博 士 （ 理 学 ） 廣 瀬 大 輔
学 位 論文 題 名
OnF − thresholds andF − jumping coefficients （ F ― 閾 値 と F 一 跳 躍 数 に 関 し て ）
学 位 論 文 内 容 の要 旨
標 数0の 代 数 多 様 体 の 極 小 モ デ ル 問 題 を 考 え る と き に 扱 う 特 異 性 は ， 正 標 数 へ の 還 元 を 行 う こ と で ， 正 標 数 の 可 換 代 数 の （ よ り 詳 し く 書 く と フ ロ ベ ニ ウ ス 写 像 を 用 い て 定 義 さ れ る 密 着 閉 包 論 の ） 言葉 で （ 一 部 ） 表 現 す る こ と が 可 能 で あ る ， こ れ を 踏 ま え， 以 下 の 三 つ の 研 究ア プ ロ ー チ が 存 在す る ， 一 つ 目 は ， 一 部 し か 表 現 さ れ て い 顔 い 標 数0の 幾 何 学 的 対 象 と 正 標 数 の 可 換 代 数 の 対 象 と の 間 の 対 応 を よ り 強 固 に す る こ と ．fっ ま り ， 標 数0の 代 数 多 様 体 の 特 異 点 論 の 対 象 と 正 標 数 の 可 換 環 の 密 着 閉 包 論 と の 対 応 自 体 の 研 究 ． ） 二 つ 目 はI そ の 対 応 を 利 用 し て っ 標 数0の 特 異 点 論 の 対 象 （ 及 び 特 異 性 ） の 類 似 と 教 る よ う 教 ， 対 象 （ 及 び 特 異 性 ） を 密 着 閉 包 論 の 側 に 創 出 し て い く こ と ， （ っ ま り 標 数O側 か ら 正 標 数 側 へ の 応 用 ． ） 最 後 は ， そ の 対 応 を 逆 向 き に 利 用 し て ， 標 数Oの 特 異 点 論 の 性 質 を ー 旦 正 標 数 に 還 元 し ， 密 着 閉 包 論 の 議 論 を 用 い て 導 き 出 す こ と ． （ っ ま り 正 標 数 側 か ら 標 数0へ の 応 用 ． ）
本 論 文 で 扱 うF‑跳 躍 数 は ， 正 標 数 の 可 換 環 上 の イ デ ア ル に 関 し て 定 ま る 不 変 量 で ， そ の イ デ ア ル の 判 定 イ デ ア ル の 跳 躍 数 に 教 っ て い る ． 上 で 言 う と こ ろ の 第 一 ア プ ロ ー チ に 属 す 結 果 か ら ， 判 定 イ デ ア ル は 標 数0の 代 数 多 様 体 の 閉 部 分 多 様 体 に 関 し て 定 ま る 乗 数 イ デ ア ル を 正 標 数 に 還 元 し た も の と 一 致 す る ． こ の こ と か ら ，F・ 跳 躍 数 は 乗 数 イ デ ア ル の 跳 躍 数 の 正 標 数 類 似 と み 教 せ ， 第 二 ア プ ロ ー チ の 研 究 の 中 で 定 義 さ れ た ． F‑閥 値 も 正 標 数 の 可 換 環 上 の イ デ ア ル に 関 し て 定 ま る 不 変 量 で あ る ， 正 標 数 の 正 則 教 環 上 で は 任 意 の イ デ ア ル に 関 し てF一 閥 値とF− 跳躍 数 は 一 致 す る こと が 知 ら れ て い る． こ れ は ，F‐ 閥 値 が 非 正則 顔 環 上 で は ， （ 標数 0側 の 対 応 物 が 春 い と い う 点 で ） 幾 何 学 的 款 不 変 量 と 見 放 せ 謡 い こ と も 意 味 し て い る ， ま た 非 正 貝IJ環 上 では F‑闘 値 の 計 算 自 体 が 困 難 を も の に 額 っ て い る ．
本 論 文 で は ， 密 着 閉 包 論 と 特 異 点 論 に 関 連 す る 定 義 や 命 題 を 確 認 し た 後 ， 正 標 数 の ト ー リ ッ ク 環 上 の 単 項 式 イ デ ア ル に 関 す るFI閾 値 とF一 跳 躍 数 を 研 究 し た ， ま ず 本 論 文 で は ，Mustata‑高 木 ー 渡 辺 の 論 文 の 例 に 挙げ ら れ て い る 多 項 式 環 上 の 単 項 式 イ デ ア ル に 関 す るFl閾 値 の 組 合 せ 論 的 を 計 算 方 法 を 一 般 の ト ー リ ッ ク 環 上 の そ れ に 拡 張 し た ． そ の 計 算 方 法 を 用 