或る内部歪核による半無限彈性體の變形に就て

J

或る内部歪核に依る宇無限弾性樫の

愛形に就て

副 田 勝 利 1936年に F.J.VV.Whipple氏は特殊の内部歪核による，牟無限弾性鰻の 愛形に闘する理論的研究を行ひ，地震撃に釣する庭用に就て述べる所があっ た。同氏の研究したのは表面の餐形が象限型の方位的分布を示す場合である。 筆者は大韓同氏と同様な方法に依り，宇無限弾性韓の内部に歪核とじて I . θ . θ ¥ n T

ム

=

A

(

cos8

一+

Si1l8::)ー(イ日い・は核からの距離〉 ¥ θ m ‘ ゐJr.

一

友 る 場 合 を 取 れ 特 に n=l，8=竺の場合を取り扱ふo~p ち 2 θ 1 .'z A.

=A

で 一 一

=-A

ー

oz r r えにる場合であるがy とれは第一及二園で示す様に核を中心とした宇径α友る球 面上の歪力が夫々

/

;

7

=

A

え

(3cos8 +4 cos3₈₎ l α“

ィ

;

e

= A

と

(sin8+2sin3₈₎ . 1 α帽

ペ

ヂ

や

=0 たる場合である，更にとれはその極限としてF 内部のー貼に，謂はピ下向きに 垂直在る，静的の力が働く場合に相営すると考へる事が出来る。 1) 弾 性 鰭 の 平 衡 方 程 式 の 解 直 角 座 標 的 めz方向の愛位を夫々叫の

，

W とす ると，平衡方程式は く1)F. J."¥V.Whipple:

“

OllぬeTheory ofもhe剖raillSill' all Elasもic Solid bOUllded by a Plalle whellもhereis a N ucleus of SもraillS叫 allInもerb.alPOillt. alld Oll他eRelatiollofもheTheory to Seismology." Monもh.Noも.Geopohys. SUpp. 3， (1936)

θ

ム

(

^

-

+

p

.

)

万

+

μ.

y

'

2_u=0 ; θ

ム

(

入

十p

，

)

'

a

;

+

p

.

y

'

2旬=0 θ

ム

(1) ( λ

，

μ，は Lameの常数) θ2t . 3v . 3w ~=~十一+一一_θ

_x

_θyθz であるF 但しZ軸は下向きに取るととムするo (2) と " ザ

一 一

1 7 ' θ 一 ゐ

一 一

ム

r=(x2_十

υ

2

_十Z2)玄 (3) (但しdはしばらく 1として置く〉 を(1)式に代入して ，

(

u

，町

w

)

を求めると， (4) 山

7

一 一

g し 但

ゐ(営

+

Z

)

Z

=

μ

(

会

+

ご

)

.xy=

μ

(

三

+

完

)

お 一 h h 一 旬 伽 一 門 的 H Y H r p q ， 山 内 4 日 / ﹄ 十 E B 十 十

ム

'

ム

ム

、 入 、 ん 入

一一一一一一

( 仰 (W ハ M ' i l l l J l i l -¥ を得る。とれに依る歪力は (5 ) に依って

ニ=一入手+附(三一

3

ラ

j

Z

=

一

入

手

+

仰

(

三

一

明

おこ一入三+凶

ι

1

三

叩 叩 . .

一

3

3

1

-

2

μ

三

(6)

Z

=

μ

(

-

3

4

-

三

)

z

二

μ

(

-

3

4

-

9

5

=

μ

(

十

3q

ヲ

)

今との歪核が (O，O，.b)に在るとすると， それに依る愛位及び歪力は (4)，(6)に 依って (7) (8 ) u

=

!l..x(z-b}

し

-

2

示

. q y(z-b) ( 2 T 1 3 q f(z-b)2. 1).1 =子イーでアー十ート+ーで よ ¥ 1・ ・l} rl (z~b ~x2(z-b)) 'xx= 一入ーτ 十州「ア -3~ \~ fi~/'r f・ ¥rl' r1' r--. ，z-b.

