Microsoft PowerPoint - Ch2（新古典派経済成長論）上級

戸堂康之著

『開発経済学入門

（第2版）

』

新世社

第２章 新古典派経済成長論

（学部上級用講義ノート）

2.0 最低限の数学：微分と対数

     0  0 0 0 ₀ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 1 ( ) ( ) h df x f x h f x f x dx h x f x x f x 微分係数： ●ある瞬間における 単位当たりの の変化分を表す ●図では における の傾き

経済成⻑論での応⽤





 

 





( )

GDP

(

1)

( ):  1

(

1)

( )

:  

( )

:  

:  

y

f t

t

f t

f t

y

f t

f t

y

f t

dy

y

y

dt

y

y

y

年における

とする

年間での の変化分

の変化率（成長率）

瞬間的な の変化分

（瞬間的な） の成長率





t t+1 dy dt y t

⾃然対数

4



 

















 

ln

log

ln

ln

ln , ln

ln

ln , ln

ln

ln ( )

ln

1

y e a

x

x y

e

x

x

xy

x

y

x

y

x

a x

y

d y t

d y dy

dy

y

y

dt

dy dt

y dt

y

定義：

便利な公式（覚えよう）：

自然対数と「成長率」との関係

の成長率



⾃然対数の成⻑率への応⽤例

 









 









  









 



:  GDP,   :  1

GDP,   :  

ln

ln( ) ln

ln

ln

ln

ln

t

Y

y

L

Y

yL

Y

yL

y

L

Y

y

L

Y

y

L

Y K L

Y

K

L

Y

K

L

Y

K

L

（常に成り立つ） （両辺の自然対数をとる） （ について微分） （コブダグラス型生産関数） （対数とる） （微分）

人当たり

人口



_









対数⽬盛を利⽤したグラフ

6







 





1 2 1 2

ln ( ) ln ( )

y t

y t

d y

ln

y

y

t

t

dt

y

傾き

の成長率

2.1 ⽣産と消費の仕組み

（図表2-1）

⽣産物

（付加価値）

労働者

技術

資本

ストック

（設備・機械等）

労働⼒

資本の所有者

（銀⾏、株主等）

所得

所得の⼀部は

消費

残りは貯蓄

貯蓄＝投資

（閉鎖経済の場合）

経済成⻑

（1⼈当たり実質GDPの成⻑）

の

２つの源泉

1. 資本蓄積

– １⼈当たりの資本ストック

（パソコン、機械、 建物、インフラ［道路、インターネット網］など）

↑

 １⼈当たり⽣産量↑

2. 技術進歩

– ただし、技術進歩は広く定義されるべき

• ⼯学的新技術・新商品開発 • ⽣産現場での「カイゼン」 • 経営・労務・財務・営業における改⾰

– 「イノベーション」というより「創意⼯夫」

8

2.2 ソロー・モデル

Solow (1956), Quarterly Journal of Economics 70 (1):65-94.

仮定

① 閉鎖経済

• 海外からの資⾦や財の流出⼊はない

② ⼀定の貯蓄率

• 所得のうち⼀定の割合を貯蓄 ⾦融機関を経て、最終的には⽣産活動に投資

③ ⼀定の⼈⼝成⻑率

（⼈⼝＝労働者数）

④ 技術レベルは変化しない

• 技術レベルが進歩する場合は2.3節で考察

⽣産関数

（図表2-2）

ソローモデルの解法

（概念） 1. 投資による１⼈当たり資本ストックの増加分 ＝１⼈当たり貯蓄 ＝⽐例定数（例えば0.3）×⼀⼈当たり⽣産量 2. 資本減耗（経年変化による資本ストックの価値の減少）による １⼈当たり資本ストックの減少分 ＝⽐例定数（例えば0.05）×現在の資本ストック 3. ⼈⼝増による１⼈当たり資本ストックの減少分 ≒⼈⼝成⻑率×現在の資本ストック • 差し引きの資本ストックの増加分（純増加） ＝１−２−３

