<論説>縮小写像の不動点定理(5)

全文

(1)説ノ. く論. 縮小写像の不動点定理 (5) 木. 洋. 島. 縮小写像ならば. 1 . はじめに. inf d に， Tx)) 二 0. 非線形関数解析の分野において， Banach 空. X. エ三. ，. 間の山部分集合で定義された縮小写像の不動点. である．特に， X がコンパクトならば T は不. 定理が数多く発表されている・. 動，点をもっ，. 一方，縮小写像. の数学的定義は距離のみにもとづいているので. 位相および幾何学的立場から. 証明. ，. 見て，距離空間上. 要点のみを述べる．背理法により，. し. inf みは， T 目二 26 ノ 0. で定義された縮小写像の不動点定理 - を研究する. X への写像 T が次の性質をもつとき. ，縮小. (TⅠ， T 目巨み (デ，カ. ー. 中点とュり，. Ⅹが非有界であることを示すにおける z をェとノの - つめ. よぶことにする．ヱ1,. エ2,. "‥ ，. さらに，Ⅹの点列. ヱ". が次の，性質Ⅱ億よぴ ni) をもつとき，億，と. がなりたっこの論説を通じて，. ら. X. 便宜上， (*). X か. 写像とよばれる・すなむち， X の任意の点ごとノに対して，不等式メ. ・. ぎ. Ⅹを距離メを有する距離空間とする，ら. rf. む. ことも重要であると考えられる. X は次の条件をみたす. よぶ．ただし e は正数であ Ⅰ. ガ (曲， T エ，0) ニ 2(6+. 田. 毛 +1 は由と. め列. る. め，. 7 ェ，の中点であ. る. とノに対して，ある X の占 z が存在して，不. このとき，数学的帰納法を用いて，不等式目簗， T ェJ 垂 ( +2)(6+ 引一 2 片 1,. 等式. がなりたつことを示すことができる・. ものと仮定する．すなわち， X の任意の点ェ. (*). み. め垂みヱ，め十メノ，. (2,. (. 2. (. したがっ. て，任意の正の整数れが与えられたとき. この. ような，性質をもっ距離空間の典型的な例はノル. な部分集合である．この論説の目的はⅩで定義された縮小写像. ，. (一 2"' め列簗，式. 1, 籠， -,. ェ. ェ". を選べば，不等. み (ユり， T ヱn) 三 %6. 凸. T が不動点をもっための必要十分条件の一つを与えることであ. X が有界で，. がなりたつ．このことはⅩが非有界であることを示している. 以下，問題の不等式がなりたつことを数学的. る．. D. 不功点定理補題 l. れ. ）. が X のすべての点ぴに対してなりたっ・. ム空間の中点. も. T がⅩで定義された. 帰納法によって示す． E を固定し. れについて. 帰納法を用いる．. 任意の笘， 1) 別皿，自に対して，次の不.

(2) 50 (128). 第℡巻. 横浜経営研究. 等式㈲およ㎝ 2)を示すことができる． (1) 孤簗，均 ) 垂 6+E, (2) 孤自， Trl) 圭 2(6+ のさらに，不等式. inf ピ(ヱ， T ヱ) 二 0 ，re@. 定理 T を X で定義された縮小写像とする．このとき， T が不動点をもつための必要十分条件は ST 二 TS かつぢの値域がⅩのあるコンパクト部分集合に含まれるという性質を有する Ⅹで定義された縮小写像 S が存在することで. 孤簗， T 簗 ) 垂 36 一ど. が示される．. め列簗，. 均，. 花，. に対して，不等式. あ. 囲抑， T ェJ 垂れ十 2)((5+め一 2 片 1,. ある・特に，ある正の整数々に対して， T 。の. 値域がⅩのあるコンパクト部分集合に含まれ㏄. を. て，. つ. るならば T は不動点をもつ．証明. Ⅹの任意の点 d について，. (T"Sdl. n. となるような X の点別は目およびⅩの点選ぶことができる．不等式. 乃",xZ,J) 十日蝕 ",力. %. より， TSSヱ"づノであり，乃ニノとなる・. 逆および追記の部分は自明である．. ㈹二 %. ヱ，. は最小値 0 を有するので，. T.目. 問題. S. と. T は共通不動点をもっか. T は不動点をもっ・. 補題 2 T をⅩで定義された縮小写像とする・もし {T"a l 虐けが有界となるような X の点なが存在するならばポx. である. x の部分集合 A. 1)@ Y. ・. maps@. Kijima ， Fixed@ points@ of@ nonexpansive@ of@a@ compact@metric@. ︶. T. p. メ. m. Um. n-. n-. の. ノト二. Ⅰ. T. p. メ. m. U. ヱ. 一一. ︵. 4. T 不変集合であることが示される．さらに， Ⅹ. の点 z が A の点ヱとノの中点ならば補題. 1. が適用できて，. space. ， J Math ・. self ・. ， Anal. Appl. 123 (1987), 14--1 6 2)@ Y ， Kijima ， A@fixed@point@theorem@for@nonexpan sive@self-maps@of@a@metric@ space@with@some@con Ⅰ. ，・. vexity,@ preprint. を. このとき， A は空でない有界な. 点であることも示される. ?. 参考文献. Ⅰ. inf み (ヱ， Ⅰヱ) 二 0. で定義する・. ノを. 邱工五れカ二み (STr",カ三孤 STx ヱ妃ぶェ ") 十孤臣 ", 力三. た実数値連続関数. 一 " """ "" 一. ノけ " 7 ヱ")ヰ 0 ， X ヱ" づノ. ることは言うまでもない． ⅩがコンパクトならばⅩで定義され. 0. び T が縮小写像であることの性質を用いてい. 証明. ヱ. 用いることにより，不等式撰帥，乃 "+1) 三れ +3)((5+ の一 2"+2, を得て，帰納法が完成する．もちろん，以上の計算の途中で， (*) おょ. /. メ. fx nE 1 エ. である．したがって，. 井 +1. n 室 l). は有界であるので，補題 2 が適用できて，. に帰納法の仮定を. 特に，. ニ l)=(sT"al 目T. を. 2. 卸. よお. ，は列. ノ",. 娃よ. ︵ ",. きめ. ノ. ノかのと. ，こ. ︶用. 返り. れし. ：. は繰. 凹，. ノ " @ ィ @. Ⅴ 炒 @︵ 2. る. ・，と. ぬすと. ど，た︵ⅩⅠ @V. を除. 刊㏄，︶. ㍉ソy Ⅱ百コプ. がなりたつと仮定する．そこで，. ㎝，. A. となる．. ・. 次に，任意の伍，. 第 2 号 (1990). z は. したがって，. A の A に. 3) D. R. Sma,t, FiXed point theo,ems, Camb,idge Unive,sity P,ess, 1974. 4) W.Takahashi,The asymptotic behavio,ofnonlinearsemigroupsand jnva,iantmeans,J.Math. Anal.Appl.. 109. (1985), 130 一139.. ( きじきよういち. 横浜国立大学経営学部教. 劇.

(3)