微分方程式

v1.3 Jun.2021 1

微分方程式

-変数分離形微分方程式-

1^st 2020/06/08 L^st 2021/06/06

一階微分方程式の分類

§1. 変数分離形微分方程式（separation of variables）

§2. 同次形微分方程式（homogeneous）

§3. 線形微分方程式（linear）

ベルヌーイの微分方程式（Bernoulli's）

§4. 完全微分方程式（exact）

§5. その他の微分方程式（other）

§6. 応用（application）

( ) ( ) dy f x dx  g y

dy y

dx f x

    

( ) ( )

dy P x y Q x

dx 

( ) ( ) ⁿ dy P x y Q x y

dx 

( , ) ( , ) 0

P x y dx Q x y dy  ( ),

y f y y  f y( )

2階微分方程式だが、1階微分方程式 として解けるタイプ。

n≠0,1のとき

（非線形）

一階微分方程式の解法

( ) ( ) dy f x dxg y

dy y

dx f x

    

( ) ( )

dy P x y Q x

dx 

( ) ( ) ⁿ dy P x y Q x y

dx 

( , ) ( , ) 0

P x y dx Q x y dy  ( ),

y f y ( ) y  f y

( ) ( )

g y dy f x dx C

 

/ vy x

1 1

( ) dv dx C lnx C

f v v  x   





Pdx Pdx

y e ^ 



1n

zy^ とおくと線形微分方程式になる。

(1 ) ( ) (1 ) ( ) z  n P x z n Q x

( , ) ( , )

x y

aP x y dx bQ a y dy C

 

py とおくと変数分離形になる。

dp ( ),

dx f p dy 2 ( ) f y dy C

dx 



変数分離形

同次形

線形

ベルヌーイ 形（非線形）

完全

その他

微分方程式 解 法

変数分離形微分方程式

( ) ( ) dy f x dx  g y

( ) ( )

g y dy f x dx

( ) ( )

g y dy f x dx c

 

変数を分離して（xのみとyのみの項にそれぞれ分離）

両辺を積分して

以下の形になっている微分方程式を変数分離形と呼ぶ。（独立変数x と従属変数yが、積または商の形で分離できるという意味）

ただし，cは積分定数である。

㋐

㋑

㋒

変数分離形微分方程式

( ) ( ) dy f x g y dx 

1 ( )

( )dy f x dx g y 

1 ( )

( )dy f x dx c

g y  

 

変数を分離して（xのみとyのみの項にそれぞれ分離）

両辺を積分して

以下の形になっている微分方程式を変数分離形と呼ぶ。

ただし，cは積分定数である。

㋐

㋑

㋒

変数分離形微分方程式の例題

【例題１】 次の微分方程式を解け。（教科書p.9）

(1 )dy 1

x y

 dx  

7

【例題２】 例題１の微分方程式の解で、x=1のとき、y=3となるものを求めよ。

(1 )dy 1 1

x y y bx b

 dx      

変数分離形微分方程式の例題

教科書p.10

8

【例題３】 次の微分方程式を解け。（教科書p.11）

2 2 2 2

(xy y dx) (x x y dy) 0

変数分離形微分方程式の例題

演習問題

教科書 p.11

応用例（導波管内の電磁界）

2 2 2

2

2 2 2 k H_z 0

x y z

    

   

   

 

３．進行方向の磁界の波動方程式 １．微分形のマクスウェル方程式

H jE

   E jH

    0

H

^E ⁰

 

４．変数分離法による一般解の導出

   

( , ) cos sin cos sin

z x x y y

h x y  A k x B k x C k y D k y ５．境界条件の適用

x y

z b

a

 , 0

( , ) ^z

z z

H h x y e^

( , ) 0 0,

x y b

e x y  _ ( , ) 0 0,

y x a

e x y

 

( , ) ^z

x x

E e x y e^ ( , ) ^z

y y

E e x y e^

２．モード選択

TE_zなら E_z=0, TM_zなら H_z=0

b

a x y

b

a x y

積分自動計算サイト

https://www.integralrechner.de/

Mathematicaによる不定積分

2

2 2

1 ln ln(1 )

(1 )

x dx x x C

x x

    

  　





2 2

1 dx ln x a x C

a x    

  　

 2 ²2 2³ 2 2





x dx x ln x a x C

a x a x

     

 



^{a2 x2} ^32dx ₂ ^x_{2 2} ^C

a a x

   

  　

1

2 2

1 dx 1tan x C

a x a

  

 