2 回目は微分可能 ?

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 26 / 154

では、一般に、

d^ky

dt^k = L^k_f+guh

であろうか

?

答えは

NO

である。

たとえば、

2

回微分するときに、

1

回目で、

¨

y = d

dt{(L_f+guh)(x(t), u(t))}

のように

x

_{だけの関数ではなく、}

x

_と

u

の関数になる からである。

¨

y = d

dt(L_f+guh)(x, u) = L_f+guL_fh + L_f+guL_gh · u + u˙ · L_gh

→ L_gh

が非ゼロで、

u

が微分不可能なら、

y

は

2

回微分不可能。

y

を

2

回微分するには、一般には

L_gh = 0

^{でなくてはならない。}

L

^g

h = 0 ^ならば

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論

出力を微分した式

:

˙

y = L_fh(x) + L_gh(x) · u

において、

u

の係数

(L_gh)(x)

^{が非ゼロならば、}

u = −L_fh(x) + v L_gh(x)

L

^g

h = 0 ^ならば

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 27 / 154

出力を微分した式

:

˙

y = L_fh(x) + L_gh(x) · u

において、

u

の係数

(L_gh)(x)

^{が非ゼロならば、}

u = −L_fh(x) + v

L_gh(x) ⇒ y˙ = v

新しい入力

v

_から

y

_{までが線形化される}

=

^{非線形項をキャンセル}

極配置をさらに線形フィードバックでおこなうことが前提。

実際の系では、

L_gh

が非ゼロとは限らない。

たとえば、位置を微分しても速度という

“

_状態

”

_{が出るだけで、入}

力は現れない。

y ^を 2 回微分

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論

L_gh = 0

^{のときは、}

y

_を時間で

2

_{回微分する。}

仮定

: L_gh = 0

¨

y = L_f+guL_fh = L²_fh(x) + L_gL_fh(x) · u

⇓ L_gL_fh(x) = 0

^ならば、

u = −L²_fh(x) + v

L_gL_fh(x) ⇒ y¨ = v

のように線形化できる。

3 回目以降 ...

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 29 / 154

仮定

: L_gh = 0, L_gL_fh = 0

d³y

dt³ = L_f+guL²_fh = L³_fh(x) + L_gL²_fh(x) · u

      

⇓

L_gL²_fh(x) = 0

^ならば、

u = −L³_fh(x) + v

L_gL²_fh(x) ⇒ d³y

dt³ = v

のように線形化できる。

以下、同様に繰り返し。

相対次数

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論

定義

:

_ある点

x₀

_{にて、出力}

y

_{が相対次数}

ρ

_{を持つとは、}

x₀

_の近傍

U_x0

_{が存在して、}

(L_gLⁱ_fh)(x) = 0, i = 0, . . . , ρ − 2, ^∀x ∈ U_x0 (L_gL^ρ_f⁻¹h)(x₀) = 0

となることである。

相対次数

ρ

_{を持てば、出力を}

ρ

_{回時間微分できる。}

˙

y = L_fh(x)

¨

y = L²_fh(x) ...

d^ρ−1y

−1 = L^ρ−1h(x)

線形系の相対次数

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 31 / 154

線形系

˙

x = Ax + bu y = cx

は非線形系の特別な場合

→

f(x) = Ax, g(x) = b, h(x) = cx

線形系の相対次数

=

^{以下を満たす}

ρ

cb = cAb = cA²b = · · · = cA^ρ−2b = 0, cA^ρ−1b = 0

→

伝達関数の分子と分母の次数の差

(

従来の定義と一致

)

入出力線形化 (SISO 系 )

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論

相対次数

ρ

_{を持つならば、出力を}

ρ

_{回微分可能}

: d^ρy

dt^ρ = L^ρ_fh(x) + L_gL^ρ_f⁻¹h(x) · u

フィードバック

:

u = −L^ρ_fh(x) + v L_gL^ρ_f⁻¹h(x)

で、入出力間が線形化される。

d^ρy

dt^ρ = v

y = h(x), y˙ = L_fh(x),. . . ,d^ρ−1y/dt^ρ = L^ρ_f⁻¹h(x)

^{の線形フィード}

ベクトル相対次数

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 33 / 154

MIMO

_系

( ≤ m)

_{について考える。}

定義

:

_ある点

x₀

にて、系がベクトル相対次数

(ρ₁, . . . , ρ)

^を持つ とは、

x₀

_の近傍

U_x0

が存在して、以下を満たすこと。

(L_gkLⁱ_fh_j)(x) = 0, j = 1, . . . , , i = 0, . . . , ρ_j − 2, k = 1, . . . , m,^∀x ∈ U_x0

rank

⎡

⎢⎣

L_g1L^ρ_f¹⁻¹h₁(x₀) · · · L_gmL^ρ_f¹⁻¹h₁(x₀) ...

