位置天文学入門 講義ノート
福島登志夫
国立天文台、東京大学、
総合研究大学院大学
2005
目次
講師
概論
観測
時間
空間
座標系
運動
回転
地球回転
ケプラー運動
信号伝播
最小二乗法
一般相対論
参考書
講師
福島登志夫
自然科学研究機構
国立天文台 (NAOJ)
181-8588 東京都三鷹市大沢 2-21-1
[email protected]
http://chiron.mtk.nao.ac.jp/~toshio/
RTN
概論
位置天文学( Astrometry) とは何か ?
一般的諸原理
位置天文学の基本要素
準拠系 : 時刻系、空間座標系、単位系
運動 : 線形、軌道、自転
信号伝播：片道、往復、準同時
数学的道具
戻る
位置天文学とは何か
天体の位置や運動を通じた宇宙の探求
別名：基本天文学、古典天文学
（天体物理学と対比するときの）天文学
関連する学問
天体力学
測地学
特殊相対論、一般相対論
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諸原理
４次元連続時空
因果律
時間の矢の一定性
決定性原理
慣性系の存在
相対性原理
RTN
準拠系
準拠系＝座標系＋単位系
時刻系＝時間座標系
天文学的、物理学的、放送
空間座標系
地平、赤道、黄道（こうどう）
太陽系重心、地心、地球（＝地殻固定）
単位系 : 国際（ SI ） , 天文
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運動
宇宙膨張
遠方天体： ( 静止も含む ) 準線形運動
恒星、銀河、クェーサー
軌道運動
準ケプラー：連星、彗星、小惑星
複雑：惑星、衛星、探査機
自転運動
地球、月、惑星、衛星、小惑星、恒星
戻る信号伝播
電磁波
光、赤外、電波、 X 線、 γ 線
幾何光学近似＝光子の運動
相対論的扱い
宇宙線＝高エネルギー粒子
重力波
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数学的道具
ベクトル解析
線形代数
非線形方程式の解法
最小二乗法
フーリエ解析
常微分方程式の数値積分
RTN
観測
非可測量＝大局的量
座標、長さ
可測量＝局所的量～観測量
時計の読み、角度、その他
測定法の分類
受動的、半受動的、能動的
新世代の観測装置
戻る
可測量
時計の読み
時刻： 到着時刻、発射時刻
時間間隔＝経過時間
角度：入射方向ベクトルの差
その他
波長＝エネルギー
信号パターン、内包される暗号
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受動的観測
天体カメラ：２次元角度
CCD アレイ、ビデオ、写真乾板
経緯儀、子午儀、子午環：１次元角度
干渉計：精密な１次元角度
VLBI （超長基線電波干渉計）
光赤外干渉計、 X 線干渉計、…
地上観測か軌道上観測か
次へ
受動的観測（続き）
検出器：到着時刻、エネルギー
光電子増倍管 PMT 、光ダイオード
荷電結合素子 CCD 、泡箱、霧箱、…
時計の読み
現象時刻：到着、食、掩蔽、…
時系列：光度曲線、増光・減衰パターン
ドップラー偏移：視線速度
分光計、輝線・吸収線
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半受動的観測
ドップラー偏移
人工衛星・探査機とのアップ / ダウン・リン ク
積分ドップラー（偏移）～距離差の測定
NNSS, DORIS/PRARE
半受動的 VLBI: ALSEP, RISE
時間差観測： GPS, GLONASS
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全地球測位システム GPS
米国防総省
空飛ぶ原子時計
能動的観測
レーダー爆撃
水星、金星、火星、地球近傍小惑星
距離・距離変化率（ R&RR ）観測
人工衛星、探査機
往復電波通信
人工衛星、探査機
レーザー測距
人工衛星（ SLR ）、月（ LLR ）
戻るレーザー測距
人工衛星レーザー測距
月レーザー測距
アポロ、ルノホード
レーダー爆撃
ヘイスタック（ M IT ）
アレシボ
新世代の観測装置
光干渉計
NPOI, PRIMA/VLTI, SIM, TPF-I
軌道望遠鏡
HIPPARCOS, JASMINE, GAIA
超長基線電波干渉計（ VLBI ）
VLBA, VSOP, VERA, e-VLBI
RTN
NPOI
米海軍原型干渉計
