多目的決定理論について

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(1)決. 目. 多. 定理. 笹. レⅠ. レテし. 井. 均ことにする。. Ⅰ. は. め. じ. に. 多次元の対立する目標，あるいは不確実性の問題など，複雑な社会問題やビジネスの問題に直面した意思決定者は，常に将来生じぅる結果についての自己の選好と不確実性の判断を比較. 検討し決定を行わなければならない。. 本稿は主として，「R.L.Keeneyand. D. 。。i5io れ. Wif ん、 Ⅴ，， Ztゆル 0 め。。f ㌻ Pr 。ル re. なフレームワークないかに作ることができるか. れ。。s. 囲みⅤ 召ぬg Tm ゐ。サⅡ と，「市川 : 多目的決定問題の理論と方法」の解説論文であり，これ. から多目的意思決定理論を学ばうとする学生への，コンパクトな入門のための手引ぎでもある。. 不確実性のモデル化がすでに行われたとして. もなお，不確実性の評価を価値選好と結びつけろ必要性が生じる。我々の直面する決定問題は，倫理，伝統，個人の価値の評価等を含む以上，完全に客観的な分析は不可能であり，主観的評価が必要となる。主観的な価値の定量化できる部分を，いかに評価し定量化するか，そして決定過程において，体系的にこれらを含むよう. H.Ra 田 a:. Ⅱ. ⅡⅠ. 多目的決定問題の構造化. 決定分析. 多目的決定問題における分析の過程は，次の 5 段階に要約される。. ① 事前分析決定主体，外部環境，実行可能な代替案の集合などを明確にし，問題の状況を明らかにする。. ということが問題となる。我々はこのような状. ② 構造分析代替案と確率事象の連鎖などの定性的分析を行い，問題を構造化する。構. 況において役立つ，. 造分析の結果を表示する方法として，デシジ，. と. ヰ. フォーマルな方法を学ぶこ. こする。これらは，Von Neuman-MorgenStern. ン. 0 期待効用理論に端を発し，多属性効用理論へと発展してきたものである。. ③ 不確実性の分析. ( パレート. 解 ) の概念から. 出発して，数理計画的接近法へと発展したものである。 Kuhn-Tucke, にょり，今日の基礎が確立されたといえる有効解の概念は，避妊構造の定式化 ( 明確化 ) を必要とせず，主観的評価のはいりこまない客観性を有する概念であるが，一般には，無数に存在する有効解から，時定の解を選択するという現実的行為は排除され. ，. ここでは触れない. よ. り，偶然. の確率を割り当てる。. ④ 効用分析 ( 価値分析 ) 結果に対して効用価値を割り当て，決定者の選好を定める効用関数を求める。今，かりに図 -2 に示すくじ㍗と㍗の選択を行. 5. 行為ソと a" を考える。. 次式のように期待効用最大化に従. う. よさに，結果 ri, には. よ. る判断規準に. 昭，を， C ㍗には石 ". を割りあてる。. :. ダト a" 台ゴ，ヨPi'れ t ノヨ P. ない。数学的流麗さはあるものの，操作性に難サこ. 過去の経験，情報，. ノードから出る枝に決定によって得られる結果. るし不確実性をもつ場合への拡張は容易では点をもつと思われるため. ( 図 -D)o. 専門家の予測，決定者の主観などに. 多目的意思決定の理論には，今一つの歴史的流れがある。有効解. ・トリーが考えられる. ⑤. 最適化分析. 「. i=l. J'-l. ノ. Ⅱ ぴフ. ". 代替案の集合と効用関数.

(2) 34@ (192). 横浜経営研究. 第 3 号 (1982). 第m巻. 4. //. /. 3. 2. Ⅵ. 始，. 占. Ⅰ・Ⅰ. @@. /. Ⅹ マ Ⅹ ¥Ⅹ. 口 0. : 決定者に選択の : 決定者に選択の. 自由が許されたノード ( 決定ノード ) 自由が許されないノード ( 偶然ノード ) 図Ⅰ. 結果. 効用 Ⅰ ユ. C. Ⅰ ヱ. ..,,C @llU. ,lllC. /.I Ⅰ. Ⅰ れ. m. c1 c" I I. a" ¥". p. 1 ク. ・Ⅰ. c] c". ・Ⅰ U. ク. p. クれ. CX 図一2. を用いて，期待効用を最大化する最適戦略を求. カラー量で測られるスカラー指標と，スカラー. める。. 指標の結合によって示されるべクトル指標とがある。指標はそのレベルを知ることにより，そ. Ⅱ. -2. 目標の構造化. の指標に対する目標の達成程度を知りぅる. 複雑な決定問題を分析する場合には，次のょに決定者の目標を明確化し，その達成の程度を表現する指標を見つけ，目標階層を作りあげ. ができるという意味で，測定可能でなければな. ることが必要である。. らない。. う. ① ② て，. 目標の生成目標に対する指標の生成. 論的適正さ. (理. どの程度達成されたかを示す指標には，. ス. という意味で，包括的でなければ. ならない。また，実際に必要な評価を得ること. ③ 目標にっい. ). 目標と指標の集合の構造化. ( 階層の生. 成) 目標リストを用いて階層性を導入し，構造化する。すなわち，下位レベルの目標は上位レベルの目標に対する手段として，下位レベ.

