連立方程式2

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第２年Ａ組

数学科学習指導案

指導者教諭北野美保子展開場所少人数教室【研究主題】仲間と共に伸び伸びと主体的に学習に取り組む生徒の育成～言語活動を充実させる学習形態の工夫を通して～【努力点】学習形態を工夫して，基礎・基本の定着を図る１．単元名連立方程式２．単元について（１）単元観学習指導要領では，第２学年のＡ．数と式の目標として，「文字を用いた式について，目的に応じて計算したり変形したりする能力を養うとともに，連立二元一次方程式について理解し用いる能力を培う。」と明記してある。第１学年では，数の範囲を負の数まで拡張し，正負の計算法則を理解している。また，文字を用いて，数量の関係や法則などを式に表現したり，式の意味を読み取ったりできるようにしている。さらに，等式の性質を基本とした一元一次方程式について，その中の文字や解の意味を理解し，その解き方について学習している。第２学年では，これらの学習の上に立って，いくつかの文字を含む整式の四則計算を理解し，多項式の縦計算や式を変形することを学習している。本単元では，二元一次方程式とその解の意味や二元一次方程式を連立させることの必要性と意味および連立二元一次方程式の解の意味を理解し，解を求めることができるようにする。さらに，具体的な場面で連立二元一次方程式を活用する能力を育てることをねらいとしている。また本単元は，一次関数における二元一次方程式とグラフとも密接な関係があり，さらに第３学年の二次方程式へと発展していく。そのためにも，本単元内容の基礎・基本の定着を図り，しっかりと身につけさせたいと思う。＜この章と関連のある内容＞中学校２年１章式の計算 ●２つの文字をふくむ式の加減 ●２つの文字をふくむ式の値 ●等式の変形 ↓ 中学校１年中学校３年３章方程式２章連立方程式３章二次方程式 ●等式の性質 → ●二元一次方程式と連立方 → ●二次方程式の解の意味 ●方程式の中の文字や解の程式の解の意味 ●二次方程式の解き方意味 ●連立方程式の解き方 ●二次方程式の利用 ●一元一次方程式の解き方（加減法、代入法） ●方程式の利用 ●連立方程式の利用 ↓ ３章一次関数 ●２点を通る直線の式 ●二元一次方程式のグラフ ●２直線の交点の座標

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（２）生徒の実態（男子１名・女子３名計４名）＜数学アンケート＞１．数学の授業に意欲的に取り組むことができていますか。できているまあまあできているあまりできていないできていない１人２人１人０人２．数学の授業が楽しいと感じるのはどんなときですか。あてはまるものをすべて選んでください。 ①問題を読んでいるとき０人 ②問題を解いているとき０人 ③問題が解けたとき４人 ④答が合っていたとき３人 ⑤発表をするとき１人 ⑥友達の発表を聞くとき０人 ⑦友達と相談したり、教えあっているとき０人 ⑧先生の説明を聞いているとき０人 ⑨黒板に書かれたことをノートに書いているとき０人 ⑩計算をしているとき０人 ⑪ドリル練習０人 ⑫発展的な課題に取り組んでいるとき０人 ⑬問題を作りかえて、新しい問題を作るとき０人 ⑭それまでに学習したことをうまく使って問題を解決することができたとき２人 ⑮同じような問題を何度も繰り返し、それができるようになったとき３人 ⑯その他０人３．計算の学習は好きですか。その理由も簡単に書いてください。好きまあまあ好きやや嫌い嫌い１人０人２人１人＜アンケート結果から見た生徒の実態＞質問１の結果から，３人の生徒が「できている」，「まあまあできている」と答えた。初めて少人数クラスに分かれたときも，「先生，私がんばるからね。」と言ってくれた生徒がいた。質問３から分かるように，決して数学は好きでないと思われるが，授業には意欲的，まあまあ意欲的に取り組んでいると答えた生徒が多いことなどから，がんばろうという姿勢はうかがえる。質問２では，どんなときに数学の授業が楽しいと感じるかをきいた。①～④については，問題解決のどの段階を楽しいと感じているかを答える質問である。③や④と答えた生徒が多く，②と答えた生徒はいなかった。これは，楽しいかどうかは「できた」，「解けた」，「わかった」という結果が生徒にとっては大切であり，間違えてもよいからいろいろと試してみて，結果にたどりつくその過程を楽しむという感覚がないといえる。 ⑤～⑨は，授業のどの段階を楽しいと感じるかをきいたものである。「発表をするとき」と答えた生徒が１名いたものの，残念ながら，生徒にとって数学の時間は楽しいと感じる活動になっていないことがわかる。⑩以降の質問を見ても同様で，生徒にとっては「できる」，「解ける」，「分かる」ことがそのまま数学の授業が楽しいということにつながり，さらには次への意欲となる大切な要素といえる。質問３は「計算の学習が好きか」をきいたものである。他の分野に比べると一番取り組みやすいところだと思うのだが，結果は３名の生徒が「やや嫌い」，「嫌い」と答えた。「嫌い」の理由は「あってないから」，「難しいから」，「分からないときが多いから」というものであり，好きと答えた生徒の理由は「何か楽しいから」であった。このアンケート結果から，まずは生徒に「できた」，「解けた」，「わかった」という経験をさせることで，少しでも自信が持てるようにしていきたい。そして数学では，結果そのものも大切だが，結果にたどりつくまでの「過程」が実はとても大切であることに気づかせたい。