フラッグスタッフ（アリゾナ州）
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PRIMA/VLTI
マイクロ秒角 位置天文学と 位相基準撮像
欧州南天天文 台 ESO
VLT 干渉計
RTN
SIM
宇宙干渉計ミッション（ NASA ）
RTN
TPF-I
地球型系外惑星発見ミッション（干渉 計版）
RTN
HIPPARCOS
位置天文学専用 の初の人工衛星
欧州宇宙機関
（ ESA ）
多大な成果
RTN
JASMINE
日本の位置天文学衛星計画
RTN
GAIA
ヒッパルコス衛 星の後継機
ESA
２０１１年夏打 ち上げ予定
RTN
VLBA
超長基線電波 干渉計アレイ
全米に１０局
米国立電波天 文台 NRAO
RTN
VSOP
世界初の宇宙 VLBI 計画
日本（宇宙研
＋国立天文 台）
RTN
VERA
日本の VLBI アレ イ
２ビーム方式
国立天文台
RTN
e-VLBI
ネットワークによる即時 VLBI 相関処理
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時間
基本概念
理想的時刻系の３大分類
積算時刻系、力学時刻系、放送時刻系
実用的時刻系
原子時、世界時
太陽系重心 力学時 / 座標時
時間の単位と表現法
ユリウス日の計算
戻る時間の基本概念
ニュートン的描像
絶対時間
時間の変換：１対１
順序：年代学
精度と確度
反復性に関する本質的疑問
) ( f
t
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積算時刻系
仮定：特定現象の経過時間が一定
時刻＝現象の積算回数
例
天文現象：日、月、年
機械的現象：振り子時計、ゼンマイ時計
物理現象：水晶時計、分子時計、原子時計
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力学時刻系
運動方程式の時間引数
観測値から逆関数として決まる時刻
例
太陽の平均黄経（天動説的言い方だが）
L(T)=
暦表時 ET=T(L)
089
21 13
129602769 04
48 41
279
' ". ". T ". T
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放送時刻系
放送される時刻系 : JJY, TV, NTT
計算機ネットワーク上の時刻系： NTP 時
人工衛星から放送される時刻系： GPS 時
標準時
時圏：経度 15 度 = 1 時間
中央標準時（＝日本標準時）： JST
JST = UTC （協定世界時） + 9 h
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原子時
秒の定義（国際単位系）： CGPM （ 1967 ）
9162631770 周期
セシウム 133 の特定の放射周波数
国際原子時 TAI
度量衡中央局 BIPM （ Paris ）によって維持
数百のセシウム原子時計
＋数個の水素メーザー時計
相対精度： 15-16 桁
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セシウム原子時計
HP/Agilent
5071A
原子泉方式のセシウ
ム原子時計
水素メーザー時計
世界時
地球自転に関する力学時刻系
世界時 UT = グリニッチ平均（太陽）時 G
MT
三種類の世界時： UT0, UT1, UT2
国際地球回転監視事業 IERS
協定世界時 UTC
永年的な地球自転の減速：閏秒の挿入
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太陽系力学時
国際天文学連合 IAU の正式時刻系 (1984-1991)
一般相対論的効果を考慮
太陽系重心力学時 TDB
地球力学時 TDT
時間単位の調整： <TDB> = <TDT>
TDT = TAI+32.184s
RTN
太陽系座標時
IAU の正式時刻系 (1991-)
時間単位の調整を放棄
太陽系重心座標時 TCB
地心座標時 TCG
地球時 TT
TT = TDT = TAI+32.184s
TCB-TCG: 時間暦
Harada and Fukushima (2003)
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時間の単位
1 日＝ 24 時間＝ 1440 分＝ 86400 秒
