日本機械学会宇宙工学部門
第４章 薄板構造力学
4.1 板の曲げ
板においては応力を断面で積分して中央面での釣合を考える．軸力，面内剪断力，横剪断力をそれぞれò
-s
=
h h x xdz
T
,ò
-t
=
h h xy xydz
S
,Q
hdz
h xy x=
ò
-t
と y 方向の単位幅で定義する．ここに板の厚さを t=2h としている．同様に断面モーメントもò
-s
=
t t x xzdz
M
,ò
-t
=
t t xy xyzdz
M
とする．これは x 方向の断面に関する量であるが，y 方向についてもdz
T
h h y y=
ò
-s
,S
dz
h h xy xy=
ò
-t
,=
ò
-t
h h yz ydz
Q
zdz
M
t t y y=
ò
-s
,M
zdz
t t yx xy=
ò
-t
ここでt
xy=
t
yxであるので yx xyS
S
=
,M
xy=
M
yx である． このように定義した断面力と断面モーメントで平衡を考える．まず，x,y,z 方向の力の釣合から0
y
S
x
T
x yx=
¶
¶
+
¶
¶
(4.1a)0
y
T
x
S
xy y=
¶
¶
+
¶
¶
(4.1b)0
q
y
Q
x
Q
z y x+
=
¶
¶
+
¶
¶
(4.1c) x,y 軸周りのモーメントの合計から日本機械学会宇宙工学部門
Q
0
y
M
x
M
x yx x-
=
¶
¶
+
¶
¶
(4.2a)Q
0
y
M
x
M
y y xy=
-¶
¶
+
¶
¶
(4.2b) である． xQ
とQ
yとを z 方向の釣合方程式に代入して消去すると0
q
y
M
y
x
M
2
x
M
z 2 y 2 xy 2 2 x 2=
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
+
¶
¶
(4.3) 断面内の中央面から z 離れた点での歪は中央面での量に曲げによる伸びを加算して 2 2 xx
w
z
x
u
¶
¶
-¶
¶
=
e
(4.4a) 2 2 yy
w
z
y
v
¶
¶
-¶
¶
=
e
(4.4b)y
x
w
z
2
x
v
y
u
2 x¶
¶
¶
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
g
(4.4c)e
z=
g
xy=
g
yz=
0
(4.4d) である．応力-歪関係式から(
x y)
2v
v
1
-
e
+
e
E
=
s
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
-E
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
-E
=
z2 2 2 2 2 2y
w
v
x
w
v
1
y
v
v
x
u
v
1
(
x)
2 yy
v
v
1
-
e
+
e
E
=
s
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
-E
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
-E
=
2 2 2 2 2 2x
w
v
y
w
v
1
z
x
u
v
y
v
v
1
xyGg
=
s
y
x
w
Gz
2
x
v
v
y
u
G
2¶
¶
¶
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
となる。これをこれを断面力の定義式に代入して÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
n
+
¶
¶
n
-E
=
T
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
n
+
¶
¶
n
-E
=
T
x
v
y
u
Gt
S
S
x
u
y
v
1
t
y
v
x
u
1
t
yx xy 2 y 2 x (4.5) であり，断面モーメントの式に入れれば日本機械学会宇宙工学部門
(
)
(
)
÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ n + ¶ ¶ n -E -= ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ n + ¶ ¶ n -E -= 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 1 12 1 12 x w y w t M y w x w t M y x (4.6)y
x
w
Gt
M
M
xy yx¶
¶
¶
-=
=
3 212
2
である． これらの結果により，面内の変位 u,v と面外変位 w とは完全に独立であることがわかる． 上の式にでてくる量を 21
t
B
n
-E
=
,(
)
2 31
12
t
D
n
-E
=
と定義して B を板の伸び剛性(extensional stiffness), D を曲げ剛性(flexural stiffness, bending rigidity)という． これを z 方向の平衡方程式(4.4)に代入すれば
qz
y
w
y
x
w
2
x
w
D
4 4 2 2 4 4 4=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
¶
+
¶
¶
