九州工業大学研究報告（工学）No．四 198・1年9月 77
ユニットにより構成される多面体の模型III
（昭和59年5月31E 原蔚受付）
自 然科学勃主 三 村 文 i弐
ロ
Polyhedroll Models Constructed by Units III
by Fumitake MIMURA
Abstract
P・1yhed・。・m・dd・c・n be c・・st・ucted by・q・a・e u・it・（S…it・）． t・i…9・1…mit・（T．u。it，）
and square・triangular unit§（ST−units）． S・and T・ullits（also ST・ullits）are made respective｜y froln papers （so called Origanユi） of square and・厄一rectangle （two sides…ヨre in the ratlo1：、庁）．
These units with con〕plex lnoulltain and val］ey folds were combilled to built polyhedron models 2L盟㌧ In this paper， generalized triangular units（GT−unit5） aTe made fr⑪m arbitarvα一rec・
tangle（0＜α≦2｝． These GT・Llnits enable us to construct various polyhedroll nlodels． e．g．，
dodecahedron， great dodecahedroll alld slllan or great stellated dodecahedron， and dual Polyhe・
drons of Archimedes polyhedr⑪n§， etc．．
＿ ユニットを組み込む方法旧9笥35）で多くの可能な多面体 1．緒言 を組み立てた。しかし，このユニッ1では，多面体はそ 一様多面体とプラトンの立体（正多面体）の星形多面 の面又は一部が正方形（2つの直角2等辺3角形）か正 体（このうち，ケプラー・ボアンソーの立体のみが一様 3角形に展191可能（developable）なものに隈られる。こ 多面体である）は，ブリュクナー1似後，コクセタを中心 れは非常に強い制約であって21，22）では、多面体の正 とする研究グノレープ3刊によって体系化され，そのすべ 確な形状よりも，ユニットの折り込み線とその親み込み てが完全に数えあげられている。詞アルキメデスの立体 に重点を置いて多面体を組み立ててきた。 本耳萌川では，
〔準正多面体）やその双対立体9120）も星形（stellation） このユニットを更に発展させて 一一般の形の4面体や平 にすることができるが，あまりにも多くの可能な形があ 行6面体を始め，正12面体とその星形多面体（大12面体，
るため，その完全なリストは得られていない《川。 小星形12面体，大星形工2面体）や，アルキメデスの立体 ウェニンガーコ7）は，数学的に存在が証明されたこれら 〔準正多面体）の双対立体のうち，その面が2等辺3角 の多而体の実現を試み，文献4，7，9｝に従って，統一 形か菱形（2つの2等辺3角形）である立体の組み込み 的に，すべての一様多而体と一部の星形と複台多面陪と を紹介する旺悟統一的な方法によるこれらの租み込立停 を製作した三ウェニンガーの方法は，独自のネットを作 は，その造形の韮しさと共に、廻築や芸術2：｛ 2 1）・結晶ll胃 つて，これを接着すろことによっている。華者21・兜は、 造や分子結台の京何学的モデルi5 川としても広く親しま ウエニンガーと異なり」凹，接汁のかわりに継手のある れることであろう。
注1）アルキメデスの立体のうち，立方8而体と20・12面体の星形
