準地衡 風楕 円体 渦モ デル の改良 と 楕円体 渦周 辺の カオ ス混 合

楕円体渦周辺のカオス混合

李 英 太

電 気 通 信 大 学 大 学 院 電 気 通 信 学 研 究 科 博 士（ 理 学 ）の 学 位 申 請 論 文

２ ０ ０ ８ 年 ３ 月

準地衡 風楕 円体 渦モ デル の改良 と 楕円体 渦周 辺の カオ ス混 合

博士論 文審 査委 員会 主審 宮嵜 武 教授 委員 黒田 成昭 教 授

委員 木田 隆 教授

委員 山田 幸生 教 授

委員 新谷 一人 教 授

著作権 所有 者 李 英 太

２００ ８

Refinements on the Quasi-geostrophic Ellipsoidal Vortex Model and Chaotic

Mixing around a Quasi-geostrophic Ellipsoidal Vortex

Yingtai Li Abstract

The geophysical fluid motions are described by the quasi-geostrophic equation quite well. In the quasi-geostrophic turbulence, isolated coherent vortices keep their identity for long time and their interactions dominate the turbulence dynam- ics. These results suggested that the investigation of a system of discrete vortices might be helpful to understand the fundamental dynamics of quasi-geostrophic turbulence. Meacham and Meacham et al. obtained exact unsteady solutions of the quasi-geostrophic equation, which represent an ellipsoidal vortex patch of uni- form potential vorticity. Miyazakiet al. developed an ellipsoidal vortex model, in which each vortex is modeled by an ellipsoidal patch of uniform potential vortic- ity embedded in a ’locally uniform shear field’ induced by other vortices. It was pointed out that the truncation of the moment expansions used in their model is not accurate in modeling close interactions of vortices.

In this paper, refinements on the ellipsoidal moment model are proposed. The dynamics of N ellipsoidal vortices can be described by a canonical Hamiltonian system of 3N degrees of freedom. We introduce a new set of nearly canonical vari- ables in addition to those from the refined wire-vortex (spheroidal) model with 2N degrees of freedom. We replace the moment expansions used in the previous model

by the Gaussian integration method in the evaluation of the mutual interaction energy integrals. The refined model describes the interaction of two vortices very well and predicts the critical merger distance.

In geophysical flows, the coherent vortices dominate the scalar transport as well as the turbulence dynamics. In the latter part of this paper, we the scalar trans- port around the ellipsoidal vortex patch is investigated, both theoretically (based on the Melnikov analysis) and numerically. An inclined spheroidal vortex rotates steadily around the vertical axis, and any fluid particle moves along a closed tra- jectory in the coordinates rotating with the vortex. There are heteroclinic orbits in the plane of symmetry and homoclinic orbits in other horizontal planes. We can observe chaotic mixing in the vicinity of these orbits, if the spheroid is deformed slightly.

準地衡 風楕 円体 渦モ デル の改良 と 楕円体 渦周 辺の カオ ス混 合

李 英 太

概要

地 球 流 体 運 動 は 密 度 成 層 効 果 や 回 転 効 果(コ リ オ リ 効 果)の 影 響 を 受 け る こ と で い く つ か の 特 徴 を 持 つ こ と が 知 ら れ て い る ．そ の 一 つ は 渦 運 動 で あ る が ，地 球 流 体 中 で は 秩 序 渦 構 造 が 安 定 で ，そ の 寿 命 が 長 く，広 域 流 れ に 大 き く 影 響 す る ．秩 序 渦 構 造 は 地 球 流 体 運 動 の 動 力 学 ば か り で な く，エ ネ ル ギ ー や 物 質 等 の ス カ ラ ー 輸 送 現 象 を も 支 配 し て い る ．地 球 流 体 運 動 は お よ そ 水 平 ２ 次 元 的 で あ る の で ，最 も 簡 単 に は ，水 平 面 内 の ２ 次 元 的 運 動 に 近 似 す る こ と が で き る ．し か し ，実 際 の 地 球 流 体 中 の 渦 構 造 は ３ 次 元 的 で あ り，流 体 運 動 は 水 平 面 内 で 起 き る が ，各 水 平 面 で は そ の 様 相 が 異 な る ．我々の グ ル ー プ は 異 な る 水 平 面 間 の 相 互 作 用 を 取 り 入 れ た 準 地 衡 風 近 似 の も と で ，簡 単 な 乱 流 渦 モ デ ル と し て ，各 渦 を 細 長 い 渦 に 近 似 し た「wire渦 モ デ ル 」を 開 発 し さ ら に こ れ を 楕 円 体 渦 モ デ ル に 拡 張 し た ．し か し ，こ の モ デ ル に は ， counter-rotating型 の 渦 対 を 接 近 さ せ た と き ，π/2ま で 倒 れ る 特 異 な 振 舞 い が 見 ら れ た ．

本 論 文 で は ，楕 円 体 渦 モ デ ル を モ ー メ ン ト 近 似 か ら 離 散 点 近 似 に か え る こ と で ，こ れ ら の 特 異 現 象 を 解 消 し ，モ デ ル の 精 度 を 向 上 さ せ る ．ま た ，合 体 現 象 を 加 味 し た 準 地 衡 風 球 渦 モ デ ル を 構 築 し ，そ の 統 計 性 に つ い て 調 べ る ．散 逸 過 程（ 渦 の 合 体 ）を モ デ ル 化 す る た め に ， 点 渦 モ デ ル に 半 径 を 持 た せ た 球 渦 モ デ ル を 導 入 す る ．直 接 数 値 計 算 で あ るCASL法 の 計 算 結 果 か ら 同 体 積 球 渦 の 合 体 条 件 を 満 す エ ン ス ト ロ フィー の 散 逸 法 則 を 仮 定 す る こ と で 合 体 後 の 球 渦 半 径r_siが 決 ま る ．

そ の 球 渦 モ デ ル を 用 い て ，散 逸 性 を 調 べ る と 同 時 に 統 計 性 に つ い て も 調 べ る ．

一 方 ，ス カ ラ ー 輸 送・混 合 現 象 に 関 し て は ，静 止 流 体 中 に お け る 楕 円 体 渦 構 造 近 辺 に 焦 点 を 合 せ ，回 転 楕 円 体 渦 の ア ス ペ ク ト 比 を わ ず か に 変 化 さ せ て 楕 円 体 渦 に し た と き に 起 き る カ オ ス 混 合 を ，Melnikov の 方 法 と 数 値 計 算 を 用 い て 解 明 し た ．