(4.7) と w の重調和方程式となる． これが板の曲げの基礎方程式である． xQ
とQ
yを w で表せば÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
+
¶
¶
-=
¶
¶
+
¶
¶
=
y
x
w
x
w
D
y
M
x
M
Q
3 3 yx x (4.8a)÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
+
¶
¶
-¶
¶
+
¶
¶
=
y
x
w
y
w
D
x
M
y
M
Q
2 3 3 3 xy y y (4.8b) となる． ここで、板は梁と本質的には同じであることを確認しよう．例えば y 軸回りの曲げモーメントM
xは を単位幅 b=1 の矩形断面梁の式 2 2 3 x x w 12 Εt M ¶ ¶ -= と比べればポアソン比の影響，すなわち横方向の影響n が現れるだけで本質的には同じ形であることがわか る． 板の曲げの方程式は梁の場合と同様に(
)
22 4 4 2 2 4 4 4t
w
μ
y
x,
p
y
w
y
x
w
2
x
w
D
¶
¶
-=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+
¶
¶
¶
+
¶
¶
であり，y 方向の微分をゼロとすれは梁の曲げ方程式となる．境界条件はたとえば固定のとき 0 w = , 0 x w = ¶ ¶ である．4.2 板の有限要素（その１：長方形要素）
(
)
÷÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ -= 3 2 22 22 1 12 y w v x w v Et Mx日本機械学会宇宙工学部門
板の有限要素は有限要素法の初期から研究されているが通常の変位法では決定版というべき要素が導出 できない．たとえば三角形要素では各節点で 3 つの自由度(
w,
¶
w/
¶
x
¶
w/
¶
y
)
をもつので全部で 9 個の自 由度を持つ．これに対応する変位関数が９項では x と y に関しての完全多項式とできないからである．例え ば 2 次までだと 1 , x , y ,x
2 , xy ,y
2の 6 項になり，3 次項まで採用すると 10 項となってしまう． この理由から多くの板曲げ要素が提案されている． ここでは初期に提案された長方形要素（提案者の Adini,Clough,Martin の頭文字をとって ACM 要素と呼 ばれる）を導いてみる．この要素は一番簡単な板曲げ要素であるが，長方形という制限がある．汎用的な３ 角形，４角形要素は次節で導く．4.2.1 変位関数
節点の変位として w と傾き¶
w
/
¶
x
,
¶
w
/
¶
y
を考える．１要素につき４節点で１２自由度の要素となる． ということはこの１２個の節点変位で内部の変位 w(x,y)を内挿できればよいので，完全な４次多項式(15 項) からいくつかの項を落として 12 項にする．x と y との対称性から( )
3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 6 5 2 4 3 2 1c
x
c
y
c
x
c
xy
c
y
c
x
c
x
y
c
xy
c
y
c
x
y
c
xy
c
y
x,
w
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
を採用する．これから各節点でw
i,¶
w
i/
¶
x
,
¶
w
i/
¶
y
(i=1,2,3,4)を計算して{ }
δ
=
[ ]
C
{ }
c
と表す．ここに[C]は 12×12 の行列で，ベクトル{c}の成分はc
i (i=1,2,. . . 12)である．これを{c} について解けば次のような変位関数が得られる．w
=
{
N(x,
y)
} { }
d
ここに ｛Ｎ(x, y)｝=｛1 x y x2 xy y2 . . . x3y xy3｝[ ]
C
-1 である．4.2.2 応力-歪関係式
板の応力ー歪関係式は b a y 1 2 3 4 図 4.2 長方形要素 k w v qz日本機械学会宇宙工学部門
(
)
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
n
n
n
-E
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
¶ ¶¶ ¶ ¶¶ ¶ n -y x w y w x w 2 1 2 3 xy y x 2 2 2 2 22
0
0
0
1
0
1
1
12
h
M
M
M
となる．4.2.3 歪み-変位関係式
板の曲げによる歪みは{ }
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-=
e
¶ ¶¶ ¶ ¶¶ ¶ y x w y w x w 2 2 2 2 22
を採用するのでú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-=
e
2 12 2 11 9 8 5 12 10 9 6 11 8 7 4y
c
6
x
c
6
y
c
4
x
c
4
c
2
xy
c
6
0
y
c
6
x
c
2
c
2
xy
c
6
0
c
2
x
c
6
c
2
[ ]
Q
{ }
c
=
となるので{ }
e
=
[ ]
B
{ }
d