多面ぽについてはカンディとロ1、ット旬がユ｝1べている。また，二の 注2］他に，ξ，角形の瓢を部分的に「臼ユ合わせて折り込し1方法12・P1｝・
2つのモれそれの双対で茄聾ヌ∫｛獅ともいう‥2師1；・は・｝方 川岬融頑舗る方i三… 『岬 口』一■： 二1蝋蕊
3噸li・の翻揮豆国こついて割一川謎・ゴあろ．27｝に i：聞これにi剛酬切1つ舳ぽ鋪ノ⑳酷を服た・1鞭
は，9）にある立方8面俸と20・12面仲ρ9星影多面昨が製作され ケプラー・・ボアンソーの立r｛二と呼ぷ、
ていろ。 注．口27）で1：にれ1）の ヱ寸立体の製11蝦古堅されてい日。
7s
込む場台は，MFを山線として折り返すと3角形MLF 2一般靖ユニ・ト（GT・蝋） カ・継手となる．右手系と右孫（又は左手系と左手系）
これまでの正方ユニ。ト〔S．U。it）や3牢二・ト GF…it・を組みiムむ胎蹴のようにして1乍る・西IE・
（T．U，i，）を発1…て，任1諏長方形（・＜・≦2， NFの轍それぞ醜Lとする・ML蜘返し□
2辺砒が1：、1の姉汗多）か・5次醐劇図一1）で一 形WILFDを3卵MKLに動・この3酬からはか
殻3角ユニ。ト（9＿li、，d・・i、m、・1−i・・GT・ulli・） 出した部分を折・〕込む剛除する・3卵MKL Iこ動 を作ることができる。一・一・一は山線折ワ（mOUIltain る部分が継手となる。
f。ld），……は舗折り（vall，y f。ld）を示す。 これら2⑳継手駆別して異手系への將をもつ 鋼．itの折肪長方脚形により2つの場合が GT・U・i曲モの継手の個数だけ右下に・をつけて4乏す ある．図．1上段の図1まCM・＜CD／2の胎である。間 と・GT−u・1・・1‡次の6砒なるIGT・GT・・G元 形ABCDの辺A臥BCの中髄そ］・それM， Nとする。 GT＊・GT‡・GT≧とえぱGT・｛まエ・トの一 辺CD上に点Mがくるよう蜥線NFをいれ， M鴎 右孫と左孫への継手をもつ右手系GT杣it・G隠 なる辺CD上の鷲Mとする調様1・，襯MEを・・ 緬端に2つの・告手系へ酬手をもつ左手系GT−・nit れ，辺AB上鱒畦定める．帥r， NFの碩に，続い である胤手は・本質的にはこのようにして作れ1＃
てMN㌔MEの順に折り込む。 いが，融形の形によっては組み込み鰯くなったりす 階剛CM ≧CD／2のナ胎3 までは上と醜 るも眺あるので・後で述べるように・それぞれの麺 W蜥りCM・」、にCMとNFと鮫軸rを勧る。 体1・応じて継手を珪すること力量躍である・
同様に，AN 上1、 N・を定める。3角形NCM・とMAN・ @写真一］｛ま・それぞれ｛壬輌長方形（°＜・≦2）
を酬して上と同齢励込恒1。 から作ったG剛・の組みiムみに抽搬の形の4
辮の折・坊図．1に示したユニ。トを右手系σr・ 面体と平行6面体である・調〃・GT＋・・GT＊はそれぞ uni、，初反射継、鏡に乳た／継左手系GT…｛・・ れ・・ 個と端のGTU・it・（右手系）とIGT＊−UI1｛ts〔左
（GT＊−tmlt）と呼ぷ。右手系と左手系GT・unitを組み 手系）の組み込みを示す。
D F
N
M
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1・
1 2 J B 」D
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、r N㎡
Mト N
， 「 〆 ，
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．
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㌃ ㌃ き1
プ げ
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／／ M・
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じゴ う