目 次

1 緒 言 1

2 準 地 衡 風 方 程 式 と 楕 円 体 渦 解 5

2.1 準 地 衡 風 方 程 式 . . . . 5

2.2 楕 円 体 渦 解 . . . . 6

2.3 正 準 変 数 の 紹 介 . . . . 9

3 準 地 衡 風 楕 円 体 渦 の モ ー メ ン ト モ デ ル 13 3.1 モ ー メ ン ト の 簡 略 化 . . . . 13

3.1.1 モ ー メ ン ト 近 似 の ハ ミ ル ト ニ ア ン . . . . 16

3.1.2 モ ー メ ン ト 近 似 の 運 動 方 程 式 . . . . 19

3.1.3 保 存 量 . . . . 24

3.2 モ ー メ ン ト モ デ ル の 欠 陥 . . . . 25

4 離 散 点 近 似 に よ る 楕 円 体 渦 モ デ ル の 改 良 27 4.1 改 良 楕 円 体(離 散 点 近 似)渦 モ デ ル . . . . 27

4.2 離 散 点 近 似 の 運 動 方 程 式 . . . . 32

4.3 線 型 結 合 に 離 散 点 を 定 め た 改 良 楕 円 体 渦 モ デ ル . . . . 36

4.4 断 面 を 円 で 固 定 す る(x²_si+y²_si =A_i)簡 略 化 し た 楕 円 体 渦 モ デ ル . . . . 39

4.5 章 結 言 . . . . 40

5 改 良 楕 円 体 渦 モ デ ル の 有 効 性 の 検 証 41 5.1 CASL法 の 有 用 性 . . . . 41

5.2 CASL法 の ア ル ゴ リ ズ ム の フ ロ ー チャー ト . . . . 43

5.2.1 基 礎 方 程 式 . . . . 45

5.2.2 Initialization. . . . 45

5.2.3 PV contour-to-grid conversion . . . . 46

5.2.4 PV averaging . . . . 46

5.2.5 Inversion . . . . 46

5.2.6 Contour advection . . . . 47

5.2.7 Surgery . . . . 47

5.2.8 Node redistribution . . . . 48

5.3 改 良 楕 円 体 渦 モ デ ル とCASL法 と の 比 較 . . . . 49

5.3.1 Case 1 (Co-Rotating 同 径 楕 円 体 渦 ；V1=0.1, V2=0.1) . . 49

5.3.2 Case 2 (Co-Rotating 同 径 楕 円 体 渦 ；V1=0.5,V2=0.5) . . 58

5.3.3 Case 3 (Co-Rotating 同 径 球 渦；V1=1.0, V2=1.0) . . . . . 67

5.4 章 結 言 . . . . 77

6 準 地 衡 風 球 渦 モ デ ル の 統 計 性 79 6.1 準 地 衡 風 点 渦 モ デ ル . . . . 79

6.2 準 地 衡 風 球 渦 モ デ ル . . . . 80

6.3 球 渦 モ デ ル の 合 体 条 件 . . . . 81

6.4 球 渦 モ デ ル の 散 逸 性 . . . . 83

6.5 球 渦 モ デ ル の 統 計 性 . . . . 87

6.6 章 結 言 . . . . 89

7 準 地 衡 風 楕 円 体 渦 周 辺 の カ オ ス 混 合 91 7.1 準 地 衡 風 傾 斜 回 転 楕 円 体 渦 . . . . 91

7.2 回 転 楕 円 体 渦 周 辺 の 流 線 . . . . 95

7.2.1 扁 長 回 転 楕 円 体 渦 . . . . 95

7.2.2 扁 平 回 転 楕 円 体 渦 . . . . 98

7.3 Melnikov関 数 と 安 定 多 様 体・不 安 定 多 様 体 の 距 離 . . . . 101

7.3.1 Melnikovの 方 法 . . . . 101

7.3.2 扁 長 楕 円 体 渦 に お け るMelnikov関 数 . . . . 102

7.4 静 止 流 体 中 に お け る 楕 円 体 渦 周 辺 の ポ ア ン カ レ 断 面 図 . . 108

7.5 章 結 言 . . . . 116

8 結 言 117

図 目 次

3.1 モ ー メ ン ト モ デ ル で の 時 間 発 展 後 の 渦 の 振 舞 い(体 積：

V₁ = V₂ = 0.1，ア ス ペ ク ト 比：^α_γ1¹ = ^α_γ2² = 0.32，◇：並 進 型 ，

×：変 形-並 進 型) . . . . 25

4.1 正 準 変 数(x_s, y_s)を 用 い た 楕 円 体 渦 モ デ ル . . . . 28

4.2 楕 円 体 渦 モ デ ル に お け る 近 似 点 位 置 . . . . 30

4.3 線 型 結 合 の 場 合 の 離 散 点 の 位 置 . . . . 36

5.1 CASL法 の 特 徴 . . . . 42

5.2 CASL法 の 特 徴 . . . . 43

5.3 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V₁ =V₂ = 0.1，ア ス ペ ク ト 比：α₁/γ₁ = α₂/γ₂ = 0.32，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0， ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 1.2，h= 1.9). . . . . 51

5.4 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V₁ =V₂ = 0.1，ア ス ペ ク ト 比：α₁/γ₁ = α₂/γ₂ = 0.32，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0， ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 1.4，h= 0.9). . . . . 52

5.5 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V1 =V2 = 0.1，ア ス ペ ク ト 比：α1/γ1 = α2/γ2 = 0.32，傾 斜 角：Θ1 = Θ2 = 0，渦 の 全 高：zh1 =zh2 = 1.0， ポ テ ン シャル 渦 度：q1 =q2 = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 1.2，h= 1.6). . . . . 53

5.6 楕 円 体 渦 が 細 い 場 合: V = 0.1(ˆ²= √

0.1 = 0.3126)，◯：定 常 回 転 型 ，△・□：合 体 分 裂 型 ，×：merger型 ，0%，5%の ラ イ ン はCASL法 の 計 算 結 果 に よって 引 い た エ ン ス ト ロ フィー の 減 少 率 の 等 値 線 . . . . 58 5.7 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V₁ =V₂ = 0.5，ア ス ペ ク ト 比：α₁/γ₁ =

α₂/γ₂ = 0.71，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0，

ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 2.4，h= 0.2). . . . . 60 5.8 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V₁ =V₂ = 0.5，ア ス ペ ク ト 比：α₁/γ₁ =

α₂/γ₂ = 0.71，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0，

ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 2.0，h= 1.0). . . . . 61 5.9 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V₁ =V₂ = 0.5，ア ス ペ ク ト 比：α₁/γ₁ =

α₂/γ₂ = 0.71，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0，

ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 2.1，h= 1.2). . . . . 62 5.10 楕 円 体 渦 が や や 太 い 場 合: V = 0.5(ˆ² =√

0.5 = 0.7071)，◯：

定 常 回 転 型 ，△・□：合 体 分 裂 型 ，×：merger型 ，0%，5%の ラ イ ン はCASL法 の 計 算 結 果 に よって 引 い た エ ン ス ト ロ フィー の 減 少 率 の 等 値 線 . . . . 66 5.11 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V1 =V2 = 1.0，ア ス ペ ク ト 比：α1/γ1 =

α₂/γ₂ = 1.0，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0，

ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 3.0，h= 0.0). . . . . 69 5.12 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V₁ =V₂ = 1.0，ア ス ペ ク ト 比：α₁/γ₁ =

