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数学演習：微分方程式

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Academic year: 2021

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(1)

数学演習：微分方程式

平井 慎一

(2)

講義の流れ

1 一階の微分方程式

2 二階の微分方程式

3 微分方程式の分類

(3)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = t2 ? x = 2t,˙ x + 5x = 2t + 5t˙ 2 ̸= 0 解ではない

x (t) = sin 5t ? x = 5 cos 5t,˙ x + 5x = 5 cos 5t + 5 sin 5t˙ ̸= 0 解ではない

x (t) = e−5t ? x =˙ −5e−5t, x + 5x =˙ −5e−5t+ 5e−5t = 0 解

x (t) = 3e−5t ? x =˙ −15e−5t, x + 5x =˙ −15e−5t+ 15e−5t = 0 解

(4)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = t2 ? x = 2t,˙ x + 5x = 2t + 5t˙ 2 ̸= 0 解ではない

x (t) = sin 5t ? x = 5 cos 5t,˙ x + 5x = 5 cos 5t + 5 sin 5t˙ ̸= 0 解ではない

x (t) = e−5t ? x =˙ −5e−5t, x + 5x =˙ −5e−5t+ 5e−5t = 0 解

x (t) = 3e−5t ? x =˙ −15e−5t, x + 5x =˙ −15e−5t+ 15e−5t = 0 解

(5)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = t2 ? x = 2t,˙ x + 5x = 2t + 5t˙ 2 ̸= 0 解ではない

x (t) = sin 5t ? x = 5 cos 5t,˙ x + 5x = 5 cos 5t + 5 sin 5t˙ ̸= 0 解ではない

x (t) = e−5t ? x =˙ −5e−5t, x + 5x =˙ −5e−5t+ 5e−5t = 0 解

x (t) = 3e−5t ? x =˙ −15e−5t, x + 5x =˙ −15e−5t+ 15e−5t = 0 解

(6)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = t2 ? x = 2t,˙ x + 5x = 2t + 5t˙ 2 ̸= 0 解ではない

x (t) = sin 5t ? x = 5 cos 5t,˙ x + 5x = 5 cos 5t + 5 sin 5t˙ ̸= 0 解ではない

x (t) = e−5t ? x =˙ −5e−5t, x + 5x =˙ −5e−5t+ 5e−5t = 0 解

x (t) = 3e−5t ? x =˙ −15e−5t, x + 5x =˙ −15e−5t+ 15e−5t = 0 解

(7)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = t2 ? x = 2t,˙ x + 5x = 2t + 5t˙ 2 ̸= 0 解ではない

x (t) = sin 5t ? x = 5 cos 5t,˙ x + 5x = 5 cos 5t + 5 sin 5t˙ ̸= 0 解ではない

x (t) = e−5t ? x =˙ −5e−5t, x + 5x =˙ −5e−5t+ 5e−5t = 0 解

x (t) = 3e−5t ? x =˙ −15e−5t, x + 5x =˙ −15e−5t+ 15e−5t = 0 解

(8)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は?

一般解

x (t) = Ce−5t (C は任意の定数)

(9)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 と初期条件 x (0) = 2 を満たす関数 x(t) は? 一般解 x(t) = Ce−5tより x (0) = Ce−5·0 = C = 2 したがって x (t) = 2e−5t

(10)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 と初期条件 x (0) = 2 を満たす関数 x(t) は? 一般解 x(t) = Ce−5tより x (0) = Ce−5·0 = C = 2 したがって x (t) = 2e−5t

(11)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt λeλt + 5eλt = 0 λ + 5 = 0 特性方程式 λ =−5 x (t) = e−5tは微分方程式の解

(12)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt λeλt + 5eλt = 0 λ + 5 = 0 特性方程式 λ =−5 x (t) = e−5tは微分方程式の解

(13)

一階の微分方程式

微分方程式 ˙ x + 5x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt λeλt + 5eλt = 0 λ + 5 = 0 特性方程式 λ =−5 x (t) = e−5tは微分方程式の解

(14)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt ¨ x = λλeλt = λ2eλt λ2eλt + 4λeλt + 3eλt = 0 λ2+ 4λ + 3 = 0 特性方程式 λ =−3, −1 x (t) = e−3tと x(t) = e−tは微分方程式の解

