格子上の超対称ゲージ理論

格子超対称性の最近の進展について

- 格子で調べるブラックホールの量子的性質 -

第一回愛媛大学素粒子論研究室合宿

＠ えひめ青少年ふれあいセンター

2016年10月28日(金)-30日(日)

加堂大輔

(慶應義塾大 自然セ)

28日 格子場の理論と格子超対称性

29日 杉野の格子超対称作用について

30日 格子を用いたゲージ重力双対性の数値的検証

全体のトークプラン

・・・ 場の理論、格子理論、格子超対称性の導入 ・・・ 低次元の超対称ヤンミルズ理論における双対性の検証 ・・・ 格子超対称性と格子超対称ゲージ理論の実現方法

講義１：

格子場の理論と格子超対称性

格子超対称性の最近の進展について

2016年10月28日

講義１のトークプラン

１．場の量子論

２．格子上の場の理論

３．格子超対称性の難しさとその解決策

４．格子超対称性の歴史

素粒子

標準模型

電弱理論(ワインバーグ-サラム理論) → 量子電磁力学(QED) ＋ 弱い相互作用 量子色力学 (QCD)

場の量子論

 量子論 + 特殊相対論

 電磁場のように素粒子も場で記述

場の量子論

シュレディンガー方程式 相対論的な場の方程式 非相対論 クライン-ゴルドン方程式 ・・・ ボーズ粒子 ディラック方程式 ・・・ フェルミ粒子 相対論 自然単位系

クライン-ゴルドン方程式

オイラー-ラグランジュ方程式

クライン-ゴルドン方程式 作用

ディラック方程式

（ディラックの代数） ガンマ行列

 量子力学

 場の理論の経路積分

経路積分による量子化

可能な径路を すべて足しあげる 関数の“配位“をすべて足しあげる 分配関数 作用 物理量 の期待値

量子電磁力学 (quantum electrodynamics, QED)

: 光子の場 （ゲージ場） ： 電子の場 ： 電子の質量 ： 電磁相互作用の結合定数 場のテンソル 光子の運動 電子の運動 光子と電子の相互作用 作用は次の局所ゲージ変換で不変

マクスウェル方程式の導出

マクスウェル方程式

 自由場での計算

 摂動計算 (結合定数 に関する展開)

２点関数の計算

このように場の理論の計算ができる

（ のとき有効、ゲージ固定 ＆ 繰り込み）

計算できる関数

ファインマングラフ

ファインマン則

ファインマングラフを用いた計算

伝統的な摂動計算は、

 クォークの閉じ込め

 カイラル対称性の自発的な破れ

 漸近自由性

強い相互作用の物理

量子色力学 (quantum chromodynamics, QCD)

グルーオン場（ゲージ場） クォーク場 （実際には６種類ある） SU(3)ゲージ群の生成子 共変微分 リー代数 ￥ 場のテンソル

 SU(3)のゲージ変換

 作用のゲージ不変性

ゲージ不変性

 無限自由度の非線形問題

 低エネルギー領域で相互作用が強い

→ 摂動展開ができない

ＱＣＤを解くのは難しい

格子ゲージ理論を用いて

摂動展開をせずにQCDを数値的に解く

運動方程式が非線形 無限個の積分

格子について

サイト（ ）上かリンク（ ）上で場が定義される

： 方向の単位ベクトル

(前方差分)

格子間隔 格子サイズ

 ユークリッド化

 格子計算

格子場の理論

“実で正” 有限自由度系 実正のボルツマン因子 数値的なアプローチ _{場の量子論} 近似なしの第一原理計算！

格子スカラー場の理論

c.f. 連続のスカラー場の作用 分配関数 格子点に関する和 (前方)差分 有限個の積分 計算機で扱える

 ナイーブなフェルミオン作用

 ダブリング問題

フェルミオンの格子化

前方差分 後方差分 ダブラーモード 連続理論 物理的な極 ダブリング問題を“避けた”いろいろな格子フェルミオンが定義できる (ウィルソンフェルミオン、スタガードフェルミオン、オーバーラップフェルミオン,…) 運動量表示