α₂/γ₂ = 1.0，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0，

ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 1.2，h= 2.0). . . . . 70

5.13 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V₁ =V₂ = 1.0，ア ス ペ ク ト 比：α₁/γ₁ = α₂/γ₂ = 1.0，傾 斜 角：Θ₁ = Θ₂ = 0，渦 の 全 高：zh₁ =zh₂ = 1.0，

ポ テ ン シャル 渦 度：q₁ =q₂ = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 2.8，h= 0.8). . . . . 71 5.14 同 径 楕 円 体 渦(体 積：V1 =V2 = 1.0，ア ス ペ ク ト 比：α1/γ1 =

α2/γ2 = 1.0，傾 斜 角：Θ1 = Θ2 = 0，渦 の 全 高：zh1 =zh2 = 1.0，

ポ テ ン シャル 渦 度：q1 =q2 = 4π，計 算 領 域：2π×2π×2π，格 子 点 数：128×128×128，a= 2.2，h= 0.0). . . . . 72 5.15 楕 円 体 渦 が 球 の 場 合:V = 1.0(ˆ² = √

1.0 = 1.0)，◯：安 定 型 ，

△：フィラ メ ン ト 型 ，□：Trapped型 ，×：merger型 ，0%，5%

の ラ イ ン はCASL法 の 計 算 結 果 に よって 引 い た エ ン ス ト ロ フィー の 減 少 率 の 等 値 線 . . . . 76 6.1 ２ 体 点 渦 の 配 置 図 . . . . 79 6.2 (左)合 体 前 ，(右)合 体 後 の 球 渦 . . . . 81 6.3 CASL法 (DNS)に お け る ２ 体 同 体 積 球 渦(球 渦 半 径1.0)の 合

体 領 域 ，及 び 各 渦 モ デ ル の 有 効 性 ．図 中 の 記 号 は ，°：定 常 回 転 運 動 ，4：フィラ メ ン ト 放 出 現 象 ，×：渦 合 体 現 象 ， 2：交 換 型 を 表 す．こ れ ら の 詳 細 な 説 明 に つ い て 前 章 も し く はLi et al.^[21]に 詳 し く 書 い て あ る ． . . . . 82 6.4 CASL法 (DNS)に お け る ２ 体 同 体 積 球 渦(球 渦 半 径1.0)の エ

ネ ル ギ ーH/H(t = 0)お よ び エ ン ス ト ロ フィーS/S(0)の 時 間 変 化 ． . . . . 83 6.5 Case A-G (N = 200)に お け る エ ネ ル ギ ーH/H(t = 0)お よ び

エ ン ス ト ロ フィーS/S(0)の 時 間 変 化 ．図 中 のa - gは そ れ ぞ れCase A-Gを 示 す(各 ケ ー ス の 詳 細 は 表6.1を 参 照 さ れ た い)． . . . . 84 6.6 Case Hに お け る 系 の 総 エ ネ ル ギ ーH/H(t = 0)，エ ン ス ト ロ

フィーS/S(0)，渦 数N/N(0)の 時 間 発 展 ．散 逸 係 数：F_S = 0.991，

初 期 渦 半 径rs(1,2,···,N)(0) = 0.036 の 場 合 ． . . . . 86

6.7 Case Iに お け る 系 の 総 エ ネ ル ギ ー H/H(t = 0)，エ ン ス ト ロ フィーS/S(0)，渦 数N/N(0)の 時 間 発 展 ．散 逸 係 数：F_S = 0.988，

初 期 渦 半 径rs(1,2,···,N)(0) = 0.036 の 場 合 ． . . . . 86

6.8 Case J に お け る 系 の 総 エ ネ ル ギ ー H/H(t=0)，エ ン ス ト ロ フィー S/S(0)の 時 間 発 展 ．散 逸 係 数：FS = 0.729，初 期 渦 半 径rs(1,2,···,N)(0) = 0.036 の 場 合 ． . . . . 87

6.9 初 期 状 態 (t = 0)，総 エ ネ ル ギ ー H，渦 数 N，エ ン ス ト ロ フィー Sの 時 間 発 展 が べ き 乗 で 減 少 す る 時 間 (t = 4−30)， そ の 時 間 帯 か ら し ば ら く 経 過 し た 時 間 (t = 74−100)に お け る 渦 度 分 布ω(r)．た だ し ，そ れ ぞ れ の 時 間 帯 で 時 間 平 均 を 取 り，ま た 鉛 直 方 向 に は 中 心 の 領 域 約60%を 空 間 平 均 し た デ ー タ で あ る ．散 逸 係 数：F_S = 0.988，初 期 渦 半 径 rs(1,2,···,N) = 0.036 . . . . 88

6.10 規 格 化 さ れ た 体 積V^∗に お け る 確 率 密 度 分 布P(V^∗) 散 逸 係 数：F_S = 0.988，初 期 渦 半 径：rs(1,2,...,N)= 0.036 . . . . 89

7.1 扁 長 回 転 楕 円 体 に お け る 流 線 図(α/γ =β/γ = 0.25,θ =π/6, zh = 1, z = 0). . . . . 95

7.2 扁 長 回 転 楕 円 体 に お け る 流 線 図(α/γ =β/γ = 0.25,θ =π/6, zh = 1, z = 0.05). . . . . 95

7.3 扁 長 回 転 楕 円 体 に お け る 流 線 図(α/γ =β/γ = 0.25,θ =π/6, zh = 1, z = 1.20). . . . . 95

7.4 サ ド ル ポ イ ン ト の 推 移(α/γ = 0.25, θ = ₃₆^π, ^π₆, ^π₄). . . . . 96

7.5 サ ド ル ポ イ ン ト の 推 移(α/γ = 0.50, θ = ₃₆^π, ^π₆, ^π₄). . . . . 97

7.6 サ ド ル ポ イ ン ト の 推 移 (α/γ = 0.50, θ = ^π₃, ^7π₁₈, ^4π₉ ). . . . . 97

7.7 扁 平 回 転 楕 円 体 に お け る 流 線 図(α/γ =β/γ = 1.50,θ =π/6, zh = 1, z = 0). . . . . 99

7.8 扁 平 回 転 楕 円 体 に お け る 流 線 図(α/γ =β/γ = 1.50,θ =π/6, zh = 1, z = 0.2). . . . . 99

7.9 扁 平 回 転 楕 円 体 に お け る 流 線 図(α/γ =β/γ = 1.50,θ =π/6,

zh = 1, z = 1.0). . . . . 99

7.10 サ ド ル ポ イ ン ト の 推 移 (α/γ = 1.50, θ =π/6) . . . . 100

7.11 ヘ テ ロ ク リ ニック 軌 道 の 内 側・外 側（ 概 念 図 ） . . . . 106

7.12 ホ モ ク リ ニック 軌 道 の 内 側・外 側（ 概 念 図 ） . . . . 106

7.13 Melnikov関 数 のt0/τ 依 存 性 (内 側 の 軌 道) (α/γ =β/γ = 0.25, θ =π/6, z = 0, 0.8, 1.0,zh= 1). . . . . 107

7.14 Melnikov関 数 のt₀/τ 依 存 性 (外 側 の 軌 道) (α/γ =β/γ = 0.25, θ =π/6, z = 0,0.8,1.0,zh= 1). . . . . 107

7.15 安 定 多 様 体 と 不 安 定 多 様 体 の 距 離d (α/γ = β/γ = 0.25, θ =π/6, zh= 1). . . . . 108

