を用いると、

条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

条件

1

_{を用いると、}

(L_gLⁿ_f⁻¹λ)(x) = −(L_[f,g]Lⁿ_f⁻²λ)(x) + (L_f L_gLⁿ_f⁻²λ =0

)(x)

= Lad²_fgLⁿ_f⁻³λ − L_fL_[f,g]Lⁿ_f⁻³λ

= −Lad³_f^gLⁿ_f⁻⁴λ + L_fLad²_f^gLⁿ_f⁻⁴λ − L_fL_gLⁿ_f⁻²λ + L²_fL_gLⁿ_f⁻³λ

= · · · = (−1)ⁿ⁻¹Ladⁿ_f^−1gλ = 0

λ ^の条件

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 59 / 154

以上まとめると、

条件

:

(L_gλ)(x) = 0 (Ladfgλ)(x) = 0 (Lad²_f^gλ)(x) = 0

...

(Ladⁿ_f⁻²gλ)(x) = 0 (Ladⁿ_f⁻¹gλ)(x) = 0

を満たす関数

λ(x)

^{を見つけよ。}

ベクトル場の独立性

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

ベクトル場

:

g,ad_fg, . . . ,adⁿ_f⁻¹g

背理法

ad^k_fg

が、

g, ad_fg,. . . ,ad^k_f⁻¹g

に対して、一次従属と仮定。

ad^k_fg(x) = c₀(x)g(x) + c₁(x)ad_fg(x) + · · · + c_k−2(x)ad^k_f⁻¹g(x)

なる係数が存在する。そのとき、

ad^k_f⁺¹g(x) = c₀(x)ad_fg(x) + (L_fc₀)(x)g(x)+

· · · + c_k−3(x)ad^k_f⁻¹g(x) + (L_fc_k−3)(x)ad^k_f⁻²g(x)

+ c_k−2(x){c₀(x)g(x) + c₁(x)ad_fg(x) + · · · + c_k−2(x)ad^k_f⁻¹g(x)}

+ (L_fc_k−2)(x)ad^k_f⁻¹g(x)

となり、

ad^k_f⁺¹g(x)

^{も、一次従属。}

ベクトル場の必要条件 (A)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 61 / 154

よって、

λ(x)

の満たすべき条件より、

ベクトル場の必要条件

(A):

n

個のベクトル場、

g,ad_fg, . . . ,adⁿ_f⁻¹g

は一次独立。

(=

局所強可到達性の十分条件

)

積分可能性 (1)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

条件

1

_は、

(n − 1)

^{本の連立偏微分方程式}

(L_gλ)(x) = 0 (Ladfgλ)(x) = 0 (Lad²_fgλ)(x) = 0

...

(Ladⁿ_f^−2gλ)(x) = 0

を解くことに等しい。定数解

(

条件

2

を満たさない

)

を除く。

"

∂λ

∂x, p(x)

#

=

∂λ

∂x₁, . . . , ∂λ

∂x_n

p(x) = 0, p = g,ad_fg, . . . ,adⁿ_f⁻²g

−2

積分可能性 (2)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 63 / 154

n

_{次元空間で}

(n − 1)

^{個のベクトル}

g, ad_fg,. . . ,adⁿ_f⁻²g

_{に直交する}

0

_で ないベクトルは必ず存在する。

⇓

その直交する横ベクトル

ω(x)

^{から、必ず}

s(x)(∂λ/∂x) = ω(x)

^なる関 数

λ(x)

^および

s(x) (= 0)

_{は作れるのか}

?

ただし、

s(x)

^{はスケーリング関数。}

答えは、否定的である。すなわち、さらに条件が必要となる。

→

^{フロベニウスの定理}

フロベニウスの定理

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

x ∈ ⁿ

^上の

q

本の連立偏微分方程式、

L_p1λ = 0,. . . ,L_pqλ = 0

^を考 える。

(

_{ベクトル場、}

p₁(x), . . . , p_q(x)

^{は線形独立}

)

フロベニウスの定理

:

この連立偏微分方程式が、局所的に、

n − q

個の独立な解

λ₁(x),. . . ,λ_n−q(x)

を持つための必要十分条件は、ベ クトル場が張る空間

(=

ディストリビューション

)

、

Δ(x) = span{p₁(x), . . . , p_q(x)}

がインボリューティブであることである。

ベクトル場の張る空間

Δ(x)

がインボリューティブであるとは、

[δ₁, δ₂] ∈ Δ, ^∀δ₁ ∈ Δ,^∀δ₂ ∈ Δ

となることである。

ベクトル場の必要条件 (B)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 65 / 154

条件を満たす

λ(x)

が存在する必要条件は、

ベクトル場の必要条件

(B):

ディストリビューション、

span{g(x),ad_fg, . . . ,adⁿ_f⁻²g}

がインボリューティブであることである。

状態厳密線形化可能のための必要十分条件

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

定理 状態厳密線形化可能であるための必要十分条件は、

ディストリビューション、

Δⁿ = span{g,ad_fg, . . . ,ad_fⁿ⁻¹g}

の次元が

n

_{であること。}

ディストリビューション、

Δⁿ−1 = span{g,ad_fg, . . . ,ad_fⁿ⁻²g}

がインボリューティブであること。

の

2

条件がなりたつことである。

必要性は、これまでの議論で明らか。

十分性は、制御則を構成することで示される。

制御則の構成法 (1)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 67 / 154

連立偏微分方程式

L_δλ(x) = 0 (δ ∈ Δⁿ−1)