Wilson フェルミオン

c.f. ニールセン二宮のNo-go定理 「カイラル対称性を壊さずにダブラーはなくせない」 ・ ダブラーのない単一の物理的なモード ウィルソン項 ・ 一方、カイラル対称性は壊れている(連続極限で回復) 持ち上がる

 Wilson ループ

 共変微分

ゲージ場の格子化

 格子ゲージ場 (リンク場)

 共変差分

 格子上で厳密にゲージ不変なフェルミオン作用

格子上のゲージ不変性

（例） Wilsonフェルミンの差分を共変差分に置換すれば良い 共変微分に一致 リンク上で定義 連続のゲージ変換に一致

 プラケットゲージ作用

 連続極限

格子ゲージ場の作用

作用はゲージ不変

 プラケットゲージ作用 + Wilson フェルミオン

 実際の計算では、O(a)改良されたWilsonフェルミオン、他の

格子フェルミオン作用、格子ゲージ作用（およびそれらの改

良版など）が用いられている。

格子ＱＣＤ

群上の一様積分(Haar測度)

 シンプルなアイデア

 Importance sampling

配位 を確率 で生成

数値計算の方法

ランダムに配位 を生成して平均 非効率的 鋭いピーク ： 重要な配位だけ効率よく積分 ほとんどの場所でほぼゼロ

 マルコフチェイン

 詳細釣り合い条件を満たすマルコフチェイン

確率 で配位を生成する方法

[定理] 詳細釣り合いの条件式 を満たすマルコフチェインの遷移確率は、十分な回数遷移後 となる 確率変数の状態 遷移確率 が現在の状態 だけで決まっている

詳細釣り合いを満たす遷移を与えれば良い

3. (分子動力学) 仮想的な時間 を導入し、次の運動方程式を積分 4. 最後にできてきた を次の確率で受け入れ 2. ガウス型の重み で をランダムに生成

ハイブリッドモンテカルロ法

詳細釣り合いを満たすマルコフ鎖 1. 初期の配位 は離散化して積分

QCDの質量スペクトル

当時の日本の計算

陽子・中性子の質量差

BMW collaboration (Fodor et al.), Science 347 (2015) 1452-1455

３．格子超対称性の難しさ

& その解決策

 フェルミオンとボソンを入れ替える対称性

 相対論的な場の理論で許される不変性

超対称性 (supersymmetry, SUSY)

スピノルの添え字 ポアンカレ対称性 ＋ 内部対称性 ＋ 超対称性 Haag–Lopuszanski–Sohniusの定理(1975) Coleman-Mandulaの定理(1967)

場の理論に自然に宿っている不変性

1. 標準模型を越える新しい物理

2. 超弦理論

3. 理論的予想

超対称性の動機

大山鳴動して鼠(?)一匹 ＬＨＣ ヒッグス粒子のみ？ ヒッグス質量の２次発散の相殺 大統一理論、…. 非摂動論的な超対称性の破れの機構 重力の量子化、万物の理論 サイバーグ双対性、サイバーグ・ウィッテン理論、AdS/CFT対応、…..

格子を用いて超対称理論を非摂動的に解き

そのダイナミクスを明かにする

格子超対称性の難しさ (古典論レベル)



連続理論の超対称性



格子上でのナイーブな超対称変換

ライプニッツ則(微分の分配則) ： 差分 加藤-坂本-宗のNo-go定理 (2008) 「いかなる局所的な差分を用いても格子上でライプニッツ則は成り立たない」

２つの超対称変換で作用は不変

超対称量子力学

ボソン フェルミオン 補助場 の任意の関数 : グラスマンのパラメータ

超対称不変性

ナイーブな格子超対称量子力学

（前方差分)

格子上での超対称変換

 ライプニッツ則の破れ

 超対称不変性の破れ

 ナイーブな連続極限 で超対称性は回復

 この回復は量子論レベルでは一般に起きない

格子超対称性の難しさ (量子論レベル)

