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(2) はじめに はじめに はじめに 講義資料について. 非線形システム制御を解説。 特にリアプノフ関数に基づいた方法を中心に講義する。. 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. 非線形システムの基礎 非線形システムのシステム表現, 多様体上のベクト ル場, 微分方程式の解の存在と一意性 厳密線形化による制御 入出力厳密線形化，ゼロダイナミクス，ピーキング 現象，状態厳密線形化 リアプノフ関数を用いた制御 リアプノフ安定論, 散逸不等式, 受動性, 入 力-状態安定性 (ISS)、Sontag 型制御則 最適レギュレータ 最適制御問題，最適レギュレータ，Hamilton-Jacobi 方 程式，逆最適制御 L2 -ゲインと散逸不等式, Hamilton-Jacobi-Issacs 方程式， 非線形 H ∞ 制御 非線形 H ∞ 制御 カスケード接続と相互接続 ピーキング現象, カスケード接続の大域的安定 性, 相互接続と ISS, ISS 小ゲイン定理 Strict Feedback Form, バックステッピング, 準大域的安定化 安定化手法. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 2 / 154.
(3) 講義資料について はじめに はじめに 講義資料について 非線形システムの表現 解の存在と一意性. 講義資料は、. http://stlab.ssi.ist.hokudai.ac.jp/yuhyama/lecture/tokuron/ にある。. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. 随時訂正があるので、最新版を参照すること。. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 3 / 154.
(4) はじめに 非線形システムの表現 非線形常微分方程式系 非線形系の状態空間 接平面. 3 次元の回転運動の例 まとめ 解の存在と一意性 厳密線形化とは. 非線形システムの表現. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 4 / 154.
(5) 非線形常微分方程式系 はじめに. 連続時間非線形システム. 非線形システムの表現 非線形常微分方程式系 非線形系の状態空間. . Affine System (よく研究されている). 接平面. 3 次元の回転運動の例 まとめ. x˙ = f (x) + G(x)u = f (x) +. 解の存在と一意性. y = h(x). 入出力厳密線形化. 状態厳密線形化. gi (x)ui. i=1. 厳密線形化とは. ゼロダイナミクス. m . x · · · 状態量, u(∈ m ) · · · 入力, y(∈ ) · · · 出力. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 5 / 154.
(6) 非線形常微分方程式系 はじめに. 連続時間非線形システム. 非線形システムの表現 非線形常微分方程式系 非線形系の状態空間. . Affine System (よく研究されている). 接平面. 3 次元の回転運動の例 まとめ. x˙ = f (x) + G(x)u = f (x) +. 解の存在と一意性. gi (x)ui. i=1. 厳密線形化とは. y = h(x). 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. m . . x · · · 状態量, u(∈ m ) · · · 入力, y(∈ ) · · · 出力 General Nonlinear System. 散逸性 受動性. x˙ = f (x, u). 非線形系の安定余裕. y = h(x). 機械系の制御 制御リアプノフ関数. x · · · 状態量, u(∈ m ) · · · 入力, y(∈ ) · · · 出力. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 5 / 154.
(7) 非線形系の状態空間 はじめに 非線形システムの表現 非線形常微分方程式系 非線形系の状態空間 接平面. システムの状態 x は n 次元 C ∞ 多様体の上の 1 点 C ∞ 多様体 · · · 次元が一定の滑らかな超曲面。 無限回の微分操作ができる。 1. C -⚖ᓸಽห⋧౮. 3 次元の回転運動の例 まとめ. φ. 解の存在と一意性 厳密線形化とは. ψ ° φ −1. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. ψ. 散逸性 1. C -⚖ᓸಽห⋧౮. 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. . 多様体 M の各々の局所近傍は、n (= n 次元ユークリッド空間) に C ∞ 級微分同相 (局所座標系) 近傍同士が重なったところには、C ∞ 級微分同相写像が定義でき る。(座標変換) このような近傍ですべてを覆うことができる。. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 6 / 154.
(8) 接平面 はじめに 非線形システムの表現. x は多様体の一点。では、x˙ は? 点 pにおける接平面は n に同相. 非線形常微分方程式系 非線形系の状態空間 接平面. T p M ≈ n. 3 次元の回転運動の例 まとめ 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. 全ての点における接平面を合わせたものを T M という。 x も x˙ も局所的には n 次元であるが、. x ∈ M,. 散逸性 受動性. (x, x) ˙ ∈ TM. 非線形系の安定余裕 機械系の制御. . 制御リアプノフ関数. . 数学的には x˙ は x とペアにしないとその具体的な量には意味がな いが、実際は、単独で x˙ を扱えるよう、x に何らかの座標を決めて 自然に誘導される x˙ の座標を用いることが多い。 局所的には、T M|U = MU × n のような直積の構造をもつが、大 域的にはそうではない。「捩れ」が入ることがある。. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 7 / 154.
(9) 接平面 (3 次元の回転運動の例) はじめに 非線形システムの表現 非線形常微分方程式系. 剛体の 3 次元の姿勢は、行列式が正 (鏡像変換なし) の 直交行列 R ∈ SO(3) で表現される。. 非線形系の状態空間. RT R = I,. 接平面. 3 次元の回転運動の例 まとめ 解の存在と一意性. det R = 1. ⇒ 自由度は 3. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. 運動方程式:. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. R˙ = S(ω)R. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 8 / 154.
(10) 接平面 (3 次元の回転運動の例) はじめに 非線形システムの表現 非線形常微分方程式系. 剛体の 3 次元の姿勢は、行列式が正 (鏡像変換なし) の 直交行列 R ∈ SO(3) で表現される。. 非線形系の状態空間. RT R = I,. 接平面. 3 次元の回転運動の例 まとめ 解の存在と一意性. det R = 1. ⇒ 自由度は 3. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. 運動方程式:. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. R˙ = S(ω)R. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. R を固定したときの R˙ は 3 次元 ベクトル空間 ω = (ω1 , ω2 , ω3 )T でパラメータ化される。 ⎤ ⎡ 0 ω3 −ω2 0 ω1 ⎦ S(ω) = ⎣−ω3 ω2 −ω1 0 システム制御理論特論. 2014 年前期 – 8 / 154.