なる歪み-変位関係式が得られる．ここに[ ]
B
=
[ ] [ ]
-1C
Q
であり[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-=
2 26
6
0
4
4
0
0
2
0
0
0
0
6
0
6
2
0
0
2
0
0
0
0
0
0
6
0
0
2
6
0
0
2
0
0
0
y
y
x
xy
y
x
xy
y
x
Q
である．4.2.4 剛性行列
第３章の一般定式化から剛性行列は[ ]
K
=
ò
[ ] [ ] [ ]
B
TD
Β
dxdy
で，具体的には[ ]
K
=
[ ] [ ] [ ][ ]
Tò
[ ]
-1C
dxdy
Q
D
Q
C
Τ を計算すればよい．4.3 板の有限要素（その２：多角形要素）
ここでは，これまで述べてきた変位法から少し離れてハイブリッド応力法という方法に基づいて導かれる 板の曲げ要素について説明する．内容はかなり高度であるし、また板要素はアイソパラナトリック要素の方 が使われることが多いので、この節は読み飛ばしてもかまわない． この定式化は多角形要素に対して適用できる．4.3.1 ハイブリッド応力法
変位法では要素内の変位を要素節点の値で内挿するが，本方法では要素内の応力分布を仮定することか ら始める．{ }
s
=
[
P
(
x
,
y
)
]
{ }
c
(4.9)日本機械学会宇宙工学部門
ここに P(x,y)が応力分布を決める多項式で，{c}はその係数である．歪は{ }
e
=
[ ]
-1{ }
s
D
(4.10) となる．さらに要素境界上での変位{u}は節点変位{d
}で{ }
u
= L
[ ]
{ }
d
(4.11) と表せるとすると{u}に対応する境界力{S}は{ }
S
=
[ ]
R
{ }
c
(4.12) となる．ここで仮想境界力S
*による外部仕事はd
W
は{ }
{ }
{ }
[ ] [ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
ò
=
ò
d
=
T
d
=
d
* T * T *c
ds
L
R
c
ds
u
S
W
(4.13) 一方，仮想応力{ }
s
* による内部仕事は{ }
{ }
{ }
[ ] [ ] [ ]
{ }
ò
s
Te
=
ò
T-=
d
U
* *dV
c
*P
D
1P
dV
c
{ }
c
*[ ]
H
{ }
c
=
(4.14) すべての{c*}に対して * *W
U
=
d
d
(4.15) より[ ]
H c
{ }
=
[ ]
T
{ }
d
あるいは{ }
c
=
[ ] [ ]
H
-1T
{ }
d
(4.16) さて，剛性方程式は{ }
F
=
[ ]
K
{ }
d
(4.17) であるから，仮想変位{ }
d
* よる外部仕事は{ }
d
{ }
=
{ }
d
[ ]
K
{ }
d
=
d
* * *F
W
(4.18) これと先ほどの仮想境界力による外部仕事は等しいから{ }
*[ ]
T
{ }
d
=
{ }
d
*[ ]
K
{ }
d
c
(4.19) となって[H]が対称行列であることを考慮すれば[ ] [ ] [ ] [ ]
K
=
T
-1H
-1T
(4.20) を得る．この方法に基づいて多角形要素が作成できる． ここでは三角形要素と四角形要素を作成してみよ う．4.3.2 SMAT-9, SMAT-12 要素
前項の理論を三角形と四角形要素に適用する．応力−歪関係式は{ }
s
=
{
s
s
t
t
t
}
T yz xz xy y x日本機械学会宇宙工学部門
{ }
e
=
{
e
xe
yg
xyg
xzg
yz}
T 3 1 2 図 4.3 SMAT-9 要素[ ]
(
)
(
)
(
)
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
n
+
n
+
n
+
n
-n
-E
=
-1
2
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1D
である． 応力の仮定については h を板厚として( )
h
z
8
y
,
x
f
1 x=
s
( )
h
z
8
y
,
x
f
2 y=
s
( )
h
z
8
y
,
x
f
3 xy=
t
(
)
h
h
z
y
,
x
f
xz÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
t
2 2 44
1
(
)
h
h
z
y
,
x
f
yz÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
t
2 2 54
1
平衡条件は x xy xQ
y
M
x
M
=
¶
¶
+
¶
¶
y xy yQ
y
M
y
M
=
¶
¶
+
¶
¶
であり，その断面力は(
)
(
)
ò
- s =ò
- = = 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 8 / h / h / h / h x x h y , x f dz h z y , x f zdz M(
)
(
)
ò
-s
=
ò
-=
=
2 2 2 2 2 2 2 23
2
8
/ h / h / h / h y xh
y
,
x
f
dz
h
z
y
,
x
f
zdz
M
(
)
(
)
ò
-t
=
ò
-=
=
2 2 2 2 2 3 2 33
2
8