7.16 ポ ア ン カ レ 断 面 図（CASE A,z = 0） . . . . 109

7.17 ポ ア ン カ レ 断 面 図（CASE A,z = 0.8） . . . . 110

7.18 ポ ア ン カ レ 断 面 図（CASE A,z = 1.0） . . . . 110

7.19 ポ ア ン カ レ 断 面 図（CASE B,z = 0） . . . . 111

7.20 ポ ア ン カ レ 断 面 図（CASE B,z = 0.8） . . . . 113

7.21 ポ ア ン カ レ 断 面 図（CASE B,z = 1.0） . . . . 113

7.22 ポ ア ン カ レ 断 面 図 と 回 転 楕 円 体（CASE C, z = 0,0.5,1.0） . . 114 7.23 ポ ア ン カ レ 断 面 図 と 回 転 楕 円 体（CASE D, z = 0.5,1.0,1.5） . 115 7.24 ポ ア ン カ レ 断 面 図 と 回 転 楕 円 体 渦（CASE E, z = 0,0.5,1.0） 115

記 号 表

Ψ : 流 れ 関 数

q : ポ テ ン シャル 渦 度

φ : 回 転 角

θ : 傾 斜 角

ψ : 方 向 角

aⁱ : ２ 次 モ ー メ ン ト Γ : 楕 円 体 渦 の 全 渦 度 H : 系 の ハ ミ ル ト ニ ア ン

R_ij : i番 目 とj番 目 の 渦 の 重 心 間 距 離

zh : 渦 の 高 さ

P, Q : 全 力 学 系 の 渦 度 中 心

L : 角 運 動 量

ˆ

w : 重 み

s : 積 分 点 位 置

ρ₀ : 密 度

N₀ : 浮 力 振 動 数

f : コ リ オ リ パ ラ メ ー タ

a : ２ 体 渦 の 水 平 方 向 の 中 心 間 距 離 h : ２ 体 渦 の 鉛 直 方 向 の 中 心 間 距 離

V : 体 積

−∆S/S : エ ン ス ト ロ フィー 減 少 率

−∆E/E :エ ネ ル ギ ー 減 少 率

F_s : 散 逸 係 数

M(t₀) : Melnikov関 数

d(t₀) : 安 定 多 様 体 と 不 安 定 多 様 体 の 距 離

ω : 外 部 渦 度

e : 水 平 ス ト レ イ ン

τ : 鉛 直 シ ア ー

第 1 _章 緒言

大 気 ，海 洋 と いった 地 球 流 体 現 象 に は し ば し ば 大 小 さ ま ざ ま な 渦 構 造 が 姿 を 現 し ，そ れ が 長 く 安 定 に 存 在 し 続 け る こ と が 知 ら れ て い る ． そ れ ら の 渦 の 運 動 を 捉 え る こ と で 地 球 流 体 の 動 力 学 ば か り で な く，ス カ ラ ー 輸 送 過 程 が 解 明 さ れ る ．中 高 緯 度 地 方 で の 大 気 中 の 高 低 気 圧 や 海 洋 の 中 規 模 渦 構 造 と いった 総 観 ス ケ ー ル の 現 象 を 考 え る 時 に は ， 現 象 の 水 平 ス ケ ー ル が 垂 直 ス ケ ー ル に 比 べ て 非 常 に 大 き い 事 や コ リ オ リ 力 や 密 度 成 層 の た め に 鉛 直 方 向 の 運 動 が 抑 制 さ れ る ．こ の た め ， 第 １ 近 似 と し て ２ 次 元 流 近 似 に 基 づ い て 様々な 研 究 が な さ れ た ．し か し ，現 実 の 渦 構 造 は ３ 次 元 的 で あ り，第 ２ 次 近 似 と し て 鉛 直 方 向 の 影 響 を 考 慮 し た 準 地 衡 風 近 似 が 導 入 さ れ る よ う に なった ．

McWilliams^[1]は ス ペ ク ト ル 法 に よ る ２ 次 元 乱 流 渦 の 数 値 シ ミュレ ー ション を 実 行 し ，外 力 項 を 持 た な い ２ 次 元 乱 流 は 時 間 発 展 と と も に 数 多 く の 孤 立 し た 集 中 渦 領 域 が 出 現 し ，そ れ ら の 渦 領 域 の 変 形 ，合 体 が 繰 り 返 さ れ る こ と を 示 し た ．こ の よ う な 渦 領 域 の 運 動 を 数 値 的 に 調 べ る 一 連 の 仕 事 の 中 でMelanderet al.^[2] は 楕 円 形 に 歪 ん だ 渦 領 域 は 速 や か に 軸 対 称 に 戻 ろ う と す る 性 質 を も ち ，こ の 軸 対 称 化 の 過 程 で 非 常 に 細 い フィラ メ ン ト を 繰 り 返 し 放 出 す る こ と を 見 出 し た ．結 果 的 に は 渦 領 域 の 周 辺 部 の 渦 度 勾 配 は よ り 急 に な り，見 か け 上 ，渦 度 勾 配 に 逆 らって 渦 度 の 輸 送 が 行 な わ れ た よ う に な る ．

さ ら にMcWilliams^[3]とMcWilliamset al.^[4]は ス ペ ク ト ル 法 を 用 い て 準 地 衡 風 乱 流 の 数 値 シ ミュレ ー ション を 行 い ，２ 次 元 流 と 同 様 に 自 発 的 に 渦 構 造 が 生 成 さ れ る こ と を 確 認 し た が ，渦 の 数 や エ ネ ル ギ ー 散 逸 に つ い て の 信 頼 性 に 課 題 を 残 し た ．

近 年 こ の 問 題 を 解 決 す る 手 法 がDritschel et al.^[5]に よ り 開 発 さ れ た ．

そ の 解 析 手 法 ，CASL(Contour Advective Semi Lagrangian)法 は ，ス ペ ク ト ル 法 に 比 べ 精 度 ，計 算 時 間 と も に 優 れ て お り，こ れ に よ り，今 ま で 計 算 す る こ と の で き な かった ３ 次 元 極 渦 の フィラ メ ン ト 構 造 等 を 確 認 す る こ と が 可 能 と なった ．