(11) 接平面 (3 次元の回転運動の例) はじめに 非線形システムの表現 非線形常微分方程式系. 剛体の 3 次元の姿勢は、行列式が正 (鏡像変換なし) の 直交行列 R ∈ SO(3) で表現される。. 非線形系の状態空間. RT R = I,. 接平面. 3 次元の回転運動の例 まとめ 解の存在と一意性. det R = 1. ⇒ 自由度は 3. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. 運動方程式:. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. R˙ = S(ω)R. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. R を固定したときの R˙ は 3 次元 ベクトル空間 ω = (ω1 , ω2 , ω3 )T でパラメータ化される。 ⎤ ⎡ 0 ω3 −ω2 0 ω1 ⎦ S(ω) = ⎣−ω3 ω2 −ω1 0 システム制御理論特論. ω が決まっても R が決まらなけ れば、R˙ は決定できない。. 2014 年前期 – 8 / 154.
(12) 「非線形システムの表現」まとめ はじめに 非線形システムの表現. . 非線形常微分方程式系 非線形系の状態空間 接平面. 3 次元の回転運動の例 まとめ 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. . 非線形の連立一階微分方程式において、入力に関して 1 次の Affine System がよく使われる。 状態 x は、一般にはベクトル空間ではなく、n 次元可微分多様体上 の点である。 一方、x˙ は、x を固定したとき、n 次元のユークリッド空間に含ま れる。 x˙ = f (x) の右辺 f (x) は「ベクトル場」と呼ばれる。. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 9 / 154.
(13) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 微分方程式の解 解が存在しない例 解が一意でない例. Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件. 微分方程式の解の存在と一意性. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 10 / 154.
(14) 微分方程式の解 はじめに. 問題:. 非線形システムの表現 解の存在と一意性. 微分方程式、. x˙ = f (x),. 微分方程式の解 解が存在しない例 解が一意でない例. Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件. x ∈ n. および初期条件 x(0) = x0 が与えられているとき、解 x(t) (t ≥ 0) を求めよ。. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. . そもそも解が存在するか? 解が存在するとして、それは一意か?. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 11 / 154.
(15) 解が存在しない例 はじめに. 解が存在しない例としては、. 非線形システムの表現. . 解の存在と一意性 微分方程式の解. x˙ =. 解が存在しない例 解が一意でない例. Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件. −1 1. (x ≥ 0) (x < 0). x. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. Time. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. 一見、x = 0 に最後は停留するはず。そのときは x˙ = 0 のはず。 しかし、元の微分方程式の右辺に代入すると、x˙ = −1。. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 12 / 154.
(16) 解が一意でない例 はじめに. 解が一意でない例としては、. 非線形システムの表現 解の存在と一意性 微分方程式の解 解が存在しない例. x. x˙ = sgn(x). 3. |x|. 解が一意でない例. Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件 厳密線形化とは. Time. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. x = 0 から出発した場合、解が無数にある。. 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 13 / 154.
(17) Lipschitz 条件 はじめに. 定義:. 非線形システムの表現 解の存在と一意性. f (x) が、領域 U で Lipschitz 条件を満たしているとは、. 微分方程式の解. f (x1 ) − f (x2 ) ≤ M x1 − x2 . 解が存在しない例 解が一意でない例. Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件. なる M (> 0) が存在することである。. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性. ⇒ 微分可能性を弱めた概念 もし、全空間 (たとえば n ) で Lipschitz 条件を満たすならば、大域 的 Lipschitz 条件を満たす、あるいは単に、f (x) は大域的 Lipschitz であるという。. 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. 全ての点 x に対し、近傍 Ux が存在し、Ux 上で Lipschitz であるな らば、f (x) は局所 Lipschitz であるという。(各 Ux で、M の値は 異なってもよい。). システム制御理論特論. 2014 年前期 – 14 / 154.
(18) Lipschitz 条件の例 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 微分方程式の解 解が存在しない例. Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. . . 解が一意でない例. Lipschitz でない = 不 連続. 連 続 で あ る が Lipschitz でない. Lipschitz 条件を満た している. . ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. 局所 Lipschitz だが大 域的に Lipschitz でな い (y = x2 ). システム制御理論特論. 大域的に Lipschitz. 2014 年前期 – 15 / 154.
(19) 微分方程式の解の一意存在性の十分条件 はじめに 非線形システムの表現. . 解の存在と一意性 微分方程式の解 解が存在しない例 解が一意でない例. Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. . (Picard-Lindel¨ of の定理) もし、f (x) が局所 Lipschitz なら、 x˙ = f (x), x(0) = x0 の初期値問題の解 x(t) は、ある T (x0 に依 存) が存在して、0 ≤ t ≤ T において一意に存在する。 (解の延長) もし、f (x) が大域的 Lipschitz なら、x˙ = f (x), x(0) = x0 の初期値問題の解は、負の時間も含めて大域的に一意に 存在する。. ■ 有限の時間区間のみ解が一意に存在する例: x˙ = x3 (局所 Lipschitz). ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. Finite time blowup. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. . Time. この場合、有限時間で解が発散している。 システム制御理論特論. 2014 年前期 – 16 / 154.
