微分方程式

微分方程式

-微分方程式の解の性質-

1

^st

2020/06/06 L

^st

2021/07/17

講義の要点

微分方程式が必要な理由

³

1. 物理・工学（自然界）のほとんどの問題は微分方程 式で与えられる。

2. 力学では運動方程式が代表例で、ma=fのaは速度の 微分dv/dtで与えられる。そして、この方程式から物 体の速度vを求める問題は微分方程式を解くことに なる。

3. 電磁気学ではマクスウェルの方程式が代表例で、電 界や磁界を求める問題は連立偏微分方程式を解くこ とになる。

4. 電気回路では過渡現象、電信方程式（波動方程式）

などが代表例で、電圧や電流の時間変化を求める 問題は微分方程式を解くことになる。

常微分と偏微分

⁴

d dx

x





常微分演算子

（独立変数が1つのみの場合）

偏微分演算子

（独立変数が2つ以上の場合）

d ( ) dx f x

( ) df x

dx

df dx

( , ) f x y x





( , ) f x y y





( , ) f x y

x





f x



 f

^x

( , ) f x y

y





f y



 f

^y

独立変数とは，自由に任意 の値を取ることができる変数 x, y, z, t, …

従属変数とは，独立変数が 決まると何らかの値が決まる 変数＝関数f(x), f(x, y), …

微分は英語で differential で差分と同じ。常微分は ordinary differential 偏微分は英語で partial differential 導関数、微分係数は英語で derivative

なので、常微分のd（ディー）の 代わりに偏微分の∂はデルや ラウンドディーなどと読む。

関数の一次近似と微分

( ) ( ) ( )

f x    x f x  f x x   　

( ) ( )

( )

f f x x f x f x x

    

   　

( , )

( , ) ( , )

( , ) f x x y y

f x y f x y

f x y x y

x y

   

 

    

 

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f f x x y y f x y f x y f x y

x y

x y

      

 

   

 

一次近似の式

同様に2変数関数の一次近似の式は

x x   x x

  ?

f x    x

 

f x

 x f

 f

 f

x方向の増分 f_x ｙ方向の増分 f_y

x x

 ^,  ^?

f x   x y    y

  ^,

f x y

 x f

y

 y y

x   x

全微分

とも呼ぶ

㋐

㋑

（常）微分の表記方法

京極一樹， ``図解入門物理数学,’’ pp.42, アーク出版, 2014

, ( ) dy df x dx dx

2 2

2 2

( ), ( )

d d f x

dx f x dx

, ( ) y y x  

, ( ) y y x  

y 

 y

3 3

3 3

( ), ( )

d d f x

dx f x dx y y x   , ( )  y ライプニッツ ラグランジュ ニュートン １次

導関数 ２次 導関数

３次 導関数

6

ベクトル微分演算子

d dx

x ,





ˆ

_x

x x

  



ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

      

  

常微分演算子

（独立変数が1つのみの場合）

偏微分演算子

（独立変数が2つ以上の場合）

ベクトル偏微分演算子（1次元）

ベクトル偏微分演算子（3次元）

y





ˆ ˆ ˆ , ,

x y z

^：

x

方向，

y

方向，

z

方向の単位ベクトル ただし，

ˆ ˆ

_t

x y

x y

    

  ベクトル偏微分演算子（2次元断面）

奥行き

z

方向に対して

t: tangential

 dx

^{は積分演算子}

7

㋐

㋑

㋒

㋓

㋔

微分方程式の階数

⁸

( ) y  y x

( ) dy y y x

    dx

2

( ) d dy d y

2

y y x

dx dx dx

    

2 3

2 3

( ) d d y d y y y x

dx dx dx

    

x _独立変数

従属変数または、関数

1階の導関数（1回微分）

2階の導関数（2回微分）

3階の導関数（3回微分）



1

( ) ( )

( )

1

n n

n n

n n

d d y d y

y y x

dx dx dx



 



 n階の導関数（n回微分）

・・・

微分方程式の次数

  ^y

²

^dy

²

dx

 

      ^{1階2次の導関数}

 

2 2 2

2

y d y

dx

 

   

  ^{2階2次の導関数} y dy

  dx 1階1次の導関数

2 2

y d y

  dx ^{2階1次の導関数}

  ^y _{   }

³

^{ dy} _dx ^

³

  ^{1階3次の導関数}

 