_{の独立な解}

λ(x)

^は

1

_個存在。

∂λ

∂x · [g,ad_fg, . . . ,adⁿ_f⁻¹g] = [0, . . . , 0, Ladⁿ_f^−1gλ]

     

= 0

   条件より正則  

⇒

  よって、これは非ゼロ よって、

L_gλ = L_gL_fλ = · · · = L_gLⁿ_f⁻²λ = 0 L_gLⁿ_f⁻¹λ = 0

となり、

λ(x)

を出力とすると相対次数は

n

。

制御則の構成法 (2)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

座標変換

: z = Φ(x) z₁ = λ(x)

z₂ = (L_fλ)(x) ...

z_n = (Lⁿ_f⁻¹λ)(x)

座標変換後の系

:

˙ z =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 1 0

... . ..

0 · · · 0 1 0 · · · 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦z +

⎛

⎜⎜

⎜⎝

0 ... 0

Lⁿ_fλ + L_gLⁿ_f⁻¹λ · u

⎞

⎟⎟

⎟⎠

状態厳密線形化制御則

:

− Lⁿ_fλ(x) v

例題 — 磁気浮上系 (1)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 69 / 154

磁気浮上システム

: Mz¨ = M G − K ·

i z + z₀

₂

e = Ri + d

dt{L(z)i} L(z) = 2K

z + z₀ + L₀

e i

R

L

z M

Magnetic levitation system

z —

球と電磁石との距離

(

ギャップ

) i —

コイルに流れる電流

e —

入力電圧

M —

球の質量

G —

重力加速度

z0 —

ギャップの補正定数

R —

電磁石の抵抗

(

定数

)

L(z) — inductance (z

^の関数

) L0 —

漏れ磁束による

inductance(

定数

)

K (= µ0N²S/4) —

吸引力係数

(

定数

)

磁気浮上系 (2)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

e = e_s (

_定数

)

_{としたときの平衡点}

:

⎛

⎝z_s

˙ z_s

i_s

⎞

⎠ =

⎛

⎝

√Ke_s/(R√

M G) − z₀ 0

e_s/R

⎞

⎠

状態量

: x = (z − z_s,z, i˙ − i_s)^T

入力

: u = e − e_s

状態方程式

:

˙ x =

⎛

⎜⎜

⎝

x₂

G − K(x₃ + i_s)² M(x₁ + z_s + z₀)²

φ(x)

⎞

⎟⎟

⎠ +

⎛

⎝ 0 0

1/L(x₁ + z_s)

⎞

⎠u

φ(x) = − 1

LL(x₁ + z_s)

Rx₃ + 2Kx₂(x₃ + i_s) (x₁ + z₀ + z_s)²

磁気浮上系 (3)

システム制御理論特論 2014 年前期– 71 / 154

g(x) =

⎛

⎝ 0 0

1/L(x₁ + z_s)

⎞

⎠

ad_fg = [f, g] =

⎛

⎜⎜

⎜⎝

0

2K(x₃ + i_s)

M(x₁ + z₀ + z_s)²L(x₁ + z_s) R

L(x₁ + z_s)²

⎞

⎟⎟

⎟⎠

ad²_fg = [f, [f, g]] =

⎛

⎜⎜

⎝

− 2K(x₃ + i_s)

M(x₁ + z₀ + z_s)²L(x₁ + z_s)

∗∗

⎞

⎟⎟

⎠ (

詳細は省略。第一成分は非ゼロ

)

条件

(A)

_{は満たされている}

rankΔ3 = rank{f, [f, g],[f,[f, g]]} = 3

磁気浮上系 (4)

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論

条件

(B)

_{も満たされている}

Δ2 = span

⎧⎨

⎩

⎛

⎝0 1 0

⎞

⎠,

⎛

⎝0 0 1

⎞

⎠

⎫⎬

⎭

であり、第一成分は必ず

0

。

[g,[f, g]] =

⎛

⎜⎜

⎝

20K

M(x1 + z₀ + z_s)²L(x1 + x_s)² 0

⎞

⎟⎟

⎠ ∈ Δ2

⇒ Δ2

は

involutive

_。

λ = x₁

を出力と取って入出力線形化をすればよいことがわかる。

「状態厳密線形化」のまとめ

はじめに

非線形システムの表現 解の存在と一意性 厳密線形化とは 入出力厳密線形化 ゼロダイナミクス 状態厳密線形化 基本的考え方 Lie 括弧積 出力関数の条件 条件1 の変形 条件2 の変形 λ の条件

ベクトル場の独立性 条件 (A)

積分可能性

フロベニウスの定理 条件 (B)

必要十分条件 制御則の構成法 例題

まとめ

Lyapunov 安定論 散逸性

受動性

非線形系の安定余裕 機械系の制御 制御リアプノフ関数

システム制御理論特論 2014 年前期– 73 / 154

状態フィードバックと座標変換で、非線形システムを厳密に線形化 する。

相対次数が

n

となる出力があるか否かが、可制御な線形システムに 変換できるための条件。

必要十分条件にインボリューティブ条件が含まれるので、一般には

厳しい条件となっている。

ドキュメント内 前半 (ページ 66-81)