(20) 微分方程式の解の存在性の十分条件 はじめに 非線形システムの表現. . 解の存在と一意性 微分方程式の解 解が存在しない例 解が一意でない例. . Lipschitz 条件 Lipschitz 条件の例 十分条件 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. . (Peano existence theorem) 一意性がなくてもよいのであれば、 Picard-Lindel¨ of の定理を弱めることができ、f (x) の連続性だけで 良い。 微分方程式の右辺に時間 t が入る場合の、Peano existence theorem もある。さらにその一般化も Carath´ eodory’s existence theorem の形でなされている。 このあたりの話は有名な Coddington & Levinson (1955) の本に 詳しい。 E.A. Coddington, N. Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill (1955).. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 17 / 154.
(21) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 厳密線形化とは メカニカルシステムの 場合 入出力厳密線形化. 厳密線形化とは. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 18 / 154.
(22) 厳密線形化とは はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 厳密線形化とは メカニカルシステムの 場合 入出力厳密線形化. 非線形な制御対象 + 非線形の制御則 → 線形系 . ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. . 得られる線形系は、元のシステムとは異なる状態変数の取り方にな る。(非線形な座標変換) これは、「近似」ではないので、「厳密な」線形化と呼ばれる。 大きく分けて、入出力間を線形化する「入出力線形化」と、入力– 状態間を線形化する「状態線形化」の 2 通りがある。 用いる道具は、リー微分作用素。状態線形化の場合は、さらにリー 括弧積とフロベニウスの定理。. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 19 / 154.
(23) メカニカルシステムの場合 はじめに. メカニカルシステム (ロボットなど):. 非線形システムの表現 解の存在と一意性. ˙ + g(θ) = u M (θ)θ¨ + c(θ, θ). 厳密線形化とは 厳密線形化とは メカニカルシステムの 場合. この系に対し、次の フィードバック を適用する。(計算トルク法). 入出力厳密線形化. ˙ + g(θ) + M (θ)v u = c(θ, θ). ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕. すると、θ¨ = v のように線形化できる。 . 非線形項をフィードバックでキャンセルしている。 このようなことを、一般の非線形系でできないだろうか?. 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 20 / 154.
(24) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. 入出力厳密線形化. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 21 / 154.
(25) 入出力厳密線形化の概要 はじめに. システム:. 非線形システムの表現 解の存在と一意性. x˙ = f (x) + G(x)u. 厳密線形化とは. y = h(x). 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. に対し、状態フィードバック:. u = α(x) + β(x)v を用いて、v から y までを厳密に線形化したい。 v. ゼロダイナミクス. ࡈࠖ࠼ࡃ࠶ࠢ. u. ᓮኻ⽎. y. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. x. 散逸性. ✢ᒻࠪࠬ࠹ࡓ. 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 22 / 154.
(26) Lie 微分作用素 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. 入出力線形化における数学的 tool = Lie 微分作用素 今回使うのは関数に作用する場合だけ。 . 通常の関数に作用する場合(局所座標表示) h(x): M → (x の関数) f (x): M → T M (x の関数からなる n 次元列ベクトル = ベクトル場) n ∂h ∂h (x)f (x) fi (x) = (Lf h)(x) = ∂x ∂x i i=1. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 23 / 154.
(27) Lie 微分作用素 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. 入出力線形化における数学的 tool = Lie 微分作用素 今回使うのは関数に作用する場合だけ。 . 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. 通常の関数に作用する場合(局所座標表示) h(x): M → (x の関数) f (x): M → T M (x の関数からなる n 次元列ベクトル = ベクトル場) n ∂h ∂h (x)f (x) fi (x) = (Lf h)(x) = ∂x ∂x i i=1. . 作用素の繰り返し. ゼロダイナミクス. (Lg Lf h)(x) = (Lg (Lf h))(x). 状態厳密線形化. (Lkf h)(x) = (Lf (Lf (· · · (Lf h) · · · )))(x).
(28). Lyapunov 安定論 散逸性. k−times. 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 23 / 154.
(29) Lie 微分の意味 はじめに. 入力なしシステム:. 非線形システムの表現. x˙ = f (x). 解の存在と一意性 厳密線形化とは. の解の軌道にそって、x(t) が動くとする。. 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. そのとき、ある x の関数 y = h(x) の値の時間微分を求める。. ∂h(x) dx ∂h(x) dy = = f (x) dt ∂x dt ∂x. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 24 / 154.
(30) Lie 微分の意味 はじめに. 入力なしシステム:. 非線形システムの表現. x˙ = f (x). 解の存在と一意性 厳密線形化とは. の解の軌道にそって、x(t) が動くとする。. 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. そのとき、ある x の関数 y = h(x) の値の時間微分を求める。. ∂h(x) dx ∂h(x) dy = = f (x) = (Lf h)(x) dt ∂x dt ∂x. Lf h は x の関数 h(x) を x˙ = f (x) の軌道に沿って時間微分した値. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 24 / 154.
(31) 出力を時間 t で微分 はじめに 非線形システムの表現. しばらくは、1 入力 (m = 1)1 出力 ( = 1) 系を考える。. 解の存在と一意性. x˙ = f (x) + g(x)u. 厳密線形化とは. y = h(x). 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス. 出力を時間 t で微分する. ∂h dx ∂h · = (f (x) + g(x)u) ∂x dt ∂x = (Lf +gu h)(x, u) = Lf h(x) + Lg h(x)u. y˙ =. Lf +gu を x の関数 h(x) に作用させるということは、 h(x) の時間微分を求めていることと等しい。. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. 線形系で言えば、. 散逸性 受動性. y˙ = C(Ax + Bu) = CAx + CBu. 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 25 / 154.
(32) 2 回目は微分可能? はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. では、一般に、. dk y k = L f +gu h k dt であろうか? 答えは NO である。. 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス. たとえば、2 回微分するときに、1 回目で、. y¨ =. d {(Lf +gu h)(x(t), u(t))} dt. のように x だけの関数ではなく、x と u の関数になる からである。. y¨ =. d (Lf +gu h)(x, u) = Lf +gu Lf h + Lf +gu Lg h · u + u˙ · Lg h dt. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. → Lg h が非ゼロで、u が微分不可能なら、y は 2 回微分不可能。. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕. y を 2 回微分するには、一般には Lg h = 0 でなくてはならない。. 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 26 / 154.
