博 士 （ 理 学 ） 五十 嵐雅 之
学 位 論 文 題 名
On Compact Kahler ‑ Liouville Surfaces
（ コ ン パ ク ト な ケ ー ラ ― ・ リ ウ ビ ュ 曲 面 に つ い て ）
学 位 論 文 内 容 の 要 旨
古く から 完全 積分 可能 な測 地流 を 持っ りーマン多様体について研 究されてきているが，そ の 1 っ と し て ， ヤ コ ビ ， リ ウ ピ ユ に よっ て研 究さ れた りウ ピユ 型線 素 の理 論が よく 知ら れ て い る ．そ の 方面 の最 近の 研究 とし ては ，北 海道 大学 の清 原一 吉氏 に よる コン バク トリ ウ ピ ユ 曲 面の 理 論が 挙げ られ る． それ は， リウ ピユ 型線 素を 大域 的微 分 幾何 学と して 捉え た 理 論の 1 っと 言え る． 彼は ，コ ンパ クト リウ ピユ 曲面 を定 義・ 分 類し ，さらに，その後，高 次 元 の りウ ピ ユ多 様体 へと 概念 を拡 張し た． 彼の 高次 元の りウ ピユ 多 様体 の研 究で は， プ ロ バ ー と 呼 ば れ る あ る 条 件 を 満 た す も の を 主 に 扱 い 分 類 し て い る ． と こ ろ で ， 標 準 的 橡 n 次 元 複 素 射 影 空 間 CP （ n>1 ） を 考 え ると ， エネ ルギ ー関 数の み な ら ず それ 以 外に n 一 1 個の 測地 流の 第一 積分 が存 在し て， その 測地 流 は完 全積 分可 能と な る ． ま た， 清 原氏 の実 リウ ピユ 多様 体の 複素 化の 研究 によ り， その 構 造を 変形 する こと に よ っ て ， 標 準 的 で は な い n 次 元 複 素 射影 空間 上に もり ウピ ユ構 造と 呼 ぷに ふさ わし い完 全 積 分 可 能な 測 地流 の構 造が 構成 され ると いう 結果 が得 られ てい る． こ れら のこ とか ら， コ ン パ ク ト複 素 多様 体上 にど のよ うに りウ ピユ 構造 が定 義で きる のか ， さら に， それ がど の よ うな 性質 を持 つの か， とい うこ と が問 題と なっ てく る・
ここ では ，ケ ーラ ー計 量を 持つ 複 素2 次元 でコ ンパ クト な複 素 多様 体に対してりウピユ構 造 を定 義し ，後 に述 べる プロ バー と いう 条件を満たすものについて その全体構造を調べる．
(M っg ，エァ）が コンパクトなケーラー・リウピユ曲面であるとは，(M ，9 ，ゾ）が連結でコン パク トな ケー ラー 曲面 ，ア がT ゛ A ケ 上 のC oo ‑ 実数 値関 数か らな る2 次元ベクトル空間で，
以下を満たすときに言う：
（ 1 ） EE ア ；
(2 ） 任 意 の FC ア と 任 意 の pEM に 対 し て ら ＝ F Tp‑M ： TpM → R
が 2 次 の 斉 次 多 項 式 と を っ て い る ；
（ 3 ） 任 意 の FE ア は エ ル ミ ー ト ， i.e.Fo ゾ ＝ F ， で あ る ；
(4 ） 任 意 の Fe ア に 対 し て {E ， F ） ‑0 で あ る ．
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こ こで ， E は り ーマ ン 計量 9 に 関 す る T ゛ M 上 の エ ネル ギ ー 関数 ， t ，） はT ゛ M 上の 自 然 なポ ア ソ ンブ ラ ケヅ ト で ある ．
ろ＝ {FpIFE ア ）と お く． dim ろ =1 を 満 たす A イ内 の点 p を， ケラー・ リウピユ 構造 アに関する特異点と言い，そういう点の集合をMsi で表す．
