for  random vibration of e！astic strings and

g） Nakagawa，N． et al．： Random vibration  of structαres wlth uncertain properties ， Theoritical and ApPlied Mechanics， Vol．27，

1979，pp．359−3：71．

10） Arnold，L．： Stochastic Differential Equa−

 tions：Theory and apPlications ，John Wiley  ＆Sons， New， York，1974．

ll）椹木，他： 確率システム制御の基礎 ，日新出

12）Bellman， R： Introduction to Matrix

隆 敏       77

   Analysis ， McGraw−Hi1】， NeW York，1960．

 13） Chen，C． F． et al．： A note on expanding

   PA＋ATp＝一Q ， IEEE Trans Automatic    Control （Correspondance）， 1968， PP．1221−

   123．

 14）Wilcox， R．M． and Bellman，R．； Trunca−

  tion of preservation of moment properties

   Mathematical Analysis and Applications，

  1970，32，pp．532−542．

15）中塚利直： 時系列解析の数学的基礎 ，教育出

 16） Y．K．リン（森，富田，他訳）： 構造動力学