一 方 ，長 軸2a，短 軸2bの 楕 円 内 部 の 一 様 渦 度 分 布 を 持 つKirchhoffの 楕 円 渦 は ，無 限 に 広 がった 静 止 流 体 中 で 形 を 変 え ず に 定 常 回 転 し て い る こ と が 知 ら れ て い る ．Moore and Saffman^[6]は 一 様 な ス ト レ イ ン 場 と 渦 度 場 に 埋 め 込 ま れ た 楕 円 渦 解 の 定 常 解 の 導 出 と 安 定 性 解 析 を お こ なった ．Kida^[7]はMoore and Saffmanの 定 常 解 を 非 定 常 解 へ 拡 張 し た ．

３ 次 元 準 地 衡 風 渦 に 関 し て ，Meacham^[8]とMeachamet al.^[9]は 準 地 衡 風 近 似 の も と で ，２ 次 元 楕 円 渦 を ３ 次 元 楕 円 体 渦 に 拡 張 し た ．彼 ら は 一 様 な 外 部 渦 度・水 平 ス ト レ イ ン・鉛 直 シ ア ー を 埋 め 込 ま れ た 楕 円 体 渦 の 非 定 常 解 を 求 め た ．さ ら にMeacham et al.^[10]は ，モ ー メ ン ト の 簡 略 化 の 観 点 か ら 非 定 常 解 の 明 確 な 理 論 的 解 釈 を 得 た ．一 様 シ ア ー 中 の 楕 円 体 渦 の 動 力 学 は ２ 自 由 度 の ハ ミ ル ト ン 力 学 系 で あ る こ と が 示 さ れ て い る ．

こ れ ら の 発 見 に 基 づ い て ，Miyazaki et al.^[11] は 簡 単 な 乱 流 渦 モ デ ル と し て ，各 渦 が 有 限 の 長 さ と 傾 き を 持ったwire渦(楕 円 体 渦 を 引 き 伸 ば し た よ う な 渦)で 近 似 す る モ デ ル を 開 発 し た ．こ の 運 動 方 程 式 は ，モ ー メ ン ト の 簡 略 化 に よって 導 き 出 さ れ た ．N個 の 相 互 作 用 す るwire渦 は2N の 自 由 度 を 持 つ ．こ の モ デ ル を 用 い ，一 般 に 知 ら れ て い る 点 渦 モ デ ル で は 見 ら れ な かった よ う な 現 象 ，例 え ば 渦 のalignment，合 体 現 象 を 中 心 にwire渦 の 動 力 学 を 解 明 し ，２ 体 の 渦 相 互 作 用 で も カ オ ス 現 象 が 生 じ る こ と を 示 し た ．ま た ，Miyazaki et al.^[12]は 秩 序 渦 構 造 を 一 様 渦 度 分 布 を 持 つ 楕 円 体 渦 領 域 で モ デ ル 化 し ，時 間 発 展 を 渦 度 分 布 の 二 次 モ ー メ ン ト ま で を 考 慮 し た 低 次 元 ハ ミ ル ト ン 力 学 系 と し て 定 式 化 し た 準 地 衡 風 楕 円 体 渦 モ デ ル を 開 発 し た ．Miyazakiら はCASL法 に よ る 直 接 数 値 計 算 に よって 乱 流 渦 モ デ ル の 検 証 を 行 い ，２ 体 の 渦 のCo-Rotating とCounter-Rotatingの 場 合 に つ い て 調 べ た ．Miyazaki et al.^[13]は モ ー メ ン ト モ デ ル が 同 符 号 の 太 い（ ア ス ペ ク ト 比 の 大 き い ）渦 間 の 合 体 現 象 の

臨 界 距 離 を 精 度 よ く 捉 え る こ と を 示 し た ．し か し ，Miyazaki et al.^[14]は Co-Rotatingの 場 合 渦 モ デ ル は ア ス ペ ク ト 比 が １/３ よ り 小 さ い と き は 精 度 が 落 る こ と や 異 符 号 の 渦 間 の 相 互 作 用 で「 偽 の 特 異 性 」を 予 想 す る な ど の 欠 点 を 指 摘 し た ．そ の た め ，モ デ ル の 改 良 が 必 要 と なった ． Dritschelet al.^[15] は 離 散 点 近 似 を 用 い た 楕 円 体 渦 モ デ ル を 開 発 し ，モ デ ル の 予 測 精 度 を 向 上 さ せ た が ，彼 ら の モ デ ル は 余 分 の 変 数 を 用 い て い る 等 改 良 の 余 地 が あった ．Miyazaki et al.^[16] は ま ず 比 較 的 簡 単 なwire 渦 の 近 似 方 法 を 離 散 点 近 似 に 変 更 し て ，近 似 精 度 が 向 上 し か つ 特 異 領 域 を 狭 め る 事 に 成 功 し た ．

そ こ で 本 論 文 で は ，モ ー メ ン ト 近 似 モ デ ル に よって 起った 上 記 の よ う な 振 舞 い を 改 善 す る た め ，必 要 最 低 限 の 変 数 を 用 い る 離 散 点 近 似 に よって 導 き 出 さ れ た モ デ ル に 改 良 し ，CASL法(128³)に よ る 準 地 衡 風 渦 の 数 値 計 算 結 果 と 比 較 す る こ と で そ の 検 証 を 行った ．ま た ，必 要 最 低 限 の 変 数 を 用 い る 離 散 点 近 似 に よ る 改 良 楕 円 体 渦 モ デ ル が 構 築 さ れ た た め ，点 渦 モ デ ル に 半 径 を 持 た せ ，さ ら に 散 逸 係 数 を 導 入 し た 球 渦 モ デ ル を 構 築 し ，球 渦 モ デ ル の 散 逸 性 はCASL法 の 結 果 と の 整 合 性 を 確 認 す る と 同 時 に 球 渦 モ デ ル の 統 計 性 に つ い て も 調 べ る ．

一 方 ，ス カ ラ ー 輸 送・混 合 現 象 に 関 し て は ，２ 次 元 楕 円 渦 近 傍 の 流 体 粒 子 の ラ グ ラ ン ジ カ オ ス がPolvani^[17] に よって 研 究 さ れ ，Kawakami et al.^[18]は こ の 流 体 粒 子 の ラ グ ラ ン ジ カ オ ス をMelnikovの 方 法 と 数 値 計 算 を 用 い て 詳 し く 調 べ た ．連 続 的 な 渦 度 分 布 の 流 れ 場 に お け る カ オ ス 混 合 現 象 に つ い て も 数 多 く の 研 究(例 え ばPierrehumbert^[19])が あ る が ， 本 研 究 で は ，準 地 衡 風 近 似 の も と で の 準 二 次 元 的 な ス カ ラ ー 輸 送・混 合 現 象 を 調 べ る ．具 体 的 に は ，静 止 流 体 中 に お け る 楕 円 体 渦 構 造 近 辺 の ス カ ラ ー 輸 送・混 合 現 象 に 焦 点 を 合 せ ，回 転 楕 円 体 渦 の ア ス ペ ク ト 比 を わ ず か に 変 化 さ せ て 楕 円 体 渦 に し た と き に 起 き る カ オ ス 混 合 を ， Melnikovの 方 法 と 数 値 計 算 を 用 い て 解 明 し た ．