ユリウス世紀： jc 、ユリウス年： jy
1 ユリウス世紀＝ 100 ユリウス年＝ 36525 日
ベッセル年＝平均太陽年 ＝ 365.2421897… 日
ms, μs, ns, ps, fs, …
真空中の光速度 c = 299792458 m/s
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時間の表現法
西暦：年月日時分秒
通日、曜日
ユリウス日 JD
J2000.0 ＝ 2000 年１月１２時＝ JD24515 45.0
修正ユリウス日 MJD
MJD = JD – 2400000.5
戻る
ユリウス日の計算
年月日時分秒 (Y,M,D,h,m,s) から JD
L=int((M-14)/12);
I=1461*(Y+4800+L);
J=367*(M-2-12*L);
K=int((Y+4900+L)/100);
N=int(I/4)+int(J/12)-int((3*K)/4)
次へ
ユリウス日の計算
（続き）
JD0=N+D-32075;
JD1=JD0-0.5;
JD2=h/24.0+m/1440.0+s/86400.0;
JD=JD1+JD2 or JD = (JD1,JD2)
次へ
年月日の計算
JD から年月日時分秒 (Y,M,D,h,m,s) へ
JD0=int(JD-0.5); JD1=JD0-0.5;
L=JD0+68569;
N=int((4*L)/146097);
K=L-int((146097*N+3)/4);
I=int(4000*(K+1))/1461001);
P=K-int((1461*I)/4)+31;
次へ
年月日の計算（続き）
J=int((80*P)/2447);
D=P-int((2447*J)/80); Q=int(J/11);
M=J+2-12*Q; Y=100*(N-49)+I+Q;
JD2=JD-JD1;
h=int(JD2*24)
m=int(JD2*1440-h*60);
s=JD2*86400-h*3600-m*60;
続き
曜日の計算
I=JD0-7*int((JD0+1)/7)+2;
I: 1,2,3,4,5,6,7
I=1: Sunday
戻る
空間
空間座標と単位
空間座標変換
直交座標 球球球, 回転楕円体座標
慣性系
座標原点の平行移動、回転
速度と加速度
戻る
空間座標
直交座標
球座標
回転楕円体座標
) ,
,
( x y z
) ,
, ( ) ,
,
( r r
) ,
,
( h
RTN
球座標
地平座標
黄道座標
赤道座標
銀河座標
) Az ,
El (
);
Az ,
Alt (
);
, ( );
, (
, z A a A r
, , , , r
, , b
RTN
地平座標
距離： r 、 天頂距離： z
高度角（略して「高度」）
a = Alt = El = 90 deg – z
方位角（略して「方位」）： A = Az
、左手系
a
A a
A a
r z
A z
A z
r z
y x
sin
sin cos
cos cos
cos
sin sin
cos sin
RTN
黄道座標
黄道（こうどう）～地球の平均軌道
太陽系天体に使用
黄道傾角： ε
動径： r
黄経（こうけい）： λ
黄緯（こうい）： β
線
黄道
赤道
（春）分点
RTN
赤道座標
天体位置の基本座標表現
赤経（せっけい）： R.A. = α
赤緯（せきい）： Decl. = δ
（年周）視差： π
1 AU
sin r
線
AU
r
S
E
P
RTN
角度の単位
ラジアン（弧度）： rad
度： deg = °
分（角）： min = arc minute = '
秒（角）： second = arc second = "
= arcsec = as
NXT
角度の単位（続き）
1 度＝ 60 分角＝ 3600 秒角
180 度＝ π ラジアン
1 秒角～ 4.848 μrad
20 秒角～ 0.1 mrad ：光行差の大きさ
0.001 秒角＝ミリ秒角： mas
0.000001 秒角＝マイクロ秒角： μas
NXT
長さの単位
メートル（国際単位系）
真空中の光速度： c =299792458 m/s
（長さの）天文単位： AU
粗い定義：地球軌道の平均半径
厳密な定義： AU = c τ, τ=499.00478353… s
パーセク (pc) 、光年 (ly)
1 pc = AU/sin 1” ~ 30.9 Pm ~ 3.26 ly
1 ly = c x 1 jy ~ 9.5 Pm
RTN