^{3 2}2 ³

y d y

dx

 

   

  ^{2階3次の導関数}

線形（1次）

すべて

非線形（1次以外）

微分方程式の呼び方

3 0

y   y x  

㋐

 

²

3 2

y   y   y x 

㋑

㋒

^{y   2}   ^{y }

²

^{   y  y cos x}

㋓

2 y    y  xy x 

常微分方程式を解くとは？

dy

2

x C dx  

11

dy x dx Cdx 

2

 dy  x dx

2

 Cdx

  

3

2

1

y  3 x  Cx C  dy x

dx  dy xdx  dy  xdx

 

1

2

y  2 x  C

2

2

2

d y x dx 

dy 2

d xdx

dx  dy 2

d xdx

dx 

 

dy

2

x C dx  

2

2

2

d y d dy dx  dx dx  x

㋐ ㋑ ㋒

これを一般解と呼ぶ。

これを特殊解と呼ぶ。

1

2

2 1 y  x 

y(0)=1の条件を付けると C=1となるので、

常微分方程式の一般解と特殊解

¹²

1

y  2 x c  1

y  2

傾き1/2の直線の群（集団）

もしくは、傾き1/2の直線という傾向 を持つ集団（これを一般解と呼ぶ）

微分方程式とは、関数y=f(x)の個性（積分定数）を消して、何らかの同 じ傾向を持つ集団を表す方程式と言える。

1 3

y  2 x 

微分

積分

関数 微分方程式

特殊解

1

一般解

y  2 x c  y

x

微分方程式と曲線群

【例題１】 曲線群

y

²

= 4cx

の微分方程式を求めよ。

教科書p.4

【例題２】 二つの任意定数

a, b

を含む放物線群

y = ax

²

+bx

の微分方程式を求めよ。

微分方程式と曲線群 教科書p.4

微分方程式と曲線群

15

【問１】 次の曲線群の微分方程式を求めよ。ただし、

c

は任意定数である。

【問２】 次の曲線群の微分方程式を求めよ。ただし、c は任意定数である。

(1) y ce 

2^x

(2) x

²

 y

²

 2 cx  0

(1) ay

2

 4( x b  ) (2) y a  sin 2 x b  cos 2 x

教科書p.4

教科書p.5

2次曲線と放物線の方程式

¹⁶

宮腰，高校数学＋α，p.149, 共立出版，2004

x y

p

 p P

F H ( , ) x y

点Fと準線Hから等距離ある点の軌跡は

PF  PH

点Fの座標をF(p, 0), 準線上の座標をH(-p, 0)とし，

軌跡をP(x, y)とすると

2 2

( x p  )  y   x p

両辺を2乗すると

2 2 2

( x p  )  y  ( x p  )

2

2

2 2 2

2

2

x px p y x px p

      

2 px y

2

2 px

   

2

4

y px

 

これを放物線の標準形の方程式と呼ぶ。

x y

p

 p P

F H ( , ) x y

軸

準線 頂点 F 焦点

P 軌跡 2次曲線とは，変数x, yの2次の方程式

2 2

0

ax  hxy by    cx dy e  

によって表される平面曲線の総称であり，代表的な曲線に 放物線，双曲線，円の方程式がある。

(a, b, hは同時に0でない)

双曲線の方程式１

2定点からの距離の差（大きさ）が一定である点の軌跡は

PF PF    2 , a a  0

2 2 2 2

( x c  )  y  ( x c  )  y   2 a

2 2 2 2

( x c  )  y    2 a ( x c  )  y

2 2 2 2 2 2 2

( x c  )  y  4 a  4 a ( x c  )  y   ( x c )  y

x y

c

 c

P ( , ) x y F F

2 2 2

4 a 4 a ( x c ) y 4 cx 0

     

2

2

2

4

2

4 ( )

2 2 2

2

2

x  xc c   a  a x c   y  x  cx c 

2 2 2

( )

a x c y a cx

      

 

2

( )

2 2

(

2

)

2

a x c   y  a  cx

2 2 2 2 2 2 2 2

( a c x ) a y a a ( c )

    