で生き残る 超対称性を破る相互作用 ループ積分由来の発散 超対称性を破るグラフ で消える ノンゼロ

(1) 完全な格子超対称性の実現？

(2) 係数の微調整

(3) 対称性を部分的に実現

解決策： ３つのアイデア

→ 理論的に難しい

→ 数値計算のコストが大きい

→ 連続極限で全ての超対称性が回復できればよい

部分的対称性で禁止 で消える

(主流)

部分的な超対称性の実現

連続の超対称作用 格子化 超対称性が壊れた 格子作用 ライプニッツ則 Q-exactな作用 (Qはベキゼロの超対称チャージ) ライプニッツ則の 格子上での破れ Q-exactな格子作用 格子化 量子論的な 連続極限 量子論的な 連続極限

×

×

 Ｑ変換（ ）

 Q-exact 作用

超対称量子力学のQ-exact作用

ライプニッツ則なしで作用はQ変換で不変

 格子Ｑ変換

 格子作用

格子超対称量子力学

一つ分の超対称不変性(Q不変性)を保つ

格子上で

格子ライプニッツ則とNo-go定理

格子化

この関係式を満たす局所的な はない [加藤-坂本-宗のNo-go定理] ライプニッツ則

 CLRの発見

 超対称量子力学の美しい定義

 課題は２次元以上やゲージ理論での関係式の発見

巡回ライプニッツ則 (cyclic Leibniz rule, CLR)

[Kato-Sakamoto-So, 2013]

（相互作用項と運動項が別々に不変） c.f. CLRの一般解 [D.K.-Ukita, 2015]

1970年代初頭 場の理論としての超対称性

&

1974 格子ゲージ理論

1977 格子超対称性の最初の論文

1983 Wess-Zumino模型の格子定式化

Wilson, PRD10(1974)2445

Dondi and Nicolai, Nuovo Cim. A 41(1977)1

Sakai and Sakamoto, NPB229(1983)173 c.f. Cecotti and Girardello, NPB226(1983)417



 格子定式化法と数値テストの良い試験場:

２次元のN=(2,2)のWess-Zumino模型

c.f. Nicolai写像 不変性を格子上に実現できる 超ポテンシャル などの複数の関連論文あり

Sakai and Sakamoto (1983), Elitzur and Schwimmer (1983)

Beccaria, Curci, D’Ambrosio (1998), Catterall and Karamov (2002), Catteral (2003), Kikukawa and Nakayama (2002), Fujikawa (2002), Giedt (2005), Bergner, Kaestner, Uhlmann,Wipf (2007), Bergner (2009), D.K. and Suzuki (2010), …….

……

Wess and Zumino, NPB70(1974)39

 IR固定点上でSCFT？

WZ模型の数値シミュレーション

カイラルプライマリー場 のコンフォーマルウェイト

c.f. Kamata and Suzuki, NPB854 (2012) 552

Kawai and Kikukawa, PRD83(2011)074502

1970年代初頭 場の理論としての超対称性

&

1974 格子ゲージ理論

1977 格子超対称性の最初の論文

1983 Wess-Zumino模型の格子定式化

Wilson, PRD10(1974)2445

Dondi and Nicolai, Nuovo Cim. A 41(1977)1

Sakai and Sakamoto, NPB229(1983)173 c.f. Cecotti and Girardello, NPB226(1983)417

格子超対称性の歴史（2000年の前まで）

1996 4次元 N=1 SYMの格子計算

 D=4 N=1 SYM

 ウィルソンフェルミオン

 質量の微調整なしの計算

4-次元 N=1 SYMの格子計算

カイラル極限 = 超対称極限 マヨラナフェルミオン ゲージ場

の微調整 Montvay, NPB466(1996)259 _{DESY-Munster collaboration}

Curci and Veneziano, NPB292(1987)555 Suzuki, NPB861(2012)290

ドメインウォールフェルミオン: Endres, PRD79(2009)094503

 最も軽い束縛状態の質量スペクトル

DESY-Munster collaborationの最近の結果

JHEP 1311 (2013) 061

束縛状態は超対称ペアを組む

fermionic bound state bosonic bound state

c.f. Veneziano and Yankielowicz, PLB113(1982) 231

2003 超対称ヤンミルズ理論の格子定式化法の発見

格子超対称性の歴史 （2000年以降）

Cohen-Kaplan-Katz-Unsal, Sugino ・ 幾つかの超対称不変性を格子上に実現 ・ 関連する理論の定式化や他の定式化法

Kaplan and Unsal (2005), Unsal (2008), Catterall (2005) D’Adda, Kanamori, Kawamoto and Nagata (2006)