(3) 多目的決定理論について. ( 笹井. (193)@ 35. 均). 図づル0. 目標から上位レベルの目標へと階層を作り. 案. 。こ. A を選択すれば，それに対応してある結. 上げる。図 -3 は， 2 つの下位レベルの目標と，. 果が得られる。起こり. 7 つの下位レベルの目標ならびにそれらに対す. X は，評価項目などれ個の属性に. る指標Ⅹ ュ、 Ⅸ"2 と，. ， Z, を示すもの. られているものとし，各属性に対して ( 代替案. 目標集合の詳細さおよび階層レベルは実用的. 0 集合いかんに拘らず ) 価値の指標 ( 評価尺度 ) Ⅹ ， ( め …Ⅹ，n(a) が与えられているものとする。. なものであるべきであり，もし，ある目標を除. 以下では属性 ( 評価空間 ) とその属性の評価尺度. 外すれば，最適な行動は変化するかという重要. を区別せずに，. 性の検証を行い・・・・，除外すべきものは除外し望ま. で表わすこと。こする。結果の記述，属性の選択. しい指標のクラスを求める必要がある。. が整備されたとすれば，決定者は彼のもっある. Zl, Z". である。. また，目標の階層は，細分すればするほど客. 観的な指標を見つけやすくなるものであ複雑な問題では，. るが，. るすべての結果の集合. 同じ記号 X=. よ. り特徴づ. け. Ⅹ， x Ⅹ ， X … x Ⅹ". 規準のもとで，好ましい結果が実現することを. 望む。結果の集合Ⅹのある結果ヱこ Ⅹが，. 目標を測定するための指標を. すべて容易に見出せるとは限らない。この場合. 同等. は，. y). 目標に関する達成度を間接的に測定する代. ぅ. ( ヱ∼の，あるいはそれよりと考えているとき. V. こⅩ と. 好ましいくてト. ，ヱとひと書くことにす. 用指標か，あるいは主観的な指標尺度を用いる. る。結果の集合Ⅹから 2 つの対をすべてとりだ. 必要がある。. しヱト一ひとなる関係を調べあげれば，決定者. Ⅱ. の好みの全体が確定する。これを ex, と ) と書. 確実正における選好の理論. き選好関係と呼ぶことにする。. (X,. 複雑で大規模なシステムでは，評価すべき項. と )=K( ヱ，. う. 辻わ. て色 x,. ひこ. X). 口 XXX. 目が多岐にわたり，多数の目標をすべて同時ザこは達成できないような状況が生じる。このま. V)@. 抑. 次元評価空間上 x において，比較可能で推. な状況においては，決定者はまず彼の選好構造. 移的な選好関係が存在するときに， X において. を表わす価値関数を，明確にすべぎである。そ. 選好構造が定義されたということにする。. ぅ. すれば多次元的な評価に対する選好づげが可. 言すれば，Ⅹが弱順序構造をもっことあるいは. 能になり，決定者は，技術的に達成可能な代替. 選好関係 CX,. 案の集合の中から最もよいものを選択すること. 味する ) 。. ができる。このような価値問題を体系的に定式化する選好の理論. ( 不確実性を伴わない ). を考. 察することにする。. (換. と). が選好弱順序であることを意. 決定者の選好構造が特定化されると，我々は. 評価空間上の各点ヱ =C ヱ，ヱ") 巨 x ・‥. 一指標. ( 実数値 ). にスカラ. を結合させ，この実数値の大. 小によって選好とを表現することを考える。す実行可能な代替案の集合 A の中からある代替. なわち次の性質をもっ X 上の関数を規定できれ.

(4) 36@ (194). 横浜経営研究. 第. Ⅱ. 巻. 第 3 号 (1982). ばよい。 ∼Ⅴ月目. ヱ. (1). ヮ( ヱう二ヮ ( ひ ). (2). ヱトひ目目ヮ C ヱ) ノヮの ). このような U が与えられれば，決定者の問題は，. UCX(a)) が最大となるようなほを A の中から選択するという標準的な最適化問題に帰着する。. u( ヱ) が (1) 式をみたすとき，. U. は決定者の. 選好構造を表現する価値関数㏄ "Iue fun 。tjon) と呼ばれる。. @Ⅰ， 2. 価値関数ヮが存在すれば，無差別曲面が自動的に求まり，選好構造を一意的に定めるが，選好構造から価値関数は ( 存在すれば ) 単調増大. 成立するという。以下 C.T. 条件と書くことに. 変換の範囲で一意であることは明らかである。. する。. X がどのような順序構造をもち，. 図 -4. どのような. 条件のもとで価値関数ヮが存在するかについての議論は省略するが，詳しくは文献 C2T(3. コ. を. -U C.T. 条件が成立するための必要十分条件は，価値関数が加法的な関数 ( 定理Ⅱ. 参照されたい。. コ. v くれ. z) 二化 ( の十の 0z). で表わされることである。ただし町，叱は価価値関数の存在が明らかになったとしても，. 値関数である " 。. 多属性の価値関数を直接評価するためには，多. 加法的価値関数が， C.T. 条件を満たすこと. 数個の属性を同時に評価検討しなければならな. は明らかであるが，逆はやっかいである。厳密. いので，大変な困難さを伴. な証明 C3. う. ことが予想され. る。もし，属性をあるクラスに細分した上で，. より低次元の価値関数から全体の価値関数が構成できれば，価値関数のアセスメントは容易になるであろう。このことは，選好構造にある種. の条件が成立していれば可能才こなる。価値関数. は省略するが，証明の手順を示唆. する加法的価値関数の測定法として知られているロ，ク・ステ，ブ (Lock Step) 法を示すことにする。・. Lock 1.. のアセスメントを簡単にするための分解表現. を，定理の形で紹介することにする。. コ. Step 法 : 9. 。，. z。. し uC が，. 2.. をそれぞれ y, Z の最低レベルと z 。). 二町 (V 。) 二 % ㏄。)=0. とする。. y, をとり，WG ひ，) 二 1 とす. y 、汁 y 。なる. る。 Ⅱ4 ( 定義Ⅱ. 2 属性可コ. では， Z の増分. ( Ⅹ==yx. あ. の価値関数図㍉の点において， (2/、， 2,). 3.. に対して y の支払いは 0,. 4.. z,) でほ Z の増分 C に対して y の支払いは 0, (3/2,z,) では Z の増分みに対して y の支払い (鮭，. は乙であるならば，牡， 2y2, z,, 2:2, (拙，. ， 6, 。，メの. z,) では Z の増分Ⅰに対し. ，， 2,) ∼の。，ダ ) なるひ ',2'. ひ，). 三稜 (2,) 二 2 とする。. このスケーリングが妥当であるためには，. ㏄，，ダ ) ∼㏄，，老，) g. ワ工. 一 v 一. ぬ数. な﹃ Ⅰ ノ@し. % () 2 @. フ条件 (correspondjng tradeoffs condition)が. 5.. ︵ ) 一一って. ぎ，対応トレードオ. を求め， W(. 価値. よ Ⅴこ︵ @@@@ の換. て y の支払いがイとなると. ( ひ，， 2 。 ) ∼ ( ひ. 勾Ⅴ一加法. 値にかかわらず. 0. Cy 。， z,)∼㏄，， z 。 ) なる z, を求め，の (2,) 二工とする。. の変.

