２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
フーリエ変換と逆変換
u
v
F.T.∫ ∫
−∞∞ ∞ ∞ − − + = f x y j ux vy dxdy v u F( , ) ( , )exp{ 2π( )}連続系
離散系
∑∑
− = − = + − = 1 0 1 0 } / ) ( 2 exp{ ) , ( 1 ) , ( N x N y N vy ux j y x f N v u F πx
y
)
,
(
x
y
f
)
,
( v
u
F
I. F.T. ) , ( vu F ただし，ここで は絶対値を とって画像化∑∑
− = − = + = 1 0 1 0 } / ) ( 2 exp{ ) , ( 1 ) , ( N x N y N vy ux j v u F N y x f π順変換
逆変換
, , , x y u v は整数２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
∑∑
− = − =+
−
=
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N x N yN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
π
}
/
)
(
2
exp{
−
j
π
ux
+
vy
N
)
,
(
x
y
f
対応する画素ごとに積をとって 最後に総和をとる．はどんなパターンか？
それでは
exp{
−
j
2
π
(
ux
+
vy
)
/
N
}
離散系での説明２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
)
(
2
sin
)
(
2
cos
)}
(
2
exp{
−
j
π
ux
+
vy
=
π
ux
+
vy
−
j
π
ux
+
vy
に注目して考える． のうち，実部cos2π (ux + vy) を与える． この直線は なる． の直線は以下のように 1 2 cos ,... ,..., 2 , 1 , 0 = = + n n vy ux πx
y
u / 1 v / 1 v / 2 v / 3 れる． 『空間周波数』と呼ば を与える． は空間的な波の周波数 ⇒ ) , (u v 方向の周波数成分 方向の周波数成分 y v x u : : 「間隔が大きい」 が小さい」 「 となる． で 軸上に注目すると）， （すなわち とおくと において， ⇔ =⇔ = = = = + u ux u u x ux x y n vy ux 1 ) cos( ,... / 2 , / 1 , 0 ... 2 , 1 , 0 0 ,... ,..., 2 , 1 , 0 u / 2連続系の表現
２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
exp{ 2 (−j π ux vy+ ) / } cos[2 (N = π ux vy+ ) / ]N − j sin[2 (π ux vy+ ) / ]N
cos[2 (π ux vy+ ) / ]N のうち，実部 に注目して考える． ( ) / 0,1,2,..., ,... cos 2 1 ux vy N n n π + = = の直線は以下のようになる． この直線は を与える．
x
y
/ N u / N v 2 /N v 3 /N v れる． 『空間周波数』と呼ば を与える． は空間的な波の周波数 ⇒ ) , (u v 方向の周波数成分 方向の周波数成分 y v x u : : ( ) / 0,1,2,..., ,... 0 / 0,1,2... 0, / ,2 / ,... cos( / ) 1 ux vy N n y x ux N x N u N u ux N u + = = = ⇔ = = ⇔ において， とおくと （すなわち 軸上に注目すると）， で となる． 「 が小さい」 「間隔が大きい」 2 /N u離散系の表現
空間周波数の例
) ( 2 cos π ux + vy ,... 2 , , 0 ,... 2 , 1 , 0 0 / D y x D D x vy ux + = + = ⇔ = x y 例１） D 2 ) 0 , / 1 ( ) , (u v = D D x y D ) 0 , / 2 ( ) , (u v = D 例２） ,... 2 / 3 , , 2 / , 0 ,... 2 , 1 , 0 0 / 2x D y x D D D vy ux + = + = ⇔ = D 2連続系の表現
空間周波数の例
cos[2 (π ux vy+ ) / ]N ( ) / / 0,1,2,... 0, , 2 ,... ux vy N x N x N N + = = ⇔ = x y 例１） 2N ( , ) (1, 0)u v = N x y ( , ) (2, 0)u v = 例２） ( ) / 2 / 0,1,2,... 0, / 2, , 3 / 2,... ux vy N x N x N N N + = = ⇔ =離散系の表現
2N N 1 1 0 0 1 ( , ) N N ( , )exp{ 2 ( ) / } x y F u v f x y j ux vy N N π − − = = =∑ ∑
− +演習