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５３＜実態調査の小テスト＞１．次の方程式のうち、３が解であるものをすべていいなさい。【正答者数１人／４人中】（１）ｘ－５＝８（２）５ｘ－９＝６（３）ｘ＋６＝４ｘ－３２．次の方程式を解きなさい。【正答者数】【誤答例】（１）ｘ＋１２＝９２人／４人中ｘ＝３（２）４ｘ＝－２４２人／４人中ｘ＝６（３）１人／４人中ｘ＝４（４）３ｘ＋２＝－７２人／４人中ｘ＝２（５）５ｘ＋１＝７ｘ＋３１人／４人中ｘ＝１，ｘ＝１２ｘ＋４（６）５ｘ＋３(ｘ－２)＝１８１人／４人中ｘ＝８ｘ＋１，ｘ＝３．１本８０円のボールペンと１本６０円の鉛筆を、あわせて１５本買い、代金を１１００円払いました。ボールペンをｘ本買ったとして方程式をつくり、それぞれの本数を求めなさい。【正答者数０人／４人中】＜実態調査の小テスト結果から見た生徒の実態＞１の問では，正しく処理できた生徒は１名だけであった。他の３名のうち２名は１つしか選んでおらず，１名は無記入であった。２の問は，一元一次方程式の基礎・基本といえる問題であるが，誤答として一番目立ったのは，移項や乗除の際の符号ミスである。しばらく方程式の学習から離れていて，等式の性質やその解き方を忘れてしまった生徒がいるようである。連立方程式は一元一次方程式を導いてから解いていくので，連立方程式の学習に入る前に，等式の性質や方程式の解き方をしっかりと確認する必要がある。３の問は，解けた生徒が１人もいなかった。３名は無記入であり，記入のあった１名も「（１００）－８０ｘ＋６０＝１５」という誤答であった。ただ，この問題は，本単元「連立方程式」では２つの文字を用いて解くことができるので，１つの文字だけで解かなければならなかった１年の方程式よりは解きやすい問題として生徒にとらえさせることができるのではないだろうか。授業では，あくまで一元一次方程式が基本になるので，問題を丁寧に扱い，「わかる」，「できる」という実感を持たせながら，今回の小テストの結果を有効に活用していきたい。（３）指導観本単元においては，以下の３点を指導の重点としたい。 ①連立二元一次方程式とその解の意味を理解させること二元一次方程式を成り立たせる二つの文字の値が，二元一次方程式の解であることを理解できるようにようにし，その解の意味は，第１学年で学習した一元一次方程式と本質的には変わっていないことを確認する。ただし，二元一次方程式の解は一つとは限らず，変数の変域によって無数にあることを理解させた上で，一元一次方程式の解が一つであったこととは異なることも確認する。そして，二つの連立させた方程式を解くことは，二つの方程式を同時に満たす値の組を求めることであることに気づかせていきたい。 ②連立二元一次方程式の解法を理解させること連立二元一次方程式を解くには，二つの文字のうち一方の文字を消去し，一元一次方程式を導けばよいことに気づかせ，既に学習している方法に帰着させて考えることのよさを味わわせていきたい（学び直しの機会としたい）。また，加減法と代入法のどちらの方法でも解けるようにし，連立方程式の形に応じて使い分け，形式的かつ能率的に解けるよさを実感させていきたい。 ③連立二元一次方程式は，問題解決のための有用な手段の一つであることを実感させること第１学年で一元一次方程式について学習している。しかし，変数が２つあるような場合には一方を他方の変数の文字で表さなければならない不便さがあった。現実の場面では，２つの変１８ｘ＝２