(5) 多目的決定理論について ( 笹井. 均). (195) 37. Z Z2. 一一一一一一一一一一. Y氏 Ⅹ ⅩⅩ. ⅩⅩ ⅩⅩ. Zl-. Y. zo. 一一一一一一一一一. yo. y. y2. UY@I. "z I 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一. 2. 一一一一一一一一一. Ⅰ. 一一. 3. 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一. 2. 一一一一一一一一一一一 - 一一一一一. ｜｜｜｜｜. 3. ｜. 一一一一一一一一一一一一. ｜. 1. yo@ yl. Y. y3. y2. 0. ｜. 0. zo. z'. z2. Z. z3. 図 -5. ではげればならないが，. これは C.T. 条件. XX"" を構成する属性の添字 1= は， 2, -, め. より出る。これが満足されていればつぎへ. の一部からなる部分集合を V==C 田， -,. 移る。満足されなければ加法形関数は得ら. の補集合を. れない。. ㏄，めと書くことにする。ただし一般性を失. C2/3.z 。) ∼ (2@2,zQ) ∼ (y,, z,) 一 ( ひ。， Z3). 6.. なる y,, Z, を求め，町㏄ 3)二 MZCZ,)=3. と. する。 7. ( ひ 3, 2>)∼㏄，，ダ > ∼㏄、 23) が成立する・. かどうかを調べる。. 8.. 同様に続ける。. g.. u4%. u(z. を適当なカーブフィッティン. ヱ二. C ヱl,-, ヱ") 色 x,X. ことなくひは常に最初の. ヱ "). 5. 個，. で表わし，ヱ二. z. であるとき，ダのもとでがは y". う. は残りの㌃. 個を表わすものとする。 (v,, 之 D と ( ピ，， z,). い. タ. C3) ょ 9. 条件つ. う. 。. グで ( 定義Ⅱ. -3. コ. 与えられたダのもとでⅤの. 条件付選好構造が z, の値に依存しないならば，. れ属性 Cr ニ 3) 価値関数. ( 定義Ⅱ -2 コ. ヱ肝，， -,. きでょり選好される，あるいは無差別であると. 求め，ぴ( れ z)= W (y)+ 牡 (z) とする。 Ⅱ -2. 2=(. ヱ，), そ. y はZ Ⅹ， X. と選好独立. (prefeTentiaIlyindependent). であるという。すなわち任意の z, ひ，，ひ " に対.

(6) 38 (196). 横浜経営研究. 第皿巻. 第. 3. 号 (1982). 理論である " 。このような決定問題に対して，い. して，. ろいろなアプローチが提案されているが，その. z0)と (V",z,). Gダ，. 1=W. ， @W. ，. (4). @. 解説することにする。. が成立することである。ある建設工事プロジ，クトで， Q 二品質， T C= 費用の属性を考える。特定の状況のもとでは品質と工期の間のトレードオフは，費用に依存しない。すなわち 10 ， T) の. ( 例コ. 中で最もポピ，ラ一な多属性効用理論について. 二工期，. 選好構造は， C の水準に依存しない。このとき {Q, 刊は， C と選好独立であると言え. 多属性効用理論は. 値を用いて期待効用最大化の規範に基づきリスクを伴う決定問題を体系化する， 1 つめ理論的方法である。典型的な例をあげて説明すること. にする。今，株式投資を考えている決定者がいるとしょう。. る。. 偽， 0,. 分集合が，その補集合と選好独立なら. 存して，. 図 -6. X. 確率戸 ⑦，)=0. ぱ，属性 X" は相互選好独立 (mutu"llyP, 。f 。，。n-. 。. tially independent) であるという。 ( 定理Ⅱ. -2. 属性 x,. …‥ X". コ. ソこ. 対して，加. ( ヱ1@. 呼ばれる不確実性を伴. う. 状態に依. のように予測される。・. 6, 戸 (02)=0. ・. 自. ヲの生起. 1, 戸㏄，) 二 0 3 が; ・. 分っているものとすれば，代替秦山 Q=1,2,3) を選択したとき㌫ (i二 1,2,3) の利益を得る確率がは，図イのようになる。このとき代替案 0,, の，&, の選択問題は，確率分布れ，め，かの. 法的な価値関数，ぢ. ( 投資対象 ) 佑，. があり，これらの投資による利益は，伊と. 属性Ⅹ 、・…‥ X" のすべての部. コ. 種類の代替案. 3. 然の状態. ( 定義ⅡⅠ. ，効用と呼ばれる主観的価. ， c") 二ョも. 一一. t. ワ. 選択問題に帰着される。ここで我々は，利益の. i(ヱカ. が存在するための必要十分条件は，. もっ決定者の主観的価値 ( 効用 ) を導入し，期待 X 、，. ・‥. ， Ⅹ". が相互選好独立となることである。ただし. 祐は篆に関する価値関数である。. 効用最大化にょり，この確率分布の選好を定量. 化し，決定者の行動を説明しょうとする立場をとる。期待効用最大化の規範が意味をもっように，意思決定者の選好に関する公理系を初めて. 証明は，相互選好独立性が成立するときには，. 不確実下における選好の理論. 今，決定者が代替案の集合 A から案乙臼 A X. Ⅹ". 1. っ 0 代替. を選択すれば，その結果は属性Ⅹ、 X. によって記述できる。それぞれの代. 替案から生ずる結果については正確. ( 一義的 ). には分らないが，その可能性に対して確率を割. 一二. Ⅳ. 502. る。. ヲ. り Ⅰ. 目レ. 5鋤. 222. どの一対に対しても C.T. 条件が成立することを利用する (C3 コ参照 ) 。また，加法性の条件 ( 相互選好独立性の条件 ) の緩和に対する議論ほついては，種々の結果が Cl コで得られてい. 図 -6 ヱ2. ズ8. 2. 10. 41. O. 1. 0． 3. O.6. 血. ク2. O. 6. 0． 1. O. 3. 戸2. 48. O.O. 1.O. 0． 0. ク3. 図 -7. このような. " 通常は結果の生起する確率が，客観的にせよ主観. 状況における決定問題，すなわちリスクと選択. 定問題，分る場合をリスクを含む問題として区別している。. り. 当てることはできるものとする。. 0 間題を取り扱うのが不確実下における選好の. 点にせよ，全く分らない場合を，不確実下での決.