16，三 ， ・・仁・、 ‥・ r … 冒…でE ：、
：c 4 5 B 図一1 GT−unit5の折り方
F
注引NM・， MN宅その共己ワ込んでも却、力紐三己み立体の 出来1三切涼した万が上［㌔
11．，・二 ∴ ・ぶ・ ・ ； ． 1： ∴
一 ．
1 1 ， ・ 層 ． ｝ r 『 、、・
、．唱． l l
ト °
｝ ㌔」 ・ ・一ヘー・一
1 ＿一
L4面体 GT×＊＋GT㍍ 2．平行6面体 3GT＊＋3G賢 写真一1 任意のGT・unitsの組み込み
3。GT・unitの解析
A A M F D lプ
ド θ長方形（o〈α≦2）から作ったGT unitの折り線図形 N・÷斗
ロ コ び
について調べる。図一1の3（又は5 ）において， AB＝ i〜
ノ NM ＝1， AD＝〔7， MF＝FM ＝x， CM ＝6とおくと i∫
ノ NM 2＝NC2十CM 2よりCM ＝、／T：て研となる。従っ L r ：
K O L
てDM ＝DC−CM ＝1一禰。故に， FM 2＝ 吉‥ B E N c c・
FD2÷DM 2より 図＿2 α長方形の折り線 x2＝（α／2−．℃）2÷（1−、禰）三）2
が成立し，これより次の関係式が得られる： ． NM ：NC＝1：α／2＝x：1−（1一工2）／（1＋x2）
エ＝（2一／冒）／o （0〈〃≦2） （1） ＝M F：M D
α＝・ ／（1十λ・2） （2｝ より3角形NCM とM DFは相似である。∠CNM ＝ ゐ＝（1一λ・2）／（1十工2） （3） γとおくと∠DM F＝γより
∠DM K ＝β一α一γ＝π一3α一γ （2α＋β＝π）
これよ1）・図ゴの上段と下段の図はそれぞれ次の胎 となる．従って
となる： @ ，i，（∠DM K ）一，i，。，。1，（3−4、il1・。）
0≦CM ＜1／2⇔°≦6≦1／2⇔・庁く・≦2 ÷，。，α，i，γぐ1，。，・。−3）…
1／2≦CM ＜1⇔1／2≦δ≦1⇔°＜・≦・庁 、次の関係式
これまでのS⇒T−ullitは・それぞれ゜の値輌＝2 ，i11α一〇M／KM−1〃1＋．・，
（2長方形）・・一・庁（・願方形）としてこのGT・U・itS si，，−CWIソNM 一（1−。・）／（1＋。・）
「
。！元K 〜1
∫i
／i
已K・
｝！二」
の刺冶まれる・ ，。、。＝OK／1〈M−。／、亘，
同手系醐み込むGT−・・itの3宝手を作るMLFDの3角 、。、γ一CN／NM −2㎡（1＋．・）
形MKO（図一1の・1；OはMNの中点）と亜なる部分
は，もとの長方形が2長方形に近づくにつれて少くなる を代入して計算するとDD が求まる1 ので，もとの長方形を両側に伸ばしておくとよい。その DD ＝M K s｛11（∠DM K ） 長さは次のようにして求められる。GT−ullitの同手系へ ＝−x（．1・LlOλ・2÷5＞／2（．℃2÷1）2 の継手を折り込んでもとの長方形に開くと図一2が得ら ここに・0＜AD≦2・DD ≧0より
］tつ・ 、5−2、r5≦．≦1（、／10÷2、／5／2≦・≦2） （4）
3角形MKL， LM F， M K Lは合同であるから・
∠LMK＝α， ∠⊃viKL＝βと才〕くと， ∠1）NrK ＝：β一 注6） sil1（π・−3α一γ）＝sil1（3α÷γ）＝sil13αcosγ・1・cos3αsinγ・
・となる．また， ・i・3・−3・i1】・−」sil13・・c°s3・＝4c°s3α一3c°s仏
80
故に，A D ＝AD÷2DD ＝〆は
α＝ 一エ（，〕［ 4−14．、．2十1）／（エ2−←1）2 （5）
となる。さらに，NC：CM ＝NC ：C M よりC M ＝b は
〜プ＝・（．τ2−1）（x4−14∫2十1）／4（エ2−←1）2 （6）
となる。このように，θが（4）の施囲にあるときはθ長方 形を両側に伸ばした〆長方形A B℃ D から同手系への継
写真一2 3長方形によるGT・unltsの組み込み 別な場合としてのS−unitは，エ＝1とおくと｛5）↓（6）より