Kikukawa and Sugino (2008), D.K., Sugino and Suzuki (2009), Matsuura and Sugino (2014), …

D=2 係数の微調整なし

 2次元 N=(2,2) SYM

超対称性の破れ

真空のエネルギー = 超対称性の破れのオーダーパラメータ

(破れたときにノンゼロ)

格子上で厳密に実現 超対称性は破れない

Kanamori, Suzuki and Sugino, PRD77(2008)09502, PTEP119(2008)797, Kanamori, PRD79(2009)115015

格子超対称性のトレンド

D=N=2 WZ 模型 の格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 超対称ゲージ理論の 格子定式化法 “INSPIRE” ： 格子で超対称性を議論した論文数 超対称粒子の探索 LHC(2008-)

超対称ゲージ理論の 格子定式化法

格子超対称性のトレンド

超対称粒子発見されず ヒッグス粒子だけ…? LHC(2008-) D=N=2 WZ 模型 の格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 “INSPIRE” ： 格子で超対称性を議論した論文数

格子超対称性のトレンド

LHC危機? LHC(2008-) D=N=2 WZ 模型 の格子定式化法 超対称ゲージ理論の 格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 “INSPIRE” ： 格子で超対称性を議論した論文数 超対称粒子発見されず ヒッグス粒子だけ…?

格子超対称性のトレンド

ビッグウェーブ?

D=N=2 WZ 模型 の格子定式化法 超対称ゲージ理論の 格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 “INSPIRE” ： 格子で超対称性を議論した論文数

講義２：

杉野の格子超対称作用について

格子超対称性の最近の進展について

2016年10月29日

講義２のトークプラン

１．超対称ヤンミルズ理論に対する杉野の格子作用

２． Tree-level O(a)改良と厳密な超対称性

１．超対称ヤンミルズ理論に対する

杉野の格子作用

２次元のN=(2,2)の超対称ヤンミルズ理論

： ゲージ場 ： 複素スカラー場 ： 実の補助場

： ２成分のディラックフェルミオン

変数変換

Q-exactな作用

Q不変性はゲージ不変性より明白に成立

（連続理論ではその他の３つ分の不変性も存在） Q変換

格子化

２次元連続時空 _{２次元格子 格子点}

 ゲージ変換

 共変微分と共変差分

 場のテンソルとプラケット

Q-exactな連続理論の作用

Q変換

杉野の格子作用

格子上でも一つ分の

超対称不変性を厳密に実現 格子上のQ変換

 格子上のQ変換

 冪ゼロ性

 ナイーブな定義と真空の縮退問題

 修正された定義

の定義が複雑な理由

（ , －１は余分な真空） 連続極限で望ましい 真空 のみ

摂動論的な超対称性の回復

量子補正で次元 の演算子 が生成されたとする でレレバントなのは U(1)対称性で禁止 U(1)とQ対称性で禁止

摂動論的には超対称性を破る演算子は生成されない

 2次元N=(2,2) SYMでの超対称ウォード高橋恒等式

非摂動的な超対称性の回復

[Kanamori-Suzuki, 2008]

摂動論を越えてすべての超対称性が連続極限で回復する.