，

.

.

_(z-b

つ

が

(z-b)) yy= 一入~+仰 i- ，，~-i1 一一τート グ l1・1~.・ 1 ~ r--. ， z~b I . _

r

z-b ，.)(Z-b)3) .. . z-b . zz

=

一

入

一

τ

十μ，

q

i

'

-

:~~-3 一一7ト -2μ !l r1" ¥ r1' rl') Zl-A (円..y(z-bF 川 朝 刊¥-uq

っす一一万/

Z

=

ρ

(

-aq

今笠-

:

r

3)

ゐ

(

ー

3q

キり

1 但し rl=(X2+が+(Z-b)2)玄 従って表面に於てはやは表面に於ける値を示すものとする〉 一(9) (258) 1 但しR=(x2+が+b2)玄

(

(

二)

0

=

入

会

+

仰

(

3

5

-

μ

会

}

+

知 〈 α10的) i'(

多

ω

ω

)

0

ニ一叩

μ

(

内

3

勾

g

字+

多

封

)

!(み=一

μ

{

3

q

字+長)

とれで一般の解は得られた。 2) 然るに表面は自由であると云ふ依件に依つで，表面に於ける歪力が零に友 る様に考へなければならない。先づ (0，0，ーめに先の歪核と全く同様友歪核を r、.--" {'¥ 逆向きに置いて考へるたらば， '表面に於て yz=xz=o となり m は二倍に友 るo且愛位は Uo;及' Vo'は二倍になり liVo'は零になる。そとで我々は更に ;;が消える様にする震に表面に於て， fヘ fヘ

fz=m=O

Z=-2(

二

)

。

ニ

ー

2μ

毛

_'R"J-6μgE: I ~ R5 が働く場合の饗位を求めて加へれば良い。 3) 表面に Zのみが働く場合の金1)先づ表面に X，Y，Zが働く場合の愛位は 悦二一一一一一一一一一一+B F B E ; θ ψ 8 ψ 一 一 一 一-z一一 271"11'θZ 47rμ，θx '471"11'(λ+μ，)θX， 47T・μ，θm (11) の一一一一一一一一一一一一+1θ

G

1

a

H

孔 θ ψ 1 _ 一一一一一一一

a

'

o

/

271"μ，θz ，

4

71"μ θ υ 471"μ，(A+μ，) θ υ 47T・μ，θy

ω=-(

土 佐 +

1

~ー ~za+)

にて輿へられる。 と Lに

F

=

J

J

玄χdxdy

G

，

=

J

J

y

χdxdy

H

=

J

J

Z

χdxdy

、

JFgFBGθ_{=ーキ一一十一一}H

_ψ1=

θF1 θGjθHi_{一一一十一一+一一} θx θ υ θz θx θ υ θ z く1) Love; TheM抗hmaticalTheory of Ela副長ityp.241.

I

a

F

-

₁ θ

G

₁

ρ

Hl .

a

-o/₁ .，: 且つ 一一= F 一一

=G

V~_~l

=H

己 主=ψ θ

z

a

z

θ

z

θ

Z

T である。叉

F

，

G

，

H

は調和函数で

z=O

では 1

a

2

F ~~ 1

B

2

G

1

a2

H

，

x=

lim 一一一~ Y=.lim一 一 一 一

z=

lim一 一 一 一 z=; +0 271・θ

Z

2

z=+O 271・θ

Z

2

， 二+0 ' 27T'θ

Z

2

で χ は

z=O

で 学 = ユ で あ る 。 oz r 〆今

X=Y=O

で Z のみ作用する時は 之友る故に (12) . ρ日

BH

F=G=O F

1

=G

1

=0

. ψ1= ー~=H_{a θz}

ψ=

一_θ一，_z 1θ

H.

九 θ

H

1 θ

2H

u=，一一一一一一一+ 一一一一一一-z一/ 0 一一一 471'μ

.

B

x

.