それぞれα ＝3，6 ＝0となるから，3長方形から折るこ 4．正12面体とその星形多面体のGT・units
とができる（図一3）丘7）・MLK ・NKじが同手ﾟ継手 正12面｛本とその星形多面体はいずれも12個の面をもち，
である・写真一2は3繊からf乍ったS−umtsの組み込 @その鵬正12面体と大12面体では正5鰍4・星形12 み立体である・ 面体と大星形12蹄・では星形正5角形である．外部から
見るこれらの多面体はいずれも60個の2等辺3角形で囲 まれている1捌。表一1は各多面体を囲む2等辺3角形の角
A曇 N M F D ＿ ， ＿一 ◆
L
，
、
、 、 、 ， 、 ， 、 、
， 、、
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、 、 、 、 、
ク
，
ノ
と辺の比である日 PP・1 0←1㌣（ヵ，の1ま各囲が♪角形，各頂 点がワ角錐の多面体を示すシュレフリーの記号である tg㌧
K @ これらの立体を組み立てるためには，GT−tmitの菱形 MKLM（図一1の4又は6 ）の中に表一1の2等辺3角 B E N M C 形を実現させなければならない。各3角形についてエ＝
1 1i K KL／MNを求め，式（2），（3）より、， bの値を算出したも ｝ のを表一2に示す（近似値は小数第5位を4捨5入）。3
Mi・M 角形MKNが獅体，3角形MKLが他の3つの多面
、 ！。 体を囲む3角形となる・
1 ！ E l
i N 1 ウ
L・
L − L
N
3
図一3 3長方形によるS・unitsの折り方
L 表一1 正12面体とその星形多面体を囲む2等辺3角形
表一2 正12面体とその星形多面体のGT・units
多面停の名称 1 ・ 1 ・ 1 b 1〃の近似値 わの近似値 正 12面体 卜百丁 卜栴5）／2 1 1／（∫5 ÷1） 1．9〔121 0．3090
12面体 トエー 卜斎）／2 1 1／（！百刊） 1．9021 i 0．3090
一1小星形］2面体 卜百ご）／5 卜卿5）／2 1／（、百一1） 1 1．1756 1 0．8090 ブ（星形12而｛：｛二 卜炉彌／5 い雁マ5り／2 1 1／（、信一1） 1．1756 1 0．8090
注8）正12面｛ζの正5角形の而は5個の2等辺3角形に分割する。
注7）S．、ni、の折り方かろいろあり．2LP．S9）・紹介したものの 注9）正〃1角形の1∫i点を〃個▲・き・結んででき強形正・〃角形 1色1こ，18，P154、19，P．31）などがあろ・ ｛圭〃r〃で2ξさ］・る・蹄了E5脆1：♪＝5／2であろ・
K D K n． D
占・「
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、 ． 、 コ し リ トへ
M ∫・ 1≒＼）・来唱＼・．
P！P・ ：＼ 、『P／ 〜＼P
㌶ 1 、、 ノ ・ ノ ・ ・ 1 ， 1 、、 〆 ・ ． ノ ・ 、 ノ ㌦ 1、 ．＿．＿一＿一＿．＿一＿．＿、 K l ． ．
ノ・ L ノ ・㌔ i L K「… −L
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E ！ Eピ ー、・』 ＼ ∫ N 、、 N E・， ㌶N 耳 』 ∵，．． 富 コ ＼、／耐コ
BL − iTL 呼 B
iEl2面｛．｛： 大12ifl］1．1： 小呈形12面倖，大」1三形12面洋
K K 1｛皐
M 、 M M M F
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ト P 、、
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． ，／ ＼ ヘ ノ ト
K−〉ご…−L K・一一一…一・L K、、一一一一一一一・1． K、 L
／！ S i ．＼＼ 心・一・一・s