(7) 多目的決定理論について ( 笹井. X= Ⅹ,X … X Ⅹ" 二 Dn と考. 上記において，. コ. X の要素のうちで，. ェ". をもっとも. 好ましい結果，がをもっとも好ましくない結果としび ( ヱ ")=1, ぴ ( が ) 二 0 と尺度を定める。. Cu,タ) 二 2MCJc)Z>(,r) と書くことに. 合は，ぼ. する。. ，. リスクを含む意思決定問. 題は， Ⅹに対する決定者の選好関係期待効用によってち，. を. 表現することになる。すなわ. 目 E ね，タ) ノ E ぬ，. め ……. C6). タV 二 E ㏄，め ……. C7). タン 9 ヒ. 戸∼ ヴヒ弓 EQ,. となる %(x「j. a Ⅹ ，と). ( 効用関数 ). u4(ヱ) 二 ozz( ヱ")+Cl@. x)u( ダ ) 二群. このようにして，全てのヱこx. ャこ. 対して効用値. を定めることができる。. 結果集合 x 上のすべての確率測度の集合を又と書くことにすれば. はを. 見積もる。. えている。また，結果ヱ，， ", ㍍を，確率か， -, 捧で生ずるような単純確率測度の場. こ. ，くヱ，ぴ，ひノと書くこ. ヱとくヱ *, ぽ，ェ0 ノが無差別になるように ( 注意. ヰ@ よ. の. 殊特. 数. 用関. は. 。. いる. を，期待効用 (expected u 田 ity) と定義する。. 効. 数関. て. (ヱ )戸てて >こご. う. とができる。確率穏で結果ヱを得，確率 (1 一めとにする。. C5). 価 Ⅰ直. りっ. ぴ. よなァヒァヒ. 二. 効用関数の測定は，次のような手順で行で結果ひを得るくじを. 度ナ ( ヱ) についての期待値，. E(_u ， p)1. 義ム口. Ⅹづル，のⅩ上の完全加法的確率測. M:. 定場. x 上の効用関数 (utilityfunc-. C197) 39. で一意である。 Ⅱ lノ七% @ 圧 Ⅰ @し. づくプ @し @㌧ 1 、項て. の進. 事め. 下さ。以明る。読すろはに. 三，互る " ヒ @ 三" @ ヰ. ょ、え. で加. あてと. ( 定義Ⅳ 可コ. tion). Neumann-Morgenstern. 論を率話. りあげたの @%, von. でいこ. ィ乍. 均). Ⅳ -1. Ⅰ属性 (1 次元 ) 効用関数 (6),(7)を満たす効用関数の存在が，決定者のリスクに対する態度の評価を可能にすることから示していこ. 。まず，確率測度抄 C ヱ) をもっ. たくじ戸を考える。 ( 定義ⅣⅠ. を見つけることであ. う. くじ戸の確率同値 (ce,tainty. コ. 。 quivaIent). とは，くじタと確実にぶを得るこ. とが無差別であるような量おである。すなわ. る。まず，存在と一意性を保証する次の定理を証明なしで示す。証明について，詳しくはC2 を参照されたい。. ち，. -1 選好関係 ( 又，オ ) が与えられたとぎ， (6:, (7)を満足する効用関数が存在する. 単調な効用関数に対しては，任意のくじの確実同値は一意に定まり，くじそのものの価値を確実同値の効用値で表せることを示していることになる。. コ. ( 定理Ⅳ. コ. ための必要十分条件は，. (D) ㎝. a叉，と ) ). 戸ト 9. は弱順序 l=, 卍十 Cl 一めⅠ ト兜 +(l 一 a) 「 for. (. 皿. ) 力トヮ卜 Ⅰ. ト弓. any. r X@ and@ ae(0 ， 1) ある 0, 月色 (0 ，めに対して叩十 Cl 一己) づ目ヴ. ノ序十 Cl 一の㍉であり，ざらに効用関数は正の線形変換の範囲. 戸) …. ぴ， C 扮)=EC%,. ( 定義Ⅳ. 意の. 2. -3 コ. 2. …. C8). つの効用関数街． M, が，任. つのくじに対して同等の選好を示すと. き，同等であるといい，侮 ∼ M2 と書く．ある 1 点ヱこ Ⅹで戸 ( ヱ) 二工となるくじ戸を退化くじ，どのようなじ臼 Ⅹにおいても戸 ( ヱ) キェ. となるくじを. ヨ戸. 退化くじということにす.