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数がなければ解決できなかったり，２つの変数を使った方が解決しやすかったりすることが多い。二元一次方程式の解は，２つの式を連立させることで１つに定まることに関心を持ち，日常的なさまざまな問題の解決に活用できるようにしたい。本校の今年度の研究主題は，「仲間と共に伸び伸びと主体的に学習に取り組む生徒の育成～言語活動を充実させる学習形態の工夫を通して～」である。また，数学科では，実態に合わせて習熟度による少人数指導に取り組んでいる。本単元では，計算処理能力だけにとらわれず，何を根拠にそのような計算をすることができるのか，どんな性質を使ったのかを生徒に意識させ，説明することができるようにし，論理的に話す訓練をすることもできる単元といえる。本校の「授業の五原則」のもと，一人ひとりの考えを発表し合い，お互いの考えを関連づけたり，比較したり，検討したりして，友達の考えのよさを認めたりすることで学習が深まることを強調していきたい。そして，数学を学ぶ楽しさに気づかせ，さらに意欲的に学習に取り組めるようにしていきたい。３．単元の目標・連立方程式を解くことに関心を持ち，具体的な事柄に活用しようとする。【関心・意欲・態度】・一元一次方程式に帰着させて，連立方程式の解き方を考えることができる。【見方・考え方】・加減法や代入法を用いて能率的に連立方程式を解いたり，文章題における数量の間の関係を連立方程式に表して文章題を説くことができる。【技能】・二元一次方程式や連立方程式に関する用語や記号，連立方程式を解く手順を理解している。【知識・理解】４．指導計画１４時間扱い（本時６／１４）項時目標学習活動観点別評価規準配数学への関数学的な見数学的な技数量や図形心・意欲態方や考え方能などについ度ての知識・理解連２２つの文字を含む・二元一次方程身のまわり身のまわり値の組を連二元一次方立等式から文字の値式とその解のにある数量にあること立方程式に程式とその方が求められること意味を知る。関係を等式がらの中か代入して，解，連立方程を知り，二元一次・連立方程式とを使って表ら連立方程連立方程式程式とその式方程式とその解のその解の意味し，解を求式を考え，の解である解の意味をと意味，連立方程式を知る。めようとすその解の意かどうかを理解していそとその解の意味を・連立方程式のる。味を考える確かめるこる。の理解することがで解のたしかめことができとができ解きる。をする。る。る。連１２つの式をそのま・文字の消去の加減法によどちらかの加減法によ文字の消去立またすかひくかす意味を知る。って，連立文字を消去って，連立の意味，加方る加減法によっ・加減法によっ方程式を解するため方程式を解減法の解き程て，連立方程式をて，連立方程こうとすに，２つのくことがで方を理解し式解くことができ式を解く。る。式をたすかきる。ている。のる。ひくかする解ればよいこきとに気づ方く。１式を何倍かしてど・加減法によっ加減法によどちらかの加減法によ加減法の解ちらかの文字の係て連立方程式って，連立文字を消去って，連立き方を理解数をそろえてかを解く。方程式を解するため方程式を解している。ら，加減法によっこうとすに，式を何くことがで