(33) Lg h = 0 ならば はじめに 非線形システムの表現. . 出力を微分した式:. y˙ = Lf h(x) + Lg h(x) · u. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. において、u の係数 (Lg h)(x) が非ゼロならば、. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. −Lf h(x) + v u= Lg h(x). ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 27 / 154.
(34) Lg h = 0 ならば はじめに 非線形システムの表現. . 出力を微分した式:. y˙ = Lf h(x) + Lg h(x) · u. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. において、u の係数 (Lg h)(x) が非ゼロならば、. 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. −Lf h(x) + v u= Lg h(x). ⇒. y˙ = v. 新しい入力 v から y までが線形化される = 非線形項をキャンセル . 極配置をさらに線形フィードバックでおこなうことが前提。 実際の系では、Lg h が非ゼロとは限らない。 たとえば、位置を微分しても速度という “状態” が出るだけで、入 力は現れない。. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 27 / 154.
(35) y を 2 回微分 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. Lg h = 0 のときは、y を時間で 2 回微分する。 仮定: Lg h = 0. 入出力厳密線形化. y¨ = Lf +gu Lf h = L2f h(x) + Lg Lf h(x) · u. 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス. Lg Lf h(x) = 0 ならば、. ⇓. −L2f h(x) + v u= Lg Lf h(x). ⇒. y¨ = v. のように線形化できる。. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 28 / 154.
(36) 3 回目以降... はじめに 非線形システムの表現. . d3 y 2 3 2 = L L h = L h(x) + L L f +gu g f f f h(x) · u 3 dt ⇓ Lg L2f h(x) = 0 ならば、. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス. 仮定: Lg h = 0, Lg Lf h = 0. −L3f h(x) + v u= Lg L2f h(x). ⇒. d3 y =v dt3. のように線形化できる。 . 以下、同様に繰り返し。. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 29 / 154.
(37) 相対次数 はじめに 非線形システムの表現. . 解の存在と一意性. 定義: ある点 x0 にて、出力 y が相対次数 ρ を持つとは、 x0 の近傍 Ux0 が存在して、. 厳密線形化とは. (Lg Lif h)(x) = 0,. 入出力厳密線形化. (Lg Lρ−1 h)(x0 ) = 0 f. 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕. i = 0, . . . , ρ − 2, ∀ x ∈ Ux0. . となることである。 相対次数 ρ を持てば、出力を ρ 回時間微分できる。. y˙ = Lf h(x) y¨ = L2f h(x) .. . dρ−1 y ρ−1 = L h(x) f ρ−1 dt dρ y ρ ρ−1 = L h(x) + L L h·u g f f dtρ. ρ 回微分すると u が陽に現れる. 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 30 / 154.
(38) 線形系の相対次数 はじめに 非線形システムの表現. . 線形系. 解の存在と一意性. x˙ = Ax + bu. 厳密線形化とは. y = cx. 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. は非線形系の特別な場合 →. f (x) = Ax, . g(x) = b,. h(x) = cx. 線形系の相対次数 = 以下を満たす ρ. cb = cAb = cA2 b = · · · = cAρ−2 b = 0,. cAρ−1 b = 0. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. → 伝達関数の分子と分母の次数の差 (従来の定義と一致). 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 31 / 154.
(39) 入出力線形化 (SISO 系) はじめに 非線形システムの表現. . 相対次数 ρ を持つならば、出力を ρ 回微分可能:. dρ y ρ ρ−1 = L h(x) + L L h(x) · u g f f dtρ. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. . フィードバック:. u=. −Lρf h(x) + v Lg Lρ−1 h(x) f. で、入出力間が線形化される。. dρ y =v dtρ. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕. . y = h(x), y˙ = Lf h(x),. . . ,dρ−1 y/dtρ = Lρ−1 h(x) の線形フィード f バック (x から見れば非線形) で、極配置する。 積分器を付加したり、フィードフォワード項を加えるのも自由。. 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 32 / 154.
(40) ベクトル相対次数 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. MIMO 系 ( ≤ m) について考える。 . 厳密線形化とは. 定義: ある点 x0 にて、系がベクトル相対次数 (ρ1 , . . . , ρ ) を持つ とは、x0 の近傍 Ux0 が存在して、以下を満たすこと。. 入出力厳密線形化. (Lgk Lif hj )(x) = 0,. 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. ⎡ ⎢ rank ⎣. j = 1, . . . , , i = 0, . . . , ρj − 2,. k = 1, . . . , m, ∀ x ∈ Ux0 Lg1 Lρf1 −1 h1 (x0 ) Lg1 Lρf −1 h (x0 ). ··· .. . ···. ⎤ ρ1 −1 Lgm Lf h1 (x0 ). ⎥ ⎦=. Lgm Lρf −1 h (x0 ). =G(x).
(41). ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. . このとき、. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕. ⎛ d ρ1 y 1 ⎞. ⎛ ρ1 ⎞ L h (x) f 1 dtρ1 ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎝ . ⎠=⎝ ⎠ + G(x)u . ρ d ρ y L ρ f h (x) dt. 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 33 / 154.
(42) MIMO 系の入出力線形化 はじめに. ベクトル相対次数があると仮定. 非線形システムの表現 解の存在と一意性. . たとえば、擬似逆行列を用いて、. ⎫ ⎧ ⎛ ρ1 ⎞ L h (x) ⎪ ⎪ f 1 ⎬ ⎨ ⎟ ⎜ . T T −1 .. u = G (x)(G(x)G (x)) −⎝ ⎠+v ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ρ Lf h (x). 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. とすれば、. dtρ1. ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠=v d ρ y dtρ. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. ⎛ d ρ1 y 1 ⎞. . のように入出力線形化できる。 入出力の数が同じ場合は、単なる逆行列を用いればよい。. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 34 / 154.