(8) 40 (198). 横浜経営研究. 第. Ⅱ. 第 3 号 (1982). 巻. きに限り危険回避的. る。. 口. 以上の準備をしてリスクに対する決定者の態. (. 受容的，中立). であ. る。. 確率カで結果篆、 Cl 一戸) で結果籠. 証明コ. 直観的には保守的に行動することを好む者を意. を生ずるくじを考える① く戸く 1)。危険回避的ならば， u(、旭， +C1 一戸) ェ，) ノル ( ヱ，) +(1 一戸 )%(t ヱ，), であるが，これは凸関数. 抹している。くじタに直面している決定者を考. の定義である。. えよう。このくじの結果の期待値ま二 E( ヱ，戸). 単純確率測度の場合について，逆を証明する。確率かで結果鋤 G,二 1,-, めを生ずるくじを考える (0 イタ iく D) 。ぴは凸関数. 度を評価してみよう。リスク回避をする者とは，. イ卸. C ヱ). ゐを，確実に受けとることと，. く. じクの間の選好を問われたとする。もし，決定. 者が確実な結果まはくじに伴. う. な，くじ戸. であるから，. より好むなら，彼. ぴQ ヌ力㌫ ) ノヨタ iMC笛 ). 不確実性を回避することを好むこ. となる。. とになる。. 本稿では現実性という観点から，以下( 単調 ) ( 定義Ⅳ. -4. コ. 任意の非退化くじ戸に対し. て，意思決定者が，. くじそのものよりくじの期. 待値安の方を好むと u{.E(:. ぎ，すなわち，. ノ E(. ヱ，戸)). (9). ぴ，戸). のとき，彼は危険回避的 (risk aversion) であるという。. 増加効用関数に議論を限定するが， ( 単調 ) 減少. 効用関数についても，少し定義式を変更するだけで同様な結果が得られるであろうということは，容易に想像がつく。 ( 定義Ⅳイコ. 卍¥くヱ)=. -5 コ任意の非退化くじタに対して，意思決定者がくじの期待値安よりも，くじ ( 定義Ⅳ. そのものの方を好むと uCE. く E(. ㏄，戸)). ( Ⅰ 2). くじタのリスクプレ、アム㏄ sk p,e-. と置き，. mium). 増加効用関数に対して，ま" 挽. と呼ぶ。. ぎ，すなわち，ぴ，戸). のとき，彼は危険受容的. C Ⅰ l0). …. ( 「 isk. prone) である. RP はリスクを避けるため，期待値上に上乗せして進んで支払う量である。. という。口. 定義Ⅳ -6 コ. 任意の非退化くじ尹に対し. て，意思決定者が，. ( 定義Ⅳ. くじそのものとくじの期待. ヱ，タ))=. E(. ぴ，尹). ヱ. ㏄ ) に対して，コ. を，ヱにおける危険回避度 (local ,isk ave,sion) だし. 意思決定者の効用関数が ( 単調 ) 増加の場合には，危険回避的であるときかつそのときに限り，碗ノぶとなる。. ぴ. ( Ⅰ 3). と呼び，. 50. 増加効用関数. ヱ. (11). のとき，危険中立的 Crisk neutral )、であるとい. ( 注意コ. コ. r()=一名篭巻)三一芸 (lo9 ぴ，a ). 値まな，無差別に思、ぅとき，すなわち，ぴ CE(. -8. び. r( ヱ) を危険回避関数と定義する。た. C ヱ). は，連続微分可能な関数とする。. 定義から， 2 つの効用関数は，それらの危険. 回避関数が等しいとき，かつそのときに限り同等になる。. -2 意思決定者は，彼の効用関数が凸 ( 凹，線形) 関数であるとぎ，またそのと ( 定理Ⅳ. コ. 口. 定理Ⅳ. ヰコ. 増加効用関数において，任意.

(9) 多目的決定理論について ( 笹井. 均). ( 99) 41 Ⅰ. のヱに対して，ベヱ ) ノ 0 CrG ヱ) く 0 ， r( め二 0). 回避 ). ならば危険回避的 ( 受容的，中立) となる。 ( 証明 rC ヱ) ノ 0 ならば， u,(、 x) は常に正である以上ぴ "( ヱ) く 0 となり，ぴは凸関数. ひ. ( エ> ∼ エ. ひてて> トビ " 。". コ. となる。. ベヱ )=0. 0 危険中立 ). ベア)=c く 0. ( 不変型危険. 受容 ) @=l は明らか。もし，ベヱ )=c ノ O. ( 証明コ. ならば，口. 注意コ効用関数 u¥(ヱ),u2( ヱ) において ( 任意のヱ0 に対して ) T@( ヱ。 ) ノ r2Cヱ。 ) ならば任意のヱ0 と任意のくじタ ( 確率測度戸C ヱ m) に対して RP@( ヱ0+ ヱ) ノ RP,( ヱ0+ ヱ) であり，また， roro) が自の減少 ( 増加 ) 関数であるとぎ，かつそのときに限り，すべてのくじ戸に対して RP( ヱ。十めはヱ0 の減少 ( 増加 ) 関数となることが示される Cl コので，危険回避関数は，危険回避の度合を反映していると考えられるっ. H CloguT( ) 。. ラ一ヱ. ヱ. コ二. したがって，ゼ. "C"=. ピ. '。 ",は)"" ぎ. ニピ " ぴ. '( ヱ). となる。再び積分して，ピー. cズ. 一一 ="". ぴ. C ヱ7+. ん. C. んは積分定数 ). となり， u(. ヱ> ∼ ピ " 。 ". 他の証明についても同様である。亡. 注意コくヱ，，ヱ，ノで確率形でヱ，とェ，をとるく. じを表わすものとする。危険回達的な決定者のくじくヱ十九，z 一ヱノを考えることⅤこする。減少型危険回避であることは，この. こが. 0). ぴ. )=a. (ヱ. 二トみ. --Cダ，み二ンO,c ン 0,てづ。cⅠ. て. コ. くて. くじについてのリスクプレミアムが，ヱが. 大きくなるにつれて減少することを意味している。. z. は決定者の資差額とすれば，資. 産が増すにつれてあるリスクを負. う. ことが. 苦痛でなくなり，小額のリスクプレ，アム. しか支払わなくなる。. 明らかにすべての. ヱに対して， r ノ 0. Ⅰがヱの増加関数であるので，. であるが，. u(、ヱ) は減少型. 危険回避ではない。したがって，減少型危険回避が本質的なときには，亡仁. 2 次効用関数は適当で. 、. ( 例コ u( ヱ)= №9 (ヱ干る), アン一み. 定義Ⅳ -9 コ r( ヱ) ノ 0andr( め減少関数. 亡. @ コ減少型危険回避. r(x) ノ 0andrC,2 。 )== 定数. ヒ今不変型危険回避. r(ヱ) ノ 0andr(x). 増加関数. l= 弓増加型危険回避. Ⅰ. 5%ヱ主. Cヱ. み. 明らかにすべてのヱノーみに対して，ハェ) ノ 0 でかつ減少関数であるので，減少型危険回避である。 Ⅳ一2 ・. れ属性. ( れ二 2). 効用関数. Ⅳ -1 では，Ⅰ属性の場合のリスク下での意思. 決定における期待効用最大化の原理，リスクに危険受容的な場合も，同じように区別できる. 対する態度の評価について議論した。この 1 次. が，繁雑であるため省略する。次に， r(、 xめ二定. 元効用理論における考え方，および結果は，多. 数の場合には，効用関数の形ンこ強い制約が課せられることを示す。. 属性の場合にも利用できる。あ (i二㍉ ", めをぜ番目の属性集合で，かつ拓ニ R 。とし，又を結果集合Ⅹ=x 、 X … xx" め. ( 定理Ⅳ. 上の確率測度の集合とする。タ， 9 三叉に対して，. -め. u(、 x) ∼ 一。- ㏄鮭弓 Ⅰ㏄ )= c ノ 0. (7不変型危険. (6),㈲を満足するような. ぴ(0) の存在は仮定す.

