次元多様体は，

(1)

寺垣内政一広島大学大学院教育学研究科

（市原一裕（大阪産業大学），斎藤敏夫（大阪大学）との共同研究）

次元球面内の結び目に対して，どんなデーン手術によって，どんなレンズ空間が生じるかという問題は基本的かつ重要であるが，その完全な解決には未だ至っていない．自明な結び目のデーン手術によって得られる

次元多様体は，

次元球面，

，そしてレンズ空間

である．従って，以下，非自明な結び目のみを考察対象とし，

次元球面を生じるにすぎない自明な手術は考えないことにする．

合成結び目を手術した場合，必ずハーケン多様体が得られる．特に，基本群は無限群であるため，有限巡回群をその基本群とするレンズ空間を得ることはできない．（合成結び目の外部のトーラス分解を考えると，境界にもっとも近いピースが

とよばれるザイフェルト多様体である．その正則ファイバーはメリディアンと同じスロープをもつため，非自明な手術で貼り付けるソリッドトーラスに，結び目外部のファイブレーションが拡張可能である．既約な多様体を

なトーラスで張り合わせているため，手術の結果得られる多様体は既約かつ

なトーラスを含んでいる．）素な結び目は，よく知られているように，トーラス結び目，サテライト結び目，

双曲結び目の

つの族に分類される．トーラス結び目に対するデーン手術は完全に分析されており，

型のトーラス結び目

に対して，レンズ空間を生じるスロープは

である．特に，整数スロープに限定すれば

のみである．サテライト結び目に対しても，レンズ空間を生じる手術の決定はなされており，トーラス結び目

の

に対してのスロープ

のみがレンズ空間を生成する．（注意してもらいたいのは，トーラス結び目とサテライト結び目に対しては，基本群が有限巡回群となる手術（巡回手術）がレンズ空間を生じる手術（レンズ空間手術）と同義であることがわかっているという点である．一般に，有限巡回群を基本群にもつ向き付け可能な閉

次元多様体はレンズ空間に限ると予想されているが，現時点では未解決であり，巡回手術とレンズ空間手術は必ずしも同義ではない．）こうして，双曲結び目に対するレンズ空間手術の決定が残された問題に他ならない．具体例は以前からいくつも知られており，

の

及び

が代表例であろう．

(2)

こうした状況にあって，

は本研究の対象である

^! ^"

とよばれる結び目のクラスを定義した．その定義は以下の通りである．まず，種数

の閉曲面がの標準的な

^#!

分解

^¼

を与えているとする．従って，

も

^¼

も種数

のハンドル体である．曲面上にある結び目が，いずれも階数

の自由群である

及び

^¼

において，基底の一つの元を代表するとき，を

^! ^"

な位置にあるという．そして，

^! ^"

な位置に

な結び目を

! "

とよぶ．ここで注意が必要なのは，

^! ^"

な位置が一意とは限らないことである．実際，少なくとも二つの異なる

^! ^"

な位置をもつ結び目は存在する．

例

下図は，もっとも簡単な

^! ^"

（の位置）を示している．ただ，

結び目自体は自明であり，興味の対象ではない．

K

H H’

図

例

図

は，任意のトーラス結び目が

^! ^"

であることを示唆している．

また，図

は，

の

^! ^"

な位置（の一つ）を示している．

は，

^!^"

のクラスを

個構成している．（最近，

^$

によって，

の

^!

による表現が与えられている．）第一のク

ラスはトーラス結び目全体からなり，第二のクラスは先にのべたレンズ空間手術を許容す

るサテライト結び目全体からなる．

のクラスに属する

^! ^"

を

(3)

図

とよぶことにする．

予想（

）

! "

は

である．すなわち，

^! ^"

は，

が構成した

のクラスのいずれかに属する．

この予想はともかくとして（重要だが難しい問題と思われる），

^! ^"

の重要性はレンズ空間手術を許容することにあるといってよい．

定理 ^% ^! ^"

に対して，その

^&

による手術はレンズ空間を生成する．

前後したが，

^! ^"

の

^&

とは，

^! ^"

な位置

においたとき，結び目を曲面上で平行に少しだけずらしたものによって定義される整数ス

(4)

ロープである．（ずらして得られる結び目ともとの結び目を同じ方向に向き付けた際の両者の絡み数として読み取れる．）従って，より厳密に述べれば，

^! ^"