２．Tree-level O(a)改良と厳密な超対称性

M. Hanada, D.K., S. Matsuura, and F. Sugino, 論文準備中

 計算結果の精度の向上

 杉野作用のナイーブな連続極限

杉野格子作用のO(a)改良

M. Hanada, D.K., S. Matuura, and F. Sugino, 論文準備中

連続極限に近い作用に改良したい

 ナイーブな連続極限

 変換

 の部分

改良すべき場所

 中点処方

 ゲージ変換の連続極限

ゲージ場の中点処方

中点処方すると

 発見法での改良

 一般的には

Q変換の改良

矛盾のないＱ変換が作れるとき

には微小ゲージ変換 が定義されていることを仮定 与えられた が に対して と解けるとき は を満たす

補題

 補題の前提条件

 証明のポイント

与えられた を と書き直せる

証明のラフな説明

 改良前の格子Q変換

 改良されたQ変換の一例

補題の教え

があり得る 形式的には

ダメ

 望ましい

 の局所性もＯＫ

O(a)改良されたQ変換

c.f. overlap Dirac operatorの局所性 (Hernandez-Jansen-Luscher,1998) は局所的

可逆

Tree-level O(a)改良された杉野作用

格子上のQ変換

作用もQ変換も

改良作用のウルトラローカル版

の変数変換で

作用、Q変換ともにウルトラローカル

数値計算への応用が容易 格子上のQ変換

まとめ

 超対称性の動機

(1) 標準模型を越える物理

(2) 超弦理論

(3) 理論的興味

 格子を用いれば超対称性と関連した予想・非摂動効果を

数値計算によって明らかにできる

 格子超対称性の難しさ → ライプニッツ則の破れ

 超対称性の部分的実現は解決策の一つ

 数値応用は精密化の段階へ

✔

→ 部分的超対称性を保ったO(a)改良

✔

✔

✔

✔

未解決な課題

 ３、４次元における係数の微調整の不要な

格子超対称理論の定式化法の確立

 サイバーグ双対性やAdS/CFT対応等の理論的な予測

に対する格子計算による直接検証

 超対称理論の場合に有効となる複素作用問題の

一般的な解決策

 …….

未解決問題は枚挙にいとまがない

格子上の超対称性

N=1 N=2 N=4 D=4 N=(2,2) N=(4,4) N=(8,8) AdS/CFT N=2 SCFT Seiberg-Witten Theory Lower dimensional AdS/CFT”

SUSY Phenomenology

ゲージ重力対応

・ 強結合のゲージ理論(ラージ Nc 極限) ・ 超弦理論 曲がった時空上の古典重力 AdS/CFT対応 [1997, Maldacena] D-ブレーン 重力子(グラビトン)

： 閉じた弦

： 開いた弦

ゲージ粒子

ゲージ重力対応の応用

１． 超弦理論の非摂動的な定式化？

２． ブラックホールの量子論的性質の理解

“ブラックホールの情報喪失問題の解決への示唆”

３． ホログラフィックQCD, ホログラフィック超伝導,…

“強結合の問題を重力側から理解する”

しかし、ゲージ重力対応は予想である。

検証が重要

新しい研究分野の開拓

格子超対称性の進展

[2004~, カプラン,杉野,… ]

格子ゲージ理論を用いた

ゲージ理論 と 重力(超弦理論) をつなぐ新しい研究

ゲージ・重力対応

[1998, マルダセナ,...]

講義３：

格子を用いた

ゲージ重力双対性の数値的検証

格子超対称性の最近の進展について

2016年10月30日

トークプラン

１．研究動機

２．１次元SYMとゲージ重力対応

３．格子上の1次元SYM

４．ブラックホールの内部エネルギーと双対性の検証

５．２次元系への拡張

６．まとめと今後の展開

２．１次元SYMとゲージ重力対応



連続の作用



16個の超対称不変性

1次元超対称ヤンミルズ理論

: 16個の変換パラメータ : スカラー場 : ゲージ場 : フェルミ場

1次元SYMにおけるゲージ重力対応

IIA 型超弦理論のN D0-ブレーン解

16個超対称チャージを持つ１次元SYM

重力側からの解析計算

t

1996 Klebanov -Tseytlin

N D0-ブレーン

格子を用いてゲージ理論側からブラックホールの物理量を計算

双対性をチェックする。

ブラックホール ラージ

なぜ格子を使うのか？

思想： 格子理論は

_….