技術進歩のないソローモデル

（数式） 12  





          1 ( ) ( ) ( ) ( ):  ( ):  ( ):   ( ) ( ) ( )     ( ) / :   :        ( ):  ( ) ( )     :   :  Y t K t L t Y t t K t L t K t I t K t K t dK dt I t I t sY t s L n L 年における生産量 資本ストック量　 労働力量（労働者数） 資本ストックの増加分 資本減耗率・減価償却率 　　　（この割合で、資本ストックの価値が毎年減少） 投資量 一定の貯蓄率 一定の人口成長率



      



_







_{ }

_

_

 





_{ }



_



_

 







  





 

 



 



 

1 5

: 1

: 1

(

)

(

)   

Y

K L

K

K

K

y

k

k

L

L

L

L

L

y

k

K

k

K

L

I

K

Y

k

n s

n

L

k

K

L

K

K

k sy

n

k sk

n

k

スライド4～ を参照

人当たり生産量

人当たり資本ストック量

以下の微分方程式が導出できる









技術進歩のないソローモデル

（数式を使った解法）

14

ソローモデルの図解

y k





sk



k

(

n





)

k



_



 



₍

₎

k sk

n

k

ソローモデルの解法の図解

sk

k

(n )k *

k

k

2 1

k

 _      2 ( ) 0 k k sk n k k のとき 

_



 



₍

₎

k sk

n

k



_

     1 ,  ( ) 0 k k sk n k k のとき どのような

k

から出発しても、 ⻑期的には

k

*（定常状態）に収束

16

k

*

k

k

2 1

k

ソローモデルの解の直観的な意味

貯蓄によるkの 増加分 資本減耗と人口増加に よるkの減少分 差し引きのkの増加分＞0 kは増加k*に収束 差し引きのkの増加分<0 kは減少k*に収束 どのような

k

から出発しても、⻑期的には

k

* に収束

1 sk

k

(n ) *

k

k

k

別の図による解法



_



 



1

(

)

k

sk

n

k



_



_



 

 

1

 

(

)

k

(

)

k sk

n

k

sk

n

k

（成長率バージョンに）





kの成長率 kが小さいときには kの成長率が大きい

18  



 

 









* *

1

GDP

 

1

GDP

(

=

) 

 

1

GDP

0

 

1

GDP

y

k

y k

y

k

y k

k

k

（ざっくり言えば、貧しい国のほうが成長率が高い）

人当たり

成長率

したがって

長期的には、 人当たり

は定常状態の値

に収束

長期的には、 人当たり

成長率は

短期的には、 が小さいほど、 の成長率も

人当たり

成長率も高い





均衡における1人当たりGDP成長率

低い資本ストックから始まる⻑期的な変化

技術進歩のないソローモデルの結論

• どの状態から始まっても、

定常状態に収束

• 定常状態では資本ストックも⽣産も増えない

• １⼈当たり資本ストックが少ない

（所得レベルが低い）

 １⼈当たり資本ストック成⻑率が⾼い

 １⼈当たり⽣産（GDP）

成⻑率が⾼い

• １⼈当たり資本ストックが増える

（所得レベルが向上する）

 １⼈当たりGDP成⻑率は

下がる

20

2.3 技術進歩を想定した

ソロー・モデル

仮定

① 閉鎖経済

（2.2節と同じ）

② ⼀定の貯蓄率

（2.2節と同じ）

③ ⼀定の⼈⼝成⻑率

（2.2節と同じ）

④ ⼀定の技術成⻑率

• ただし、なぜ技術が成⻑するかは このモデルでは考察しない

1人あたり資本ストック量 投資による1人当たり資本 ストックの増加分 資本減耗や人口増加による 1人当たり資本ストックの減少分 G H 技術進歩によるシフト I A

技術進歩による定常状態の変化

（図表2-5） 22

技術進歩を想定したソローモデル

（数式）





  

_











      

 

  





    











1

( )

( )

( ) ( )

( ): 

: 

  

(

)

