【6.複素積分】
この項では複素関数の積分、「複素積分」について述べる。特異点があるような関数の積分 は実数空間だけでは限界がある。複素空間で考えれば「留数定理」や「Cauchy の主値積分」 等の方法で求められるものがある。これらの方法と複素関数の解析に必要な基本的な知識 を見ていくことにする。・複素関数の積分
複素関数を扱う上で基本的な知識が必要で、幾つかの関係式を証明しておく。 ・Cauchy−Riemann(コーシー・リーマン)の関係式 この関係式の意味は、複素関数が考える領域にて正則(微分可能)であるための条件である。 複素関数の微分について考えよう。 複素関数)
,
(
)
,
(
)
(
z
u
x
y
iv
x
y
f
z
x
iy
とする。 微分の定義よりf
(z
)
をz
平面にて微分することはz
z
f
z
z
f
z
f
dz
d
z)
(
)
(
lim
)
(
0 が収束することを意味する。z
はx,
y
の関数であるからx,
y
どちらの微分も等しくならなければならない。従って、y
i
x
z
を考慮して (x
について)x
v
i
x
u
x
y
x
iv
y
x
u
y
x
x
iv
y
x
x
u
x)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
lim
0―― ① (
y
について)y
v
y
u
i
y
i
y
x
iv
y
x
u
y
y
x
iv
y
y
x
u
y i)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
lim
0―― ② ①=②とすると
y
v
x
u
かつx
v
y
u
この関係を満たせばf
(z
)
は正則である。 この関係式をCauchy−Riemann の関係式と言う。この項では線積分とStokes の定理の知識が必要である。(詳しくはベクトル解析を参照) 複素関数
f
(z
)
を積分路C
に沿って積分することを 考える。 C zf
z
dz
I
(
)
)
(z
f
は)
,
(
)
,
(
)
(
z
u
x
y
iv
x
y
f
z
x
iy
と書けることを考えると積分I
zは C C C C zudy
vdx
i
vdy
udx
idy
dx
iv
u
dz
z
f
I
)
(
である。 積分路C
が閉じていた場合を考えると積分I
zは C Cz
udx
vdy
i
vdx
udy
I
となるから、右図の様に積分路
C
に囲まれた領域をS
とし(※)Stokes の定理を用いれば、
C C
z
udx
vdy
i
vdx
udy
I
S Sy
dxdy
v
x
u
i
dxdy
y
u
x
v)
(
複素関数f
(z
)
が正則ならばCauchy−Riemann の関係式より0
)
(
C zf
z
dz
I
となる。これをCauchy の積分定理という。 ※Stokes の定理 S SA
d
r
A
d
s
v
v
v
v
A
v
:ベクトル場S
:領域S
を囲む経路・Cauchy の積分公式 積分路
C
が閉曲線であるとし囲まれた領域をS
とする。領域S
にて正則な複素関数f
(z
)
を 考え、S
内部に点a
があるとする。(図1) 次のような周回積分を考える。 Cz
a
dz
z
f
(
)
点a
を除くような経路に考えると図2のようになる。 点a
の周りを半径 で避けるように経路C
1を考え、点a
に近づくための経路をC
2とし領域S
を作る経路をC
0 とすると、全経路C
は 2 1 0C
C
C
C
である。C
1の“−”はC
0に対して逆回転を意味する。 ところでC
2は上下の経路があり打ち消しあうと考え、0 結局、積分する全経路C
の正味はC
C
0C
1 Cauchy の積分定理を考えると0
)
(
Cz
a
dz
z
f
(
)
(
)
0
1 0 C Cz
a
dz
z
f
dz
a
z
z
f
1 0)
(
)
(
C Cz
a
dz
z
f
dz
a
z
z
f
この式の重要な事は、全経路
C
とほぼ同等の大きさを持つ経路C
0の周回積分とC
1での結果 が等しいと言うことである。C
1について考えてみよう。 1C
はa
を中心とし、半径 の円であるから ie
a
z
と書き表すことが出来る。dz
i
e
id
より積分は 2 0 2 0 1)
(
d
a
e
f
i
d
e
e
i
a
e
f
dz
a
z
z
f
i i i i C ここで0
とするとf
e
ia
f
(a
)
となるので)
(
2
)
(
2 0 2 0a
f
i
d
a
f
i
d
a
e
f
i
iつまり領域
S
に含まれる全ての点において経路C
との関係が存在しz
i
2
と出来る。これをCauchy の積分公式という。 ※幾つかの複素関数の参考書を調べるとこの辺りで Lauent(ローラン)展開の説明が出てく る。この「複素積分」では複素積分を中心にするため、Lauent 展開については最後に載せる。 ・Goursat(グルサ)の公式 この公式はCauchy の積分公式の拡張である。 Cauchy の積分公式をz
について微分してみると、 Cz
d
f
i
z
f
dz
d
2)
(
)
(
2
1
)
(
,
L
)
(
)
(
2
2
)
(
3 2 2C
z
d
f
i
z
f
dz
d
と続いていくので結局n
回微分すると C n n nd
z
f
i
n
z
f
dz
d
1)
(
)
(
2
!