(1) 連続理論でできることは何でもできる

(2) 数値計算で手計算でできないこともできる

(3) 非摂動領域を調べる上でもっともパワフル

実際、QCDのときは成り立っていそう。 格子QCD : 摂動計算も可能。 ハドロン質量、崩壊定数は高精度で評価できる 陽子・中性子の質量差

格子でゲージ重力対応を調べるのも自然だろう

先行研究 (1) Non-lattice (格子ではない数値計算)

重力側の予言と あっているようだ。 ブラックホールの内部エネルギー 運動量シャープカットで正則化 温度

先行研究 (2) Lattice (格子計算)

重力側とあっていない……. 格子上に超対称性は残っていない。

格子超対称性は不要なのか？

格子の成果や進展はQCDに限られるのか？

non-lattice の立場が優れていることの証左なのか？

西村淳さん （PoS LAT2009 (2009) 016より引用）

花田政範さん （2010年頃のプレゼンスライドより引用）

「non-lattice simulations are indeed useful for studying supersymmetric

large-N gauge theories….」

「Lattice is not needed; momentum cutoff method is much more powerful.」 これは

“格子は必要ない”と言わない所が良いなあ

正則化された理論の持つ対称性

我々は、

杉野さんが提唱された格子作用

を用いる。

おかしい… 格子の方が残ってる対称性が高いようだ。 2つ 超対称性 ゲージ対称性 (BRST対称性) Non-lattice (西村さんら) Lattice (カテラルら) × × × ○ ○ Lattice (本研究)

３．格子上の１次元SYM



Q-exact 型の連続の作用



杉野の格子作用

杉野の格子作用

up to ゲージ変換 2つ分の厳密な超対称不変性 [2005, F.Sugino] 格子化 ２つ分の超対称チャージ

格子上の Q変換



連続理論



格子理論

ゲージパラメータ の 微小ゲージ変換 格子上で、 格子上のゲージ変換



HMC法

配位：



フェルミオンのダイナミカルな効果

 パフィアンの絶対値

 パフィアンの位相

シミュレーションの詳細

クエンチ ゲージ場 スカラー場 補助場 カットオフオーダーの４体フェルミ相互作用



超対称性の破れの源



カットオフ効果と温度効果の分離



超対称ウォード高橋恒等式

超対称ウォード高橋恒等式

超対称ウォード高橋恒等式を数値的に調べる c.f. 2007, 金森-鈴木, 2次元 N=(2,2) SYM (1) 温度 (2) 格子間隔 物理的 非物理的 超対称カレント 質量項由来の破れの項

 相関関数の比のプロット

超対称ウォード高橋恒等式の計算結果



連続極限



零質量極限

SUSY WTIの連続極限・零質量極限

・ カットオフによる超対称性の破れは、 連続極限で消え去っている。 ・ 零質量極限では、 ・ 格子間隔を3点に対する定数フィットで プラトー値の連続極限を取る。

４．ブラックホールの内部エネルギー

と双対性の検証



ブラックホールの熱力学

ブラックホールの内部エネルギー

第0法則 第1法則 第２法則 第３法則 熱力学 BHの熱力学 熱平衡で 一定 ：ブラックホールの質量 ：ホライズンの面積 ホライズンで表面重力 一定 に到達できない に到達できない (1) 重力側の計算 (2) ゲージ側の高温展開 (3) ブラックホール内部エネルギーの格子計算

重力側の解析的な計算 (1)

 10次元の重力理論 (string frame)

 古典解（Black 0-brane）

スカラー曲率 ディラトン R-R ベクトル 計量



Bekenstein-Hawking エントロピー



温度



ブラックホールの内部エネルギー



運動量表示



非零モード の摂動計算 ＋ 零モード の数値計算



ＮＬＯでの内部エネルギー

ゲージ側の高温展開

（行列模型） の高次 [川原-西村-竹内(2007)]



行列模型の数値計算による係数 の評価



Schwinger-Dyson 方程式



ＳＤ方程式との比較

ゲージ側の高温展開 -再考-

川原-西村-竹内(2007) 我々の再計算 川原-西村-竹内(2007) 我々の再計算 ？ 何事も確かめるのが良い

ブラックホールの内部エネルギーの格子計算

補助場(7個)の作用 川原-西村-竹内(2007), 加堂-鎌田(準備中) 高温展開(NLO,N=14) 重力側の解析解 (1996 Klebanov -Tseytlin)

