未知の関数の導関数を含む等式を微分方程式という．

1E ^{物理学演習 標準} H002-1

担当教員

:

^{浜中 真志 研究室}

: E-mail:[email protected]

数学的準備 ( ^{微分方程式} )

作成日: September 26, 2018 Updated : October 11, 2018 Version : 1.0 実施日: September 27, 2018

[微分方程式の基礎事項(用語)]

未知の関数の導関数を含む等式を微分方程式という．

微分方程式に含まれる導関数の最高階数を，その微分方程式の階数といい，その階 数によって

1

階微分方程式，2 階微分方程式などという．

与えられた微分方程式をみたす関数を，その微分方程式の解といい，解を求めるこ とをその微分方程式を解くという．

[

変数分離型の微分方程式とその解法

]y

を

t

の関数とする：

y=y(t).

1

階微分方程式で以下の形をしたものを変数分離型の微分方程式と呼ぶ．

dy

dt =g(t)h(y)

変数分離型の微分方程式

dy

dt =g(t)h(y)

を

1 h(y)

dy

dt =g(t) (ただしh(y)̸= 0)

と変形 し，両辺を

t

で積分すれば

∫ 1

h(y)dy=

∫

g(t)dt

となり，解を求めることができる．

h(y) = 0

の場合は別に調べる．

例題

1. k

を定数

,y =y(t)

とするとき次の微分方程式を解け

:(1)dy

dt =kt (2)dy dt =ky.

【解答】

(1) y(t) = (1/2)kt²+C (C

は任意定数

)

：詳しくは黒板にて

.

(2)

定数関数

y= 0

は明らかに解となるので

y̸= 0

のときを考える．与式を変形すると

1

y dy

dt =k.

両辺を

x

で積分をすると

∫ 1 ydy=

∫ kdt.

よって，

log|y|=kt+C

（

C

は積分定数）

.

すなわち

y=±e^Ce^kt.

ここで，A

=±e^C

とおけば，A は

0

ではない任意定数となる．よって，解は

y=Ae^kt

（

A

は

0

ではない任意定数

).

定数関数解

y= 0

は上の式の

A = 0

の場合に含まれる

.

以上により求める解は

y(t) =Ae^kt

（

A

は任意定数）

· · · (

答

).

標準

H0-1E18-02

難易度

: C

名城大学・理工学部

1E ^{物理学演習 標準} H002-2

担当教員

:

^{浜中 真志 研究室}

: E-mail:[email protected]

問題

1. (

変数分離型の判定

)

以下の微分方程式の中から変数分離型をえらび，それを解け

. (1) dy

dt = t+ 1

y (2) dy

dt = t+y

y (3) dy

dt =ty+ 1

補足

1.

一般に微分方程式を解くと，いくつかの任意定数を含んだ解が得られる．

その定数は, ある

t

における

y

の値

(初期条件)

を与えれば決まる.

例題

2.

例題

1(2)

の微分方程式を初期条件

y(0) = 27

の下で解け:

dy

dt =ky, y(0) = 27

【解答】 この微分方程式の一般解は

,

例題

1

より

, y(t) =Ae^kt (A

は任意定数

)

である

.

こ れが初期条件

y(0) = 27

を満たすので, (両辺に

t= 0

を代入すると)

y(0) =Ae^k·0 ⇔ 27 =A.

よって

(

任意定数が

A= 27

と定まり

)

求める解は

y(t) = 27e^kt· · · (

答

).

補足

2.

微分方程式は任意の

t (

時刻

)

における関係式である

.

一方，初期条件はあ る特別な

t

における条件式であり，例題

2

で見たように，微分方程式を解いてから 任意定数

(

積分定数

)

を定めるために用いるものである

.

力学をはじめ現実の問題では，まず微分方程式を立てるというステップを踏むが

,

こ のときは任意の時刻

t

での状況を考えないといけないのであって

,

与えられた初期条 件での特別な状況

(

特別な時刻

)

で考えてはいけない

.

問題

2. (

自然現象への応用

) 1

杯のコーヒーが

90˚C

に温められている

.

室温

10˚C

の部屋 に

3

分間放置したら

70˚C

になった

.

コーヒーの温度が

55˚C

に下がるのは

,

最初から何分 後か

?

ただし

,

室温は一定とし

,

温度の降下速度は周囲との温度差に比例するものとする

. (

たとえば

t

分後のコーヒーの温度を

y(t)

とおき

,

微分方程式をたててみる

.

問題文に与え られた情報のうち，どれが一般の時刻

t

での情報で，どれが初期条件にあたる情報なのか 注意して読んでみよう

.)

問題

3. (落体運動への準備)

双曲線関数

(hypabolic function)

は次のように定義される:

cosht:= e^t+e^−t

2 , sinht := e^t−e^−t

2 , tanht:= sinht cosht. (1)

以下の式を示せ：

d

dtcosht = sinht, d

dt sinht= cosht, d

dttanht := 1 (cosht)². (2) a, b

を正の定数とする. 以下の微分方程式を解け:

dy

dt =ay²−b, y(0) = 0.

【解答】

(2) y(t) =−

√b atanh

(√ ab t

)

標準

H0-1E18-02

難易度

: C

名城大学・理工学部