な位置に関して一つの

^&

が定まるのであり，

^! ^"

な位置が一意ではない結び目の場合，結び目そのものに対して，

^&

が定義されるわけではない．ただ，

^&

はレンズ空間を生成することと，

^' ⁽

（双曲結び目に対する巡回手術は整数に対応し，高々二つ．さらに，もし二つあるのであれば連続している．）を考慮すれば，

^! ^"

の

^&

は，高々二つしか存在しない．（それでもなお，

^! ^"

な位置そのものが，いくつ存在しうるのかはわからない．）逆に，

^! ^"

のレンズ空間手術は必ず

^&

から実現されるかという問題は未解決に思われる．

そして，次の予想がレンズ空間手術に関する基本予想といってよいだろう．（

⁾

の問題集にも，問題

^%

として収録されている．）

予想（

）

レンズ空間手術をもつ結び目は，

^! ^"

である．

整理すると，

は

^!

"

であり，

^!

"

はレンズ空間手術を許容する．右図に示された

つのクラスがすべて一致することが期待されていることになる．（文献によっては，

^! ^"

のことを

とよんでいる．）

Berge knot doubly primitive knot

既知の結果

これまでに知られているレンズ空間手術（あるいは巡回手術）に関する結果を紹介する．（網羅しているわけではない．）

双曲結び目の巡回手術は整数スロープであり，高々二つしかない．また，もし二つ

あるならば，連続した整数に対応する．

(5)

トーラス結び目でない交代結び目は，巡回手術をもたない．

トーラス結び目でない結び目が

^"

以外の対称性をもつと，巡回手術をもてない．

トレフォイルがレンズ空間手術をもつ唯一の種数

結び目である．

が巡回手術をもつ唯一のプレッツェル結び目である．

や

^,"-^'.-

による

^/ ^'

理論

，

^#! ^/ ^'

理論がレンズ空間手術に関する衝撃的な結果を導いている．

0

ならば，は自明である．（この系として，結び目の補空間予想及び

予想が導かれる．）

整数

に対して，

がレンズ空間ならば，

⁰

!1

．

に対して，

⁰

となるレンズ空間手術をもつ結び目の

²³

!

多項式となりうる

⁴

多項式は有限個しかなく，それを求めるアルゴリズムが示されている．

なる整数

に対して，

がレンズ空間になるならば，は自明かトレフォイル．

整数

に対して，

がレンズ空間ならば，

^%

整数

に対して，

がレンズ空間ならば，

1

0

（ただし，

⁵

）

なお，最後の

^23!

多項式に関する条件は，必要条件ではあるが十分条件でないことがわかっている．たとえば，

⁵

は

^23!

多項式

¹⁰

をもち，上記の条件をクリアするが，レンズ空間手術をもたないことがわかっている．

また，門上や門上

山田

^$ ⁵

らによってもそういった制約が研究されている．

6

，

による結果は，

⁷

における予想にかなり迫っている．

がレンズ空間ならば，

．

⁶

を

^! ^"

とする．整数

がレンズ空間手術ならば，

．

(6)

結果

本稿の主結果は，

^! ^"

に対する

^23!

多項式の公式を与えることにある．また，その議論における副産物として，上述の

^,"-^'.-

による

23!

多項式への制約を再現することができた．

主結果を述べるためには，

^! ^"

の

^!

に対するパラメーターを必要とする．

レンズ空間

（

⁵

としてよい）内に次のような結び目を用意する．

P P P

D D

0 1

1 1

2

k

k k

@

t t

レンズ空間

の種数

の

^#!

分解

を考えて，

のメリディアンが

の境界上の

ループに張り付くとする．上図において，

，

が

，

のメリディアンを示し，それらを

上でみている．

，

に向きをつけ，それらの交点を

にそって

と名づける．

となる整数

に対して，

内で

と

をつなぐ弧を

とし，メリディアン円盤

内で

と

をつなぐ弧を

とする．そして，

を結び目

⁸

とよぶことにする．

定理

（

）．

^! ^"

が

^&

をもち，

⁰

とする．このとき，

におけるの

^! ^£

は，ある

（ただし，

）に対して，

⁸

と同値である．

による証明は，の種数

の

^#!

分解に対する

⁹^"^:'

（

^#,:

(7)

の定理）を使用する．なお，その証明を整理したものが

⁽

に収録されている．

! "

の

^23!