(43) ベクトル相対次数が存在しない場合 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. . 出力の線形変換によってベクトル相対次数が存在する場合。 線形の規範モデルのダイナミクスをコントローラに含ませること で、入出力線形化が可能な場合。 動的なコントローラで、入出力線形化が可能な場合。 入力の一部を使って、一部の状態を不可制御にすることにより、線 形化ができる場合。 現在のところ、線形化できないもの。. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 35 / 154.
(44) 例題 — 二輪車両 (1) はじめに. 二輪車両:. 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論. (x1 + d cos x3 , x2 + d sin x3 ). x˙ 1 = u1 cos x3 x˙ 2 = u1 sin x3 x˙ 3 = u2. x3 (x1, x2). (x1 , x2 ) … 車軸中心座標 x3 … 車両の向き u1 … 車両の速度 (入力 1) u2 … ヨーレート (入力 2) 車両の先頭の座標を出力に取る (G(x) の正則性のため) x1 + d cos x3 y= x2 + d sin x3. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 36 / 154.
(45) 二輪車両 (2) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. ベクトル相対次数 r = (1, 1) 出力の微分:. . 厳密線形化とは. y˙ = G(x)u =. 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ ゼロダイナミクス. cos x3 sin x3. −d sin x3 u1 d cos x3 u2. d = 0 ならば G(x) は正則。 制御則:. u=. cos x3 − sin x3 /d. sin x3 cos x3 /d. . r˙x + k{rx − (x1 + d cos x3 )} r˙y + k{ry − (x2 + d sin x3 )}. . (rx , ry ) … 車両の先頭の目標軌道. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 37 / 154.
(46) 「入出力厳密線形化」のまとめ はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要. Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降... 相対次数 入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数 MIMO 系の入出力線形化 例題 まとめ. . 相対次数とは、出力を時間で微分する操作の繰り返しにおいて、入 力が陽に現れるまでの微分回数である。 出力を相対次数回微分した式において、状態フィードバックによっ て、非線形項をキャンセルすれば、入出力厳密線形化ができる。 線形フィードバックをさらに作用させて極配置するのが前提。 得られるシステムの次数は相対次数と等しい。 残りのダイナミクスについては次節。 ベクトル相対次数があれば、多入出力系でも入出力厳密線形化で きる。. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 38 / 154.
(47) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ. ゼロダイナミクス. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 39 / 154.
(48) Normal Form はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. . 元のシステムは n 次元、入出力間のダイナミクスは ρ 次元 残りの n − ρ 次元はどこにいったのだろう? 座標変換 Φ(x): x → (z T , ξ T )T. 入出力厳密線形化. z1 = h(x), z2 = Lf h(x), . . . , zρ = Lρ−1 h(x) f. ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ. . 座標変換のヤコビ行列が正則となるように、ξ の座標を決める。 Normal Form:. y = z1 z˙1 = z2 .. .. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性. −1 h(Φ (z, ξ)) · u z˙ρ = Lρf h(Φ−1 (z, ξ)) + Lg Lρ−1 f. 非線形系の安定余裕 機械系の制御. ξ˙ = γ(z, ξ) + ζ(z, ξ)u. 制御リアプノフ関数. SISO 系の場合、座標変換をうまくとれば、ζ(z, ξ) = 0 とできる。 システム制御理論特論. 2014 年前期 – 40 / 154.
(49) ζ(·) = 0 となる座標の取り方 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ 状態厳密線形化. ζ(·) = Lg ξ = 0 となるように ξ を取ればよい。 偏微分方程式:. ∂ξ g=0 ∂x の独立な解は n − 1 個。(フロベニウスの定理 = 次の節で述べる) Lg ξ =. そのうち、z1 ,. . . ,zρ−1 も解の一部。 z1 ,. . . ,zρ−1 に独立な、残りの n − ρ 個の解を並べて ξ の各要素とすればよい。. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 41 / 154.
(50) ゼロダイナミクス はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. ここで、出力が y ≡ 0 に追従しているものと仮定する。 y を t で微分しても 0 なので、z = 0。z = 0 なる超曲面上での入力は、. 厳密線形化とは. u=−. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ. . ξ˙ = γ(0, ξ)−ζ(0, ξ). Lyapunov 安定論 散逸性. 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. Lρf h(Φ−1 (0, ξ)). これらを、代入すると、n − ρ 次のゼロダイナミクスが得られる。. 状態厳密線形化. 受動性. h(Φ−1 (0, ξ)) Lg Lρ−1 f. . h(Φ−1 (0, ξ)) Lg Lρ−1 f Lρf h(Φ−1 (0, ξ)). ζ(z, ξ) = 0 のように座標を取れば、この部分は消える y が 0 でない場合も、 . y の目標値を時間の関数で与える。あるいは、 y の目標値を生成する外部システム (exo system) を与える。. ことにより、「ゼロエラーダイナミクス」を定義できる。 システム制御理論特論. 2014 年前期 – 42 / 154.
(51) 線形系のゼロダイナミクス はじめに. 線形系の例:. 非線形システムの表現. . 0 1 −1 x˙ = x+ u 1 1 1 ! y= 0 1 x. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性. . ⇒. G(s) =. s−1 s2 − s − 1. 入出力線形化制御則を構成すると、u = −x1 − x2 + v 閉ループ系: 1 2 −1 x˙ = x+ v s−1 0 0 1 ⇒ G(s) = ! s(s − 1) y= 0 1 x. 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. つまり、入出力線形化法とは . 極配置してゼロ点を消去 ⇒ 不可観測モード 残りの極を原点に (さらにフィードバックして適当な極へ). システム制御理論特論. 2014 年前期 – 43 / 154.
