相似の概念について(I)
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(2) . 第１７巻 第２号. 北海道教育大学紀要 （第二部Ａ）. ２年３月 昭和４. 相似 の概 念につい て （１）. 田・. 吉. 正. 衛. 北海道教育大学札幌分校数学科教室 Ｍａｓａｅ ＹｏｓＨＩＤＡ： ｏｎ ｔｈｅ Ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ Ａｎａｌｏｇｕｅ （ １）. 「抽象化の緒は類似性の発見にある．」（功力教授講演） といわれているが， 幾何学的図形におけ る類似性を如実に述べたものに相似形 （多角形） の概念がある， 初等幾何学においては勿論これに ついて諸種の興味ある結果が与え られている， 現代抽象数学 （現代幾何学） におし・てもこれは重要 な概念として取り扱われている． それはこの概念のもつ高 度の具体性がそうさせることと思う 卑 ， 近な例としては， 地図の作成， 諸種の模型等に見ることができる， ここに本論は主と して相似変換 について二， 三の問題を取り扱う．. ＳＩ. 定. Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ Ｅ. 義. ，. ｉｎｇ を ≠ とし 小 は次の条件を満たしているものとす から Ｅ の 上 へ の ｎ ｌａｐｐ ，. る． ｖぐＥＥ の（ き）ＥＥ か つ の（ぎ）＝ 鱒 ， た 々 （ は － の く ＜＋ の か っ た≠０ なる実数）. このとき の を相似変換という， 雪０≦Ｚ≦１｝ か ら 又〔Ｅ への い ま， ｒ＝｛ｆ. ｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉ ｓｍ ｘ が 存 在 して， 又＝｛１（ Ｚ ）ＥＥ１ｏ≦Ｚ≦１ ，. 為 ＝ ば０），キコ 灯１）｝ を Ｅ の上にかかれた Ｊｏｒｄａｎ ｃｕｒｖｅ で， かつ長さをもつものと する」. すなわち， ｒ の分割 ４：０：≠ ． 。＜ね ＜Ｚ ２＜… … くれ－．くれ＜… … ＜ｒ ，ル．くん ↓＝１ ）コエ に 対 して 頬Ｚ ‘ ‘ とおくと. ｘ 上で ｘｏ ，. ｒ 為， ｘ ｉ ２ －． ， … …ｌ ， 為， … …ス伽「， 為，コズ（１）＝キ な る 点 が. 得られ， また ｘコ鰯（リニの（ ＺＥｒ｝ 実の）ＥＥョ ，. ｒ か ら 又仁 Ｅ へ の ｍａｐｐ ｉｎｇ●を 要. とすれば， キ は仮定から一対一両連続である， 従 っ て， た と え ば Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｓｐａｃｅ において. とすれば Ｚ Ｚ ↑ ） ＝虚 （ ） ・ ℃（ ， ≠Ｃ. ラ コのＣ （り） ｒ. であることを考えにいォ る と ／ｒ ｝ ， み. ２ 』ｌ ｉｍ ／忍 ぼｉ－′痛） へ. ２ ーｉｍ ／港 嫌 ‘ へ ， ）－≠（均）｝ （６３）.
(3) . 相似の概念について （１）. ′ 一ｉ一触／差ド ーヱＪ２ 、 ， と な る，. Ｓ２. ｎ. 次元. β を （ｎ十１）. Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ. 次元. における相似変換. Ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ Ｅ。 十 ． （ｎ. は自然数） ，. ぢコ（が， 先２ １ ， … …，が， 之）ＥＢ“＋ １ ）， こ こ に ′ は一価解析函数であるとすれば とする． 曲面 ｚ＝／（ェ， が，… …，ｘｎ １ 丈２ … … 文ｎ １＋４尤も 工２十βが … … 匁ｎ十４尤ｎ ）一′（文 ′（洋 ， ， ， ） ， ，. … ， 十希）ラ ． ． 煮（希＋＊＋ ｆ ここに （が） ， （が十ｄｘ） は曲面上の二点である，. ヂ の全微分. ｄに書 キメ ， は幾何学的に は曲面. ｚ. 上の点 （ キリ における 接平面である． （特に. ｎ＝１. のとき微分商と関係づけ. られる，）. 次々 こ 畷 は め にょ て不変な量であ る。」 ことを証明する． いま ｉｎｇ の に よ っ て をコｆ（熱 ）ｐ ，ｍ，. ‐一 が ） が げ び Ｅ２ ，．. 鰐， … …， ヱｎ ） に 移ったとすれ ば. ／コを＝≠ ）＝左・ｚ＝た・ｆ で あるか ら. で あ る． よ っ て の は ｚ の接平面を ≧ の 接 平 面 に 移 す。 （以 下 β の 上 の 量 α に つ い て の（α）＝蛋. とあ らわす．）. 苔と 噸 また ，話. . ぷっ. . 蓋と とのなす角を ４β ，詰 . . ≦ （跨毒 ｃ ｏ ｓ 蔭 … ・ 嫌） ≠豪農声 ）. メ 旧株メキ ） ＝ ＝場） . . １ ・ 瑚絹 １〆毎 ｉ １ ＝ｃｏｓ（イヴ） １ を 示 す） （こ こ に ＝ ” は ｎｏｎ・ 従 っ て， こ れ は の に よ っ て 不 変 な 量 で あ る と い え る，. （６４）. . とのなす角を ４げ とすれば 納 ぷっ.
(4) . 吉. 田. 正. 衛. また. ） と なこ十ぬり との間の弧の長さである． である， ここに 衣 は曲面上の曲線の上の二点 Ｑｉ ＊ 次 に， Ｅ。 の 曲 線 又 が ｍａｐｐｉｎｇ の ， 〆 に よ っ て 曲 線 又， Ｘ に 移 っ た と す る． す な わ ち， つ＝・＊ とすると ｉＥ 又， ｘ＊ＥＸ＊ で あ る． い ま １ ｘＥＸ に 対 して の（ｘ）＝； ， が（ （た 洋＝≠（東）＝ 顔， ｘ＊＝の リ コた～ ， 群 は ０ な らざる実数）. とするならば. た のも）＝陶 芽 嗣驚 （零『 とおく） と な る．. 以上で筆者の目的とするところは大体終 った， 終りに臨み， 本分校の数学科主任教授鈴木 好明先 生に本論の御校閲を戴いたことを心から感謝する次第である， 献. 文. ｌｙｓ ｉ ｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄｅｒｎ ａｎａ ｉ ） Ｄｉｅｕｄｏｎｎも Ｊ １９６ ） ｓ ｃ Ｐｒ ｅｓ ｓ ０ ， Ａｃａｄｅｍｉ ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ ， ．（ ，Ｆｏｕｎｄａｔ ｉ ｌ ｇｅｏｍｅ ｆｔ ｈｅ ｔ ｌ ｉ任ｅｒ ｉ ｉｎｓ ｔ ２） Ｅｉ ｔ １９４ ７ ） ｒｙ ｕｓｅ ｏ ｔ ｏｎｔ ｒｏｄｕｃ ｅｎｔ ｔ ｅｎｓｏｒ ｃａ ｏｄ ａ ｃｕｌｕｓ ｓｅｎｈａｒ ｏｎ ， Ｐｒ ，（ ， Ａｎｉｎｔ ， Ｌ． Ｐ Ｕｎ ｉ ｉ ｔ ｓ ｖｅｒ ｓ ｙ Ｐｒｅｓ ，. （６５）.
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