)
(
と出来る。この式をGoursat の公式と言う。 Goursat の公式は領域S
にて解析的であることを主張している。一階微分可能な関数f
(z
)
はn 階微分可能でかつ n 階微分のf
(z
)
もまた領域S
にて解析的であること意味する。 ・留数定理 今まで示してきた定理、公式を用いて「留数定理」なるものを明らかにしよう。ここまで の知識は本当に必要な物だけである事に注意したい。厳密に正しいとするにはもっと詳細 について語らなければならない。しかしながらそれらは数学の参考書に譲るとする。 Cauchy の積分公式と同様な経路を考える。 点a
の周りを半径 で避けるように経路C
1を考え、領域S
を作る経路をC
0とすると、全経路C
は 1 0C
C
C
と出来た。このような領域S
にて関数f
(z
)
の積分 1 0(
)
(
)
)
(
C C Cf
z
dz
f
z
dz
f
z
dz
を考える。 複素関数f
(z
)
は領域S
にて正則とする。 先と同様に結果(Cauchy の積分定理より) 1 0(
)
C(
)
Cf
z
dz
f
z
dz
となるので経路C
1に注目して積分を考える。 ie
a
z
と出来る事とCauchy の積分公式の形を踏まえて次の変形してみる。1 1
(
)
C(
)
Cz
a
dz
a
z
z
f
dz
z
f
2 0d
e
i
e
a
z
a
e
f
i i i 2 0)
(
z
a
d
a
e
f
i
i0
とするとf
e
ia
f
(a
)
となる。この極限はa
z
でもある。 すなわち関数f
(z
)
は領域S
にて正則であるからこの極限で収束する。A
a
z
z
f
(
)(
)
極限の結果ある値A
に至ったとしよう。そうするとこの積分は 1(
)
Cf
z
dz
2 0)
(
z
a
d
a
e
f
i
ii
Ad
i
2
A
2 0 と出来る。この値A
を留数(residue)と呼ぶ。点a
は領域S
より留めた点であり、除かれた 点である。特に関数f
(z
)
において点a
が特異点であり解析的では無いならば除外したい。 留数A
を]
),
(
[
f
z
a
es
R
A
と書くことにする。 以上をまとめると 1(
)
Cf
z
dz
i
2
lim
z af
(
z
)(
z
a
)
i
2
R
es
[
f
(
z
),
a
]
である。 まだ留数の正体がわからないので意味が無い。留数の正体に迫ってみよう。 留数A
R
es
[
f
(
z
),
a
]
が存在する、つまりA
a
z
f
es
R
a
z
z
f
a z(
)(
)
[
(
),
]
lim
と値をもつ場合、関数f
(z
)
は一位の極a
を持つと言う。一般にa
がm 位の極を持つ場合A
a
z
f
es
R
a
z
z
f
m a z(
)(
)
[
(
),
]
lim
という意味である。 ここでm 位の極を持つ関数f
(z
)
について考えたいので ma
z
z
g
z
f
)
(
)
(
)
(
g
(z
)
:領域S
にて正則な関数 についての留数を考えよう。 Goursat の公式よりC m m
z
i
dz
12
(
)
C ma
a
i
(
)
2
1 11
)
(
1
1
a
a
z
a
a
z
a
z
Q
)
(
)!
1
(
1
2
1 1z
g
dz
d
m
i
m m C m md
a
a
z
a
g
1
)
(
)
(
するとここでf
(z
)
を代入すると m m ma
z
z
f
dz
d
m
i
(
)(
)
)!
1
(
1
2
C md
a
a
z
f
(
)
1
極限z
a
を考えると0
a
a
z
より Cf
(
)
d
m m m a zdz
f
z
z
a
d
m
i
lim
(
)(
)
)!
1
(
1
2
1 1 よって Cf
(
z
)
dz
m m m a zdz
f
z
z
a
d
m
i
lim
(
)(
)
)!
1
(
1
2
1 1]
),
(
[
2
iR
es
f
z
a
となる。留数は]
),
(
[
f
z
a
es
R
m m m a zdz
f
z
z
a
d
m
1
)!
