科学研究費助成事業　　研究成果報告書

科学研究費助成事業  研究成果報告書

様 式 Ｃ−１９、Ｆ−１９、Ｚ−１９ （共通）

機関番号：

研究種目：

課題番号：

研究課題名（和文）

研究代表者

研究課題名（英文）

交付決定額（研究期間全体）：（直接経費）

１２１０１ 若手研究(B)

2015

〜 2013

解析関数への乗法演算と合成演算の位相構造の研究

Study on topological structure of multiplication and composition of analytic  functions

９０５５３５７９ 研究者番号：

細川 卓也（Hosokawa, Takuya）

茨城大学・工学部・准教授 研究期間：

２５８０００５５

平成 ２８ 年   ６ 月   １ 日現在

円      2,400,000

研究成果の概要（和文）：(1) ２つの合成作用素の差のHilbert‑Schmidt性をHardy空間やBergman空間を含むHilbert空 間の上の場合に、シンボル関数の積分条件で特徴付けた。

(2) Hardy空間上の合成作用素の作用素方程式を解いた。

(3) シンボルが２つの正則自己写像で表されるような合成作用素のBergman空間上のコンパクト性を、シンボル関数の 境界挙動で特徴付けた。

研究成果の概要（英文）：(1) We characterized the Hilbert‑Schmidt properties of the differences of two  composition operators between some Hilbert spaces of analytic functions by the conditions on the  integrals of their symbol functions.

(2) We solved a certain operator equation of composition operators on Hardy space.

(3) We characterized the compactness of composition operators induced by the product of two analytic  self‑maps on Bergman space by the boundary behavior of those analytic self‑maps.

研究分野： 数学

キーワード： 合成作用素 加重合成作用素 解析関数空間 函数解析学 複素解析学

  ２版

様  式  Ｃ−１９、Ｆ−１９、Ｚ−１９（共通） 

１．研究開始当初の背景 

解析関数に対して考えられる作用で基本的 かつ普遍的なものに積(multiplication)と合 成(composition) があるが、これらの作用が 関数環の構造に深く関わっていることが判る。 

また、函数論の結果のいくつかは合成作用 素の関数解析的な性質の特徴付けとして解釈 される。例えば、J. E. Littlewood の subordination theorem や合成作用素の有界 性の特徴付けとして、また、Koenigs による  Schroeder 方程式の解の構成は、合成作用素 の固有関数の構成として解釈される。このよ うな函数論と関数解析学のインターフェイス としての視点は、解析関数空間上の作用素の 研究では本質的であり、作用素の関数解析的 な性質を関数論的な性質で特徴付けることは

̀Complex Analysis' の主要な目的の一つで ある。 

一般に、解析関数空間X 上の合成作用素の 集合 C(X) は線形空間にはならない。この事 実を受けて、C(X) の作用素ノルムについての 位相構造が、1990年代に Shapiro‑Sundberg  を始めとして、H² や Bergman 空間上の場合 に盛んに研究された。Shapiro‑Sundberg によ る、2 つの合成作用素 C̲φ と C̲ψ が  C(H²) の同じ連結成分に属することと、2 つ の合成作用素の差 C̲φ – C̲ψ が H² 上のコ ンパクト作用素であることが同値であるとの 予想が提示されている。結果としては、この 予想には反例が見つかっているが、C̲φ – C̲

ψ の関数解析的な性質を調べるというテー マは、それ自身が興味深い研究対象として、

多くの研究者によって研究されている。 

C(H²) の位相構造は未だに完全に解明されて いないが、2001年の MacCluer‑Ohno‑Zhao の 論文と2002年の Hosokawa‑Izuchi‑Zheng の 論文で、有界正則関数の空間 H^∞ 上の場合の 合成作用素の空間 C(H^∞) の連結成分と孤立 点、及び C̲φ – C̲ψの H^∞ 上のコンパクト 性が、φ とψ の擬双曲距離(から誘導される