(10) 42 (200). 横浜経営研究. 第皿巻. 3 号 C1982). 第. -, 妨 ) こ Ⅹは，前に述べた. 2.. は. ような直接評価法によって測定することも可能であるが，もし意思決定者の選好態度が，属性の間にある種の独立性を満足し，. 3. 4.. ぴ(ひ，. る。. ぴ. ( ヱ), ヱ =( 篆，. の形に求まれば ( 条件付効用関数による分解表現 ) u( ㏄) を構成することは，非常に単純化できることになる。このょうな効用関数を規定するために必要な，主観的情報を削減するための分解表現について，考えていくことにする。多. つに，くじに対する選好関係の独立性として，効用独立 (utiIity independent)の概念がある。効用独立性が成立すれば，以下で分るように，決定者は評価問題の一部を，スタ，フに委譲することができる。. 9(2)+ A(2). れヱ. (Ⅴ ). ( れ 2) 三ん( Ⅴ ) 十揮 ( Ⅴ ) ぴ， (2) 2) 三み1ぴ y( Ⅴ ) 十乏2ぴ 2(2) + ぬひ， ( Ⅴ ) ぴ，(2) 5. 2Ⅹ あ 2) 二ロ㏄十戸ぴ，( ひ )] ロア十うぴ，(2)] 6. ひ ( わ z) 二ゐ，ぴ， C Ⅴ ) 千ん，篠，C め 1 の場合は，どの属性ももう一方の属性と効用独立ではない。 2 の場合は， Y は Z と効用独立であるが，逆は成立しない。 3 の場合は， Z は y と効用独立であるが逆は言えない。 4, 5,. ，，( 笛，・‥，鯨 ) 二/C ズ，㏄， ), ..,,方 Cxn)). 属性効用関数の基本概念の. ( れ之 )=. 6. ぴ. の場合は，それぞれ他の属性と効用独立であ. る。. 1. 2 属性 x 二 y Ⅹ Z の. まず理解を助けるため，. 場合 " から始めることにする。 ( 定義Ⅳ -l0J y 上の条件付選好構造が， Z の値に依存しないとき， y は Z と効用独立. ・加法形効 m 関数 (additive utility function) ぴ ( ひ， z) 二ひ "zp, l くツく 10 ， 1 く z 玉 10 とすると， y と Z は相互に効用独立であるが，加法的ではない。対数をとると， ¥oeu 二は 1ogy 十月 Iogz となるが，対数変換は正の線形変換ではないので， 1o9 ぴは効用関数とはならない。加法的表現，ぴ. (ひ，. 2)=. ゐル，( ひ ). 十ゐ，ぴ，(2), わ，わノ 0. を得るためには，ょり強い条件が必要となる。. (utiIityindependent) であるという。すなわち，任意の2 つのくじタ，. ヴ. こすに対して，. ， z0)と (<7.z0) @ ヰ (A,z)と (g,z). Cタ. -1l. yxZ. コ. 上の同時確率測度に. よって定義された 2 つのくじに対する選好が，その周辺確率測度のみによって定まるならば，. VzesZ. for. ( 定義Ⅳ. y, Z は加法的に独立 (add 田 ve independent). が成立することである。. であるという。 ( 注意コ. この定義からただちに y が Z と効用独立であることは， Y 上の条件付効用関数 u(., め. 2. がすべて同等であること，すなわちすべて. くCひ，. 0. に対して，. %z ひ. ( ツ z)= ㌧. 戸=. く ( ゎ z), (.y0， z0 ノ，ダ= 「. z0), C ひ 0， z) ノは，同じ周辺確率測度を. もっので，上の定義を実際に検証可能な. 億 (z). 十 C2( ) 移 ( ツ zD ,. ca(.z). ノ0. 老. ㌧. C14). が成立することを意味する。. よ. う. に. 換言すれば，次のようになる。 ( 定義Ⅳ. 丑 2J. y, Z が加法独立であると. は，任意に与えられたひ。こ y, z 。こ Z に対して，. (例). 1 *. つのくじ. ぴ. CⅤ. くけ， z), け。， z 。卜 ∼くは，z 。), け。， z 卜，. 7z) 二号三ミ篭. V. 属性Ⅹ二泊 X … X 九の場合も， Ⅰ cIl,2," 目に対してん，Ⅹ7 の条件付効用関数を求めることができれば， Ⅹ こ X,X 乃であるから， 2 属性の n. 場合に帰着できる。ただし，下はの補集合を表. こ. ⅠⅠ. Vz. (15). 壬Z. が成立することである。 [ 定理Ⅳ. エ. わす。. Ⅴ. あると. -5. コ. 属性 y,Z が加法的に独立で. ぎ，かっそのときに限り. ，.