lim
(
)(
)
(
1
1 1 で表される。 結局、留数定理は 『積分を微分と極限で表現できる』という計算手法なのである。 ・複数の極を持つ留数定理 特異点がn 個あることを考えると Cf
(
z
)
dz
n k ka
z
f
es
R
i
[
(
),
]
2
と書ける。これは右図とCauchy の積分定理より 明らかであろう。省略して書く。L
L
2 1 0 2 1 0 C C0
C C C C C・複素積分(例題)
さて留数定理の原理を見てきたが、もちろんこのままでは使い物にならない。例題を解き 使い方を習得しよう。 ・基本例題1(留数定理を用いた複素積分) (1)1
2x
dx
(2)i
x
dx
(3) 0 31
x
dx
(4)dx
e
e
x ax1
)
1
0
(
a
(解 1−1) (1)1
2x
dx
まず1
1
)
(
2z
z
f
と定義する。)
(z
f
はz
i
において発散するので解析的ではない。 特異点として考える。右図のような経路を考え、次の 周回積分を考える。 R R C C Cx
f
z
dz
f
z
dz
dx
dz
z
f
2 1 2(
)
(
)
1
)
(
0
となる。C
2で留数を考えると]
),
(
[
2
)
(
2i
z
f
es
iR
dz
z
f
C z ii lim
2
(
)
)
)(
(
1
i
z
i
z
i
z
次にC
1について考える。 ie
R
z
とすると iRie
dz
より またR
とすれば 0 2 2 11
)
(
d
e
R
Rie
dz
z
f
i i C0
よって 2 2 2 2
(
)
1
0
)
(
1
Cx
Cf
z
dz
dx
dz
z
f
x
dx
である。
(2)
i
x
dx
まずi
z
z
f
(
)
1
と定義する。)
(z
f
は特異点z
i
を持つ。右図のような経路を考え、 次の周回積分を考える。 R R C C Cx
i
f
z
dz
f
z
dz
dx
dz
z
f
2 1)
(
)
(
)
(
0
となる。C
2で留数を考えると]
),
(
[
2
)
(
2i
z
f
es
iR
dz
z
f
C z ii lim
2
z
i
i
i
z
(
)
2
1
次にC
1について考える。 ie
R
z
とすると iRie
dz
より またR
とすれば 0 0 1)
(
d
R
i
e
ie
d
i
e
R
Rie
dz
z
f
i i i i Ci
d
i
0 よって 1 2 2 1)
(
)
(
)
(
)
(
C C C Cdz
z
f
dz
z
f
i
x
dx
dz
z
f
dz
z
f
i
x
dx
2
i
i
i
である。 ※(1)の問題では自分で与えた経路の寄与が積分に現われなかったが、この問題では寄与が あった。付け足した経路の評価は必ずしなければならないことに注意しよう。(解 1−3) (3)
I
x
dx
0 31
まず1
1
)
(
3z
z
f
と定義する。)
(z
f
の特異点は3
exp
,
3
exp
,
1
i
i
z
を持つ。 右図のような経路を考え、次の周回積分を考える。
0
)
(
)
(
)
(
1
)
(
3 0 1 2 3 C R C C Cx
f
z
dz
f
z
dz
f
z
dz
dx
dz
z
f
3C
で留数を考えると、]
),
(
[
2
)
(
3 3 i Ce
z
f
es
iR
dz
z
f
3 3 3 3(
1
)
lim
2
i i i i zz
z
e
z
e
e
z
i
3 3 31
2
i i ie
e
e
i
1
3
2
3 ie
次にC
1とC
2の寄与を考えよう。R
の極限も考えると0
1
)
(
3 2 0 3 3 1d
e
R
Rie
dz
z
f
i i CI
e
dx
x
e
dx
x
e
dx
x
e
dz
z
f
i i R i R i C 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 21
1
1
1
1
)
(
以上より 3 0 3 3 2 3 0 2 3(
)
1
1
)
(
)
(
0
1
C i C Cdz
z
f
x
dx
e
dz
z
f
dz
z
f
x
dx
よって
3
3
2
1
0 3x
dx
となる。
(4)
dx
I
e
e
x x a1
但し(
0
a
1
)
まず z z ae
e
z
f
1
)
(
と定義する。 特異点はz
i
, i
,
3
L
と幾つも存在する。 右図のような経路を考え、次の周回積分を考える。 Cdz
z
f
(
)
dx
e
e
R R x x a1
C2f
(
z
)
dz
C3f
(
z
)
dz
C4f
(
z
)
dz
C5f
(
z
)
dz
0
これから簡単のためにdx
e
e
R R x x a1
C1f
(
z
)
dz
I
1 のように書くとする。ちなみにR
にてI
1I
さて各々の経路の寄与を調べてみる。 i R z R z adz
e
e
I
2 0 ) ( 21
0
0 2 ) ( 41
i R z R z adz
e
e
I
0
(どちらもa
1
より) R R i z i z adz
e
e
I
2 ) 2 ( 31
R R z az aidz
e
e
e
1
2 1 2I
e
aie
2aiI
結局 5)
(
Cdz
z
f
I
I
I
I
e
2aiI
4 3 2 11
となるのでC
5での留数を考える。)
(
1
lim
]
),
(
[
z
i
e
e
i
z
f
es
R
z z a i z ze
をi
近傍についてTaylor 展開をすると)
(
1
)
(
z
i
e
z
i
e
e
e
z i iL
i)
(
1
e
ze
iz
i
であるから、
z
i
の極限にて ai z z a i ze
z
i
e
e
i
z
f
es
R
(
)
1
lim
]
),
(
[
以上より 5)
(
Cdz
z
f
ai aie
i
I
e
2
1
2]
sin[
]
sin[
2
2
2
a
a
i
i
e
e
i
I
ai aiとなる。
・基本例題2(少々技術のいる複素積分) (1) 2 0
cos[
x
]
a
dx
但しa
1
(2)a