) ( 2 cos π ux + vy x y u v D / 1 D A B 例題２ 上図A,B,Cの位置に対応する空間周波 数のパターン（余弦波）をスケッチ しなさい． 例題１ 下の図に対応する余弦関数を式で書き なさい．ただし黒い線は１の値をもち， 余弦関数の最大値を描いているものと する． また，その空間周波数の位置をuv平面 上に図示しなさい． 5 / D D / 1 D / 2 C連続系の表現
演習
cos[2 (π ux vy+ ) / ]N x y u v 1 N A B 例題２ 下図A,B,Cの位置に対応する空間周波 数のパターン（余弦波）をスケッチ しなさい． 例題１ 下の図に対応する余弦関数を式で書き なさい．ただし黒い線は１の値をもち， 余弦関数の最大値を描いているものと する． また，その空間周波数の位置をuv平面 上に図示しなさい． / 5 N 1 2 C離散系の表現
←画像サイズ ３フーリエ変換演算のまとめ
One-comonent Imagex
y
u
v
x
y
0 1 2 3
0
1
2
3
u
v
x
y
x
y
x
y
∑∑
− = − =+
−
=
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N i N jN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
π
0 1 2 0 1 2フーリエの合成のデモ
順次，高周波数成分を 追加していく． Manhattan distanceで Dm=3のスペクトルu
v
u
v
F.T. F( vu, )フーリエの合成のデモ（つづき）
Dm=3まで Dm=10まで Dm=6まで u v u v u v u v２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対(1)
1 ) , ( ) , ( ) , (x y = x y ⇔ F u v = f δ x u ) , ( ) , (x y x y f = δ 1 ) , (u v = F ０の関数． で無限大になり，他で 0 , 0 : ) , (x y x = y = δ ２変数のデルタ関数： ０の関数． で無限大になり，他で b y a x b y a x− , − ): = , = ( δ y v代表的な２次元フーリエ変換対(2)
) ( sinc ) ( sinc ) , ( ) ( rect ) ( rect ) , (x y x y F u v u v f = ⇔ = x u y v x u 0 u 0 u − 0 0 v 0 v − v y u / 1 2/u v / 1 v / 2 v / 3 v / 4 )} , ( ) , ( { 2 1 ) , ( )] ( 2 cos[ ) , (x y u0x v0y F u v u u0 v v0 u u0 v v0 f = π + ⇔ = δ − − +δ + +代表的な２次元フーリエ変換対(３)
2 2 ) ( ) , ( r x y d r circ y x f = = + u v J1: ベッセル関数 x y d x u )] ( exp[ ] exp[ ) , ( 2 2 2 y x r y x f + − = − = π π y v 2 2 1 2 , ) ( ) , ( u v d d J d v u F = ρ = + ρ π ρ π π )] ( exp[ ] exp[ ) , ( 2 2 2 v u v u F + − = − = π πρ Gauss関数２次元フーリエ変換の計算例
－矩形1－
) ( sinc ) ( sinc ) , ( ) ( rect ) ( rect ) , ( F u v au bv b y a x y x f = ⇔ = 6 , 12 = = b a２次元フーリエ変換の計算例
－矩形1－
) ( sinc ) ( sinc ) , ( ) ( rect ) ( rect ) , ( F u v au bv b y a x y x f = ⇔ = 24 , 6 = = b a 24 , 6 = = b a 64 , 6 = = b a 64 , 6 = = b a２次元フーリエ変換の計算例
－円形1－
2 2 ) ( ) , ( r x y d r circ y x f = = + ( , ) 2 1( ), u2 v2 d d J d v u F = ρ = + ρ π ρ π π２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
離散フーリエ変換の概念
－まずは１次元－
x u ) 2 /( 1 d 1/d ) (u F 0 ) (x f u 0 ) / ( comb ) ( ) (x f x x d fs = ⋅ x x ) / ( comb x d d d 掛け算 u ) ( comb ) ( ) (u F u du Fs = ∗ 0 ) ( comb du 元の連続信号 フーリエ変換対 サンプリン グの関数 離散信号 D D 1 周期Dの正弦波 （余弦波）の成分 Ｄの範囲に対して，基底関数を掛けてフーリエ成分を計算しているということは， 暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる．∑
− = − = 1 0 ) / 2 exp( ) ( 1 ) ( N x N ux j x f N u F π一般に，赤枠のように，原点が中央になるよう に配列し直して表示する方がわかりやすい． x y u v u v ２次元フーリエ変換 および振幅（絶対値） の対数変換表示 2DＦＦＴの結果は図のように原 点を端として切り出されたスペク トルと解釈できる．