コンパクトなケラー・リウピユ曲面 (M ， g ，エア）がプロバーであるとは，Msi g ≠ D で あ っ て， さ ら に任 意 のpEMsi g と， Fp ‑0 を 満 たす 任 意 のFE ア ＼{0 ）に 対 し て，あ る UE Tp*M があって，（dF ）ッ≠ 0 が成り立っときに言う．
このプロバーなケラー・リウピュ構造は，標準的な複素射影平面上に自然に構築される り ウ ピユ 構 造 をモ デ ルと し た ある タ イ プの ケ ラー・ リウピユ 構造であ ると言え る．
ではここで，プロバーでコンパクトなケラー・リウピユ曲面について得られた結果を述 べる。
(M ，9 ，エア）をプロパーでコンバクトなケーラー・リウピユ曲面とする．すると，次が成 り立つ：
（1 ）(M ，g) の測地流は，完全積分可能である；
（2 ）（M ，J ）は，複素射影平面CP2 に正則同型である；
(3) あ る特 別 なFC ア が存 在 し， そ れ と同 時 に ，(M ， 9 ， J) 内に 3 点 qo ， qi q2 と 3 つ の全測地的で複素射影直線CP1 に正則同型ナょ複素部分多様体 Ho Hi ， H2 が存在し て，次が成り立つ，
(i) H1nH2 ＝ {qo ），HonHi 〓 {q2 ） H2nHo ‑ {q1 ）；
(ii) Ho はF が半定値となるM 内の点の集合となっている；
(iii) HoU 」 FIiUH2 は F が あ る 意 味で 臨 界 とな っ てい る M の 点 の集 合 であ る ； (iv ″ 0 ，ロ 1 ，〃 2 内にそれそれ測地的極座標が入り，それそれ伽とg2 ，go と g2 g0 と g1 が極となる；
(4) Msing は円周S1 と微分同型なHo の部分多様体になっている、；
(5)M への 2 次元トー ラス Six Si の効 果的ナょ作 用 C で次を 満たすも のが自然 に定義で きる ：
(i) ぐ は (M ， 9 ， ， ケ ） の 自 己 同 型 か ら 成 る 作 用 であ る ；
（i り作用 C で 3 点 q0 ， g1 ， q2 は不動である；
（iii ）作用 C は 3 つの複素部分多様体ロo ，〃1 ，皿を保存する；
(6)A ケ内の全 測地的で 実射影平面RP2 に微分同型な実2 次元コンパクト部分多様体（閉 曲面）の 族ざがあ って次を 満たす；
(i) ざに属する各閉曲面にはァより導入される構造によって実リウピユ曲面となる；
（ ii ）（ 5 ）の作用ぐより，2 次元トーラスダX ダの推移的な S への作用が自然に導 かれる ，すなわ ち， S に属す る各閉曲 面は C によ ってお互 し、に移 り合う．
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学位論文審査の要旨 主査
副査 副査 副査
教授 教授 教授 助教授
山 口 佳 三 諏 訪 立 雄
中村 清原
学 位 論 文 題 名
郁
ニ士 ご
ロ
On Compact Kahler ‑ Liouville Surfaces
（ コンパク 卜なケー ラ−・リ ウビュ曲面について）
古く から完全積分可能な測地流 を持つりーマン多様体について研究されてきているが，その1つ として，ヤコビ，リウピルによって研究されたりウビル型線素の理論がよく知られている。リーマン 多様体ないし，リーマン計量を，その測地流が完全積分可能であるという性質によって，大局的に調 べようという研究は，ごく最近のものである。この方面の研究としては，北海道大学の清原一吉氏に よるコンバクトリウビ´レ曲面の理論が挙げられる。それは，リウビル型線素を大域的微分幾何学と して捉 えた理論の1っと言える。彼は，コンパクトリウビル曲面を定義・分類し，さらに，その後，
高次元のりウピル多様体へと概念を拡張した。