x
dx
]
sin[
但しa
1
(3) 0]
sin[
dx
x
x
(4) 0 2]
cos[x
dx
と 0 2]
sin[ x
dx
(解 2−1) (1) 2 0cos[
x
]
a
dx
1
a
まずcos[x
]
を書き換えることを考える。]
cos[x
の定義式2
]
cos[
ix ixe
e
x
であるから ixe
z
とおけばz
z
e
e
x
ix ix1
2
1
2
]
cos[
dz
ie
ixdx
izdx
よりI
az
z
dz
i
iz
dz
a
z
a
x
dx
C C z 1 2 1 1 2 02
1
2
2
2
]
cos[
とかける。ここで、1
2
1
)
(
2az
z
z
f
と定義する。f
(z
)
はz
a
a
21
が特異点である。1
2a
a
a
a
21
と置く。又1
a
より1
1
,
0
であるから 右図のような経路が考えられ、次の周回積分を考える。0
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1 C C C Cdz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
留数は について考えればよい。1
2
1
1
)
)(
(
lim
),
(
2a
z
z
z
z
f
es
R
z より1
2
),
(
Re
2
2
1
2
2
]
cos[
2 1 2 2 0a
z
f
s
i
i
az
z
dz
i
I
a
x
dx
C となる。(2)
a
x
dx
]
sin[
a
1
(1)と同様にして考える。 ixe
z
とおき、z
z
i
i
e
e
x
ix ix1
2
1
2
]
sin[
dz
ie
ixdx
izdx
よりI
az
z
dz
iz
dz
a
z
i
a
x
dx
C C z 1 2 1 12
2
2
1
2
]
sin[
1
2
1
)
(
2az
z
z
f
と定義する。特異点はz
a
a
21
a
1
より1
1
0
,0
であるから 右図のような経路が考えられ、次の周回積分を考える。0
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1 C C C Cdz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
留数は について考えればよい。1
2
1
1
)
)(
(
lim
),
(
2a
z
z
z
z
f
es
R
z より1
2
),
(
Re
2
2
1
2
2
]
sin[
2 1 2a
i
z
f
s
i
az
z
dz
I
a
x
dx
C となる。 ※例題(1),(2)らは共に特異点を二つ持つが条件より一方を選択し、経路を積分している。 またこれらの積分は基本例題1とは異なり、積分路がそのまま留数の計算となっている。 どちらの例題にしても経路のとり方は重要である。(解 2−3) (3) 0
]
sin[
dx
x
x
x
x]
sin[
の特異点はx
0
のときである。0
x
を積分路から除くために右図のような積分路 を考える。極限0
,
R
のとき目的の積分路が 表現できそうである。]
sin[
]
cos[
x
x
などが入ってきた場合は、まず ixe
の形を考えてみることである。2
]
cos[
ix ixe
e
x
i
e
e
x
ix ix2
]
sin[
の形を狙うためである。 次の積分を考える。Cauchy の積分定理より経路C
C
1C
2R
,
,
R
において0
C izdz
z
e
(経路C
において特異点x
0
が除かれているため) 経路を明らかにして書き直せば、0
2 1 R ix C iz C iz R ix C izdx
x
e
dz
z
e
dz
z
e
dx
x
e
dz
z
e
となる。R
,
の積分をx
x
と変数変換してやれば一項目とあわせて、0
2 1 2 1 C iz C iz R ix ix R ix C iz C iz R ixdz
z
e
dz
z
e
dx
x
e
e
dx
x
e
dz
z
e
dz
z
e
dx
x
e
とできる。さらにsin[ x
]
の形を意識すれば、 2 1]
sin[
2
C iz C iz R R ix ixdz
z
e
dz
z
e
dx
x
x
i
dx
x
e
e
改めて ire
z
と置いてやるとd
i
ir
i
d
ire
re
ire
dz
z
e
i i i iz]
sin[
]
cos[
exp
exp
このようになることからC
1,C
2について0
,
R
の積分を考えてみよう。 0 1d
dz
C と 0 2d
dz
C に注意する。R
C :
1 について 0 0]
sin[
]
cos[
exp
]
sin[
]
cos[
exp
iR
i
d
iR
i
d
i
0]
sin[
exp
R
d
2 0]
sin[
exp
2
R
d
2 02
exp
2
R
d
R
e
R
1
R0
※ ※ 範囲2
,
0
にてsin[
]
2
右図を見ればわかると思う。2
exp
]
sin[
exp
R
R
0
:
2C
についてi
d
i
d
i
i
i
0 0 0]
sin[
]
cos[
exp
以上より2
0
2
1
]
sin[
]
sin[
2
0 2 1i
i
dx
x
x
dz
z
e
dz
z
e
dx
x
x
i
C iz C iz R となる。 ※※ 当然の事だが複素積分が全て留数を利用した積分ではない。R
での評価で用いた方法は「Jordan の補助定理」と呼ばれるものである。一般の形 を後に記しておこう。途中でも注意したがcos[
x
]
sin[
x
]
などが入ってきた場合は、まず ixe
の形で複素積分を利用することを考える。例題(4)も同様な部分が現われるので意識しよう。(解 2−4) (4) 0 2
]
cos[x
dx
と 0 2]
sin[ x
dx
]
exp[
]
sin[
]
cos[
2 2 2ix
x
i
x
の関係も考えて 複素関数]
exp[
)
(
2iz
z
f