/ h / h / h / h xy xyh
y
,
x
f
dz
h
z
y
,
x
f
zdz
M
日本機械学会宇宙工学部門
(
)
(
)
ò
-ò
-÷÷
ø
=
ö
çç
è
æ
-=
t
=
2 2 2 2 2 4 2 2 43
2
4
1
/ h / h / h / h xz xh
y
,
x
f
dz
h
z
h
y
,
x
f
dz
Q
(
)
(
)
ò
-ò
-÷÷
ø
=
ö
çç
è
æ
-=
t
=
2 2 2 2 2 4 2 2 53
2
4
1
/ h / h / h / h yz yh
y
,
x
f
dz
h
z
h
y
,
x
f
dz
Q
周辺に沿っての積分を行うために接線方向とそれに垂直方向のモーメントをM
t,
M
nとするとï
ï
ï
þ
ïï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
y x xy y x n n tQ
Q
M
M
M
c
s
cs
c
s
s
c
cs
cs
Q
M
M
0
0
0
0
0
2
0
0
2 2 2 2 ここにc
= cos
a
,s
= sin
a
である． 応力の内挿関数として最も簡単な１次式を採用すると( )
( )
( )
x
,
y
B
B
x
B
y
f
y
B
x
B
B
y
,
x
f
y
B
x
B
B
y
,
x
f
3 2 1 1 3 5 4 2 3 2 1 1+
+
=
+
+
=
+
+
=
であり，平衡式からf
4,f
5については独立でなく 6 8 5 9 2 4B
B
f
B
B
f
+
=
+
=
となる．よって[ ]
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
b
b
b
aY
aX
a
aY
aX
a
aY
aX
a
P
ここでa
=
8
z
/
h
,b
=
h
(
1
-
4
z
2/
h
2)
である．これをもとに剛性行列が作成できる．詳細は付録のプロ グラムリストをみていただきたい．4.4 シェル
シェル（曲面）の一般理論はかなり難解であるのでここでは実用上多く用いられる軸対称シェルに絞って 考察を行う． 板の場合は曲げと面内引張り/圧縮は独立に考えることができた．すなわち，中央面で考える 限り，曲げモーメントを加えても引張りや圧縮は生じない．一方，曲面の場合，たとえば，卵の殻を考えれ ばわかるように引張れば曲がろうとするし，曲げようとすれば引張りあるいは圧縮を生ずる．曲面構造の場 合，曲げと面内変形とは本質的に連成するのである．日本機械学会宇宙工学部門
シェルとしてまず円筒について考える．シェルの場合も板と同じく応力を断面で積分して中央面での釣 合を考える．板の場合と異なるのは中央面の半径を a としたとき断面内の z 方向には幅が 1+z/a と変化し て扇形になることを考慮しなければならない．以下に展開する理論は板の場合の y をa
j
,¶
/
¶
y
を j ¶ ¶ a/ と置き換えればほとんど同じであることを確認されたい．しかし，最終的に導きだされる基礎方 程式は面内変位 u,v と面外変位 w とが連成しているのが大きな違いである． 軸力，面内剪断力，横剪断力をそれぞれò
-÷
ø
ö
ç
è
æ +
s
=
h h x xdz
a
z
T
1
, j =ò
hsj h dz Tò
- j j÷
ø
ö
ç
è
æ +
t
=
h h x xdz
a
z
1
S
,ò
- j j=
t
h h x xdz
S
(4.21)ò
-÷
ø
ö
ç
è
æ +
t
=
h h xz xdz
a
z
Q
1
,ò
- j j = t h h z dz Qò
-÷
ø
ö
ç
è
æ +
s
=
h h x xdz
a
z
z
M
1
,ò
- j j = s h h z zdz Mò
- j j÷
ø
ö
ç
è
æ +
t
=
h h x xdz
a
z
z
M
1
,ò
- j j÷
ø
ö
ç
è
æ +
t
=
h h x xdz
a
z
1
z
M
する． このように定義した断面力と断面モーメントで平衡を考える．まず，x,y,z 方向の力の釣合から0
q
a
S
x
T
x x x+
=
j
¶
¶
+
¶
¶
j (4.22a)0
q
a
Q
a
T
x
S
x 4 x=
+
+
j
¶
¶
+
¶
¶
j j (4.22b)0
q
a
T
a
Q
x
Q
x x+
+
=
j
¶
¶
+
¶
¶
j j (4.22c) である． 上式のおいて，シェルの場合 u,v と w が連成することがわかっているので釣り合い方程式に x 方 向とj
方向の力q
xとq
jとを入れておく．これは後に振動の定式化のとき便利になる．日本機械学会宇宙工学部門
また，x,y,z 軸周りのモーメントの合計から0
Q
a
M
x
M
x x x-
=
j
¶
¶
+
¶
¶
j (4.23a)0
Q
a
M
x
M
x=
-j
¶
¶
+
¶
¶
j j j (4.23b)0
a
M
S
S
x-
x-
x=
j j j (4.23c) である． xQ
とQ
y とを x,y,z 方向の釣合方程式に代入して消去するとq
0
a
S
x
T
x x x-
=
j
¶
¶
+
¶
¶
j (4.24a)q
0
x
a
M
a
M
a
T
x
S
x 2 x x=
+
¶
¶
+
j
¶
j
¶
+
j
¶
¶
+
¶
¶
j j j j (4.24b)0
q
a
T
a
M
x
a
M
x
a
M
x
M