(15)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt ¨ x = λλeλt = λ2eλt λ2eλt + 4λeλt + 3eλt = 0 λ2+ 4λ + 3 = 0 特性方程式 λ =−3, −1 x (t) = e−3tと x(t) = e−tは微分方程式の解

(16)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt ¨ x = λλeλt = λ2eλt λ2eλt + 4λeλt + 3eλt = 0 λ2+ 4λ + 3 = 0 特性方程式 λ =−3, −1 x (t) = e−3tと x(t) = e−tは微分方程式の解

(17)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 を満たす関数 x(t) は? x (t) = C1e−3tと x(t) = C2e−t は微分方程式の解 x (t) = C1e−3t+ C2e−t は微分方程式の解 ˙ x =−3C1e−3t− C2e−t, x = 9C¨ 1e−3t + C2e−t ¨ x + 4 ˙x + 3x = (9C1e−3t+ C2e−t) + 4(−3C1e−3t− C2e−t) + 3(C1e−3t+ C2e−t) = C1(9− 12 + 3)e−3t+ C2(1− 4 + 3)e−t = 0

(18)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 を満たす関数 x(t) は?

一般解

x (t) = C1e−3t+ C2e−t (C1, C2は任意の定数)

(19)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 と初期条件 x (0) = 6, x (0) =˙ −2 を満たす関数 x(t) は? 一般解 x(t) = C1e−3t+ C2e−t より x (0) = C1+ C2 = 6 ˙ x (0) = −3C1− C2 =−2 連立一次方程式を解くと C1 =−2, C2 = 8 x (t) =−2e−3t + 8e−t

(20)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 と初期条件 x (0) = 6, x (0) =˙ −2 を満たす関数 x(t) は? 一般解 x(t) = C1e−3t+ C2e−t より x (0) = C1+ C2 = 6 ˙ x (0) = −3C1− C2 =−2 連立一次方程式を解くと C1 =−2, C2 = 8 x (t) =−2e−3t + 8e−t

(21)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 9x = 0 x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt ¨ x = λλeλt = λ2eλt λ2eλt+ 9eλt = 0 λ2+ 9 = 0 特性方程式 λ = 3i , −3i x (t) = e3itと x(t) = e−3itは微分方程式の解．一般解 x (t) = C1e3it + C2e−3it

(22)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 9x = 0 x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt ¨ x = λλeλt = λ2eλt λ2eλt+ 9eλt = 0 λ2+ 9 = 0 特性方程式 λ = 3i , −3i x (t) = e3itと x(t) = e−3itは微分方程式の解．一般解 x (t) = C1e3it + C2e−3it

(23)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 9x = 0 初期条件 x (0) = 4, x (0) =˙ −6 x (0) = C1e3i 0+ C2e−3i 0 = C1+ C2 = 4 ˙

x (0) = (3i )C1e3i 0+ (−3i)C2e−3i 0= 3i (C1− C2) = −6

を解くと C1 = 2 + i , C2 = 2− i

x (t) = (2 + i )e3it + (2− i)e−3it

= (2 + i )(cos 3t + i sin 3t) + (2− i)(cos 3t − i sin 3t) = 4 cos 3t− 2 sin 3t

(24)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 9x = 0 初期条件 x (0) = 4, x (0) =˙ −6 x (0) = C1e3i 0+ C2e−3i 0 = C1+ C2 = 4 ˙

x (0) = (3i )C1e3i 0+ (−3i)C2e−3i 0= 3i (C1− C2) = −6

を解くと C1 = 2 + i , C2 = 2− i

x (t) = (2 + i )e3it + (2− i)e−3it

= (2 + i )(cos 3t + i sin 3t) + (2− i)(cos 3t − i sin 3t)

(25)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 13x = 0 x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt ¨ x = λλeλt = λ2eλt λ2eλt+ 4λeλt + 13eλt = 0 λ2 + 4λ + 13 = 0 特性方程式 λ =−2 + 3i, −2 − 3i x (t) = e(−2+3i)t と x(t) = e(−2−3i)tは微分方程式の解．一般解 x (t) = C1e(−2+3i)t + C2e(−2−3i)t

(26)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 13x = 0 x (t) = eλtと仮定する． ˙ x = λeλt ¨ x = λλeλt = λ2eλt λ2eλt+ 4λeλt + 13eλt = 0 λ2 + 4λ + 13 = 0 特性方程式 λ =−2 + 3i, −2 − 3i x (t) = e(−2+3i)t と x(t) = e(−2−3i)tは微分方程式の解．一般解 x (t) = C1e(−2+3i)t + C2e(−2−3i)t