4ぜ7・μ.(X+μ.)θX 47iμ叩

B

x

B

z

1

ム

θ l μ ¥ θ E 47iμ¥8z tλ+μ

ノ

θm

の=ーヰ伶+占)穿

I

1θ

H .

1

BH

1

iPH¥

ω==-1一一一一一一一十 。 一一一一一一一-z一一一l ¥47iμθ

z .

47i(λ+μ)

B

z

47iμwθ♂/

、=+前五一割安

ζ LにH は弐式を満足する

ー

キ

(

到

。

=z

五 b3 ヨえに

z=

-2ft

元

_R3

-6

_-

_，

仰 ー に 依 る 表 面 に 於 け る 餐 位 (U

_'

₃

_-

_R5 o勺

V

O勺Wo")を求める

r

I

B

2_{H'¥ b}3 -~ー{一~ ) =-6何 百 ' と し て9 27T¥θIZ2

J

o

I :'-

R

一

I

B2

H'¥

b

3

_a

_Z

_H

_'

_{~~ ，}

_.

_.

_z

₊

_b

‘

J

L

i--)=12叩 gー . ・ 一 一 =127iμ

q

b2

"

'

1 r;V ，

r

2

=

(X

2

+

グ+(汁

b

)

2

)

Y

Lθぷ }o-~-". t"'~R5 ・ _θ;:;2 --..

，

'

3

.

-

r

l

-

白 θ

H'

-

τ

ー

=-4

付μ

.

q

b

2 て

E

'2

H'=

-47i凶

b

z

f

L

d

z

(260)

然るに‘・ g十b=ωco

t

O

，

-r2=ωsosecO ，と置換すると 放に (13) 号たに 司 z'-トb

J

1

ゐ

=

4

j

o

(

-

s

i

n

M

=

包件、土工=

1 z r2 ω e ‘ ω x2+ y2 r2(r2+z+b) 1 H'=-471・μqb2 _{且つ H' は調和函数である。} T2(r2+Z十b)

笠

f(++b)+M

_{2 2×47μ，qb}2 θX 'r23(r2十zキ

l

?

)

θH' y(r2十z+b)+yr - z - - 2 2 T×477・

，

p

qb2 U汐 r2d(r2十Z十b) θH'

τ

ナ ヱ

-4

7

T

"

p

，

qb2一三

ー

ヰ

(

3

2

1

=

-

吋

か ら 同 様 に し て

(

1

4

)

θ11" a ァ

_o

_x

_'

=4μ r2(r2十z+b) θ

H"

一一一=4'77"μ， r2(r2+z十b) θH " l 1ナ = ー せ71・μ

一

一

従って表面に於ける愛位は (15)

:

:

士

山

)+xR --_ '-. - iqb 十 一 一 一 一 九十_fL

l

:tv _R3_(R十b)2 I R(R+b)J Vn"= -..:-μ 四

b

d/(R+b)+y

~

+

一

~-，!!

入

+

μ

ヨ _R.iR十b)2 . _R(R十b))，

4) 以上に依って表面に於ける歪力が零であると云ふ依件を満足する時の表面 に於ける愛位は U トト一=一一一寸

4 A

、(16) Y 昨0

戸

=

一

一

寸

A'

作

f

q

4

ト

2

+

文

古

4

色

示

(

い

φ

g

b2

字詰

:

F

R

十誠司)}

q=主主竺と置き換へて ft

Ufl=-"-A~~

十

μb-)?(R

十b)十 。_=-"-Ai~

_{予十匹己責}

_E司

+bZVV

'R

3(R+b);_V

_j

v

一

-~4

~À+μbク μγ _{+b2~(R+b)+υR} 川一一一一十一一一一一一一一一一

。

--n.( _μ R:l 孔十μ

i

l

(ii+b)I U R"J(R+b? Wn=。リ ー:A

~~:-2μ

←一一一×一一十一一一一一一ト~+九十2

川:~

1λ十，-，，

"R '

.