q @ 1 ＼ ∫＼
1、 ！ ∫ ㌧
N N N N
L・ 担ノi L 却三 L・ 旭 L・T μ占
凹2｛卜12i川言： 1E 5「rl住 正5的反1主 凹七月頭平行6πlili：
図一4 GT−unitsとその折り込み線
各GT−unit．sの折り方 表一2に示すθ長方形から 体ができる。
CM ＝BN ＝わとして図一1に従って折ると図一4の 凹20・12面体，正5角柱、正5角反柱1川1（βri．±3−ullils）
MEBNFDが得られる。 これらの立．体のUnitsはρ∫1−1mitを1乍るMKL NLK に図 正12面体（ρ1「Unit）1＝、5−2、／5 1±｛・nを満たすエの 一」の下段に示す折り込み線を入れて得られる。互∫；に
最小値であるからMLでMLFDを折1〕返すとMDはME おいてP，ρ1ま∬∫1のそれと同じである。 MK｛NL），
に亜なる。Kに重なるMD上の点をK「とする。 Mから MIぐ（NL ）上に端点をもつ［．LI線はそれぞれに垂直。
LK に垂線MPP を下し， PP を切ってPLをll．已 ！とし 凹切頭平行6面俸11121〔ρ∫；−tmit） この立体のUlli日も て折り返す旧o｝。 ∬r1−ulli［をつくるMKL NFに折ワ込み線を入れて得られ 大12而1体（∬12−Ullit） MEBNFDはρ runi［と同じもの る。∬riにおいてRNIRK＝KN／RN l±黄金此（・∫5÷1）
である。この増合はLK を山線として折り返すか切除す ／2である。 RS， RTはそれぞれKL・KL に平1丁．
ればよい。
小星形12面体，大星形12面体（0、 rul】it） NF， ENを 注ll｝13・1］」02）で【‡2［ρ］＋♪［」］・2［司＋2∫ i：｛」をそれぞれ
嶋として折り返し平行4辺形MENFをつくる・・KML 謬：三li；蕊、i鷲蕊；1；lltl煕1：灘
＝己LMF／2＝36°だから，∠LMFの2等分憩をMPと li汕田而1±輌E．1又1：田1ユ「 1形□±撫、。
すると，MLで折・〕返すと点1・1±ME」二；こくる， MPを 注12｝㈱：｛｛i躰肝1±・デ・ラーの卵画「．弍テ・ コ1戸 ・・こ｝・〜1
山線に折川酬IL酬1手として祖辿むと強い立 籔ill き1蕊蕊、τ慧麸：ll蕊蒜ご
注1「｝lLlぐ〔L・K｝をIll辣として折1」返一rか切pi言してもよいが削み迅 ここで作る立口IC切頭に・bて阻」，」1る31肺｝のilliを凹1〕∫「藤1
詞：弱い。 ：二：謡Lた加て 炉：い駅卜：1ぷ
s2
た。この立体だけはゴ＝47S／81、∫τ長方形からC M ＝ 5・アルキメデスの立体の双対立体のG「「 unitS A N・一占・−239ノ］620（図一2）としてGT−・・｛・を折る。
ア，レキメデスの立1⊇正多面1‡）の双対立齢うち， また，斜プ∫30面体は・・／2・占 −1・1／2だから・蹴に2 そ、）面が2等辺3醐か難（2つの2等辺3角形）で 長方形か・品1 ・N〃翻帥点としてGT｝Ullitを折るこ あるも，）戯一3に示す7種がある131・1・・一．1こ醇ミに， とができる・くf旦しK ・L 1ま辺より内側にくる｝・
配なるそれぞ醐2等辺3漸多の辺砒（菱蹴綱 各GT・UI・it・の折肪映嶋形をMIくNLとし・両
線砒｝を示した。 6｛・」にそれぞれML・NK Iこ関して3醜MLK・NKLと
、悟、）醐緬体醜面｛‡，GT−u・it畷形MKL 対称｛・継手となる3角形MLK ， NKL をつくる・M，N N（図一］の4）の中に，3方4面体，3方8面体，3 よりそれぞれ垂線MP， NQを下す。
加面体で⊇形MKN、4方6醜5加面体で 3方4面1‥方8面1本・3方唖体（・∫・…）MN・
は3角形MKL、細2面｛牟，斜方3。酬・で駿形MK EIL， NK・MP・NQをすべて嶋二折る・
LN；として期されるぷ一2と1司様に洛3酬又 4加酷5方12酔（・1…）KL・ML・NICを山 は菱形について，お・」を計算すると表一4が得ら 線噺る・