2 2 2 x 2 x x-
+
=
j
¶
j
¶
+
¶
j
¶
¶
+
j
¶
¶
¶
+
¶
¶
j j j j (4.24c) を得る． 断面内の中央面から z 離れた点での歪は中央面での量に曲げによる伸びを加算して かつ断面 z 方向の扇型の効果を考えると, 断面の任意の面内変位u
zとv
zは中央面の変位 u,v,w により( )
x
w
z
u
z
u
u
z¶
¶
-=
=
(4.25a)( )
j
¶
¶
-+
=
=
a
w
z
v
a
z
a
z
v
v
z (4.25b) と表されるので 2 2 z xx
w
z
x
u
x
u
¶
¶
-¶
¶
=
¶
¶
=
e
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
j
¶
¶
+
=
e
j z zw
v
z
a
1
日本機械学会宇宙工学部門
(
)
a z w z a w z a v + + j ¶ + ¶ -j ¶ ¶ = 2 2 (4.26)(
a
z
)
x
u
x
v
z z xy¶
+
¶
+
¶
¶
=
g
(
)
¶ ¶j ¶ ÷ ø ö ç è æ + + -¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ + + j ¶ + ¶ = x a z a a z x v a z z a u 1 1 2w 10
yz xz z=
g
=
g
=
e
である．応力-歪関係式から(
e
+
ne
j)
n
-E
=
s
x 2 x1
(
x)
21
-
n
e
+
ne
E
=
s
j j (4.27) xy xy=
Gg
s
となる．これを断面力の定義式に代入して 板の場合と同様 21
t
n
-E
=
B
,(
)
2 31
12
t
D
n
-E
=
と定義して 2 2 xx
a
D
a
w
a
v
x
u
¶
¶
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
n
+
j
¶
¶
n
+
¶
¶
B
=
T
(4.28)÷÷
ø
ö
çç
è
æ
j
¶
¶
+
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
¶
¶
n
+
j
¶
¶
B
=
T
j 3w
2w
2a
D
a
w
x
u
a
v
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
j
¶
¶
-¶
¶
n
-+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
j
¶
¶
n
-B
=
jx
w
x
v
2
1
a
D
x
v
a
u
2
1
S
2 2 x÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
j
¶
¶
+
j
¶
¶
n
-+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
j
¶
¶
n
-B
=
jx
w
a
v
2
1
a
D
x
v
a
u
2
1
S
2 2 x であり，断面モーメントの式に入れて z に関して積分すれば÷÷
ø
ö
çç
è
æ
j
¶
¶
n
-¶
¶
-j
¶
¶
n
+
¶
¶
-=
22 22 2 2a
v
x
a
u
a
w
x
w
D
M
x÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
¶
¶
n
+
j
¶
¶
-=
j 2 2 2 2 2 2a
w
x
w
a
w
D
M
(4.29)(
)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
-j
¶
¶
¶
n
-=
jx
a
v
x
a
w
D
M
x 21
(
)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
-j
¶
¶
+
j
¶
¶
¶
n
-=
jx
a
v
a
u
x
a
w
D
M
x2
2
1
2 2 となる．この断面力，断面モーメントの計算において z 方向の積分を微小量 t/a の何乗まで採用するかなど で様々なシェル理論が存在する．これまでに展開してきた近似はFl
u
gge
の理論と一致する． これを x,y,z 方向の平衡方程式に代入すれば 2 2 2 2 2 2 2a
D
x
w
a
x
a
v
2
1
a
u
2
1
x
u
B
+
¶
¶
n
+
j
¶
¶
¶
n
+
+
j
¶
¶
n
-+
¶
¶
日本機械学会宇宙工学部門
q
0
x
a
w
2
1
x
w
a
a
u
2
1
x 2 3 3 3 2 2 2=
B
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
j
¶
¶
¶
n
-+
¶
¶
-j
¶
¶
n
(4.30a)(
)
çç
è
æ
¶
¶
n
-B
+
j
¶
¶
+
¶
¶
n
-+
j
¶
¶
+
j
¶
¶
¶
n
+
2 2 2 2 2 2 2 2 2x
v
2
1
3
a
D
a
w
x
v
2
1
a
v
x
a
u
2
1
0
q
x
w
2
3
2 3=
B
j
+
÷÷
ø
ö
j
¶
¶
¶
n
--
(4.30b)çç
è
æ
j
¶
¶
¶
n
-¶
¶
-j
¶
¶
¶
n
-B
+
+
j
¶
¶
+
¶
¶
n