と定義し右図のような経路を考える。 この経路においてこの関数はどこも正則である。 従ってCauchy の積分定理より0
]
exp[
)
(
2 C Cdz
iz
dz
z
f
である。 経路の詳細を考えて、積分を考えてみると 4 0 2 0 2]
exp[
]
2
exp[
exp
]
exp[
)
(
z
dz
dx
ix
d
iR
iR
i
i
f
R C0
4
exp
2
exp
exp
0 2 Ri
i
ir
dr
である。先に示したようにexp[
2]
ix
の形を変え、第2 項目を例題 2−(3)と同様に考えると、]
2
sin[
]
2
cos[
exp
]
2
exp[
exp
2 2i
iR
i
iR
4 0 2 4 0 2]
2
sin[
exp
]
exp[
]
2
sin[
]
2
cos[
exp
R
i
i
R
d
R
iR
d
2 0 22
exp
2
d
R
R
2
Q
1
exp[
]
0
4
2R
R
R
と評価できる。よってこの積分は0
]
exp[
4
exp
]
exp[
)
(
0 2 0 2 R R Cr
dr
i
ix
dx
dz
z
f
を計算すればよい。 初等積分Gauss 積分は2
]
exp[
0 2x
dx
であるから。0 0
2
2
2
2
1
2
1
]
exp[
2
1
2
1
]
sin[
]
cos[
0 2 0 2 2i
r
dr
i
x
i
x
dx
R この結果より実部と虚部に分けて表せば、2
2
1
]
cos[
0 2x
dx
2
2
1
]
sin[
0 2x
dx
又 0 2]
cos[x
dx
= 0 2]
sin[ x
dx
がわかる。 ※実部と虚部に分けて積分の値を示すことが出来るのも、複素積分ならではである。 さて例題(2−3),(2−4)で出てきた Jordan の補助定理をまとめておこう。 ・Jordan の補助定理z
にて関数f
(z
)
が考える領域にて一様に0
)
(z
f
であるとき 右図のような経路の半円部分での積分0
)
(
]
exp[
R C R Rz
f
iaz
dz
I
である。ただしa
は正の実数とする。 (証明)]
exp[i
R
z
とおくと 0)
(
)]
sin
(cos
exp[
)
(
]
exp[
i i C Rdz
iaz
f
z
d
iaR
i
f
R
e
iR
e
I
R 条件よりR
が非常に大きいとf
(z
)
は任意の実数 にてf
と評価されるから 2 0 0]
sin
exp[
2
]
sin
exp[
aR
R
d
a
R
d
R
I
R となる。ここからは例題と同様に範囲
2
,
0
においてsin[
]
2
2
exp
]
sin[
exp
R
R
とできるから、0
1
2
exp
2
]
sin
exp[
2
2 0 2 0 R aR Re
a
aR
d
R
aR
d
R
I
と一般の形で表現できた。途中でcos
の項が消えていたのでその理由を示すと 右図は]
cos[
]
exp[
Re
)
,
(
x
y
iz
e
x
f
y を{
2
,
2
;
x
}
{
0
,
5
;
y
}
の範囲で描いた物である。 小さくなっていくのがわかるように描いた範囲は)
,
(
;
1
,
0
f
x
y
とした。 確かにすぐに小さくなる事がわかる。 ・基本例題3 留数定理の説明で極の位数と数について述べていたのでそれぞれの例題を示しておく。 (1) 2 2 2a
x
dx
(2) 0 61
x
dx
(解 3−1) (2) 2 2 2a
x
dx
まず 2 2 21
)
(
a
z
z
f
と定義する。)
(z
f
はz
ai
で特異点を持つ。この特異点は 2 位の 極であることに注意する。右図のような経路を考え、次 の周回積分を考える。R C C C
f
z
dz
f
z
dz
a
x
dz
z
f
2 1 2 2 2(
)
(
)
)
(
0
となる。C
2で留数を考えると]
exp[i
R
z
とおくとそれぞれの経路の積分は0
)
(
0 2 2 2 2 1 R i Cd
a
e
R
Ri
dz
z
f
(Jordan の補助定理より) 2 2 2 2 2 2)
(
lim
2
)
(
1
lim
2
),
(
2
)
(
z
ai
dz
d
i
ai
z
a
z
dz
d
i
ai
z
f
es
iR
dz
z
f
ai z ai z C 3 3 32
4
2
)
(
2
lim
2
a
i
a
i
ai
z
i
ai z 以上より 3 2 2 22a
a
x
dx
(解 3−2) (2) 0 61
x
dx
まず1
1
)
(
6z
z
f
と定義する。)
(z
f
には6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
)
1
2
(
6
exp
i
m
m
z
の6 個の特異点がある。 右図のような経路を考えると半円に含まれる 特異点は3 個ある。
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4 3 2 1 C C C C R R Cdz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
の積分を考える。 まずC
1はz
R
exp[i
]
とすると1
]
6
exp[
1
1
1
)
(
6 6i
R
z
z
f
1
0
1
]
6
exp[
1
)
(
6 6i
R
RR
z
f
となるから、0
)
(
1 Cdz
z
f
(R
にて) 次にC
2、C
3、C
4について各々の留数を考えると6
5
exp
6
1
6
1
lim
1
1
lim
6
exp
),
(
5 ] 6 exp[ 6 6 ] 6 exp[ 2i
z
e
z
z
i
z
f
es
R
i z i i z C2
5
exp
6
1
6
1
lim
1
1
lim
2
exp
),
(
5 ] 2 exp[ 2 6 ] 2 exp[ 3i
z
e
z
z
i
z
f
es
R
i z i i z C6
25
exp
6
1
6
1
lim
1
1
lim
6
5
exp
),
(
5 ] 6 5 exp[ 6 5 6 ] 6 5 exp[ 4i
z