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て連立方程式を解る。倍かして係きる。くことができる。数をそろえればよいことに気づく。１加減法とは違う代・代入法によっ代入法によ加減法と代代入法によ代入法の解入法という解き方て，連立方程って，連立入法の共通って，連立き方を理解があることを知式を解く。方程式を解点や相違点方程式を解している。り，代入法によっこうとすを考えるこくことがでて連立方程式を解る。とができきる。くことができる。る。１_（かっこのついた連・かっこのつい連立方程式式の形を見その式にあｘかｙを消立方程式を解くこた連立方程式の形を見て，加減法った解法去するため本とができる。を解く。て，解決のと代入法ので，式を整に式を整理時_）見通しをもどちらが適理してからすることがって解こう切な解法か解くことが理解できとする。を判断するできる。る。ことができる。１係数に分数をふく・係数に分数を連立方程式式の形を見その式にあｘかｙを消む連立方程式を解ふくむ連立方の形を見て，加減法った解法去するためくことができる。程式を解く。て，解決のと代入法ので，式を整に式を整理見通しをもどちらが適理してからすることがって解こう切な解法か解くことが理解できとする。を判断するできる。る。ことができる。連４連立方程式を利用・連立方程式を連立方程式連立方程式問題の中の連立方程式立して，問題を解決利用して，身を利用しを利用して数量の関係を利用して方することができのまわりの問て，問題を問題を解決を連立方程問題を解く程る。題が解決でき解決しようし，その過式に表し，手順を理解式る事を知る。とする。程を振り返それを利用している。の・問題を解決すって考えるして問題を利るために，数ことができ解決するこ用量の関係をとる。とができらえ，見通しる。をもって連立方程式に表す。・連立方程式を使って，問題を解決する。問２今までに学習した・基礎的、基本自ら進んで式の形を見加減法や代加減法、代題連立方程式に関わ的な問題に取連立方程式て，どちら入法で，能入法の解き演る用語や解き方をり組み，既習を解こうとの方法が解率的に連立方を理解し習確認し，問題を解事項のまとめする。きやすいか方程式を解ている。くことができる。をする。を考えるこくことがでとができる。きる。１単元末テスト

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５．本時の指導（１）目標連立方程式の形や係数に応じ，解決の見通しをもって解こうとする。【関心・意欲・態度】連立方程式の形や係数に応じ，解決の見通しをもって適切な解法を選び，解くことができる。【数学的な見方・考え方】（２）展開時配学習内容と学習活動指導・支援 ○評価（方法）資料１０【問題把握】分１．連立方程式の２通りの解き方を確認す・連立方程式を解くためには、どちプリントる。らか１つの文字を消去すればよい・加減法ことを振り返らせる。どちらかの文字の係数をそろえ，２式・１つの文字を消去するには、代入をたすかひくかして文字を消去する。法と加減法があることを振り返ら・代入法せる。片方の式をどちらかの文字について解き，それをもう一方の式に代入することで文字を消去する。２０【自力解決】分めあて：いろいろな連立方程式を工夫して解くことができる。プリント２．かっこのついた連立方程式を解く。問題１牛玖さんは，次の方程式を解・どちらの方法で解くにしても，まこうとしています。あなたがずは式を簡単にする必要があるこ牛玖さんなら、どういう手順とに気づかせる。でこの連立方程式を解きますか？２(ｘ＋ｙ)＝ｙ＋４…① －２ｘ＋５ｙ＝８…② ・どういう手順で解けばよいかを考える。・考えた手順を発表する。・発表でなく，発言でも構わないのかっこをはずす。で，生徒の口から言わせるようにする。・かっこをはずして式を簡単にした後，・かっこをうまくはずせない生徒にどちらかの方法で連立方程式を解く。は，一緒に分配法則のやり方を確認させる。 ○かっこをはずして，式を簡単にすればよいことに気づいたか。【見方・考え方】・式を簡単にした後，どちらの方法が解きやすいかを考させ，選ばせる。・１つの方法で解くことができた生徒には，もう一方の方法でも解かせる。・生徒に黒板に書かせ，説明させる。・どんなに短い説明でも構わないの・加減法を用いた解き方と代入法を用いで，生徒に説明させる。た解き方の両方を確認する。