2 3 2 3 3 2 3 2 2 2x
v
a
2
3
x
u
a
x
a
u
2
1
a
D
a
w
a
v
x
u
a
0
q
a
w
a
w
2
a
w
x
w
2
x
w
a
z 2 4 2 2 4 2 4 4 2 4 4 4 2=
B
-÷
ø
ö
+
j
¶
¶
+
j
¶
¶
+
j
¶
¶
¶
+
¶
¶
+
(4.30c) となり，u と v に関して２階，w に関して４階の方程式となる． これが円筒シェルの基礎方程式である． この式を基づいて多くの問題が解かれているが，後でみるように軸対称シェル要素は有限要素法の中でも 最も強力な要素であり，実用的な問題が簡単に解けるのでここで個々の問題を解くことはひとまずおいてお いて，定性的に知っておかねばならない問題をとりあげる．4.4.1 薄膜理論
薄膜理論(membrane theory)とはシェルの曲げ剛性が伸び剛性に比べて著しく小さく，曲げを無視で きるとした近似理論である．式(4.22)においてQ
x=
Q
j=
0
とおいて0
q
a
S
x
x x x+
=
j
¶
¶
+
¶
T
¶
j (4.31a)0
q
a
x
S
x=
+
j
¶
T
¶
+
¶
¶
j j j (4.31b)0
q
a
+
z=
T
-
j (4.31c) を得る．これは x,y,z 方向の釣り合い式で，モーメントの釣り合い（式(4.23)）は考えない．M
xなどの断 面モーメントを考えない（0 とした）ため，式(4.23)からQ
x,Q
jが 0 と出てくるのである． この(4.31) 式は直接に解くことができる．まず，(4.31c)よりa
q
z=
T
j (4.32a) となり，Hoop 応力が得られる．これを式(4.31b)に代入して( )
ò
÷÷
+
j
ø
ö
çç
è
æ
j
¶
T
¶
+
-=
j j j 1 xdx
c
a
q
S
(4.32b) が得られる．これらを式(4.31a)に代入して( )
ò
÷÷
+
j
ø
ö
çç
è
æ
j
¶
¶
+
-=
T
j 2 x x xdx
c
a
S
q
(4.32c) となり，断面力が決定される．日本機械学会宇宙工学部門
まず，一定の内圧 p を受ける薄いシェルの応力を求める．式(4.32a)においてq
z=
p
とおいてpa
=
T
j となる．これから応力はt
pa
=
s
j (4.33a) となり，軸対称荷重であるのでS
xj=
0
で,式(4.32c)からT
xは積分定数だけが残って定数となるが，円筒 の両端末で面積p
a
2にかかる圧力をT
x´
2
p
a
で受けるので2
pa
a
2
a
p
2 x=
p
p
=
T
となる．よって応力はt
2
pa
x=
s
(4.33b) となる． この簡単な結果(4.33)の示唆するものは大変に広範な応用範囲がある．圧力容器の筒部の応力 は端末部を除けば式(4.33)で与えられるし，航空機の胴体，ロケットタンクも同様である．さらに葉巻型 の軟式飛行船はまさしく(4.33)式そのもので，膜材料の強度は周方向に比べて軸方向は 1/2 の強度でよい こと，すなわち，繊維強化材料で最適設計ができることを示す．また，応力は半径に比例するということは， （ミッキーマウスの）ゴム風船では大きな半径の部分（頭部分）が早く膨らみ（応力が大きいので歪みが大 きい），小さい半径部（耳部）はあとから膨らむということも示唆している 次の例題として水の入った薄い容器が縦と横に置かれている場合に発生する応力（断面力）を求めて みよう．まず，縦置きの場合，水圧は a s s P h a z p 図４．６：水圧を受ける円筒シェル p ) x h ( g qz = r - =日本機械学会宇宙工学部門
て軸対称荷重となるので(
h
x
)
ga
-r
=
T
j ,S
xj=
T
x=
0
となる． 横置きの場合j
=
0
を上にとって(
-
j
) ( )
=
r
j
r
=
ga
1
cos
q
z である．式(4.32)に代入して,対称性よりj
=
0
にてS
xj=
0
，x=0,
にてT
x=
0
(無拘束)の条件を入 れると(
-
j
)
r
=
T
jga
21
cos
j
÷
ø
ö
ç
è
æ
-r
=
jga
x
sin
S
x2
j
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-r
=
T
cos
2
x
2
x
g
2 x
を得る．4.4.2 タンクの理論
軸対称荷重を受ける円筒タンクを取り上げる．先ほどの理論と異なり，シェルの曲げ剛性も考慮する．式 (4.29)において，軸対称性からv
=
0
,
¶
/
¶
j
=
0
としてq
x=
0
とすれば(4.29a)(4.29c)が残って0
x
w
a
a
D
x
w
a
x
u
3 3 2 2 2=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
-B
+
¶
¶
n
+
¶
¶
(4.34a)0
q
a
w
x
w
a
x
u
a
a
D
a
w
x
u
a
z 2 4 4 2 3 3 2 2÷÷
-
B
=
ø
ö
çç
è
æ
+
¶
¶
+
¶
¶
-B
+
+
¶
¶
n
(4.34c) となる．式(4.34a)を x で微分して(4.34c)の¶
3u
/
¶
x
3項を消去する． ここで1
a
t
12
1
a
D
2 2÷
ø
<<
ö
ç
è
æ
=
B
であるので，1 に対してD
/
( )
B