三角形PFF’の成立条件（三角形の1辺は、

残り2辺の和より小さく、差より大きい）

FF > PF PF     2 c  2 a  c a 

P F

F

2 2 2

( 0)

c  a  b b 

宮腰，高校数学＋α，p.160, 共立出版，2004

2定点の座標をF(c, 0), F’(-c, 0)とし，軌跡をP(x, y)とすると

両辺を2乗するために移項すると

両辺を2乗すると

展開すると

両辺2乗すると

2c

ここで、

と置くと、

双曲線の方程式２

2 2 2 2 2 2 2 2

( c  a x )  a y  a c (  a )

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

( c a ) a y a c ( a ) a b x a b a b

   

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

b a y a b

a b x a b a b

  

2 2

2 2

1,

x y

a  b  b

²

 c

²

 a

²

( b  0)

これを双曲線の標準形の方程式と呼ぶ。

所で、x, yがa, bに比べて十分大きくなると、双曲線の方程式

2 2

2 2

1 0

x y a  b  

2 2

2 2

0

x y a  b 

2 2

2 2

x y

a b

  b

y x

   a

これを双曲線H₀の漸近線と呼ぶ。

両辺をa²b²で割ると

従って、次式が得られる。

は、以下に近似できるはずである。

宮腰，高校数学＋α，p.160, 共立出版，2004

x y

c

 c

P ( , ) x y

F F

主軸

漸近線 頂点 中心

F, F’ 焦点 P 軌跡

円、球面の方程式

2 2 2

1 2

( x a  )  ( y a  )  b

2 2 2 2

1 2 3

( x a  )  ( y a  )   ( z a )  b x y

b r



1 2

( , ) a



 a a

( , ) r  x y



a



x y

b r



1 2 3

( , , ) a



 a a a

( , , ) r



 x y z a



z

円、球の方程式

２次元平面上の円 ３次元空間上の球面

２次 元 ３次 元

19

2 2

r a

 

  b r a

 



2

 b

2

(4)

(5)

2 2

r a   b

 

( r a

 

   ) ( r a

 

)  b

2

村上 ``ベクトル解析’’ pp.55, 海鳴社

円の方程式に^→r = (x,y) と^→a = (a₁,a₂) を代入すると

2

1 2 1 2

( x a y a  ,  ) (   x a y a ,  )  b

2 2 2

1 2

( x a  )  ( y a  )  b

同様にして、3次元では

( r a

 

   ) ( r a

 

)  b

2

2

1 2 3 1 2 3

( x a y a z a  ,  ,  ) (   x a y a z a ,  ,  )  b

2 2 2 2

1 2 3

( x a  )  ( y a  )   ( z a )  b

 ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ    ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ   b

² ベクトル表記すると

見慣れた形

ベクトル表記すると

 ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ   ( z a z

3

) ˆ    ( x a x 

1

) ˆ  ( y a y 

2

) ˆ   ( z a z

3

) ˆ   b

²

演習問題

20

y  x c  y

2

x c

  

2 2

1

cx  y 

y c c

  x y ae 

^x

 be

^x

y ax 

3

 bx { ,1,10} c

{ ,1,10} a { ,1,10} b { ,0,10} c

{ ,1,10} c { ,1,10} a

{ ,1,10} b

教科書p. 5 問題１

(1) (2)

(3) (4) (5)

次の曲線の微分方程式を求 めよ。ただし、a, b, cは任意 定数である。

演習問題

2 2 2

( x c  )  y  2 y

²

 4 ( c x c  )

^{2 2}

2 2

1

(2 )

x y

a  a 

{ ,0,10} c { ,1,10} c { ,1,10} a

教科書p. 5 問題２

(1) (2) (3)

x軸上に中心をもつ半径2の円 原点を焦点とし、軸がx軸の 放物線の群

原点が中心、2直線y=±2x を漸近線とする双曲線の群

演習問題

教科書 p.5

微分方程式の解

²³

【例題１】 同心円群の微分方程式から、yの導関数y’を含まないxとyの関係を導け。

{ ,1,10} c

2 2 2

x  y  c

2 2 2

x y c

  

dy 0 x y  dx 

教科書p.6

24

【例題２】 微分方程式 y’²=4y について次のことを確かめよ。

(1) y=(x-c)²は一般解である。

(2) y=0は解であるが、特殊解でない。

微分方程式の解

( )

2

y  x c  { ,0,10} c

教科書p.6