(52) 非線形非最小位相系 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. 線形系にとってゼロ点を動かせないのと同様に、 ゼロダイナミクスは不変なダイナミクス . 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ. . 定義: ゼロダイナミクスが、不安定な系を、 (ゼロ出力に対する) 非最小位相系という。 非最小位相系では、入出力線形化制御は適用できない。 → 不可観測で不安定な内部ダイナミクスが生ずる。. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 44 / 154.
(53) カスケード結合の安定性 はじめに 非線形システムの表現. . Vidyasagar の補題:. 解の存在と一意性. システム. 厳密線形化とは. x˙ = f (x). 入出力厳密線形化. z˙ = g(z) + γ(x, z)x. ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ. において、x˙ = f (x) および z˙ = g(z) は局所漸近安定で、γ(x, z) は 微分可能とする。そのとき、システム全体も局所漸近安定である。. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 45 / 154.
(54) カスケード結合の安定性 はじめに 非線形システムの表現. . Vidyasagar の補題:. 解の存在と一意性. システム. 厳密線形化とは. x˙ = f (x). 入出力厳密線形化. z˙ = g(z) + γ(x, z)x. ゼロダイナミクス. 状態厳密線形化. . において、x˙ = f (x) および z˙ = g(z) は局所漸近安定で、γ(x, z) は 微分可能とする。そのとき、システム全体も局所漸近安定である。 しかし、x˙ = f (x), z˙ = g(z) が大域的漸近安定であってもシステム 全体が大域的漸近安定であるとは限らない。 2.5. [例]. 2. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕. 1.5. x˙ = −x z˙ = −z + z 3 x2. 1 0.5. z. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ. 0. -0.5 -1. 機械系の制御. -1.5. 制御リアプノフ関数. -2 -2.5. -2.5. システム制御理論特論. -2. -1.5. -1. -0.5. 0. x. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 2014 年前期 – 45 / 154.
(55) 大域的安定性 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ 状態厳密線形化. 前記の現象があるため、 [ゼロダイナミクスが大域的に漸近安定] + [入出力線形化し、極配置で出力を大域的に 0 にする] の組み合わせは、必ずしも大域的に漸近安定を意味しない。 [例] 制御対象: しかし、閉ループ系は、. x˙ 1 = x2 + u. x˙ 1 = −x1. x˙ 2 = x1 + x21 x32 + u. x˙ 2 = −x2 + x21 x32. y = x1. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. ⇒ 先の例と同じ. ゼロダイナミクス: x˙ 2 = −x2 (大域的に漸近安定) 制御則: u = −x1 − x2 出力のダイナミクス: x˙ 1 = −x1 (大域的に漸近安定) システム制御理論特論. 2014 年前期 – 46 / 154.
(56) ピーキング現象 はじめに 非線形システムの表現. では、z の誤差ダイナミクスを速くすればいいのではないか?. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性. 答えは否定的である。 相対次数 2 以上の場合、z の誤差ダイナミクスを速くすると、かえって 安定化領域を狭めることがある。. ピーキング現象: 相対次数 2 以上の場合、誤差ダイナミクス の極の実部を (負の側に) 大きくとると、その過渡現象が大きく 暴れることがある 。. 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 47 / 154.
(57) 「ゼロダイナミクス」のまとめ はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. Normal Form 座標の取り方 ゼロダイナミクス 線形系の場合 非線形非最小位相系 カスケード結合の安定性 まとめ. . 相対次数がシステムの次数より低いときは、入出力線形化を行う と、不可観測なダイナミクス「ゼロダイナミクス」が現れる。 線形系のゼロ点が動かせないのと同じ意味で、「ゼロダイナミクス」 は不変なダイナミクス。 ゼロダイナミクスが不安定な非線形非最小位相系では入出力線形化 を適用できない。(内部安定性が保たれない) ゼロダイナミクスが大域的に漸近安定でも、全系の大域的漸近安定 性が得られないことがある。さらに極の設定によって安定化領域を 拡大することも一般的にはできない (ピーキング現象)。. 状態厳密線形化. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 48 / 154.
(58) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. 状態厳密線形化. 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 49 / 154.
(59) 状態厳密線形化の基本的な考え方 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. 「非最小位相系では、入出力線形化制御は適用できない。」 ⇒ 出力の取り方を変えれば、最小位相性は変化する。 . . 相対次数が n となる出力 λ(x) を見つける。 n − ρ = 0 なので、そのような出力 λ(x) に対しては、ゼロダイナミ クスは存在しない。 λ(x) を出力として入出力線形化を行うと、全ての状態が線形化さ れる。 → 状態厳密線形化 逆は真だろうか?. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 50 / 154.
(60) 状態厳密線形化と λ(x) の存在性 はじめに 非線形システムの表現. . 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ Lyapunov 安定論. . 仮定: 状態フィードバック: u = α(x) + β(x)v (β(x) = 0)、およ び、座標変換 z = Φ(x) によって、線形の可制御正準形 ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ 0 0 1 0 ⎜ .. ⎟ ⎥ ⎢ .. .. ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ . . z˙ = ⎢ ⎥ z + ⎜.⎟ v ⎝0⎠ ⎣ 0 ··· 0 1 ⎦ 1 −a0 · · · −an−1 に変換されていると仮定 z1 を出力とすると、閉ループ系の相対次数は n。フィードバックに よって相対次数は変わらないので、Φ1 (x)(= z1 ) を出力とした制御 対象の相対次数は n。. 定理: 1 入力 1 出力非線形系に対し、状態フィードバックで可制 御な線形系に変換できるための必要十分条件は、相対次数が n (= 系の次数) となるような出力関数 λ(x) が存在することである。. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 51 / 154.