2 を無視すればB
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
n
B
+
+
¶
¶
n
z 4 4 2 2 2 2 2q
x
w
a
x
w
a
D
a
w
x
u
a
を得る． さらに先ほどのq
x=
0
の仮定に連動してT
x=
0
と仮定すると(4.27a)式より 2 2x
a
w
D
a
w
x
u
¶
¶
+
B
n
-=
¶
¶
B
となるので，先の式から u が消去できて z 2 2 2 2 4 4q
w
a
t
x
w
a
2
dx
w
d
D
÷÷
+
E
=
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
n
+
を得るが， 第２項は第１項に比べて無視できるとして（この根拠はあとの例題で示す） z 2 4 4q
w
a
t
dx
w
d
D
+
E
=
を得る．この基礎式も有用である．日本機械学会宇宙工学部門
例として先ほどの水の入ったタンクの変形と応力について解いてみる． まず，一般解を得るため，q
z=
0
として( )
xWe
x
w
=
l を代入すると0
W
a
t
D
4 2÷
=
ø
ö
ç
è
æ
l
+
E
であるので 4 2 44
Da
t
=
k
E
=
l
とおくと( )
±
k
±
=
l
1
i
となり(
C
cos
x
C
sin
x
)
e
(
C
cos
x
C
sin
x
)
e
w
=
-kx 1k
+
2k
+
kx 3k
+
4k
が得られる．４つの定数は円筒両端の境界条件から決定される．q
z=
r
g
(
h
-
x
)
に対する特解は(
h
x
)
t
ga
w
2-E
r
=
である． これを一般解に付け加えれば解が得られる． まず，上端末の境界条件の影響を無視するとe
kx の項を無視して(
h
x
)
e
(
C
cos
x
C
sin
x
)
t
ga
w
x 1 2 2k
+
k
+
-E
r
=
-k これに下端末の固定条件を導入すると x=0 でw
=
¶
w
/
¶
x
=
0
でt
h
ga
C
2 1E
r
-=
,÷
ø
ö
ç
è
æ
-k
E
r
=
1
h
t
a
C
2 2 を得る． したがってú
û
ù
ê
ë
é
k
÷
ø
ö
ç
è
æ
-k
+
k
-E
r
=
k -kx
sin
e
h
1
x
cos
he
x
h
t
h
ga
w
x x 2 でT
j,
M
x,
Q
xはa
tw
E
=
T
j , 2 2dx
w
d
D
M
x=
-
, 3 3dx
w
d
D
Q
x=
-が得られる． さて，先ほどの式(4.35)を導くとき第２項を無視した根拠であるが，第１項と第２項のオーダーを比較す るとw
=
e
kxとして 4k
と 2a
÷
ø
ö
ç
è
æ k
になる．k
2=
O
(
1
/
( )
at
)
であることを考慮すれば，薄いシェル(
t
/
a
<<
1
)
であれば第２項は第１項に比 べ無視できることがわかる．4.4.3 軸対称シェル要素
歪は日本機械学会宇宙工学部門
{ }
w
s s s sï
ï
ï
ï
þ
ïï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
î
ïï
ï
ï
í
ì
k
k
k
g
e
e
=
e
q q q q (4.36)(
)
(
)
ï
ï
ï
ï
þ
ïï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
î
ïï
ï
ï
í
ì
-+
+
-+
-+
f
+
f
+
=
f f ¶ ¶ f q ¶ ¶ f q ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ f q ¶ ¶ f q ¶ ¶ ¶ ¶ f ¶ ¶ q ¶ ¶ q ¶ ¶ ¶ ¶v
2
r
/
sin
u
cos
w
2 2 2 2 2 2 2 2 2 r cos sin s v r cos w r sin s w r 1 s w r sin v r cos w r 1 s w r sin v s v u r 1 v r 1 s u これに対応する応力は{ }
=
[ ]
{ }
e
ï
ï
ï
ï
þ
ïï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
î
ïï
ï
ï
í
ì
N
N
N
=
s
q q q qD
M
M
M
s s s s (4.37) [D]行列は等方性材料については[ ]
(
)
(
)
úú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ë é n -n n n -n n n -E = 24 1 0 0 0 0 0 0 12 12 0 0 0 0 12 12 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 / t / t / t / t / t / t D (4.38) である． 荷重が円周方向に正弦的に変化する場合，各変位もまた正弦的であるという性質を利用して( )
s
,
q
=
u
( )
s
cos
n
q
u
n( )
s
,
q
=
v
( )
s
sin
n
q
v
n (4.39)( )
s
,
q
=
w
( )
s
cos
n
q
w
n としてこの節では今後 u,v,w はu
n(s),v
n(s),w
