微分方程式

(1)

v1.6 Jun.2021 1

微分方程式

-１階微分方程式-

1

^st

2020/06/06 L

^st

2021/06/03

2次曲線と放物線の方程式

²

宮腰，高校数学＋α，p.149, 共立出版，2004

x y

p

 p P

F H ( , ) x y

点Fと準線Hから等距離ある点の軌跡は

PF  PH

点Fの座標をF(p, 0), 準線上の座標をH(-p, 0)とし，

軌跡をP(x, y)とすると

2 2

( x p  )  y   x p

両辺を2乗すると

2 2 2

( x p  )  y  ( x p  )

2

2 2 2

2

x px p y x px p

      

2 px y

2

2 px

   

2

4 y px

 

これを放物線の標準形の方程式と呼ぶ。

x y

p

 p P

F H ( , ) x y

軸

準線頂点 F 焦点

P 軌跡 2次曲線とは，変数x, yの2次の方程式

2 2

0 ax  hxy by    cx dy e  

によって表される平面曲線の総称であり，代表的な曲線に放物線，双曲線，円の方程式がある。

(a, b, hは同時に0でない)

双曲線の方程式１

³

2定点からの距離の差（大きさ）が一定である点の軌跡は

PF PF    2 , a a  0

2 2 2 2

( x c  )  y  ( x c  )  y   2 a

2 2 2 2

( x c  )  y    2 a ( x c  )  y

2 2 2 2 2 2 2

( x c  )  y  4 a  4 a ( x c  )  y   ( x c )  y

x y

c

 c

P ( , ) x y F F

2 2 2

4 a 4 a ( x c ) y 4 cx 0

     

2

4

2

4 ( )

2 2 2

2

x  xc c   a  a x c   y  x  cx c 

2 2 2

( )

a x c y a cx

      

 

2 2 2 2 2

( ) ( )

a x c   y  a  cx

2 2 2 2 2 2 2 2

( a c x ) a y a a ( c )

    

三角形PFF’の成立条件（三角形の1辺は、

残り2辺の和より小さく、差より大きい）

FF > PF PF     2 c  2 a  c a 

P F

F

2 2 2

( 0)

c  a  b b 

2定点の座標をF(c, 0), F’(-c, 0)とし，軌跡をP(x, y)とすると

両辺を2乗するために移項すると

両辺を2乗すると

展開すると

両辺2乗すると

2c

ここで、

と置くと、

双曲線の方程式２

⁴

2 2 2 2 2 2 2 2

( c  a x )  a y  a c (  a )

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

( c a ) a y a c ( a ) a b x a b a b

   

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

b a y a b

a b x a b a b

  

2 2

1,

x y

a  b  b

²

 c

²

 a

²

( b  0)

これを双曲線の標準形の方程式と呼ぶ。

所で、x, yがa, bに比べて十分大きくなると、双曲線の方程式

2 2

1 0

x y a  b  

2 2

0 x y

a  b  x

²₂

y

₂²

a b

  b

y x

   a

これを双曲線H₀の漸近線と呼ぶ。

両辺をa²b²で割ると

従って、次式が得られる。

は、以下に近似できるはずである。

x y

c

 c

P ( , ) x y

F F

主軸

漸近線頂点中心

F, F’ 焦点 P 軌跡

(2)

円、球面の方程式

2 2 2

1 2

( x a  )  ( y a  )  b

2 2 2 2

1 2 3

( x a  )  ( y a  )   ( z a )  b x y

b r



1 2

( , ) a



 a a

( , ) r  x y



a



x y

b r



1 2 3

( , , ) a



 a a a

( , , ) r



 x y z a



z

円、球の方程式

２次元平面上の円３次元空間上の球面

２次元３次元

5

2 2

r a

 

  b r a

 



2

 b

2

(4)

(5)

2 2

r a   b

 

( r a

 

   ) ( r a

 