ところで，標準的なn次元複素射影空間CP （n〉−1）を考えると，エネ´レギ一関数のみならずそ れ以外 にn−1個の測地流の第一積 分が存在して，その測地流は 完全積分可能となる。また，清原 氏の実 リウビル多様体の複素化の研究により，その構造を変形することによって，標準的ではないn 次元複 素射影空間上にもりウビル 構造と呼ぶにふさわしい完全積分可能な測地流の構造が構成され るという結果が得られている。これらのことから，コンバクト複素多様体上にどのようにりウビル構 造が定義できるのか，さらに，それがどのような性質を持つのか，ということが問題となって〈る。
申請 者は，複素2次元でケーラー計量を持つ複素多様体に対してりウビル構造を定義し，プ口パー という条件を満たすものについてその全体構造を決定した。
(M，g，エァ）がコンバクトなケーラー・リウピル曲面であるとは，(M,g｜J）が連結でコンバクトな ケーラー 曲面であって，アが丁゛M上 のCoo‐実数値関数からなる2次元ベクトル空間で，つぎを満 た すと きに 言 う： アは ，リ ー マン計量gに関するコ｀Aイ上のエネ ルギ一関数Eを含み，Eと包合 的 （tEIF） ＝O）か つ， エ ルミ ート な（F。J=F），T*Mの各 繊維 上2次斉 次多 項式 と なる 関数 Fで生成される。
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(M，g，エ ア ） をプ ロバー でコン パク トなケ ーラー ・リウ ピル曲 面と する。 これに 対して 申請 者が得 た 構 造定 理はつ ぎのと うりで ある ：
（1）（MIg） の測地 流は，完全積分可能である；
（2） （M，J） は， 複素射 影平面CP2に 正則同 型で ある；
(3)あ る 特 別 なFEア が 存 在 し ， そ れ と 同 時 に ， （M191J） 内 に3点qo，q1，q2と3つ の 全 測 地 的 で 複 素 射 影 直 線CP1に 正 則 同 型 な 複 素 部 分 多 様 体Ho，Hi，H2が 存在 し て ， 次 が成 り 立 つ ，
(i) Hi ClH2 = {qo}, Ho Ci Hi = {q2}, H2 ClHo = {qi}
(ii) HoはFが 半 定 値 と な るM内 の 点 の 集 合 と な っ て い る ；
(iii) HoUHiUH2はFが あ る 意 味 で 臨 界 と な っ て い るAイ の 点 の 集 合 で あ る ；
(iv) Ho，Hi，H2内 に そ れ ぞ れ 測 地 的 極 座 標 が 入 り ， そ れ ぞ れqiとq2，qoとqi，qoとq2が 極 と な る ；
(4)ア の 特 異 点 集 合Msingは 円 周Slと 微 分 同 型 なHoの 部 分 多 様 体 に な っ て い る ；
(5)Mへ の2次 元 ト ー ラ スSlxSlの 効 果 的 な 作 用 く で 次 を 満 た す も の が 自 然 に 定 義 で き る ：
(i)くは（M，g，J，ア）の自己同型から成る作用である；
(ii)作 用 く で3点 知 qi，q2は 不 動で あ る ；
(iii)作 用Cは3つ の 複 素 部 分 多 様 体H0，Hi，H2を 保 存 す る ；
(6)M内 の 全 測 地 的 で 実 射 影 平 面RP2に 微 分 同 型 な 実2次 元 コ ン バ ク ト 部 分 多 様 体 （ 閉 曲 面 ） の 族5が あ っ て 次 を 満 た す ；
(i)Sに 属 す る 各 閉曲 面 に は ア より 導 入 さ れ る 構造 に よ っ て 実リ ウ ビ ュ 曲 面と な る ；
（ii） （5） の 作 用Cよ り，2次 元 ト ーラ スSlxSlの 推 移 的なSへ の 作 用が 自 然 に 導 かれ る ， す な わ ち ，Sに 属 す る 各 閉曲 面 は く に よっ て お互 いに 移り合 う．
こ の学 位論文 は既に ，Journal of Mathematical Society of Japanに 投稿 され掲 載が決 定している。
審 査 員 一 同 は、 申 請 者 が 博士 （ 理 学 ） の学 位 を 受ける に十分 な資格 を有す るも のと認 める。