距離)で完全に特徴付けられている。これらの 結果は、C(H^∞) の位相構造がBloch 空間 B に 関係することを示唆しており、研究代表者は、

大野修一氏との共同研究で、 B 上のC̲φ –  C̲ψ のコンパクト性を、φ と ψ の双曲微 分や擬双曲距離に関する条件で特徴付けた。

他にも研究代表者は、C̲φ – C̲ψ の一般化 として、 H^∞ や B 上において、荷重付き合成 作用素の差 uC̲φ – vC̲ψ の有界性とコン パクト性を特徴付けている。 

２．研究の目的 

  本研究課題における目的は、解析関数空間  上の合成作用素および荷重合成作用素の線 形結合で表わされる作用素の関数解析的な 性質を、シンボル関数の函数論的な性質によ る条件で特徴付けることである。 

  具体的には、線形結合の特別な場合である 差 C̲φ – C̲ψ や uC̲φ – vC̲ψ の性質を 調べることを始めとして、合成作用素の集合 の位相構造を解明することを主目的とする。 

３．研究の方法 

  基本となる研究体制としては、研究代表者 が国内外の研究協力者と、e‑mail での情報交 換や、研究打ち合わせの出張による討議や検 討を重ねていくことにより進めていく。 

以下では研究課題ごとに、研究方法を述べ る。 

（１） Bloch 空間上の合成作用素の位相  構造については、研究協力者である日本工業 大学の大野修一氏やフィンランド、ヘルシン キ大学の P. Nieminen 氏と共に、シンボル 関数の積分表現に表れる Aleksandrov‑Clark 測度を用いて、コンパクトな合成作用素と非 コンパクトな合成作用素を結ぶ連続なパス を構成することを試みる。 

（２） 荷重合成作用素の研究としては、こ  れまでに大野修一氏との共同研究において、

Bloch 空間 B から H^∞ への場合で、uC̲φ –  vC̲ψの有界性とコンパクト性を特徴付けて いる。その際、興味深い具体例を数多く構成 しており、B と H^∞ の違いが浮き彫りになっ た。引き続き、 B 上の荷重付き合成作用素 の位相構造について考え、連結成分を特徴付 けたい。 

また、別の方向の一般化として、有限個の 荷重合成作用素の線形結合の B 上での有界 性とコンパクト性も課題として考えられる。 

初めは、荷重函数が有界の場合から考察した い。 

（３） 合成作用素の固有値問題は、古くか  ら Schroeder 方程式として知られている。研 究代表者はこれまでに、ヴェトナム、ハノイ 教育大学の Quang Dieu Nguyen 氏との共同 研究では、荷重合成作用素の固有値問題であ る weighted Schroeder 方程式の解を構成し、

それが Bloch 空間に属するための十分条件 を与えている。同様の固有関数の構成法を用 いて、Bergman 空間や Hardy 空間上における 荷重合成作用素の固有値問題を解くことを 試みる。 

４．研究成果 

（１）Dirichlet 空間から Hardy 空間への 合成作用素の Hilbert‑Schmidt 性 は、その シンボル関数を用いた対数関数の円周上の 可積分性として特徴づけられているが、これ は、シンボル関数が H^∞ の単位閉球の端点で あるという幾何学的条件と同値であること が知られている。この結果の一般化として、

2 つの合成作用素の差の Hilbert‑Schmidt 性 が、2 つのシンボルの各点での値の pseudo  hyperbolic distance に関する対数関数の円 周上での可積分性で特徴づけられることを 示した。さらに、新潟大学の泉池敬司名誉教 授と日本工業大学の大野修一准教 授との共 同研究で、Hardy 空間、Bergman 空間、

Dirichlet 空間を含む Hilbert 空間の間の合 成作用素の差の Hilbert‑ Schmidt 性の場合 にまで一般化し、その特徴付けを与えること ができた。この結果は論文としてまとめ、専 門誌に投稿、出版済みである。 