)  b

2

村上 ``ベクトル解析’’ pp.55, 海鳴社

円の方程式に^→r = (x,y) と^→a = (a₁,a₂) を代入すると

2

1 2 1 2

( x a y a  ,  ) (   x a y a ,  )  b

2 2 2

1 2

( x a  )  ( y a  )  b

同様にして、3次元では

( r a

 

   ) ( r a

 

)  b

2

1 2 3 1 2 3

( x a y a z a  ,  ,  ) (   x a y a z a ,  ,  )  b

2 2 2 2

1 2 3

( x a  )  ( y a  )   ( z a )  b

 ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ    ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ   b

² ベクトル表記すると

見慣れた形

ベクトル表記すると

 ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ   ( z a z

3

) ˆ    ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ   ( z a z

3

) ˆ   b

²

演習問題

6

y  x c  y

2

x c

  

2 2

1 cx  y 

y c c

  x y ae 

^x

 be

^^x

y ax 

3

 bx { ,1,10} c

{ ,1,10} a { ,1,10} b { ,0,10} c

{ ,1,10} c { ,1,10} a

{ ,1,10} b

p. 5 問題１

(1) (2)

(3) (4) (5)

次の曲線の微分方程式を求めよ。ただし、a, b, cは任意定数である。

演習問題

7

2 2 2

( x c  )  y  2 y

²

 4 ( c x c  )

² ²

2 2

1 (2 )

x y

a  a 

{ ,0,10} c { ,1,10} c { ,1,10} a

p. 5 問題２

(1) (2) (3)

x軸上に中心をもつ半径2の円原点を焦点とし、軸がx軸の放物線の群

原点が中心、2直線y=±2x を漸近線とする双曲線の群

微分方程式の解

⁸

【例題１】同心円群の微分方程式から、yの導関数y’を含まないxとyの関係を導け。

{ ,1,10} c

2 2 2

x  y  c

2 2 2

x y c

  

dy 0

x y  dx 

(3)

9

【例題２】微分方程式 y’²=4y について次のことを確かめよ。

(1) y=(x-c)²は一般解である。

(2) y=0は解であるが、特殊解でない。

微分方程式の解

( )

2

y  x c  ^{{ ,0,10}} ^c

1章章末演習問題

10

一階微分方程式の分類

¹¹

§1. 変数分離形微分方程式（separation of variables）

§2. 同次形微分方程式（homogeneous）

§ 3. 線形微分方程式（ linear ）

ベルヌーイの微分方程式（Bernoulli's）

§4. 完全微分方程式（exact）

§5. その他の微分方程式（other）

§ 6. 応用（ application ）

( ) ( ) dy f x dx  g y

dy y

dx f x

      

( ) ( )

dy P x y Q x

dx  

( ) ( )

ⁿ

dy P x y Q x y

dx  

( , ) ( , ) 0

P x y dx Q x y dy   ( ),

y   f y  y   f y ( )

2階微分方程式だが、1階微分方程式 として解けるタイプ。

n≠0,1のとき

（非線形）

一階微分方程式の解法

¹²

( ) ( ) dy f x dx  g y

dy y

dx f x

      

( ) ( )

dy P x y Q x

dx  

( ) ( )

ⁿ

dy P x y Q x y

dx  

( , ) ( , ) 0

P x y dx Q x y dy   ( ),

y   f y  ( ) y   f y

( ) ( )

g y dy  f x dx C 

 

/ v  y x

1 1

( ) dv dx C ln x C

f v v  x   

  

Pdx Pdx

y e 

^

     Qe  dx c    

とおくと変数分離形になる。

1n

z  y

^ とおくと線形微分方程式になる。

(1 ) ( ) (1 ) ( ) z    n P x z   n Q x

( , ) ( , )

x y

a

P x y dx 

b

Q a y dy C 

 

p  y

とおくと変数分離形になる。

dp ( ),

dx  f p dy 2 ( ) f y dy C dx    

変数分離形

同次形

線形

ベルヌーイ形（非線形）

完全

その他

微分方程式解法