本 論 文 の 構 成 は 以 下 の 通 り で あ る ．第 ２ 章 で は 本 研 究 で 用 い る 基 礎 方 程 式 と そ の 厳 密 解 で あ る 楕 円 体 渦 解 を 説 明 す る ．第3章 で は「 準 地 衡 風 乱 流 渦 モ デ ル 」の 開 発 経 緯 を 説 明 す る ．第4章 で は「 準 地 衡 風 乱

流 渦 モ デ ル 」の 改 良 法 を 述 べ る ．第5章 で は 直 接 数 値 計 算 で あ るCASL 法 の 計 算 結 果 と 比 較 す る こ と で ，改 良 楕 円 体 渦 モ デ ル の 予 測 精 度 を 検 証 す る ．第6章 で は 準 地 衡 風 球 渦 モ デ ル の 統 計 性 に つ い て 調 べ る ． 第7章 で は 楕 円 体 渦 領 域 近 傍 に お け る ス カ ラ ー 輸 送 現 象 を ，Melnikov 関 数 に よ る 解 析 と 数 値 計 算 に よって 調 べ る ．第8章 で は 結 言 を 述 べ る ．

第 2 _章

準地衡風方程式と楕円体渦解

地 球 流 体 現 象 に お け る 流 れ は 安 定 密 度 成 層 効 果 と 回 転 効 果（ コ リ オ リ 効 果 ）の 影 響 を 強 く 受 け，鉛 直 方 向 の 運 動 が 抑 制 さ れ ，地 球 流 体 中 の 流 体 運 動 は 水 平 面 内 で 起 き る ．こ の た め 最 低 次 の 近 似 で は ２ 次 元 近 似 が 用 い ら れ る ．本 論 文 で は ，異 な る 水 平 面 で 生 じ る ２ 次 元 流 間 の 相 互 作 用 を 取 り 入 れ た ，よ り 高 精 度 な 近 似 で あ る 準 地 衡 風 近 似 を 用 い る ．準 地 衡 風 近 似 は ロ ス ビ ー 数（ 水 平 流 速 ス ケ ー ル と コ リ オ リ 加 速 度 項 の 比(U/(|f|L)) で 表 す 無 次 元 量 ）と フ ル ー ド 数（ 水 平 流 速 ス ケ ー ル と 位 相 速 度 の 比(U/(√

gH)) で 表 す 無 次 元 量 ）が 非 常 に 小 さ い と き に 精 度 よ く 成 立 す る ．準 地 衡 風 方 程 式 は 非 線 形 方 程 式 で は あ る が ，数 学 的 取 扱 い が 比 較 的 に 容 易 で あ り，非 線 形 の 解 析 解 が 求 め ら れ て い る ．

2.1 準 地 衡 風 方 程 式

準 地 衡 風 近 似 の も と で の 流 体 運 動 は2次 元 平 面 内 で 起 こ る の で 流 れ 関 数Ψが 導 入 さ れ る ．密 度 勾 配 が 一 様 な 成 層 回 転 流 体 の 準 地 衡 風 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に 表 さ れ る^[26]．

̶

∂t +∂Ψ

∂y

∂

∂x −∂Ψ

∂x

∂

∂y

!

q= 0. (2.1)

こ こ で ポ テ ン シャル 渦 度 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る ． q=−∆Ψ =−

à ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

!

Ψ. (2.2)

速 度 場 と 流 れ 関 数 の 関 係 は 流 体 力 学 分 野 で の 符 号 を 慣 習 に 基 い て ，以 下 の よ う に 定 義 さ れ る ．

u= ∂Ψ

∂y, v =−∂Ψ

∂x. (2.3)

2.2 楕 円 体 渦 解

Meacham et al.^[9]は 楕 円 体 渦 領 域 を 表 わ す 非 定 常 厳 密 解 を 求 め た ．楕 円 体 渦 内 部 の ポ テ ン シャル 渦 度q は 一 様 で あ る と し ，楕 円 体 に お け る 各 半 軸 長 を α, β, γ と す る ．ポ テ ン シャル 渦 度 は 保 存 量 で あ り，楕 円 体 渦 の 体 積 は 不 変 な の で ，α, β, γ は 独 立 で は な い ．そ こ で a, b と い う 新 し い 変 数 を 用 い る ．

a = α

γ, (2.4)

b = β

γ. (2.5)

楕 円 体 渦 の 向 き は オ イ ラ ー 角(φ, θ, ψ)に よ り 規 定 さ れ る ．









x y z







=M









X Y Z







, (2.6)

こ こ で ，

M =









cosφ−sinφ0 sinφ cosφ 0

0 0 1

















cosθ 0 sinθ 0 1 0

−sinθ0 cosθ

















cosψ−sinψ0 sinψ cosψ 0

0 0 1









=









M₁₁ M₁₂ M₁₃ M₂₁ M₂₂ M₂₃ M31 M32 M33







. (2.7)

X, Y, Z は 楕 円 体 に お け る 主 軸 座 標 系 の 各 成 分 を 示 し て い る ．

初 め に ，背 景 の 一 様 な 外 部 渦 度ω・水 平 ス ト レ イ ンe・鉛 直 シ ア ーτ を 埋 め 込 ん だ 単 体 準 地 衡 風 楕 円 体 渦 を 考 え る ．ア ス ペ ク ト 比a, bと オ イ ラ ー 角φ, θ, ψの 運 動 方 程 式 はMeacham et al.^[9]に よって 導 き 出 さ れ ，式 (2.8)〜 式(2.12)に な る ．

˙ a

a = 1

2e{cosθsin 2ψcos 2(φ−²)

+[cos 2ψ−sin²θ(1 + cos²ψ)] sin 2(φ−²)}

+τsinθ[1

2sin 2ψsin(φ−χ)

−cosθ(1 + cos²ψ) cos(φ−χ)], (2.8)

b˙

b = −1

2e{cosθsin 2ψcos 2(φ−²)

+[cos 2ψ+ sin²θ(1 + sin²ψ)] sin 2(φ−²)}

−τsinθ[1

2sin 2ψsin(φ−χ)

+ cosθ(1 + sin²ψ) cos(φ−χ)]. (2.9)

φ˙ = 1

2(Ω₁+ Ω₂) + 1

2(Ω₁−Ω₂) cos 2ψ+1 2ω

−1 2e[

Ãa²+ 1

a² −1sin²ψ+b²+ 1 b²−1cos²ψ

!

cos 2(φ−²) +( 1

a²−1− 1

b²−1) cosθsin 2ψsin 2(φ−²)]

+ τ

sinθ[cosθ(sin²ψ

a²−1+ cos²ψ

b²−1) sin(φ−χ)

−1 2( 1

a²−1 − 1

b²−1) cos 2θsin 2ψcos(φ−χ)], (2.10) θ˙ = 1

2sinθsin 2ψ(Ω₂−Ω₁)

−1

2esinθ[(a²+ 1

a²−1cos²ψ+b²+ 1

b²−1sin²ψ) cosθsin 2(φ−²) +( 1

a²−1− 1

b²−1) sin 2ψcos 2(φ−²)]

+τ{[sin²θ−cos 2θ

Ãcos²ψ

a²−1 + sin²ψ b²−1

!