n(s)を表すものとする． 変位関数としては u,v に s の１次関数を，w に３次関数を採用すると日本機械学会宇宙工学部門
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
x
x
-x
x
-=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
4 3 2 1f
0
0
f
f
f
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
w
v
u
[ ] [ ]
[ ] [ ]
ï ï ï ï ï þ ï ï ï ï ï ý ü ï ï ï ï ï î ï ï ï ï ï í ì ú û ù ê ë é l T l T ´ 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 b w v u b w v u (4.40) ここにx
=
s
/
L
として梁要素の場合と同じくx
+
x
-=
1
3
2
f
1(
x
+
x
+
x
)
=
2 2L
2
f
3 2 33
2
f
=
x
+
x
(
2 3)
4L
f
=
-
x
+
x
であり，[ ]
, n cos n cos n sin n cos T ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é q q q q = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0[ ]
ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é f f -f f = l 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos sin sin cos である． さて，(4.40)式を微分することにより歪−節点変位関係式{ }
e
=
[ ]
B
{ }
d
(4.41) が計算できるので(3.25)によって剛性行列が計算できるが，積分については( )
ò
dV
=
h
ò
rdsd
q 2
=
p
h
ò
r
s
ds
となる．この式は円周方向波数 n=0 の場合で，n が１より大きいときこの値の 1/2 となる．s に関する積分 は数値積分により行う．数値積分についてはプログラム３の中で具体的に示す． プログラム３では Gauss-Legendre の積分公式(7 点積分）を採用している． （値段の書いてあるものは入手可能）参考文献
[4.1]倉西正嗣：応用弾性学，共立全書 71，昭和 45 年，共立出版 [4.2]林毅編：軽構造の理論とその応用（上，下）日科技連 1966.[4.3]S.Timoshenko and Woinowsky-Krieger:Theory of Plates and Shells (international Student Edition) 1959Mc-Graw-Hills
[4.4]P.B.グラビナ（坪井，那須川訳）：回転シェルの理論と計算， 新科学出版社（４５００円）
[4.5]W.FlüggeStatik und Dynamik der Schalen Springer-Verlag 1934 (邦訳：曲面板の力学，坪井，寺崎訳，コロナ 社)
日本機械学会宇宙工学部門
[4.6]関谷壮，斉藤渥：薄板構造力学， 共立出版 （９０００円） [4.7]小林繁夫：航空機構造力学， 丸善 （４５００円） [4.8]新沢順悦，藤原源吉，川島孝行：航空機の構造力学，産業図書 （３２００円） [4.9]O.C.ツィエンキービッツ：マトリックス有限要素法（第３版）培風館 （１２０００円）． 引用文献 円筒シェル理論の差異について [4.10]古賀達蔵：シェル理論の現状，日本航空宇宙学会誌，26-291 (1978) pp.181-187. ハイブリッド応力法[4.11]R.J.Allwood and M.M.Cornes:A Polygonal Finite Element for Plate Bending Problems Using the Assumed Stress Approach, International Journal for Numerical Methods in Engineering , Vol.1 (1969) pp.135-149. ＡＣＭ要素
[4.12]A.Adini and R.W.Clough:Analysis of plate bending by the finite element method,Report to Nat.Sci.Found/U.S.A.,G7337 (1961).
[4.13]R.J.Melosh:Basis of derivation of matrices for the direct stiffness method,J.of AIAA,1 (1963) pp.1631-1637.
薄肉構造の有限要素法について
[4.14]三本木茂夫：薄板構造解析，コンピュータによる構造解析講座Ⅱ−７Ａ，培風館(1972). 軸対称シェル要素
[4.15] P.E.Grafton and D.R.Strome:Analysis of axisymmetric shells by the direct stiffness method,AIAA J. 1,(1963) pp.2342-2347.