Y t

K t

A t L t

A t

A

g

A

Y

y

AL

K

k

K

A L

K

k

g n

AL

k

K

A L

K

k sk

n g

k

技術レベル（労働の効率性）

一定の技術進歩率

（労働の効率単位当たりの生産量）

24 

 

y k

  sk



k



   (n g )k



*

k

k



₂



1

k

*

k

k

どのような から出発しても に収束





 k 貯蓄による の増加分   k 資本減耗、人口増加、技術進歩による の増加分





 







   









,

1

GDP

 

1

GDP

 

1

GDP

Y

Y

y

A

Ay y k

L

AL

y

y

k

g

g

y

y

k

k

g

k

k

（つまり長期的な経済成長率は技術進歩率に等しい） （ざっくり言えば、貧しい国のほうが成長率が高い）

人当たり

成長率

したがって

長期的には、 は一定

人当たり

成長率は

短期的には、 が小さいほど、 の成長率も

人当たり

成長率も高い



 





















均衡における1人当たりGDP成長率

26

t



k



*

k



1

k

t

lny

g 傾き



   

k

低い

から出発した時の経年変化

1人当たり資本ストック Aにおける レベル 時間 時間 1人当たり生産 Aにおける レベル 長期的には 一定の成長率 長期的には 一定の成長率 （図表2-6）

技術進歩ありのソロー・モデルの結論

• 定常状態

では１⼈当たり資本ストックも⽣産

も

⼀定の成⻑率（＝技術進歩率）

で増加する

• １⼈当たり資本ストックが少ないと

（所得レベルが低い）

 １⼈当たり資本ストック成⻑率が⾼い

 １⼈当たり⽣産（GDP）

成⻑率が⾼い

• １⼈当たり資本ストックが増えるにつれ

（所得レベルが向上する）

 １⼈当たりGDP成⻑率は

下がる

28

2.4 投資率・⼈⼝成⻑率の増減

による定常状態の変化

1人あたり資本ストック量 （貯蓄率が低い時） 資本減耗や人口増加による1人あたり 資本ストックの減少分 G₁ G₂ 投資による1人あたり 資本ストックの増加分 （貯蓄率が高い時） A 30

貯蓄率・投資率の増加の効果

（図表２-7） 高い定常状態 低い定常状態





1

s k



k



  

(

n g

)

k



* 1

k

数式を使った図





2

s k



* 2

k

⾼い貯蓄率  ⾼い定常状態の1⼈当たりGDP

32

出所：Penn World Table 9.1

1人あたり資本ストック量 資本減耗や人口増加による 1人あたり資本ストックの減少分 （人口増加率が高い時） G₁ G₂ 投資による1人あたり 資本ストックの増加分 （人口増加率が低い時） A

⼈⼝成⻑率の増加の効果

（図表２-9）

34 



sk



k



  

2

(

n

g

)

k



* 1

k



* 2

k



  

1

(

n

g

)

k

⾼い⼈⼝成⻑率  低い定常状態の1⼈当たりGDP

数式を使った図

⼈⼝レベル

（成⻑率でなく）

と経済成⻑

36

出所：Clark (2016), Journal of demographic economics 82 (2):139-165. Figure 4

ペストによって ⼈⼝が半減

賃⾦上昇

2.5 条件付き収束

• 絶対収束

– 所得が低いほど、所得成⻑率が⾼い

• 条件付き収束

（ソローモデルの結論）

– 定常状態から離れていれば離れているほど、

成⻑率が⾼い

– 貧困国の定常状態が低ければ、

その成⻑率は必ずしも⾼くない

38

⻑期的な成⻑経路

（図表２-11） 貧しいときには 非常に高成長 貧しくても 低成長 時間 1人当たり生産 （対数目盛） 長期的には 同じ成長率 A国（投資率が高い、または 人口成長率が低い） B国（投資率が低い、または 人口成長率が高い）