] cos(φ−χ) +1

2( 1

a²−1 − 1

b²−1) cosθsin 2ψsin(φ−χ)}, (2.11) ψ˙ = cosθ[Ω₃− 1

2(Ω₁+ Ω₂)− 1

2(Ω₁−Ω₂) cos 2ψ]

+1

2e{cosθ(a²+ 1

a²−1sin²ψ+b²+ 1

b²−1cos²ψ+ (a²+b²

a²−b²) cos 2ψ) cos 2(φ−²) +[( 1

a²−1− 1

b²−1) cos²θ− 1

2(a²+b²

a²−b²)(1 + cos²θ)] sin 2ψsin 2(φ−²)}

− τ

sinθ{[cos²θ(sin²ψ

a²−1 +cos²ψ

b²−1)−sin²θ(a²cos²ψ−b²sin²ψ

a²−b² )] sin(φ−χ)

−1 2[( 1

a²−1 − 1

b²−1) cosθcos 2θ

+1

2(a²+b²

a²−b²) sinθsin 2θ] sin 2ψcos(φ−χ)}. (2.12) と こ ろ で ，変 数Ω_i(i= 1,2,3) は 各 軸 の 回 転 角 速 度 で あ る ．

I₁ ≡

Z _∞

0

1 2

abs¹ds

[(s+a²)(s+b²)(s+ 1)]^3/2, (2.13) I₂ ≡

Z _∞

0

1 2

abs²ds

[(s+a²)(s+b²)(s+ 1)]^3/2, (2.14)

Ω₁ = a²I₁+I₂, (2.15)

Ω₂ = b²I₁+I₂, (2.16)

Ω₃ = I₁+I₂. (2.17)

2.3 正 準 変 数 の 紹 介

Meacham et al.^[10]は 準 地 衡 風 近 似 方 程 式 のPoisson括 弧 式 に よ る 定 式 化 を 出 発 点 と し ，モ ー メ ン ト 簡 略 化 の 手 法 に 沿って ，系 統 的 に 彼 ら の 楕 円 体 渦 解 を 導 出 し 直 し た ．こ れ に よ り，楕 円 体 渦 解 の 持 つ 数 学 的 構 造 が 明 確 に さ れ る と と も に ，Lie代 数 の 分 解・単 純 化 を 行 う こ と で ，楕 円 体 渦 解 に 最 も 即 し た 正 準 変 数 を 見 出 す こ と も 可 能 と なった ．

０ 次 モ ー メ ン ト は ポ テ ン シャル 渦 度 の 空 間 積 分 で あ り，渦 強 さ に 相 当 す る 不 変 量Γˆで あ る ．１ 次 モ ー メ ン ト は ポ テ ン シャル 渦 度 分 布 の 重 心 に 対 応 す る が ，座 標 原 点 を 重 心 に 取って い る の で ，ゼ ロ と な る ．有 意 な 変 数 は ２ 次 モ ー メ ン トaⁱで あ る ．

aⁱ =

Z

Dqmⁱdxdydz. (2.18)

た だ し ，楕 円 体 の 形 状 と 姿 勢 を 表 わ す 補 助 変 数mⁱ（ ６ 変 数 ）は ，以 下 の よ う に 定 義 さ れ る ．

m¹ =x², m² =xy, m³ =y², m⁴ =yz, m⁵ =zx, m⁶ =z². (2.19) こ れ ら ６ つ の 補 助 変 数 は ，楕 円 体 の ３ つ の 半 主 軸 長（α, β, γ）と ３ つ の Euler 角（φ, θ, ψ）の 代 わ り と な る ．具 体 的 に は

a¹=1

5Γ{αˆ ²(cosφcosθcosψ−sinφsinψ)²

+β²(cosφcosθsinψ+ sinφcosψ)²+γ²cos²φsin²θ}, (2.20) a³=1

5Γ{αˆ ²(sinφcosθcosψ+ cosφsinψ)²

+β²(sinφcosθsinψ−cosφcosψ)²+γ²sin²φsin²θ}, (2.21) a⁶=1

5Γ{αˆ ²sin²θcos²ψ+β²sin²θsin²ψ+γ²cos²θ}, (2.22) a²=1

5Γ{αˆ ²(cosφcosθcosψ−sinφsinψ)(sinφcosθcosψ+ cosφsinψ) +β²(cosφcosθsinψ+ sinφcosψ)(sinφcosθsinψ−cosφcosψ)

+γ²cosφsinφsin²θ}, (2.23)

a⁴=1

5Γ{αˆ ²(sinφcosθcosψ+ cosφsinψ)(−sinθcosψ) +β²(−sinφcosθsinψ+ cosφcosψ) sinθsinψ

+γ²sinφcosθsinθ}, (2.24) a⁵=1

5Γ{αˆ ²(cosφcosθcosψ−sinφsinψ)(−sinθcosψ) +β²(−cosφcosθsinψ−sinφcosψ) sinθsinψ

+γ²cosφcosθsinθ}. (2.25)

こ れ ら 時 間 発 展 は ，準 地 衡 風 近 似 方 程 式 のPoisson括 弧 式 に よ る 定 式 化 か ら 系 統 的 に 求 め ら れ ，以 下 のLie-Poisson形 式 で 与 え ら れ る ．

J =



















0 2a¹ 4a² 2a⁵ 0 0

−2a¹ 0 2a³ a⁴ −a⁵ 0

−4a² −2a³ 0 0 −2a⁴ 0

−2a⁵ −a⁴ 0 0 −a⁶ 0

0 a⁵ 2a⁴ a⁶ 0 0

0 0 0 0 0 0



















(2.26)

モ ー メ ン ト 近 似 の 運 動 方 程 式 はPoisson括 弧 式 を 用 い る こ と で

˙

aⁱ ={aⁱ, H}=

XN

j

J^ij∂H

∂a^j. (2.27)

Lie代 数 を 可 解 で 半 単 純 な 部 分 に 分 割 出 来 る こ と は ，よ く 知 ら れ て い る ．正 規 座 標 系 で は 以 下 の よ う に 表 す．

z¹ = 1 4

³a¹+a³− (a⁴)²

a⁶ − (a⁵)² a⁶

´,

z² = 1

2(a²−a⁴a⁵ a⁶ ), z³ = 1

4

³a¹−a³− (a⁴)²

a⁶ +(a⁵)² a⁶

´, z⁴ = a⁴,

z⁵ = a⁵,

z⁶ = a⁶, (2.28)

逆 変 換 す る こ と で ，

a¹ = 2(z¹+z³) + (z⁵)² z⁶ , a² = 2z²+ z⁵z⁴

z⁶ ,

a³ = 2(z¹−z³) + (z⁴)² z⁶ , a⁴ = z⁴,

a⁵ = z⁵,

a⁶ = z⁶. (2.29)