(27)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 13x = 0 初期条件 x (0) = 4, x (0) =˙ −2 x (0) = C1+ C2 = 4 ˙ x (0) = (−2 + 3i)C1+ (−2 − 3i)C2 =−2 を解くと C1 = 2− i, C2 = 2 + i

x (t) = (2− i)e(−2+3i)t+ (2 + i )e(−2−3i)t

= e−2t{(2 − i)(cos 3t + i sin 3t) + (2 + i)(cos 3t − i sin 3t)} = e−2t(4 cos 3t + 2 sin 3t)

(28)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 4 ˙x + 13x = 0 初期条件 x (0) = 4, x (0) =˙ −2 x (0) = C1+ C2 = 4 ˙ x (0) = (−2 + 3i)C1+ (−2 − 3i)C2 =−2 を解くと C1 = 2− i, C2 = 2 + i

x (t) = (2− i)e(−2+3i)t+ (2 + i )e(−2−3i)t

= e−2t{(2 − i)(cos 3t + i sin 3t) + (2 + i)(cos 3t − i sin 3t)} −2t

(29)

二階の微分方程式

微分方程式

¨

(30)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 6 ˙x + 9x = 0 x (t) = eλtと仮定する． λ2+ 6λ + 9 = 0 特性方程式 λ =−3 (重解) x (t) = e−3tは微分方程式の解． x (t) = Ce−3tは微分方程式の解．もうひとつの解を求める．

(31)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 6 ˙x + 9x = 0 定数変化法 定数 C を時変の関数 C (t) とみなし，x (t) = C (t)e−3tと仮定する． ˙ x = C e˙ −3t+ C (−3)e−3t = ( ˙C − 3C)e−3t ¨

x = ( ¨C − 3 ˙C)e−3t + ( ˙C − 3C)(−3)e−3t = ( ¨C − 6 ˙C + 9C)e−3t

微分方程式に代入 ( ¨C − 6 ˙C + 9C) + 6( ˙C − 3C) + 9C = 0 ¨ C = 0 C (t) = t x (t) = te−3tは微分方程式の解

(32)

二階の微分方程式

微分方程式 ¨ x + 6 ˙x + 9x = 0

一般解

x (t) = C1e−3t+ C2te−3t (C1, C2は任意の定数)

(33)

問題

1. 以下の微分方程式を解け (1) x + 9 ˙¨ x + 20x = 0 x (0) = 1, x (0) =˙ −7 (2) x + 2 ˙¨ x + 5x = 0 x (0) = 2, x (0) =˙ −2 (3) x +¨ (π 2 )2 x = 0 x (0) = 3, x (1) = 5 (4) x + y = 0˙ ˙ y − x = 0 x (0) = 2, y (0) = 0

(34)

問題

2. 以下の式が解となる微分方程式を記せ (1) x (t) = 8e−7t (2) x (t) = 3e−4t, 5e−6t (3) x (t) = 5 sin 4t (4) x (t) = 2te−t

(35)

微分方程式の分類

線形

¨ x + (5t) ˙x + 2e−tx = 0

線形でない

¨ x + 5 ˙x x + 3x = 0

定係数

¨ x + 5 ˙x x + 3x = 0

定係数でない

¨ x + (5t) ˙x + 2e−tx = 0

(36)

微分方程式の分類

線形定係数同次

(

斉次

)

¨ x + 5 ˙x + 2x = 0

線形定係数であるが同次

(

斉次

)

でない

¨ x + 5 ˙x + 2x = 4 sin 6t

(37)

微分方程式の分類

特性方程式で解くことができる

線形定係数同次の微分方程式 ˙ x + 5x = 0 ¨ x + 4 ˙x + 3x = 0 ... x − 6¨x + 11 ˙x − 6x = 0

ラプラス変換で解くことができる

線形定係数の微分方程式 ˙ x + 5x = 0 ˙ x + 5x = 2e−3t

(38)

まとめ

微分方程式

一般解 初期条件より一般解の未知定数を決定

一階の微分方程式

一般解 Ceλt

二階の微分方程式

一般解 C1eλ1t+ C2eλ2t λ1, λ2は複素数でも良い

参照

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