回転楕円体座標
（地理）緯度： 線
経度： λ
基準楕円体からの高さ : h
cos cos cos sin
sin
N N
Z
x y z
NXT地理緯度
地心緯度： 線
地理緯度（＝測地緯度）： 線
線 線
赤道 北極
P
r
地心
H
天頂
天底
地平線
RTN
回転楕円体座標（続 き）
卯酉（ぼうゆう）線曲率半径： N
2 2
2
sin 1
,
1 ,
e d d
N a
h N
e h
N Z
N
RTN
楕円
長半径： a
短半径： b 2 1
2 2
2 2
2
b z a
y a
x
a b
NXT
扁平率
扁平率： f
離心率： e, 副離心率： e c
2
2 2
2 2
2
, 1 1
2
c
a b b
f e e f
a a
a b
e f f
a
RTN
球座標から直交座標 へ
sin cos cos cos sin sin cos sin
cos sin
x
y r r
z
NXT
直交座標から球座標 へ
) ,
atan2
), ,
atan2 sin
), ,
atan2 cos
,
1 1
2 2
2 2
2
x (y
p r (z
z
z r (p
z
y x
p z
y x
r
RTN
回転楕円体座標から 直交座標へ
cos cos cos sin
sin
N N
Z
x y z
2 2
2
sin 1
,
1 ,
e d d
N a
h N
e h
N Z
N
NXT
直交座標から
回転楕円体座標へ
古来の難問
経度は簡単
経度を消去
修正緯度方程式を解く
) ,
atan2 (y x
2 2
2
cos
1 sin
N h p x y
N e h z
RTN
緯度方程式
高さ ｈ を消去
2 2
2
sin cos
sin cos
1 sin
where p z C
e C ae
NXT
修正緯度方程式
変数変換
変換後の方程式
導出と解法
cot t
2 2
( ) 0
where 1
f t zt Ct p
g t
g e
RTN修正緯度方程式の導出
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
sin 1 ,cos
1 1
1
1 1 1 1 1 1
1 1
t
t t
p zt C t
t t e t t
t p zt Ct
e t
RTN
修正緯度方程式の解法
(0) 0, ( ) 0
0
f p f zt C
t
パラメータの標準化（北半球に限定）
標準化後の変数域
ニュートン法
初期推定値 0
/ t p
z C g
z 0
RTN
ニュートン法
非線形方程式の効果的解法
基本は線形近似
ニュートン反復
0 )
( x f
) ( '
) ) (
* (
x f
x x f
x
f
)
* ( x f
x
y=f(x)
x0 x1 x
x y
NXT
ニュートン法（続 き）
二次の収束
有効桁数が倍々で増加
速いが不安定
重根のときは遅い
要点
解の囲い込み：単根性を保証
安定な出発値：安定性を保証
RTN
ニュートン法に対す る 良い出発値
囲い込み
仮定その１（根の存在）
仮定その２（単調増加、下に凸）
安定な出発値＝解の上界
R
L x x
x
x L f x R
f 0
0 )
( '' ,
0 )
(
'
x x f x f x
x L R
RTN
修正緯度方程式に 対する応用
準備
2
2 3
2 5
( )
(0) 0
'( ) 0
''( ) 3 0
f t zt Ct p
g t
f p f
f t z Cg
g t
f t Cgt
g t
RTN
修正緯度方程式に
対する応用（続き）
ニュートン反復
安定な出発値＝解の下界
*
0 0 (0)
/
t f p
z C g
2 3 3
*
2 3
( ) ( )
'( )
p g t Ct
f t t f t
f t z g t Cg
RTN
速度と加速度
速度＝位置の時間変化
加速度＝速度の時間変化
加速度変化率（ Jerk ）
2 3
2 3
d d d
, ,
dt dt dt
x x x
v a j
RTN
球座標系での速度
d d d d
dt dt dt dt
r r
r r
v v v
x x x x
v
e e e
d d d
, , cos
dt dt dt
r
v r v r v r
ベクトル表現
成分表現
RTN
球座標系の三つ組
sin
sin cos
cos cos
r
r e x
cos
sin sin
cos 1 x sin
e r
0 cos sin cos
1
e x
r
RTN
回転楕円体座標系で の速度
d d d