れる、こ蜘の4方6面体だけ1ま・−2／、励・不制41 斜加面i」・・斜方30面1‡（σ1・・1・）MLとNKを山線に を満たす範囲にあるので式㈲，㈲よリゴ，がの値を求め 折る。
上旺郷尋・卜剛緬1牟 面 辺 の 比
卵緬司 3方」面体12守辺3角形i3・：仁5
．切頭6酬・1 3加耐2苛・辺3緬｝2…2・厄
切豆n］2iili｛oi： 1 i糊・面昨2等辺・晒∋2・2・3÷1馬 i 司
・加1耐2二辺3角形1・・3・・
巴゜而伴 鋼f再体 2等辺3角形16・6・9r信
寺
V倖1・1紡1・而｛｛・ 菱 形い…丁 駐1斜方・・面体 ［菱形1晒÷楡
＝匝蓮坐＿ご」 1固と、，關辿ま］、ていることを示す。T−、・i・・1こつい
ては21，22｝を参照。
表一3 準正多面体の双対多面体を囲む2等辺3角形 6．多面体の構成
製作した多面体を写真によって示す。写真の下には多 面体の形状と，その多面体の組み立てに必要なGT−ullits の種類と個放を記号で示した。［1月は正♪角形［♪ ］は（正 でない）♪角形を示す。従って）」 ［♪］＋ 〜［σ ］は，その多面 ・体が、澗の正♪師多と・澗の（正でない）噛形で繊 されることを示す。また川∬ 汁即叶ま，o∫rUIli1Sと∫の 」 叶月 ＝ ・ 】 反射（reneciiOn）であろ左手系s埠一unitsが，それぞれ川
表一4 準正多面体の双対多面体のGT−unils
疏｛・嚥L ・ ・｛・）コ㈹卜・（・・閲以｛直i剛の近似値
1 3戊元8i面侶二 1、／癒r三ir l、／〒：「r7r 2−／2 ［（2冗一1｝／㌧1 ｛L77呂S 1〔・・4571
3方4面川卿5 15市／9 17／18＿ 1欄26 1n・3酪9
1プ鯛，1丙・・一厄ノllL…輌｜縞＋1）ノ・・1一 嘩「一
際i：1平誓、u2 隠3 1コiiき 已
1捌混1こ調媚臨50J肋端：それぞれ2隔る・
1三1、n これは蹟・≒比で．筋る、せ胸哩り比白碇争比である菱搭を黄
ぞ ヂ ら コ ピ
症究口二いつτ
∠』，
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ム．
1ら ・
！∴：
1・正12面体12［5］3・・ 、 2．大12面体 1ii；］3。，，，
、、：
・〜吾か一
さ，・つ三
∵ w ．：
ノ
Σ』 ．・ 1∵ ：
一・@ く ＿．一＿
一＿＿『．．＿＿． 、．＿ ・＿＿一＿、二．．．一 ．．
3．幌形12磁、2［5／2］3。，，、 4．旭形12面体12［・／2］3・。 、
懸塔・一一
まピ ら
ノ ㌦、
／L／
㌣ピご一 D ・∵1 い i二二⊥，二二二1、二 ＿． ：＿一一二． 」 ；、凹20・12面体2・［3］＋12［5］3・・ ； 6・正5角柱 m2［5］＋・Cf］1…三＋5〃r
写真一3 GT−Unitsによる組み込み多面体
8．i
｝ … ， ．： ・
1 i ・1
い ／
7．正5角反柱 11D 2［5］＋10［3 ］5σ 三＋5σf5＊ 8．凹切頭平行6面体3σr；＋3σr 亭 u2｝
写真一3 GT−unitsによる組み込み多面体
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ξ灘三∵∵ ： i
＿＿マー一｝．一一一 @ 「一一 ≠ 一〔 叫 一『｝一 1「と ぷ塔一 ト，
｛ ． ・ ． ．
∫．
1
｝ ／
1．3方4面体 12［3・］ 6∂ 、 ・ 2．3方S面体 21［3 ］12σ 5
3．3方20面体 60［3 ］30σ 6 4．4方6面体 24［3 ］ 12σ 7
写真一4 GT・unitsによる組み込み多面体
5・5方12面体 60［3 ］30σ 8 6．斜方12面体 12［4 ］ 12σ 9
7．斜方30面体 30［4 ］30σ lo 写真一4 GT・unitsによる組み込み多面体
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