多項式を記述するためには，

によって定まる二つの関数が必要となる．

5

に対して，

^;

及び

^<

をそれぞれ，

; !

かつ

^;

< 0 ; ;

かつ

として定義する．

^!

を基本列とよぶことにすれば，

^;

は基本列における数字

の位置を示すものであり，

^<

は基本列において，

より前に出現する小さい数字（

以上

以下の数）の個数を示している．（なお，基本列において，

⁵

は必ず最後に登場する．）

主定理．

を

^!^"

とし，

^&

をもつとしよう．

⁰

におけるの

^!

が

⁸

と同値であるならば，

1

0

ただし，

0

かつ

⁰

．

具体例を見てみよう．

例

を

^''!! ^&

とする．

⁽⁰ ⁽

であり，

^£ ⁰ ⁽⁸

であることがわかる．

基本列は

=5

であるから，

5

; (

< 5

< ; (

こうして，

⁰ ⁰

となる．

⁰ ⁰

より，

¹ 0

(8)

0

を得る．

例

を

とする．

⁰ ⁽

であり，

^£ ⁰

(8

となる．基本列は，

=(5($$$$$7$$7$$$$5

．

5 ( 7

; (

< 7 ( 5

< ; 5 ( 5

従って，

⁰

であり，

⁰⁰

だから，

¹

0

を得る．

以上のように，手で計算することも容易だが，

のプログラムによって簡単に計算できる．われわれの公式を適用するためには，

^! ^"

に対して，

!

のパラメーター

が必要とされる．実際，

の予想と関連するが，

既知の

^! ^"

はすべて

であり，それらに対しては，

⁷

においてパラメーター

が計算されている．

! "

が，

^&

をもち，

⁰

と仮定する．また，

^!

を

^£ ⁰ ⁸

とし，その結び目群を

⁰ ^£

とする．

V V

unknotting tunnel

1 2

X Y

このとき，

^£

がいわゆる

であり，上図のような

をも

つことから，

は

つの元

で生成され，関係子は

の

に対応した

(9)

'!

から生じる．つまり，

上で，

ループを読み取ったワードに他ならない

⁼

0

また，アーベル化によって，

，

であることもわかる．

実際，

0

& ! & 5

5 '+

とおけば，

0

となる．

自由微分を実行して，

0

となる．従って，

⁰

とおけば，

0

ただし，

⁰

，

^! ⁰

とした．

次に，

⁰ ⁵

となる場所を

⁰

としよう．すると，

0

だから，

0

をえる．以上から，

^23!

行列は

であり，

^23!

多項式は

1

0!

であることがわかった．

(10)

主定理にのべた

は，

に一致する．簡単な議論から，が

を割り切ること，が

を割り切ることが示され，

¹

は

と

の最大公約元に等しいことになるのだが，実はこれら

つの多項式が一致する．

なお，本稿の詳細については，論文をご覧いただきたい．

参考文献

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次元多様体は，

寺垣内 政一 広島大学大学院教育学研究科

（市原一裕（大阪産業大学） ，斎藤敏夫（大阪大学）との共同研究）

次元球面内の結び目に対して，どんなデーン手術によって，どんなレンズ空間が生じ るかという問題は基本的かつ重要であるが，その完全な解決には未だ至っていない．自明 な結び目のデーン手術によって得られる

次元多様体は，

次元球面 ，

，そし てレンズ空間

である．従って，以下，非自明な結び目のみを考察対象とし，

次 元球面を生じるにすぎない自明な手術は考えないことにする．

なトーラスで張り合わせ ているため，手術の結果得られる多様体は既約かつ

なトーラスを含んで いる．）素な結び目は，よく知られているように，トーラス結び目，サテライト結び目，

双曲結び目の

つの族に分類される．トーラス結び目に対するデーン手術は完全に分析 されており，

型のトーラス結び目

に対して，レンズ空間を生じるスロープは

である．特に，整数スロープに限定すれば

のみである．サテライ ト結び目に対しても，レンズ空間を生じる手術の決定はなされており，トーラス結び目

の

に対してのスロープ

の

及び

が代表例であろう．

こうした状況にあって，

は本研究の対象である

とよ ばれる結び目のクラスを定義した．その定義は以下の通りである．まず，種数

の閉曲面 が の標準的な

分解

を与えているとする．従って，

も

も種 数

のハンドル体である．曲面 上にある結び目 が，いずれも階数

の自由群である

及び

において，基底の一つの元を代表するとき， を

な位置にあるという．そして，

な位置に

な結び目を

とよぶ．ここで注意が必要なのは，

な位置が一 意とは限らないことである．実際，少なくとも二つの異なる

な位置を もつ結び目は存在する．

下図は，もっとも簡単な

（の位置）を示している．ただ，

結び目自体は自明であり，興味の対象ではない．

K

H H’