dt dt dt
h hh v v v
h
x x x
v e e e
2 2 2 3
d d d
, , cos
dt dt dt
, 1
1 sin
h M N
M
v h v v
a e
M h M
e
ベクトル表現
成分表現
RTN
回転楕円体座標系の 三つ組
sin
sin cos
cos cos
h
h e x
cos
sin sin
cos 1 x sin
e
M
0 cos sin cos
1
e x
N
RTN
回転楕円体座標系で の曲率半径
卯酉線曲率半径＝東西方向の曲率半径
子午線曲率半径＝南北方向の曲率半径
2 2
32
sin 1
1
e
e M a
2 2
sin 1 e
N a
d cos d sin
sin , cos
d d
N Z
M M
e N h
h
N
ZN
, 1
2
h
M
M
RTN
慣性系
慣性の法則が成り立つ座標系
（ニュートンの）慣性の法則
力が働かない物体は等速直線運動する
ガリレイの相対性原理
すべての慣性系において物理法則は不変
座標系原点の平行（＝等速直線）移動
慣性系を慣性系へ
RTNRTN
座標原点の平行移動
クェーサー（静止）座標系の中の銀河中 心
宇宙膨張
銀河座標系の中の局所静止原点
局所静止原点 Local Standard of Rest ＝太陽系重心
局所的運動の様相：オールトの定数
RTN
座標原点の平行移動
（続き）
太陽系重心座標系の中の地球重心
惑星暦
地心座標系の中の平均的地殻
地球回転
地球座標系の中の観測者
地表（＝平均的地殻）に固定
地表に対して運動（人工衛星、航空機）
RTN
天体暦と航海暦
複雑な天体運動を記述した数表
惑星、月、衛星、小惑星の軌道運動
惑星・衛星の自転運動
米英暦 Astronomical Almanac (US+UK)
天体位置表 Japanese Ephemeris
DE シリーズ (NASA/JPL), DE413/408
もっとも精密、計算機上で利用可能
RTN
空間座標変換の理論
一般座標変換
新座標についてのテイラー展開
x t
X X
x k j j k ,
k k
jk j
k
k k
j j
j
x t B
t A
x x t
t X X
X
3 1
3 1
, 0 ,
0
RTN
線形座標変換
x
A
X t B t
一般アフィン変換
静的： 12 パラメーター変換
x A
X B
RTN
係数行列の分解
D S B
拡大縮小＝対角成分
ずれ＝非対角成分＋対称成分
無限小回転＝非対称成分
k
jk 0 if j D
S
jk S S
kj jk 0 if j k
kj jk
RTN
7 パラメーター座標変 換
ほとんど似た座標系同士の変換
スケール変換＝等方性拡大・縮小
原点移動
無限小回転
例：複数の地心座標系同士の変換
世界測地系（ ITRFnn, WGS84, GRS80 ）
旧日本測地系
x
X
X 0 s I
RTN
天体の運動
静止：クェーサー
線形運動：恒星
自転運動：地球、月、衛星
ケプラー軌道：連星系
準ケプラー軌道：小惑星、衛星
複雑な軌道運動：惑星、探査機
RTN
静止天体
クェーサー：実質上静止
位置表現
元期 Epoch
（元期における）平均位置
（元期における）視差
クェーサー星表： IAU, ICRFnn t 0
0 , 0
0
線形運動
通常、視線方向は別扱い
固有運動＝球面上の線形運動
t x 0 v 0 t t 0
x
sin sin cos
cos cos
r
x
0
0 0 0
t t
V r
r
R
星表
元期、（元期における）平均位置と視差
固有運動
視線速度
天体物理学的情報
光度、色、変光性、…
位置天文学的星表
HIPPARCOS, FKn, PPM, AGKn
,
V R
回転運動
回転＝直交変換
無限小回転＝ベクトル積
有限回転＝行列
オイラーの定理
基本回転
角速度ベクトル
RTN
直交線形変換
ユークリッド空間上の距離不変
回転：一種の線形変換
直交性
X 2 x 2 x X
R
T T
T
R R
I R
R
R R
R
1 T 2
2
or
-
x x
x
x
有限回転
表現方法：行列、スピノル、四元数
回転操作＝ある種の行列の掛け算
回転行列＝一次独立な基底ベクトル
＝（座標系の）三つ組
e X e Y e Z
R
X
Y
Z
オイラーの定理
任意の有限回転＝基本回転行列の三重積
オイラー角＝三つの基本回転角
, , k ( ) j ( ) i ( )
ijk R R R
R
R
R ijk , , 1 R kji , ,
基本回転操作