(61) Lie 括弧積 (Lie bracket) はじめに 非線形システムの表現. . 解の存在と一意性. Lie bracket の定義: f (x), g(x): M → T M (ベクトル場). 厳密線形化とは. [f, g](x) =. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. ∂f ∂g f (x) − g(x) ∂x ∂x. 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. . 2 つのベクトル場 f と g の可換性を計る尺度。 T sec. x = g (x ). x2. x = f (x ) T sec.. x. x1. x = f (x ) T sec. x = g (x ) T sec.. 1 [f, g](x) = lim 2 (x1 (x, T ) − x2 (x, T )) T →0 T. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 52 / 154.
(62) Lie 括弧積 (2) はじめに 非線形システムの表現. . いろいろな公式. (a1 , a2 はスカラー定数). [f, g] = −[g, f ]. 解の存在と一意性 厳密線形化とは. [a1 f1 + a2 f2 , g] = a1 [f1 , g] + a2 [f2 , g] [f, a1 g1 + a2 g2 ] = a1 [f, g1 ] + a2 [f, g2 ] [f, [g, p]] + [g, [p, f ]] + [p, [f, g]] = 0. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. (Jacobi の恒等式) [αf, βg] = αβ[f, g] + α · (Lf β) · g − (Lg α) · β · f L[f,g] h = Lf Lg h − Lg Lf h. (重要). Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 53 / 154.
(63) 出力関数の満たすべき条件 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. 相対次数が n となるための条件: 条件 1. (n − 1) 回微分しても入力が陽に表れない. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. (Lg λ)(x) = 0. ゼロダイナミクス. (Lg Lf λ)(x) = 0 .. .. 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. (Lg Lfn−2 λ)(x) = 0. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 54 / 154.
(64) 出力関数の満たすべき条件 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. 相対次数が n となるための条件: 条件 1. (n − 1) 回微分しても入力が陽に表れない. 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. (Lg λ)(x) = 0. ゼロダイナミクス. (Lg Lf λ)(x) = 0 .. .. 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ Lyapunov 安定論. (Lg Lfn−2 λ)(x) = 0 条件 2. n 回微分すると入力が陽に表れる (Lg Lfn−1 λ)(x) = 0. この条件を Lie bracket によって書き下す。 Lie 微分との関係:. 散逸性. L[f,g] λ = Lf Lg λ − Lg Lf λ. 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 54 / 154.
(65) 条件 1 の変形 はじめに. 一階の偏微分の条件に変換する. 非線形システムの表現 解の存在と一意性. Lg λ = 0. 厳密線形化とは. Lg Lf λ = −L[f,g] λ + Lf Lg λ = 0.
(66). 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. =0. 状態厳密線形化. Lg L2f λ = −L[f,g] Lf λ + Lf Lg Lf λ
(67). 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. =0. = L[f,[f,g]] λ − Lf L[f,g] λ = 0
(68) =0. .. . Lg Lfn−2 λ = (−1)n L[f,[f ···[f,g]··· ]] λ = 0. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 55 / 154.
(69) adf オペレータ はじめに 非線形システムの表現. 定義:. adf g = [f, g]. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化. 複数回作用する時は、. ゼロダイナミクス. adkf g = [f, [f · · · [f, g ] · · · ]].
(70). 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. k−times. 0 回作用する場合 = g のまま ad0f g = g. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 56 / 154.
(71) 条件 1 の別表現 はじめに. Lie Bracket を使った条件 1 の表現:. 非線形システムの表現 解の存在と一意性. (Lg λ)(x) = 0. 厳密線形化とは. (Ladf g λ)(x) = 0. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. .. .. 状態厳密線形化 基本的考え方. (Ladn−2 g λ)(x) = 0. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. f. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 57 / 154.
(72) 条件 2 の変形 はじめに. 条件 1 を用いると、. 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. n−2 (Lg Lfn−1 λ)(x) = −(L[f,g] Ln−2 λ)(x) + (L L L λ)(x) f g f f
(73) =0. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. = Lad2 g Lfn−3 λ − Lf L[f,g] Ln−3 λ f f. n−4 n−2 n−3 2 2 L = −Lad3 g Ln−4 λ + L L λ − L L L λ + L L L λ f f g g f f f f ad g f f. f. = · · · = (−1)n−1 Ladn−1 g λ = 0 f. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 58 / 154.
(74) λ の条件 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. 以上まとめると、 条件:. 厳密線形化とは. (Lg λ)(x) = 0. 入出力厳密線形化. (Ladf g λ)(x) = 0. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. (Lad2 g λ)(x) = 0. 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. f. .. . (Ladn−2 g λ)(x) = 0 f. (Ladn−1 g λ)(x) = 0 f. を満たす関数 λ(x) を見つけよ。. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 59 / 154.
(75) ベクトル場の独立性 はじめに. ベクトル場:. 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化. 背理法. g, adf g, . . . , adfn−1 g adkf g が、g, adf g,. . . ,adk−1 g に対して、一次従属と仮定。 f. adkf g(x) = c0 (x)g(x) + c1 (x)adf g(x) + · · · + ck−2 (x)adk−1 g(x) f. 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ Lyapunov 安定論. なる係数が存在する。そのとき、. adk+1 g(x) = c0 (x)adf g(x) + (Lf c0 )(x)g(x)+ f k−2 · · · + ck−3 (x)adk−1 g(x) + (L c )(x)ad g(x) f k−3 f f. + ck−2 (x){c0 (x)g(x) + c1 (x)adf g(x) + · · · + ck−2 (x)adk−1 g(x)} f + (Lf ck−2 )(x)adk−1 g(x) f となり、adk+1 g(x) も、一次従属。 f. 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 60 / 154.
(76) ベクトル場の必要条件 (A) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. よって、λ(x) の満たすべき条件より、 ベクトル場の必要条件 (A): n 個のベクトル場、. 入出力厳密線形化. g, adf g, . . . , adfn−1 g. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. は一次独立。(=局所強可到達性の十分条件). Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 61 / 154.