L_g1L^ρ_f⁻¹h(x₀) · · · L_gmL^ρ_f⁻¹h(x₀)

⎤

⎥⎦

=G(x)

=

このとき、

⎛

⎜⎝

d^ρ1y₁ dt^ρ1

...

d^ρy dt^ρ

⎞

⎟⎠ =

⎛

⎜⎝

L^ρ_f¹h₁(x) ...

L^ρ_fh(x)

⎞

⎟⎠ + G(x)u

MIMO 系の入出力線形化

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論

ベクトル相対次数があると仮定

たとえば、擬似逆行列を用いて、

u = G^T(x)(G(x)G^T(x))⁻¹

⎧⎪

⎨

⎪⎩−

⎛

⎜⎝

L^ρ_f¹h₁(x) ...

L^ρ_fh(x)

⎞

⎟⎠ + v

⎫⎪

⎬

⎪⎭

とすれば、

⎛

⎜⎝

d^ρ1y₁ dt^ρ1

...

d^ρy dt^ρ

⎞

⎟⎠ = v

のように入出力線形化できる。

入出力の数が同じ場合は、単なる逆行列を用いればよい。

ベクトル相対次数が存在しない場合

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 35 / 154

出力の線形変換によってベクトル相対次数が存在する場合。

線形の規範モデルのダイナミクスをコントローラに含ませること で、入出力線形化が可能な場合。

動的なコントローラで、入出力線形化が可能な場合。

入力の一部を使って、一部の状態を不可制御にすることにより、線 形化ができる場合。

現在のところ、線形化できないもの。

例題 — 二輪車両 (1)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論

二輪車両

:

˙

x₁ = u₁ cosx₃

˙

x₂ = u₁ sinx₃

˙

x₃ = u₂

(x₁, x₂)

^{… 車軸中心座標}

x₃

… 車両の向き

u₁

_{… 車両の速度}

(

_入力

1) u₂

_{… ヨーレート}

(

_入力

2)

x₃ (x₁,x₂)

(x₁+dcosx₃,x₂+dsinx₃)

車両の先頭の座標を出力に取る

(G(x)

^{の正則性のため}

) y =

x₁ + dcosx₃ x₂ + dsinx₃

二輪車両 (2)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 37 / 154

ベクトル相対次数

r = (1,1)

出力の微分

:

˙

y = G(x)u =

cosx₃ −dsinx₃ sinx₃ dcosx₃

u₁ u₂

d = 0

^ならば

G(x)

^は正則。

制御則

: u =

cosx₃ sinx₃

−sinx₃/d cosx₃/d

˙

r_x + k{r_x − (x₁ + dcosx₃)}

˙

r_y + k{r_y − (x₂ + dsinx₃)}

(r_x, r_y)

… 車両の先頭の目標軌道

「入出力厳密線形化」のまとめ

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 概要

Lie 微分作用素 Lie 微分の意味 出力を 1 回微分 Lg h = 0 ならば y を 2 回微分 3 回目以降...

相対次数

入出力線形化 (SISO 系) ベクトル相対次数

MIMO 系の入出力線形化 例題

まとめ

ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 Lyapunov 安定論

相対次数とは、出力を時間で微分する操作の繰り返しにおいて、入 力が陽に現れるまでの微分回数である。

出力を相対次数回微分した式において、状態フィードバックによっ て、非線形項をキャンセルすれば、入出力厳密線形化ができる。

線形フィードバックをさらに作用させて極配置するのが前提。

得られるシステムの次数は相対次数と等しい。

残りのダイナミクスについては次節。

ベクトル相対次数があれば、多入出力系でも入出力厳密線形化で

きる。

ドキュメント内 前半 (ページ 31-46)