正 規 座 標 系 に 対 応 す るJ˜^ij は 以 下 の よ う に 計 算 で き る ．

J˜^ij = {zⁱ, z^j}. (2.30)

J˜^ij =



















0 z³ −z² 0 0 0

−z³ 0 −z¹ 0 0 0

z² z¹ 0 0 0 0

0 0 0 0 −z⁶ 0

0 0 0 z⁶ 0 0

0 0 0 0 0 0



















(2.31)

正 準 変 数 を 導 入 す る と き ，座 標a⁶ =z⁶ =C_Lは 渦 の 高 さ（ 保 存 量 ）で ， C_U は 渦 の 体 積（ 不 変 量 ）で あ り，

C_U = 1

a⁶(2s²a⁴a⁵+a¹a³a⁶−a¹(a⁴)²−a³(a⁵)²−(a²)²a⁶). (2.32) と 表 す こ と が で き る ．さ ら にzⁱを 組 み 合 せ て こ れ ら を 消 去 し ，２ 組 み の 正 準 変 数（R, α）（S, β）を 構 成 す る こ と が で き る ．そ れ ら の 関 係 は 次 の 通 り で あ る ．

z¹ = 1 2R, z² = 1

2(R²−C_U)¹² sin 2α, z³ = 1

2(R²−C_U)¹² cos 2α, z⁴ = (2C_LS)¹² sin 2β, z⁵ = (2C_LS)¹² cos 2β,

z⁶ = C_L. (2.33)

以 上 の よ う に ，楕 円 体 渦 解 に 最 も 即 し た 正 準 変 数 を 見 出 し ，ま た そ の 正 準 変 数 を 用 い る こ と で ，数 学 的 に シ ン プ ル な 運 動 方 程 式 を 導 く こ と が で き た ．

dR

dt = ∂H

∂α,dα

dt =−∂H

∂R, dS

dt = ∂H

∂β ,dβ

dt =−∂H

∂S. (2.34)

第 3 _章

準地衡風楕円体渦のモーメントモ デル

我々の グ ル ー プ は ，準 地 衡 風 近 似 の も と で ，各 渦 を 有 限 の 長 さ と 傾 き を 持ったwire渦(楕 円 体 渦 を 引 き 伸 ば し た よ う な 渦)で 近 似 す る モ デ ル を 開 発 し(Miyazaki et al.^[11])，さ ら に そ れ を 楕 円 体 渦 モ デ ル に 拡 張 し た(Miyazaki et al.^[12])．そ れ ぞ れ の 渦 構 造 を 一 様 な 外 部 渦 度・水 平 ス ト レ イ ン・鉛 直 シ ア ー に 埋 め 込 ま れ たMeachamet al.^[10]の 楕 円 体 解 で 近 似 し ， そ の 相 互 作 用 を 二 次 ま で の モ ー メ ン ト 展 開 で 近 似 的 に 取 り 入 れ た ．こ の モ デ ル は 同 符 号 のCo-Rotating渦 の 相 互 作 用 を あ る 程 度 予 測 で き た が ，異 符 号 のCounter-Rotating渦 を 接 近 さ せ た と き ，渦 傾 斜 角 がπ/2ま で 倒 れ る と い う 特 異 現 象 を 予 測 し た こ と か ら ，モ ー メ ン ト モ デ ル の 改 良 が 必 要 と なって き た ．

3.1 モ ー メ ン ト の 簡 略 化

相 互 作 用 す るN体 準 地 衡 風 楕 円 体 渦 を 考 え る ．i番 目 の 楕 円 体 の 位 置 ，形 状 ，向 き と いった 状 態 を 示 す 関 数 は ，２ 次 の オ ー ダ ー ま で の １ ０ 個 の モ ー メ ン ト の 値 に よって 与 え ら れ る ．

˜

m^1+10(i−1) = 1, m˜²⁺¹⁰ⁱ =x, m˜^3+10(i−1) =y,

˜

m^4+10(i−1) =z, m˜^5+10(i−1) =x²,m˜^6+10(i−1) =y²,

˜

m^7+10(i−1) =z², m˜^8+10(i−1) =xy,m˜^9+10(i−1) =yz,

˜

m^10+10(i−1) =zx,

こ こ で ，

˜

a^j+10(i−1) =

Z

Di

qim˜^j+10(i−1)dxdydz. (3.1)

を 導 入 す る ．˜aⁱはx−y−z座 標 系 に お け る 原 点 を 中 心 と し た2次 ま で の モ ー メ ン ト で あ る ．ま た ，Γˆ_iはi 番 目 の 楕 円 体 渦 の 全 渦 度 を 示 し て い る ．

Γˆ_i = 4π

3 V_iq_i = ˜a^1+10(i−1). (3.2)

座 標 の 原 点 を 各 楕 円 体 渦 の 重 心(Xi, Yi, Zi) と す る と ，他 の 変 数 の 意 味 付 け は よ り はっき り と し て

X_i =a^2+10(i−1)/˜a^1+10(i−1) = ˜a^2+10(i−1)/˜a^1+10(i−1), (3.3) Yi =a^3+10(i−1)/˜a^1+10(i−1) = ˜a^3+10(i−1)/˜a^1+10(i−1), (3.4) Z_i =a^4+10(i−1)/˜a^1+10(i−1) = ˜a^4+10(i−1)/˜a^1+10(i−1), (3.5) そ し て ，

a^5+10(i−1) = ˜a^5+10(i−1)−X_i²˜a^1+10(i−1), (3.6)

a^6+10(i−1) = ˜a^6+10(i−1)−Y_i²˜a^1+10(i−1), (3.7)

a^7+10(i−1) = ˜a^7+10(i−1)−Z_i²˜a^1+10(i−1), (3.8)

a^8+10(i−1) = ˜a^8+10(i−1)−X_iY_i˜a^1+10(i−1), (3.9)

a^9+10(i−1) = ˜a^9+10(i−1)−Y_iZ_i˜a^1+10(i−1), (3.10)

a¹⁰ⁱ = ˜a¹⁰ⁱ−Z_iX_i˜a^1+10(i−1). (3.11)

こ こ でaⁱ は 原 点 を 楕 円 体 渦 の 重 心 と し た2次 ま で の モ ー メ ン ト で あ り，i番 目 の 楕 円 体 渦 の ２ 次 の オ ー ダ ー の モ ー メ ン ト を 示 す．

a^5+10(i−1)=a^1+10(i−1)x²_i, (3.12)

a^6+10(i−1)=a^1+10(i−1)y²_i, (3.13)

a^7+10(i−1)=a^1+10(i−1)z_i², (3.14)

a^8+10(i−1)=a^1+10(i−1)x_iy_i, (3.15)

a^9+10(i−1)=a^1+10(i−1)y_iz_i, (3.16)

a¹⁰ⁱ=a^1+10(i−1)z_ix_i, (3.17)