（２）島根大学の瀬戸道生准教授と、

Hilbert‑Hardy 空間上の合成作用素に関する 基本 的な作用素方程式として、 C̲φ = C̲ψ  X についての共同研究を行った。X の有界性 を仮定した場合は、X が合成作用素になるこ とは自明であるが、X が有界とは限らない場 合まで含めてこの作用素方程 式を考察し、

有界な解 X が存在することを、2 つのシンボ ル φ と ψ に付随する Pick 行列の正値性に よって特徴付けた。また、この Pick 行列が 2 つの de Branges‑Rovnyak 空間の再生核の比 であることに着目し、解 X の存在性を再生核 Hilbert 空間上の Toeplitz 作用素の有界性で 記述した。この結果は論文としてまとめ、専 門誌に投稿、出版済みである。 

（３）シンボル関数の間の積構造が、合成作 用素の性質にどのように対応するのか、とい う問題は、自然な設定であるにも関わらず、

過去に行われていなかった。研究代表者は大 野修一氏との共同研究の中で、C̲φ と C̲ψ  の性質がどの様に C̲(φ・ψ) に反映される のかを調べ、C̲(φ・ψ) の Bergman 空間上 のコンパクト性を φ と ψ の条件で特徴付 けた。現在は、 Hardy 空間と Bloch 空間の 場合を研究中であり、２編の論文を準備中で ある。また、いくつかの研究集会等で、得ら れた結果を発表した。 

５．主な発表論文等 

（研究代表者、研究分担者及び連携研究者に は下線） 

〔雑誌論文〕（計  2  件） 

1. Takuya Hosokawa, Kei Ji Izuchi,  Shuichi Ohno, Weighted composition  operators between Hilbert spaces of  analytic functions in the operator  norm and Hilbert‑Schmidt norm 

topologies, J. Math. Anal. Appl. 421  (2015), no. 2, 1546‑‑1558.（査読有） 

2. Takuya Hosokawa, Michio Seto, Some  remarks on operator equation C̲φ = C̲

ψ X, Nihonkai Math. J. 25 (2014), no. 

2, 85‑‑91. （査読有） 

〔学会発表〕（計  5  件） 

1. 細川卓也, 単位円板上の正則自己写像の 積と合成作用素の性質について, つくば セミナー, 2016 年 3 月 7 日, 筑波大学  2. 細川卓也, Composition operators with 

product symbols, 2015年度 関数環研究 集会, 2015年12月19日, 新潟大学駅南キ ャンパス「ときめいと」 

3. 細川卓也, Weighted composition  operators between Hilbert spaces of  analytic functions in Hilbert‑Schmidt  norm topologies, 日本数学会 2015年度 秋季総合分科会, 2015年9月15日, 京都産 業大学 

4. 細川卓也, Linear combinations of  composition operators on H∞ and the  Bloch space, 2013年 作用素論・作用素 環論研究集会, 2013年11月24日, お茶の 水女子大学 (招待講演) 

5. 細川卓也, Differences of weighted  composition operators from H∞ to the  Bloch space, 2013日本数学会秋季総合分 科会, 2013年9月25日, 愛媛大学城北キャ ンパス 

〔図書〕（計  0  件） 

〔産業財産権〕 

○出願状況（計  0  件） 

  名称： 

発明者： 

権利者： 

種類： 

番号： 

出願年月日： 

国内外の別：  

○取得状況（計  0  件） 

  名称： 

発明者： 

権利者： 

種類： 

番号： 

取得年月日： 

国内外の別：  

〔その他〕 

ホームページ等   

６．研究組織  (1)研究代表者 

  細川 卓也 （Hosokawa, Takuya） 

  茨城大学・工学部・准教授    研究者番号：90553579   

(2)研究分担者 

      （      ）   

  研究者番号：  

(3)連携研究者 

（      ）   

  研究者番号：