(11) 多目的決定理論について ( 笹井ぴ. Q Ⅴ， 2)== ぴ ( ひ，. 老。 )+ ぴ C ひ。，. 2) ‥‥‥ぐ 16). ぴ. 十ゐ刃物 (2) ……. 億(ひ). ( ひ。， =") ノ ( ひ。，. 2 。). なる. ( ぴ。，. 2 。 ),. に. (ii). uぴ rC2/。 )= 0 ，. zzr(Ⅴ *)= 1. ). uZ(z 。 )=0 ，. M,Cz")=. (. 血. ， u(、. z 。) 二 0. ひ. 1. わ， = ぴ ( ひ ", ダ ). CV). ゐ. z=uz( 、 y 。，. 対して，ぴ G ひ。， z 。 )=0. zつ. uゆ C ひ *)==1. (. 五. ). ぴ，㎏") 二. (tv). ゐア. 二ぴ ( ひ ", 宅。 ). (v). ん老. =. 。， z"). びくひ. 件ダのひ︵. =. ゐ. y,/a ゐ Ⅱ ゐ z). りよ. 加法独立性. 証︵. ︶. ︵. コ. u(、 V 。，. 2 。 )=0. 。)+百 <,(。， 2). として (14) 式にⅤ =. 二 c 、しフ. ひ. 2. 。)=0. と定め，尺度構成. ，ぴ (2) とすれば， (16),(17). (14) 式にひ. 二ひ ". を代入し，上式を用いる. と， %. が. ㏄ ", z)==u( が，め+c 。㏄ Ju(.が， z 。 ). あるいは，. C2(z) ( 二三ぴ. ti(.y, z)=. 一方の属性の値によって興ってくるこ. Ⅰ乗法形効用関数 (multipIicat吋 eutilityfunc-. tion) あるいは多重線形効用関数. (multi li-. ひ. Ⅰ. こモナ. キ三洋。， z). となる。したがって， ( ひ。， Z). ぴ. とを許さないともいえる。次にある種の相互作用が存在するような場合を取り扱う。. near. ゐ. u(:が，め==clCz)+c, ㏄ ) ぴ㏄。，ダ). を許さない。一方の属性の望ましさの度合いう. 1. 。を代入すれば，. 加法独立性の仮定は，選好の相互作用の存在も. uz(z 。)=0 ，. ( 証明. 求まる。逆は明らかである。. が，. ", z") 二 1. ) u,WV 。)=Q,. (V,i) ゐ，タ二丁一ゐ，一ゐ z,. 係数を適当に選んで， %(y, z 。) 二わぴイ V), ゐ. ひ. Ⅱ. V. が成立する。ぴ ( ひ。，. M( ひ。， 2)=. ， u(. (. Ⅰ 古. 2. に. のように正規化する。このとき，. のように正規化する。このとぎ， C Ⅳ). C が，タフト㏄。，ダ),. C ひ。， z*) ンく y 。，ダ) なる Cy 。，ダ), ( ひ ", z"). (i). ", z*)= 1. C Ⅰ g). ) ぴア ( 宅 ). Ⅴ. の形で書げる。ただし. 対して， u(y 。，. r( ひ ) 十んZ ぴ Z(z). ゐヱれ. 十をⅡクぴ r(. z 。 ),. ( Ⅴ ", 2"). ( l). Cy, Z 、)=. (17). の形で書げる。ただし， C Ⅴ ", ダ ) 凌 ( ひ。，. (201) 43. あるいは，. あるいは，色爪ひ，ズ ) 二 %7. 均). ・. 山ぴ (Ⅴ. ",2) ( ， 20) ( 。， ) ひホ一ぴ. ぴ. ひ. 老. u(y, zo), Vz こ Z … (20) また， Z が y に効用独立という条件からも同様に，. u(.U, z) 二 u(.V, z 。 ) ぴ Cy, 老. utility function) ら. ば. " 工"". な. る虫. ヒ. 用効. 目見二. カ. ム小. Z. y. と. 6. ﹁ lノ. Ⅳ. 理定. ︵. 十. ぴ. 木. ) 一ひ( 絡 z 。 ). C Ⅴ。，宅"). がが，め， V ひこ y. く 21). を得る。. C21) をⅤ. u4Cひ， z) 二 ut<;y,ダ 7 千ぴ ( ひ。，め干たぴCy,. ダ ) ぴ C2/. 。， z). (18). ば，. 二ひ ". で評価し， (20) に代入すれ.

(12) 44 (202). 横浜経営研究ぴ( ひ ", z 。) 十. ぴ. ( Ⅴ，. ぴ. 2) 二ぴ ( Ⅴ。， 2) 十. 第. 。，. 老). 十ぴC ひ. ， z 。)+ [. ぴ. 了おひ. ひ. (ひ. 巻第 3 号 (1982). ", 矛?;- ",z 。) ( 0，. (. ぴ. 二ぴ. くひ. Ⅲ. ぴ. ひ. 之. ひ. びく. ",z") <. 一ぴ ",z ( 。 )",z C Ⅴ。。)，一ぴ z")。， z")] ぴ. ひ. ひぴ. ， z) ひ， z 。. )一ぴ ( 0. ( ひ ", z 。 ) てひ. ぴ. ). ， z) Gv,z。 ) … C22). CⅤ0. ぴ. を得る。ここで，ゐ. 一. ゐr ぴy. ぴ. ( Ⅴ ", z") 一ぴ ( ひ ", z 。 ) 一ぴ( サ。 ). 篠( Ⅴ ", z 。 ) ぴ ( ひ。，二㏄(ひ，. 老. 。),. ゐ丘ぴタ. z"). Z. z"). B. C. A. 二ぴ ( Ⅴ。， z). としん田三 %Y 妨と定めれば， (19). 式になる。ここに牡，わは正の尺度構成係数である。ぴ (v", z*)==1 から，結論が得られ. zo. D. F. E. る0 ( 注意コ. (18) は多重線形であるがぷキ 0 ならば同等な乗法的表現をもつ。ゐノ0 のとき，が( あの三 %( あ 2)+ 1 と置けば，が C わ 2)= が ( 折 2 。 ) がひ0，めとなり，たく 0 ならば，が( 紡 z)= 一ゐM( め z) 一 Ⅰと置くと，. 効用独立の条件は対称的でないので，一方だげが他方と効用独立である場合には，次の定理が得られる。. ぴ(y,. y が Z に効用独立なら，. z)=. ぴ. (y 。， z) 干 %(y, ダ ) ぬ ( ひ ", z). ただしび (V で正規化されている。となる。. 証明コ. z). (23). コ. 。， z 。) 二 0 ，. %. ㏄ ", z 。)=1. 