e
z
z
i
z
f
es
R
i z i i z C である。※ 以上より 4 3 2)
(
)
(
)
(
)
(
C C Cdz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
6
25
exp
2
5
exp
6
5
exp
6
1
2
i
i
i
i
6
1
exp
2
1
exp
6
5
exp
3
i
i
i
i
3
2
)
2
(
3
2
2
3
0
2
2
3
3
i
i
i
i
i
i
となる。 ※L’Hospital(ロピタル)の公式を用いている。 次はちょっとした応用例を挙げておく。実際に出くわすであろう例題である。
2 2 0
1
)
(
k
e
k
v
e
:電荷 0:真空誘電率0
この関数が含む変数から察するにある物理の意味を持つ関数である事は分かるであろう。 計算結果をよく吟味したい。 (解) フーリエ逆変換をすると 2 2 0 3 3)
2
(
1
)
(
)
2
(
1
)
(
k
e
k
d
e
e
k
k
d
r
r k i r k i v v v vv
v
v
v
0 0 2 0 2 2 cos 2 0 3sin
)
2
(
1
k
e
d
d
k
dk
e
ikr 0 1 1 2 2 2 0 2)
2
(
1
k
e
d
k
dk
e
ikr 0 2 2 0 2)
(
1
)
2
(
1
k
e
e
k
dk
ir
e
ikr ikr 積分の部分を二つに分け、それぞれで複素積分を考えると 2 2 1(
)
z
e
z
z
f
izr 2 2 2(
)
z
e
z
z
f
izr 特異点:z
i
とf
1(
z
),
f
2(
z
)
を定義する。 先ず 2 2 1(
)
z
e
z
z
f
izr 特異点:z
i
について右図のような経路の複素積分を考える。0
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 1 1 1 1 C C R R Cf
z
dz
f
z
dz
f
z
dz
f
z
dz
R
においてC
1の寄与は無い。よって r izre
i
i
z
f
es
R
i
z
e
z
dz
z
f
dz
1(
)
2 22
1(
),
2 2 2
(
)
z
e
z
z
f
izr 特異点:z
i
について右図のような経路の複素積分を考える。0
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2 1 2 2 2 C C R R Cf
z
dz
f
z
dz
f
z
dz
f
z
dz
これもR
においてC
1の寄与は無い。よって r izre
i
i
z
f
es
R
i
z
e
z
dz
z
f
dz
z
f
dz
2(
)
2(
)
2 22
1(
),
)
(
),
(
2 1z
f
z
f
は共に偶関数である事に気付けば目的の積分は出来て、結局)
(r
v
0 2 2 0 2)
(
1
)
2
(
1
k
e
e
k
dk
ir
e
ikr ikr 0 2 0 1 0 2(
)
(
)
2
1
1
)
2
(
1
k
f
dk
k
f
dk
ir
e
r re
i
e
i
ir
e
2
1
1
)
2
(
1
0 2r
r
e
exp[
]
4
1
0r
e
0 04
1
となる。これはいわゆるYukawa 型の形をした Coulomb Potential である。
式のように
0
の極限にてよく知る形になる。実は1rの形を持つ Coulomb Potential はフーリエ変換をしようとすると発散してしまい、 が無いと上手く出来ないのである。 Yukawa 型の形での は Potential が有効である距離の逆数の意味を持つ。即ち0
は Coulomb Potential が無限遠まで到達する事を示している。(実際に図にしてみると下図) 原子核の立場でちょっと強く言いたい事と してはこの には力を媒介する粒子質量の 逆 数 を 含 む 事 で あ る 。 つ ま り Coulomb Potential の媒介粒子の質量は… 私としては物理をしていてとても感動した 事の一つである。 (実は天下り的だったりする) 基本例題1,2,3,応用例について見てきたが、まだ十分ではない。 積分路上に特異点がある場合は考えていない。解決する手法として「Cauchy の主値積分」 という考え方がある。この手法の紹介をし、さらに虚数部分と実数部分の関係を表現した 変換、Kramaers‐Kronig(クラマース‐クローニッヒ)変換を紹介する。(K‐K 変換)今までは特異点周りに積分路を考え、留数定理によって積分値を求めていた。 実数軸上に特異点がある場合を考えてみよう。この条件を持つ積分
dx
a
x
x
f
(
)
a
:実数 について考えよう。まず複素平面上にa
z
z
f
z
F
(
)
(
)
を定義する。f
(z
)
は実軸上で正則であるとし、F
(z
)
がz
a
にて極を持つものとする。 またf
(z
)
は無限遠方z
にてM
z
f
z
k(
)
k,
M
:定数 ……(※) が収束するものとする。 以上を踏まえて右図の積分路を考える。 特異点a
の上方を周るような積分路C
2 を取る。またC
2の半径を とする。 Cauchy の積分定理よりこの経路では0
)
(
Cdz
z
F
さらに詳しく経路を考えると0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2 C C R a a R Cdz
z
F
dz
z
F
dx
a
x
x
f
dx
a
x
x
f
dz
z
F
となる。今までは特異点が全積分路の内側に極が存在し、留数定理が扱えたがこの場合は 異なる。(※)式を利用して経路C
1の積分を考えてみる。 ie
R
z
とおけば、M
R
a
R
R
d
e
R
f
a
R
R
d
e
iR
a
e
R
e
R
f
dz
a
z
z
f
dz
z
F
i i i k i C C1 1 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
となるから、R