Jk

R

勺 今水平愛位を考/;¥るに表面に於ける極座標にて表はすと

I

A

十μ b ，b2(2R+b) μ 1 動径方向の愛位 Ur=-AI-".一 一 +~~-;~V I • 7_-\'~ + 一 一 一 一 一 一 ￨

XVB~~b2;

切線

"

U(}=o である，然るに Urは R，b は常に王で且つR2三b在る故に常に負である且 Uo -=0であるから水平愛位は常に.中心に向き，.Rこ b で愛位二0，R→∞ーになると きは愛位→ 0 と在る事が解る。 垂直愛位は

W~=A~

λ+2

_〆

_b2+

孔

_+2μ~t

一 一 一 ー 一 一

り~~

l

ft R3 ' A十μ，RJ で常に正友る故に下方に向ふ事がわかり，且 R=bで最大で E→∞になると きW。→0とたる。 更 に λ=μ，としたときの歪力及餐位を計算じて見るとP歪力は(歪核左中心 とした宇径α友る球面上で) く262)

A U ヘ l q o n 凶 ， ， ， Q M -L 吋 ‘ 0 1 2 c ・₁ -4 ι 日 S 一 -o h ︼ A F 十 口 D n u u o u n し ・ 冒 A

円 。

s H F

一

dur

一

d A A O

一

一

一

一

一

一

ハ 仰 ( A W (

ゆ

r f t a a -' 1 4 E t a E E E ' t 餐位は

(u-4叫J;む~)v'同

町 =A(

芋+詰)

Urの最大たる所を求めるに9 今

2

=

m

と置くと U伊

=

_

.

A

l

.

-

( 2 . + 1

+

.2_X+~\I

_二

_{2_1}

一 一 一 一

- b _¥X3・_2x(x十1). _x3(x+1):l_{JV "}:'. - -d打ー で よ=0から αx x7_十10x6

₊

_43x5

+

55x4 -20x3 -95x2ー，72.1J-18= 0 との方程式の根は x'.1.2で，その他.1J;:;主1友る範圏内に於て玉根を有せぎる事 は「スツノレムの定理」に依って詮明される。I5

_P

ち R=1.2bの所でフ

k

千饗位が最 大と友る。今 λ=p-とした場合の愛位とF歪力の計算の結果を表と固に示すo 集 1 表 i ' fT 町 O

、

r"¥ fT「_O

。

rr・

。

_rr 7.000A~

_α4

“ O.OOOA;

α

4

“ -:0.542A

主

U

。

。

_{100 2.~95A~}

α

α

100

.

6.775 0.184 110 -1.186 2.599 20 6.238 0.422 120 -'-2.000 2.165 30 5.196 : 0.750 130 .-2.991 1.665 40 4.096 1.174 140 -"4.096 1.174 50 2.991 1.665 150 ...:5.196 0.750 60 2.000 2.165 160 -6.238 0.422 70 1.186 2.599 170 -6.775 0.184 80 0.542 2.895 180 -7.000 0.000 90 0.000 3.000 (263)'

策 1園 fr

、

‘

r 集。2園 事 3園 Urく貼線は最大となる所〉

、

.

-F 4

、 〆

/

、

1A

レ→~.~←」

¥

ど

!

i

ぅ.

.

ノ ' へ (264) 雌P +-眠 、 fヘ rfJ

集 2 表 Rjb Ur F凡 Rjb Dr liVo' 1.0 0.0OA1 4.5

叶

3.2 0.34A-?- 1 b b 0.5?AO 1.2 1.16 2.90 3.4 0.31 0.52 1.4. 1.10 2.17 3.6 0.27 0.48 1.6 0.95 1.67 3.8 0.26 0.45 1;8 0.81 1.35 4.0 0;24 0.42 2.0 0.70 1.13 4.2 0.22 0.40 2:2 0.61 0.96 4.4 O.21 0.38 2.4 0.53 0.81 4.6 0.19 0.36 」 2.6 0.47 0.75 4.8 0.18 0.34 2.8 0.41 0.67 5.0 0.17 0.32 3.0 0.37 0.61 格りに種々，御教示下さいました本多技師に厚く御櫨申上げます。 265)