図 -8 のように町二 U(y, Z),. UC れ， z¥, UD 二 0 ，. X=XlX. 牝. =U(. UE 二ュ. ひ. ダーリ D. コ. 部分集合 y とその補集合 7 に注目するとき，と書くことにする。. ", Z), 町二八 y,. 属性 x,X … XX" 上のくじに対する選好が，その同時確率測度に依存せ ( 定義Ⅳ. E 一ぴ D. X". ( 定理Ⅳ ぴ方. 二. z 。 ),. -13. コ. ず，周辺確率測度のみに依存するときに，属性 Ⅹ。 -,. とする。. ぴ. 今までの. 略し結果のみを示すことにする。詳しくは， Cl コまたほ C2 ， C4 コを参照、されたい。ヱ二 ( 篆，・‥ ， x:n)こ X=XlX … X Ⅹ" において， X の. は加法的に独立であるという。. -8 コ. Q 加法形効用関数 ). X 。 -, Ⅹ". が加法的に独立であるとき，かつそのときに限り，びくヱ) ニヨぴ ( ヱゎゑ，。 ) 二ヨゐ i佑㎏， ) … (25). y が Z に効用独立であるから，. リ. … X Ⅹ", れ二 3 の場合に，. ヱニ C ぴ，ラ ). 一ぴ C ひ。，. 口. 図 -8. 結果を繰返し適用したものであるから証明は省. となる。. 定理Ⅳ 廿コ. Y. y-. y. 議論を拡張しょう。木質的には 2 属性の場合の. 一が ( Ⅴ， 2) 二が C 研，老 0)が C ヴ。，之 ). 口. yo. z=l. (24). i=l. が成立する。ただし :1 ) く. が成立する。. び. : ヱ Ⅰ。， -, ヱ" 。) 二 0 ，く. ぴ. C ヱェ ",-,. ヱ"*@>=. Ⅰ. にょり正規化する (. 五. ). 佑 (自). はあ. 上の条件付効用関数で，.

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(14) 46 (204). 横浜経営研究. 第. Ⅲ. 巻第 3 号 (1982) ③条件付効用関数のアセスメント. お. Ⅴ. わ. に. り. 効用関数のアセスメソトを行う場合には，次. 場合の手法が使える。 ④尺度構成係数の決定詳しくほ (1. のようなステ，プで考えるとよい。・. 1 属性効用関数のアセスメント. ①アセスメソトの準備. を参. ⑤一貫性のチヱ，ク. :. 決定者に決定分析の. 本稿では，多目的決定論のうち，現在最も整備されていると思われる多属性効用理論につい. 対象であることを知らせる。 ②関連する定性的特性の同定効用関数が単. て解説してまたく決定問題に対するアプローチとしては，この他に統計的決定理論，決定心理. 調か，危険回避的 ( 中立的，受容的) か，. 学などがある ) 。パレート最適の概念を中心に発. 増加型. 展してぎた有効解の解法，および有効解の中から，選任解を数理計画法により求めるアルゴリ. ( 減少型，不変型). かなどの決定. 参照 ) 。. ③定量的制約の決定. 確実同値などを用い. て，効用関数上にいくっかの点の効用値な決定し，一貫しない選好があるときは不一. 致を指摘し，評価手続きの一部をくり返して矛盾のないものとする。 ④効用関数の選択定性的，定量的評価を同. 機会に譲りたい。近年，定性的定量的特性を規定するインプットデータから，. コンピュータを利用した効用関. 数のアセスメント. ( 対話型コンピュータプロバ. 定のものを選び出す。. 含めた up-to-date な研究成果については C5. (ヱ. ). 制約. (ヱ ). ロ. み一 1 ヱ干ろ. 0. ( ヱ十みア. く. 6)- 。. (Cー l). Ⅰ. く. 一. ノ0. Cc 十み)(ヱ十. 0, み， c ノ 0. Ⅰ. ヱ三一. み. 化一。" 十 bee- ㏄. 化 - ㏄十み. あ. 任意の. ヱ. 任意の. ヱ. 代表的な減少型危険回避的効用関数. 多属性効用関数のアセスメント. ①アセスメントの準備。 ②独立性のチ，ック加法的独立性，効用独立性などの検証を行. う. 。. コ. 参. 考. 文. 献. l) R.L. Keeney & H. Rai Ⅱ a:. Decisioれ S %ith. ぬんァ戸ル 0 ぁノとがわes, 月Ⅰそが ere 竹 lCes クればぽ 4% ぴヒ Trradeo サ$, Wiley (1976). 市川編 : 多目的決定の理論と方法，計測自動制. 皿. 十み) ヱノ一み. 珂 " 十みc2g-"$ 壊 tそ一れヰ. 図 -9. み. ヱ三一. ヱ十み. ove. ル- 。". ヱ三一. ヱ川ト. c+1. Ⅰ ノ0. は十列Ⅰ. ヱ十 c めg. Ⅰ. コの. 文献リストが参考になる。また，多目的決定理論の経営活動への適用例ほついては， 1X6 を参照、されたい。. 1. ヱ十み). ヱヨト. これは次の. ラム ) の開発も行われており，多目的決定理論の最近の進歩は，著しいものがある。これらも. ぴ. あ90. ズムについては紹介しなかったが，. 時に満足する効用関数のクラスを定め，特 ⑤一貫性のチ，ック. Ⅰ. コ. 決定者の選好構造が興味の. ( 図 -9. Ⅰ. 属性の. ，、照。、、. 概念と効用関数の評価に用いるフレームワークを説明し. 1. 2). 御学会 (1980). 3) P.H. Krantz, R.D. Luse, P. Suppes & A.Tver. sky: デoundatt ㎝ S ザ Meas ぴ r,, れ，"f, l, Aca. de ㎡ c Press (1971). 4) 円 shburn: Uttilizy Theor ノ /Orr Decision Ma 伊たかg, Wiley (1970). 5) 竹田 : 最近の多目的決定理論の動向，オペレーションズ・リサーチ， 25 (1980), pp.40-48. 6) 笹井，境 : 多目的決定理論による広告予算配分モデルの作成，横浜経営研究， 3 (1982), pp.. 31-42. ( 横浜国立大学経営学部助教授. コ.

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