低温領域

- 補正項を加えたフィット [西村氏らの非格子計算の結果(2009)] [重力の解析解] [我々の結果] [D.K. and S. Kamata (2015)]

NLOの寄与(西村氏らの結果)

この３点がフィット値を決定

(2) 低温でのずれはカットオフ効果のせいであるとして無視

(1) NLOが20-30％の領域で NNLOは？ ２大疑問点

NLOの寄与(我々の格子の結果)

カテラル-ワイズマンの格子計算

→ フラットディレクションの問題と関係

 ボソン作用とフラットディレクション

 SU(3) T=2.8

フラットディレクションの問題

定数で対角行列 “BH” “non BH” trajectory “BH” “non-BH”

 ポリアコフラインの分布

“相転移”？

“BH” “non-BH”



固定したまま低温に行くと…



フラットディレクションの配位を除外

カテラル-ワイズマン再考

白抜き： フラットディレクションの配位を手で除外 [Catterall-Wiseman, 2009] Catterall-Wiseman:

“The method is clearly ad hoc and difficult to justify,…”

第一原理計算に抵触 最大の カテラルら： 12 西村ら： 17 我々： 32 結果の違い に影響

花田らによる格子を用いた再計算

O(a)改良したカテラルの格子作用で再計算し、連続極限も取った

[Berkowitz, Rinaldi, Hanada, Ishiki, Shimasaki, Vranas (2016)]



連続の作用

２次元 N=(8,8) 超対称ヤンミルズ理論

: スカラー場 : ゲージ場 : フェルミ場

 不変な作用

c.f. 縮退のない作用 アドミッシブル作用[杉野] :

杉野の格子作用（２次元N=(8,8)SYM）

真空の縮退の問題

前方(+) / 後方(-)共変差分 型作用[杉野-松浦]などは、コード化が煩雑、計算コストも多少高い

 ナイーブな連続極限

 この議論が正当化されるためには、次の条件が必要

連続極限

差分に関する高次項を無視 格子間隔 プラケット ボソン部分の差分の高次項

 スカラー場がゼロ

 スカラー場がノンゼロ

縮退した真空の問題

滑らかでない配位 （ , －１は余分な真空） が を与える

縮退した真空は実際上問題ない

のヒストグラム ボソン作用の高次項

とすると

超対称ウォード高橋恒等式

２次元のN=(8,8) SYMの杉野作用は正しい連続理論を再現 プラトーの値

 E-P

 重力側の解析解

ブラックストリングの熱力学

の計算結果 （準備段階の結果）

E.Giguere and D.K., 準備中

高温側でゲージ理論の高温展開を再現

ゲージ理論の高温展開 [E.Giguere and D.K.]

低温領域

２次元SYMにおけるゲージ重力双対性

の妥当性を示唆している

まとめ

 格子でゲージ重力対応を検証

 2/16個の超対称変換を厳密に保つ杉野の格子作用を採用

 1次元，2次元で超対称ウォード高橋恒等式の数値計算

_{ 格子理論は望ましい連続理論を再現}

 1次元ＳＹMに双対なブラックホールの内部エネルギーの結果

- 高温展開の計算[川原-西村-竹内(07)]の修正 - 格子計算から

✔

✔

✔

✔

 1次元 SYMの計算

 2次元ＳＹＭの計算

 AdS/CFT対応の数値的な検証

本研究の今後の展開

- 内部エネルギーの結果の連続極限、最低次の係数7.41の説明 - パフィアンの位相の取り入れ - 1/N 補正の計算 …. - 相構造 - black string の内部エネルギーを格子計算から評価 ….

これまでの格子理論

QCDの閉じ込め 格子ゲージ理論研究 格子ゲージ理論研究に

未来

はあるか？ QCD QCD Fodor et al. [2014] “陽子-中性子の質量差を格子で計算” 格子ＱＣＤ研究の終わりの始まり？

格子の展望

“格子ゲージ重力対応” 素粒子論 _{重力 物性}

興味のある人は是非一緒にこの分野を盛り立てましょう

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