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＜予想される解き方例＞［加減法］・どちらも，まずはかっこをはずし２(ｘ＋ｙ)＝ｙ＋４…① て式を簡単にし，その後それぞれ－２ｘ＋５ｙ＝８…② の方法で１つの文字を消去して解 ①より，２ｘ＋２ｙ＝ｙ＋４いていることを確認する。２ｘ＋ｙ＝４…①' ○式を簡単にしてから，どちらかの ①'＋② 方法で連立方程式を解くことがで２ｘ＋ｙ＝４きたか。【技能】＋）－２ｘ＋５ｙ＝８６ｙ＝１２ｙ＝２ｙ＝２を①'に代入して，２ｘ＋２＝４２ｘ＝２ｘ＝１（ｘ，ｙ）＝（１，２）［代入法］２(ｘ＋ｙ)＝ｙ＋４…① －２ｘ＋５ｙ＝８…② ①より，２ｘ＋２ｙ＝ｙ＋４２ｘ＋ｙ＝４ｙ＝４－２ｘ…①' ①'を②に代入して，３ｘ＋２(４－２ｘ)＝７３ｘ＋８－４ｘ＝７－ｘ＝－１ｘ＝１ｘ＝１を①'に代入して，ｙ＝４－２ｙ＝２（ｘ，ｙ）＝（１，２）１５【比較検討】分３．係数が分数の連立方程式の解き方を考プリントえる。問題２牛玖さんは、今度は次の連立・係数に注目させ，分母をはらうと方程式を解くことにしました。式が簡単になり，能率的に解くこでも、どう解けばよいかわかとができることに気づかせる。らず、困っています。あなたなら、どういう手順でこの連立方程式を解きますか？２ｘ＋ｙ＝１…① …② ・考えた解き方を発表する。・発表でなく，発言でも構わないの分母を通分する。で，生徒の口から言わせるように分母をはらう。する。１２ｘ＋１３ｙ＝２

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・式を簡単にした後，どちらかの方法で・１つの方法で解くことができた生連立方程式を解く。徒には，もう一方の方法でも解かせる。・生徒に黒板に書かせ、発表させる。・どんなに短い説明でも構わないの・加減法を用いた解き方と代入法を用いで，生徒に説明させる。た解き方の両方を確認する。＜予想される解き方例＞［加減法］ ○式を簡単にしてから，どちらかの２ｘ＋ｙ＝１…① 方法で連立方程式を解くことができたか。【技能】 …② ②×６より，３ｘ＋２ｙ＝１２…②' ①×２－②' より，４ｘ＋２ｙ＝２－）３ｘ＋２ｙ＝１２ｘ＝－１０ｘ＝－１０を①に代入して，－２０＋ｙ＝１ｙ＝２１（ｘ，ｙ）＝（－１０，２１）［代入法］２ｘ＋ｙ＝１…① …② ②×６より，３ｘ＋２ｙ＝１２…②' ①より，ｙ＝１－２ｘ…①' ①'を②'に代入して３ｘ＋２(１－２ｘ)＝１２３ｘ＋２－４ｘ＝１２－ｘ＝１０ｘ＝－１０ｘ＝－１０を①'に代入してｙ＝１＋２０ｙ＝２１（ｘ，ｙ）＝（－１０，２１）５【まとめ】分４．本時のまとめをする。・複雑な連立方程式でも，かっこをはずしたり分母をはらうなど，まずは式を簡単にしてから計算をすればよい。１２ｘ＋１３ｙ＝２１２ｘ＋１３ｙ＝２

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いろいろな連立方程式の解き方２年組番氏名連立方程式には（）法と（）法の２通りの解き方があり，どちらかの方法で１つの文字を（）すればよい。本時のめあて：いろいろな連立方程式を工夫して解くことができる。問題１牛玖さんは，次の連立方程式を解こうとしています。あなたが牛玖さんなら，どういう手順でこの連立方程式を解きますか？２(ｘ＋ｙ)＝ｙ＋４…① －２ｘ＋５ｙ＝８…② まず，（）よい。（）法（）法問題２牛玖さんは，今度は次の連立方程式を解くことにしました。でも，どう解けばよいか分からず、困っています。あなたなら，牛玖さんにどういうアドバイスをしますか？２ｘ＋ｙ＝１…① …② まず、（）よい。（）法（）法１２ｘ＋１３ｙ＝２