図

は，任意のトーラス結び目が

であることを示唆している．

また，図

は，

の

な位置（の一つ）を示して いる．

は，

のクラスを

個構成している． （最近，

によって，

の

による表現が与えられている．）第一のク

ラスはトーラス結び目全体からなり，第二のクラスは先にのべたレンズ空間手術を許容す

るサテライト結び目全体からなる．

のクラスに属する

を

とよぶことにする．

予想（

）

は

である．すなわち，

は，

が構成した

のクラスのいずれかに属する．

この予想はともかくとして（重要だが難しい問題と思われる） ，

の重要性はレンズ空間手術を許容することにあるといってよい．

に対して，その

による手術はレ ンズ空間を生成する．

前後したが，

の

とは，

な位置

においたとき，結び目を曲面上で平行に少しだけずらしたものによって定義される整数ス

ロープである． （ずらして得られる結び目ともとの結び目を同じ方向に向き付けた際の両 者の絡み数として読み取れる． ）従って，より厳密に述べれば，

寺垣内政一広島大学大学院教育学研究科

（市原一裕（大阪産業大学），斎藤敏夫（大阪大学）との共同研究）

次元球面内の結び目に対して，どんなデーン手術によって，どんなレンズ空間が生じるかという問題は基本的かつ重要であるが，その完全な解決には未だ至っていない．自明な結び目のデーン手術によって得られる

次元球面，

，そしてレンズ空間

次元球面を生じるにすぎない自明な手術は考えないことにする．

なトーラスで張り合わせているため，手術の結果得られる多様体は既約かつ

なトーラスを含んでいる．）素な結び目は，よく知られているように，トーラス結び目，サテライト結び目，

つの族に分類される．トーラス結び目に対するデーン手術は完全に分析されており，

のみである．サテライト結び目に対しても，レンズ空間を生じる手術の決定はなされており，トーラス結び目

とよばれる結び目のクラスを定義した．その定義は以下の通りである．まず，種数

の閉曲面がの標準的な

も種数

のハンドル体である．曲面上にある結び目が，いずれも階数

において，基底の一つの元を代表するとき，を

な位置が一意とは限らないことである．実際，少なくとも二つの異なる

な位置をもつ結び目は存在する．

な位置（の一つ）を示している．

個構成している．（最近，

この予想はともかくとして（重要だが難しい問題と思われる），

による手術はレンズ空間を生成する．

ロープである．（ずらして得られる結び目ともとの結び目を同じ方向に向き付けた際の両者の絡み数として読み取れる．）従って，より厳密に述べれば，

な位置に関して一つの

な位置が一意ではない結び目の場合，結び目そのものに対して，

が定義されるわけではない．ただ，

（双曲結び目に対する巡回手術は整数に対応し，高々二つ．さらに，もし二つあるのであれば連続している．）を考慮すれば，

は，高々二つしか存在しない．（それでもなお，

な位置そのものが，いくつ存在しうるのかはわからない．）逆に，

から実現されるかという問題は未解決に思われる．

そして，次の予想がレンズ空間手術に関する基本予想といってよいだろう．（

の問題集にも，問題

として収録されている．）

はレンズ空間手術を許容する．右図に示された

つのクラスがすべて一致することが期待されていることになる．（文献によっては，

とよんでいる．）

これまでに知られているレンズ空間手術（あるいは巡回手術）に関する結果を紹介する．（網羅しているわけではない．）

以外の対称性をもつと，巡回手術をもてない．

理論がレンズ空間手術に関する衝撃的な結果を導いている．

ならば，は自明である．（この系として，結び目の補空間予想及び

予想が導かれる．）

となるレンズ空間手術をもつ結び目の

多項式は有限個しかなく，それを求めるアルゴリズムが示されている．

がレンズ空間になるならば，は自明かトレフォイル．

多項式に関する条件は，必要条件ではあるが十分条件でないことがわかっている．たとえば，