い て ， 一 般 の ト ー リ ッ ク 環 上 の 単 項 式 イ デ ア ル に 関 し て 、F・ 閥 値 は 常 にF一 跳 躍 数 以 上 の 値 を 取 る こ と を 示 し た ． ま た ゴ ー レ ン シ ュ タ イ ン 特 異 点 を 持 つ ト ー リ ッ ク 環 教 ら ば 、FI闘 値 とF― 跳 躍 数 が 一 致 す る イ デ ア ル を 構 成 す る こ と が 可 能 で あ る こ と を 示 し た ． こ の よ う 誼 イ デ ア ル を,3次 元 以 上 のQ一 ゴ レ ン シ ュ タ イ ン 環 で 発 見 す る こ と に も 成 功 し た ． 逆 に 高 々Q一 ゴ ー レ ン シ ュ タ イ ン 特 異 点 を 持 つ 単 体 的 錐 で 定 義 さ れ た ト ー リ ッ ク 環 教 ち ぱ ， あ る 単 項 式 イ デ ア ル のF‑閥 値 とF− 跳 躍 数 の 一 致 を 見 る こ と で ， そ の 環 の 正 則 性 を 判 定 で き る こ と も 示 し た ． こ れ ら は 、F― 閥 値 と ぃ う 標 数Oの 対 応物 を も た 教 い 不 変 量を 利 用 し て そ の 環 の 幾 何 学 的 脅 特 異 性 （ 正 貝U性 ） を 調 べ る と ぃ う 意 味 で ， 第 三 ア プ ロ ー チ に 属 す 結 果 で あ る ． ま た ， 本 論 文 で はF‑閥 値 が 有 理 数 と 春 る こ と を 特 定 の ト ー リ ッ ク 環 上 で 示 し た ． 特 定 の ト ー リ ッ ク 環 上 で F‐ 跳 躍 数 が 有 理 数 と を る こ と の 別 証 明 も 与 え た ． 標 数0の 代 数 多 様 体 上 の 不 変 量 で あ る 乗 数 イ デ ア ル の 跳 躍 数 が 有 理 数 と 顔 る こ と は 定 義 か ら ほ ば 明 ら か で あ る の に 対 し て ， そ の 正 標 数 類 似 と 見 顔 さ れ るFI跳 躍 数 （ と Fl閾 値 ） が 有 理 数 に 謡 る こ と は 明 ら か で は 教 い ．F一 跳 躍 数 （ とF− 閾 値 ） の 有理 性 は ， 標 数Oと の 対 応 を裏 付 け る 第 一 ア プ ロ ー チ の 研 究 に 属 す る も の で あ る ．
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学位論文審査の要旨
学位論文題名
OnF ―thresholds andF ―jumping coefficients （ F ― 閾 値 と F ― 跳 躍 数 に 関 し て ）
著 者 は 標 勢 正 の 体 ヒ 定 義 さ れ 虎 toric多 様 体 と そ の 上 の イ デ ア ノL眉 に 関 す るF閾 値 お よ びF純 聞 値 に っ い て 研 究 し 、 二 つ の 量 の 関 係 に っ い て 興 味 深 い 絶 果 を 得 た 。 以 下 詳 細 を 述 べ る 。 標 数 正 の 体 ヒ 定 義 さ れ た 代 数多 様 体 旧 ： 特 導 も 愾角 翠 消 カ 靭 字 在 する か ど う カ 爿 轡 犀決 で あ る た め 、 特 に特 異 点 カ斗争 っも のに対 して の惱ミ 質i由 漂 数0の 体 ヒ 定 義 さ れ た 代 数 多 陳 体 に 比 べ て ま だ ま だ 未 知 で あ る 。 一 方 、 こ の 種 の 多 様 体 に は フ ロ ベ ニ ウ ス 写 像 と 呼 ば れ る 写 像 が あ り 、 こ れ を 用 い て そ の 陸 質 を 調 べ る こ と が 盛 ん に 行 わ 加 て い る 。 典 型 的 な 例 と し て 、 フ ロ ベ ニ ウ ス 写 像 が 平 坦 で あ れ ば 、 そ の 多 様 体 は 非 特 異 で あ る 、 と い うKunzの 定 理 が あ げ ら れ る 。 こ の 定 理 を 発 端 と し 、 非 特 異 性 の み な ら ず 、 特 異 性 を も フ ロ ベ ニ ウ ス 写 像 の 性 質 で 捉 え よ う と い う 試 み の ー つ にTight closuer理 論 が あ り 、 こ の 理 論 を 用 い る こ と で 、 楞 激0の 体 ヒ 定 議 さtた 代 数 多 様 体 に 対 す る い く っ か の 既 念 を 標 数 正 の も の の 上 に 拡 張 す る こ と が 出 来 る 。 