において経路C
1の寄与は無くなる。 つぎに経路C
2について考える。 ie
a
z
とおけば、)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0 0 2 2a
f
i
d
e
a
f
i
d
e
i
e
e
a
f
dz
a
z
z
f
dz
z
F
i i i i C C 従ってR
と0
の極限においてこの積分は次のように書ける。0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2 C C R a a R Cdz
z
F
dz
z
F
dx
a
x
x
f
dx
a
x
x
f
dz
z
F
0
)
(
)
(
)
(
lim
0a
f
i
dx
a
x
x
f
dx
a
x
x
f
R a a R R ここで出てきた極限dx
a
x
x
f
P
dx
a
x
x
f
dx
a
x
x
f
R a a R R)
(
)
(
)
(
lim
0 と定義しこれをCauchy の主値積分と呼ぶ。以上よりdx
a
x
x
f
P
i
a
f
(
)
1
(
)
の関係式が現われる。この両辺の実部と虚部をそれぞれ表してみると※dx
a
x
x
f
P
a
f
(
)
1
Im
(
)
Re
dx
a
x
x
f
P
a
f
(
)
1
Re
(
)
Im
これら実部と虚部の関係式をK-K 変換(又は分散公式)という。 ※実部虚部は下のように計算した。dx
a
x
x
f
x
f
i
P
dx
a
x
x
f
i
x
f
P
i
a
f
dx
a
x
x
f
x
f
i
P
dx
a
x
x
f
i
x
f
P
i
a
f
)
(
Im
)
(
Re
1
Im
)
(
Im
)
(
Re
1
Im
)
(
Im
)
(
Im
)
(
Re
1
Re
)
(
Im
)
(
Re
1
Re
)
(
Re
さてK-K 変換まで紹介したが、主値積分に至る計算方法の経路の取り方がまだあるので紹 介したいと思う。紹介するのはこの経路のとり方の計算が時々出てくるためである。 ・Cauchy の主値積分(別経路 1) 先と同様な条件で右図の積分路を考え る。特異点a
の下方を周るような積分路 2C
を取る。またC
2の半径を とする。 Cauchy の積分定理より0
)
(
Cdz
z
F
となるのは同じだが、0
),
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2a
z
F
es
iR
dz
z
F
dz
z
F
dx
a
x
x
f
dx
a
x
x
f
dz
z
F
C C R a a R C 経路C
1の寄与は前述と同様にしてR
にてなくなる。経路C
2も同様について考えると ie
a
z
とおいて、(範囲は2
))
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 2 2 2 2a
f
i
d
e
a
f
i
d
e
i
e
e
a
f
dz
a
z
z
f
dz
z
F
i i i i C C 留数の部分は)
(
2
)
(
)
(
lim
2
),
(
2
x
a
if
a
a
x
z
f
i
a
z
F
es
iR
a z であるから、全てまとめると0
)
(
2
)
(
)
(
)
(
dx
i
f
a
if
a
a
x
x
f
P
dz
z
F
C →dx
a
x
x
f
P
i
a
f
(
)
1
(
)
結局同じ結果を与えた。これは初めの経路の結果をより確かにするため紹介した。 次は時々出てくる計算を意識した経路で計算する。 ・Cauchy の主値積分(別経路 2) 先と同様な条件で右図の様な、特異点a
の上方i
だけ通過するような積分路C
を考える。 Cauchy の積分定理より0
)
(
Cdz
z
F
詳しく見てみる。 この経路の結果は0
で今まで見てきた積分と同じになるので、0
)
(
)
(
)
(
dx
i
f
a
a
x
x
f
P
dz
z
F
C である。左辺の詳細を考えると0
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
0x
a
dx
i
f
a
x
f
P
dz
z
F
dx
i
a
x
x
f
dz
z
F
C 半円i
x
z
としている。ここでR
とすると左辺の半円部分は先述同様なくなるので、 結果、)
(
)
(
)
(
lim
0x
a
dx
i
f
a
x
f
P
dx
i
a
x
x
f
である。 ここでδ関数を用いてもう少し変形させてみると、dx
a
x
x
f
i
dx
a
x
x
f
P
a
f
i
dx
a
x
x
f
P
dx
i
a
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0 と出来るので、次のように記号的に表現することが出来る。)
(
1
lim
0x
a
i
x
a
P
i
a
x
今は特異点の上を通過したが下も同様に考えることが出来て、 右図の様な、特異点a
の下方i
だけ通過 するような積分路C
を考える。 積分0
)
(
Cdz
z
F
上方の時と同様にR
にし、半円部分 の寄与をなくし、留数を考えると)
(
)
(
),
(
2
)
(
lim
)
(
0x
a
dx
i
f
a
x
f
P
a
z
F
es
iR
dx
i
a
x
x
f
dz
z
F
C)
(
)
(
)
(
lim
0x
a
dx
i
f
a
x
f
P
dx
i
a
x
x
f
i
x
z
としている。先と同様に記号的に表した結果を合わせると)
(
1
lim
0x
a
i
x
a
P
i
a
x
m
となる。 さて、この結果が何を意味するのかわからないと思うが、量子力学における散乱問題で Green 関数と呼ばれるものが出てくる。そのときにこの計算を思い出して貰えればよい。 又、佐藤の超関数と呼ばれるものも出てくるらしいが、そういうものがあるということだ け知っていれば使うときに調べればよい。(参考図書の複素関数論を参照してください) さて複素空間では多価関数の表現としてリーマン面を考える方法がある。次はそれについ て述べていくことにしよう。・多価関数 複素空間のみではなく実関数