z - 軸周りに角度 線線 線線線線
) (
)
3 ( R z R
線
X
Y
y P x
基本回転操作（続き）
（任意の） j - 軸周りに角度 線線 線線線線
逆回転
) (
R j
R j 1 R j
基本回転行列
例：赤道・黄道座標変換
黄道傾角
1 0
0
0 cos
sin
0 sin
cos )
3 (
R
R 1
基本回転行列（続 き）
微小角近似
j
j j j
j
j e
e
I R
I I
R 3 3
0 0
0
0 0
0
0
オイラー回転
オイラー角の組み合わせ： 3x2x2=12 通り
3-1-3 系列（＝ X 用法）
最も有名 （いわゆるオイラー角）
R 自転運動の力学で多用 313 , , R 3 R 1 R 3
RTN
3-1-3 オイラー回転行 列
C C
S S
S
S C C
C C S
S S
C C C
S
S S C
C S S
C S
C S C
C ,
313
, R
cos cos
sin sin
sin
sin cos
cos cos
cos sin
sin sin
cos cos
cos sin
sin sin
cos cos
sin sin
cos sin
cos sin
cos
cos
オイラー角（ 3-1-3 系 列）
X
Z
Y N
P
線
線
線
3-1-3 系列の欠点
, , 0
313 I
R
微小角の場合の縮退
解決策
3-2-1 風の（添え字がすべて異なる）系列
3-2-3 系列
別名 =Y 用法、例 : 歳差行列
らせん回転＝固定軸周りの回転
cos sin sin
cos sin
n
323 , , I+ sin n 1 cos n n R
A A z A
R 323 , ,
P
他の系列
1-3-1 系列：章動行列
2-1-3 系列：極運動＋恒星時回転
1-2-3 系列：航空力学、衛星の姿勢制御
最も望ましい
R 131 A , , A N
y p x p
R 312 , ,
WS
回転操作と速度の変 換
X x
V v x
v x vω x R
R dR
dt R
R
角速度ベクトル
d d
dt dt
j j j j
j j
j
j j
e eω
R R I R
d dt
j
j j
ω e
無限小回転
反対称行列＝軸性ベクトルに等価
ベクトル積の正しい解釈
x θ
x
0 0
0
x y
x z
y z
z y x
θ
微小角回転の例
I
R R
R R
C C
S C S
S C C
S S C
C S
S S C
S
S S C
S C C
S S
S C C
C
) ( )
( )
( ,
,
3 2 1123
地球回転
地球座標系と地心座標系の変換の基本
日周運動 S… 回転角 UT1
極軸の運動
準日周 : 極運動 W
準日周以外：歳差 P + 章動 N
行列表現
WSNP
R
歳差・章動
地球の極軸の運動（準日周以外の周期）
表現：黄道座標系では２成分
黄経、黄道傾角
歳差＝超長期周期運動
50 秒角 / 年 , 周期約２万６千年
章動＝比較的短期の周期運動
18.6 年（＝章）、半年、 9.3 年、 …
新章動モデルへ移行中 Ecliptic
Ecliptic
z Pole
歳差
発見：ヒッパルコス (~150BC)
旧歳差モデル： IAU1976
Lieske 他 (1976, A&A)
力学部分：ニューカム
惑星質量の補正
測地線歳差を加味
理論：黄道座標系で構築
実用：赤道座標系で表現
歳差（続き）
赤道座標系での３つの歳差角
単位： 1 秒角
T =(JD-2451545.0)/36525
A A z A
R 323 , , P
3 2
018203 .
0
041833 .
0
017998 .
0
09468 .
1
42665 .
0
30188 .
0
2181 .
2306
3109 .
2004
2181 .
2306
T T
T z
AA A
歳差の近似表現
歳差行列の近似
赤経・赤緯の補正
1 0
0 1
1
A A
A A
P A A z A
tan sin , cos
P A A P A
歳差の近似表現（続 き）
歳差角の近似
赤経・赤緯の歳差
赤経・赤緯の補正公式
T n T
m P A P
A
,
/jy
"
3109
".
2004
, /jy
"
4362 .
4612
P
P n
m
n m P n T T
P
P P
P
cos
, sin
tan
章動
発見： Bradley (1747)
旧章動モデル IAU1980
Seidelmann 他 (1981, CM)
剛体地球： Kinoshita (1977, CM)