(77) 積分可能性 (1) はじめに 非線形システムの表現. 条件 1 は、(n − 1) 本の連立偏微分方程式. 解の存在と一意性. (Lg λ)(x) = 0. 厳密線形化とは. (Ladf g λ)(x) = 0. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. (Lad2 g λ)(x) = 0. 状態厳密線形化. f. 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ Lyapunov 安定論 散逸性. .. . (Ladn−2 g λ)(x) = 0 f. を解くことに等しい。定数解 (条件 2 を満たさない) を除く。. ". ⇒. ∂λ , p(x) ∂x. #. =. . ∂λ ∂λ p(x) = 0, ,..., ∂x1 ∂xn. p = g, adf g, . . . , adfn−2 g. ∂λ/∂x が g, adf g,. . . ,adn−2 g に直交 f. 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 62 / 154.
(78) 積分可能性 (2) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. n 次元空間で (n − 1) 個のベクトル g, adf g,. . . ,adfn−2 g に直交する 0 で ないベクトルは必ず存在する。. 厳密線形化とは. ⇓. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. その直交する横ベクトル ω(x) から、必ず s(x)(∂λ/∂x) = ω(x) なる関 数 λ(x) および s(x) ( = 0) は作れるのか? ただし、s(x) はスケーリング関数。 答えは、否定的である。すなわち、さらに条件が必要となる。 → フロベニウスの定理. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 63 / 154.
(79) フロベニウスの定理 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. . 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. x ∈ n 上の q 本の連立偏微分方程式、Lp1 λ = 0,. . . ,Lpq λ = 0 を考 える。(ベクトル場、p1 (x), . . . , pq (x) は線形独立) フロベニウスの定理: この連立偏微分方程式が、局所的に、n − q 個の独立な解 λ1 (x),. . . ,λn−q (x) を持つための必要十分条件は、ベ クトル場が張る空間 (=ディストリビューション)、. 状態厳密線形化. Δ(x) = span{p1 (x), . . . , pq (x)}. 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. . がインボリューティブであることである。 ベクトル場の張る空間 Δ(x) がインボリューティブであるとは、. [δ1 , δ2 ] ∈ Δ,. ∀. δ1 ∈ Δ, ∀ δ2 ∈ Δ. となることである。. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 64 / 154.
(80) ベクトル場の必要条件 (B) はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは. 条件を満たす λ(x) が存在する必要条件は、 ベクトル場の必要条件 (B): ディストリビューション、. 入出力厳密線形化. span{g(x), adf g, . . . , adfn−2 g}. ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. がインボリューティブであることである。. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 65 / 154.
(81) 状態厳密線形化可能のための必要十分条件 はじめに 非線形システムの表現 解の存在と一意性. 定理 状態厳密線形化可能であるための必要十分条件は、 ディストリビューション、. 厳密線形化とは. Δn = span{g, adf g, . . . , adf n−1 g}. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. . の次元が n であること。 ディストリビューション、. Δn−1 = span{g, adf g, . . . , adf n−2 g} がインボリューティブであること。 の 2 条件がなりたつことである。 . 必要性は、これまでの議論で明らか。 十分性は、制御則を構成することで示される。. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 66 / 154.
(82) 制御則の構成法 (1) はじめに 非線形システムの表現. 連立偏微分方程式 Lδ λ(x) = 0 (δ ∈ Δn−1 ) の独立な解 λ(x) は 1 個存在。. ∂λ · [g, adf g, . . . , adfn−1 g] = [0, . . . , 0, Ladn−1 g λ] f ∂x. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. = 0 条件より正則 ⇒ よって、これは非ゼロ よって、. Lg λ = Lg Lf λ = · · · = Lg Lfn−2 λ = 0 Lg Lfn−1 λ = 0 となり、λ(x) を出力とすると相対次数は n。. Lyapunov 安定論 散逸性 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 67 / 154.
(83) 制御則の構成法 (2) はじめに 非線形システムの表現. . 座標変換: z = Φ(x). z1 = λ(x) z2 = (Lf λ)(x) .. .. 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス. zn = (Lfn−1 λ)(x). 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. . 座標変換後の系:. ⎡. 0 1 ⎢ .. ⎢ z˙ = ⎢ . ⎣0 · · · 0 ··· . .. 0. .. ⎛ ⎤ ⎞ 0 0 ⎜ ⎥ ⎟ .. ⎜ ⎥ ⎟ . ⎥z + ⎜ ⎟ ⎝ ⎦ ⎠ 0 1 Lnf λ + Lg Lfn−1 λ · u 0. 状態厳密線形化制御則:. Lyapunov 安定論. u=−. 散逸性 受動性. Lnf λ(x) Lg Lfn−1 λ(x). +. v Lg Lfn−1 λ(x). 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 68 / 154.
(84) 例題 — 磁気浮上系 (1) はじめに. 磁気浮上システム:. 非線形システムの表現. . 解の存在と一意性 厳密線形化とは. M z¨ = M G − K ·. 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方. Lie 括弧積 出力関数の条件 条件 1 の変形 条件 2 の変形 λ の条件 ベクトル場の独立性 条件 (A) 積分可能性 フロベニウスの定理 条件 (B) 必要十分条件 制御則の構成法 例題 まとめ. i. i z + z0. R. 2. d e = Ri + {L(z)i} dt 2K + L0 L(z) = z + z0. e. L z M. Magnetic levitation system. z —球と電磁石との距離 (ギャップ) i — コイルに流れる電流 e — 入力電圧 M — 球の質量 G — 重力加速度. Lyapunov 安定論 散逸性. z0 — ギャップの補正定数 R — 電磁石の抵抗 (定数) L(z) — inductance (z の関数) L0 — 漏れ磁束による inductance(定数) K (= µ0 N 2 S/4) — 吸引力係数 (定数). 受動性 非線形系の安定余裕 機械系の制御. システム制御理論特論. 2014 年前期 – 69 / 154.
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