f
(x
)
とは何を意味するのか、少し考えてみよう。例えば)
(x
f
y
という式があるとする。これはあるx
に対しある一つのy
が決定することを意味し、その 時f
はx
平面からy
平面への写像(mapping)を意味している。 実数空間ではx
とy
は普通一対一対応の関数で写像される。この関数を一価関数と呼ぶ。 複素空間に広げた場合、)
(z
f
w
とかけるとしても、z
とw
が一対一対応に写像されるとは限らない。z
に対しw
が複数対 応する場合その写像、関数f
は多価関数と呼ばれる。例えば次の関数は多価関数である。 2 1)
(
z
z
f
この関数を満たす複素数をw
としよう。そうすると 2w
z
を満たし、z
r
exp[i
]
とおき、w
をw
a
exp[i
]
とおいて求めてみると、]
exp[
]
2
exp[
2 2i
r
i
a
w
よりr
a
… ①exp[
2
i
]
exp[
i
]
… ② であるが、①式は良いとしても②式は問題がある。②式を満たす条件はn
2
2
n
2
n
:整数 となり解は無数に存在するのである。2
回転すれば同じ複素数を表すが、 回転では異な る複素数を表す。従ってこのz
はf
(z
)
に代入すると次の二つのw
になる可能性がある。2
exp
1r
i
w
2
exp
2r
i
w
このように一つの入力から出力が二つあるのでf
(z
)
を二価関数と呼ぶ。 ※比較のために 2)
(
z
z
f
について求めると 2z
w
2 2exp[
2
]
exp[
]
i
a
i
r
z
2
exp
2
exp
i
or
a
i
a
z
どちらの
z
をf
(z
)
に代入しても一つのw
になる。 このような性質のため多価関数は今まで扱ったようには出来ない。複数ある出力に対し何 の指定もないので、このままでは今までのような解析的な関数ではないのである。・リーマン面と分岐 さて多価関数を一価関数の様に扱うためにはどうすればよいか、そのために考え出された 概念がリーマン面である。 先の例の 2 1
)
(
z
z
f
についてリーマン面を考えることにする。 あるz
が上記のf
(z
)
を満たすとし、 右の図のように偏角(arg
z
)を2
回転したとする。当然、 元のz
になるべきだが先の結果からもわかるように、f
(z
)
は二つの結果を持つ。つまりこのz
が 2 1w
なのか 2 2w
なのか 区別出来ない。 右図の様に2 面で構成される複素面を考える。 このような多面の複素面をリーマン面と呼ぶ。 リーマン面の約束事は偏角が2
回転した場合 1 面から 2 面へと移るとし、偏角は2
増加さ せ別のものとして考える。さらに2
回転した 場合2 面から 1 面へと移ると約束しよう。 こうする事でw
1とw
2を区別するのである。 そうして多価関数 2 1)
(
z
z
f
は一価関数として扱えるのである。 もう一つの用語「分岐」について述べておく。)
(z
f
にはw
1とw
2の二つの結果がある。w
1、w
2をf
(z
)
の分岐(分枝)と呼び、ある点z
0を 一周したときf
(z
)
が元に戻らないときこのz
0を分岐点と呼ぶ。 上記の例では原点が分岐点となる。 また上の図のように1 面から 2 面に移るときの境界線を分岐線、カットと呼ぶ。 分岐線の引き方について一つ例を考えてみよう。2 1 2
)
1
(
)
(
z
z
f
を一意的な関数にするためのカットを考えよう。 (解)w
z
z
f
2 12)
1
(
)
(
とする。w
は 2w
の様子を見るといくつ現われるだろうか)
1
(
1
2 2 2z
z
w
2 21
1
or
i
z
z
w
と4 つも現われる。これらを一意的に扱うためにはどんなカットを考えればよいだろうか? 次に分岐線がある場合の複素積分について考えよう。 ・分岐線がある複素積分
・Lauent(ローラン)展開
今まで書いてきた事は常に「複素積分」を実行するための話であった。よく見る参考書では 留数定理を行う前に特異点を除外するための方法としてLauent 展開を紹介している。複素 積分をする事だけを中心としたので書かないで済ましてきた。元々複素積分は複素平面上 で関数を解析する、「複素関数解析」の一部に過ぎない。Lauent 展開は複素解析をするため の最も基本となる展開であろう。複素解析入門と言う事で説明していこうと思う。 ・複素関数のTaylor 展開 実数平面上で関数が任意の点で解析的であるときTaylor 展開は可能である。さて複素平面 上で同じ事が言えるのであろうか?確かめてみよう。 ある積分路C
において解析的な複素関数f
(z
)
はCauchy の積分公式によって Cz
d
f
i
z
f
(
)
2
1
)
(
と表された。 経路C
によって囲まれた領域内(f
(z
)
はこの中で正則)の点a
の周りでTaylor 展開を考える。)
(z
f
を点a
の周りで Taylor 展開すると言う事はz
a
の 冪乗で展開することであるから、Cauchy の積分公式から)
(z
f
の冪級数表現を考える。(結構技巧的だと思う) まずz
a
を出す事を考えよう。 C a a z Cd
a
f
i
d
z
f
i
z
f
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
※確かにこうすればz
a
の項は出てくる。z
a
z
a
a
z aa1
1
1
1
1
ここで注意するのはz
と の違いである。上の図で見るように経路C
に沿って積分する複 素変数が であり、経路C
によって囲まれた領域内のf
(z
)
の従属変数がz
である。z
が定 義されている部分は経路C
よりも内側つまり よりも内側であるということである。これ らから点a
との距離をz
と について考えれば式中の分数部分が次の様に書ける事がわか る。距離の不等式から始まって1
a
a
z
01
1
n n a a za
a
z
)
1
(
1
1
1
2 0L
Q
n n と出来るので結局f
(z
)
は、a