収束の直観的な理由

１⼈当たり資本ストック量が⼩さいとき

資本の限界⽣産物

（「収益率」）

が⼤

 投資によって⽣産が⼤きく上昇

 貯蓄も⼤きく上昇

（⼀定の割合を貯蓄するので）

 資本ストックは急激に上昇



⽣産も急激に上昇

資本の限界⽣産物：１単位の資本を追加的に 投⼊することによって得られる⽣産物の増加分

40

条件付き収束は成り⽴っている

（図表2-12）

500 5,000 50,000 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 日 本 の 一 人 当 た り 実 質 Ｇ Ｄ Ｐ （ ド ル ， 対 数 目 盛 ） この部分は 収束で説明できる この部分は 収束を超えた高成長

⽇本経済における収束

2.5+ ⼈的資本蓄積を考慮した

ソロー・モデル

（Mankiw et al. 1992） 42





                1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ):  : 1.  GDP 2.  GDP K K H H H Y t K t H t A t L t H t K s Y K H s Y H s g 人的資本ストック 総所得に占める人的資本ストック投資（教育等）のシェア 基本的な結論 定常状態の１人当たり 成長率は （技術進歩率） 人的資本ストック投資率が高い 　　 定常状態の１人当たり が高い

100 1000 10000 100000 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 GDP per  capit a  (PPP , constant US$) Human capital index exp(returns to schooling years of schooling)  

2.5++ 計量経済学による実証分析

−成⻑回帰−

44































0 0 1 0 2 3 4 5

ln

ln

ln

it i i Ki Hi i i i

y

y

y

s

s

n

X

t

１人当たりGDP 成長率 技術進歩・模倣の 効率性の様々な要因 1 0   条件付き収束が 成り立てば

国レベルの国際データを使った多くの研究：

β

₁

<0, β

₂

>0, β

₄

<0.

 新古典派成⻑論の理論的結論は概ね⽀持

その他のいろいろな要因の効果も検証された

が、はっきりとした結論が出ないものも多い

(第６章以降に詳述)

2.6 政策の効果

• 貯蓄率・投資率の向上

– 農村部の⾦融機関の拡充 • ⽇本の郵便貯⾦、現代のモバイルバンキング – 海外からの投資の誘致

• ⼈⼝成⻑率の減少

– 1⼈っ⼦政策・避妊教育の拡充 – ただし、技術進歩を阻害するかも（後述）

• 技術進歩率の向上

– 次章で詳述 46

韓国 タイ インドネシア ベトナム シンガポール マレーシア インド リベリア マリ ナイジェリア ・ ザンビア タンザニア ペルー 英国 日本 米国 -2 0 0 20 40 貯蓄率（GD P 比，1980年代平均値） -2 0 2 4 6 人口成長率（年率% ，1980年代） 東アジア 南アジア アフリカ 中南米 先進国 その 他

2.6+ ソローモデルから⾒た

東アジアの成⻑要因

⾼い貯蓄率・低い⼈⼝成⻑率

48

なぜ東アジアで貯蓄率が⾼いのか？

• 実ははっきりとはわかっていない

• 制度⾯

– 郵便貯⾦  周縁地域でも貯蓄が可能

– ⾼齢化社会  引退後のために貯蓄

– ボーナス

（⽇本）

 ⼀時的に⼤きな収⼊が

あるとたくさん貯蓄

• 逆の因果関係かも：成⻑すれば貯蓄が増える

50

⽇本における郵便貯⾦の役割

（100万円）

出所：⽥中光 (2008), ISS Discussion Paper Series J-170, 東京⼤学社会科学研究所.

1876 1913 総預貯金に対する 郵便貯金の割合 （左目盛） 郵便貯金総額 （右目盛）

2.7 まとめ

ソロー・モデルの結論 1. ⻑期的には、1⼈当たりGDP成⻑率は技術進歩率に ⽐例して決定。つまり、技術進歩なしで⻑期にわ たって成⻑することはできない。 2. 短期的には、資本蓄積による成⻑が可能。 3. 投資率が⾼いほど、または⼈⼝成⻑率が低いほど、 定常状態（⻑期的な均衡状態）における所得レベルが ⾼くなる。 4. 定常状態の所得レベルより低ければ低いほど短期的 には成⻑率が⾼いが、⻑期的には技術進歩率に⽐例 して決まる成⻑率に収束（条件付き収束）。