そ の 拡 張 さ れ た 概 念 の 中 で 、 代 数 多 様 体 の 分 類 理 論 の 観 最 か ら 非 常 に 重 要 で あ る も の と し て 、F正 則 特 異 点 と F純 特 異 魚 の ニ っ が あ げ ら れ る 。 F正 則 特 異 点 お よ ぴF純 特,点 は 代 数 多 様 体 単 独 で は な く 、 代 数 多 様 体Xと そ の 上 の イ デ ア ル 層I、 お よ て 衄 ミ の 実 数tの 三 っ 組 に 対 し て 定 義 さ れ る 。 X、 I、 を 固 定 し 、 パ ラ メ ー タ ーtを 大 き く す る こ と で 、 三 っ 組 は 、 tが Oの と き か ら あ る 大 き さ ま で は F正 則 特 異 点 の ク ラ ス に 含 ま れ る が 、 そ れ 以 降 はF純 特 異 点 の ク ラ ス に 属 す る 、 と い う ふ う に 麥f匕 し て ゆ く 。 こ の 変 化 す る 閾 値 をF純 閾 値 と よ て 尺 こ の 値 旧 ＊ 鰍 の イ 句 琶 量 の ー っ で あ っ て 、 そ の 値 を 具 体 的 に 調 べ る こ と は 非 常 に 重 要 で あ る 。 具 体 的 な 三 っ 細 に 対 し て こ れ ら の 値 を 実 際 に 計 算 す る 場 合 、 定 義 か ら 直 接 導 く こ と は ― 般 に 困 難 で あ り 、Fedderの 定 理 と 呼 柑 ヨ ん る 言 し ヽ 換 え を 使 っ て 行 わ 加 る 。 こ の 定 理 を 拡 鮒 る 形 でF閥 値 と 呼 ば れ る 不 変 量 が や は り 代 数 多 様 体 、 イ デ ア ル 層 お よ び パ ラ メ ー タ ー の 三 つ 組 に 対 し て 定 義 さ れ/:‑oF閾 値 は 土 台 と な るXが 非 特 異 の 昜 合 に は 定 義 さ れ た 当 初 か ら 盛 ん に 研 究 さ れ 、 特 筆 す ぺ き 性 質 と し て 、F純 聞f直 とF閾 値 は 等 し い と い う こ と が 示 さ れ 、F聞 値 を 通 し て 、F純 闘 値 ： の 陸 質 が 色 々 と わ か っ た 。 し か し な が ら 、 土 台 と な る 代 数 多 様 体 が 特 異 魚 を 持 つ 場 合 はF 閾 値 とF純 閾 値 の 関 係 は ほ と ん ど 調 ぺ ら れ て い な か っ た 。 申 請 者 は こ の 状 況 下 で 、 土 台 と な る 代 澎 驂 粥 ミ 本 を 二 項 か ら な る 代 数 方 程 式 で 定 義 さ れ る 代 数 多 様 体 で あ るtoric多 様1陝 そ の 上 の イ デ ア ル 層 と し て 単 項 式 で 生 成 さ れ る も の を 選 び 、F閾 値 とF純 閾 値 に っ い て 研 究 を 行 っ た 。 そ の 結 果 と し て こ れ ら の 三 っ 細 に 対 するF聞 値の 具 体 的 な 公 式 を求 め 、 以 下 の 成 果 を得1
1．F聞 値 に よる 非 特 異 なtoric多 様 体 の 繃 蜘 け 晩
2． toric多 陳 本 を 定 義 す る 錐が 単 体 的 で あ る 場合 、F閥値 は 有 理 数
3．Gorenstein特 異 氣を 持 つ 環 の 標 準 イデ ア 川 こ 対 す るF閾 値 とF純 閾 値 の等( &o
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介
郁
明
大
宏
下
村
尾
松
中
寺
授
授
授
教
准
教
教
査
査
査
主
副
副
4 ． Q‑Gorenstcm 】特異点を持て甥歌 鰆奇異な性質を持めものの 構成
これら四っ の成果はTightcosure 理論と楞驥虹E ！の代謝啄鉢i を体の分勢殲の今後の発展に多いに寄与するもの と 考 え ら れ る 。 よ っ て 著 者 ｜ 翻 ば 鑓 大 制 専 士 鯉 鞘 の 学 位 を 授 与 さ れ る 資 洛 が あ る も の と 認 め る 。
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