ε を満たす最小のN まで計算すればよい

● 前回の講義のまとめ

• 数列 an = (1 + 1/n)ⁿ に対して, e = lim_n→∞an の値を求めるために, 十分大きな n に対して

(1 + 1/n)ⁿ を浮動小数点計算を用いて計算しようと考ると,最終的に以下の結果を得た.

(1 + 1/n)ⁿ−e∼e

1

2n⁻¹+ 2nδ

+O(n⁻²) +O(δ²).

したがって,期待できる計算精度は,n∼(1/√

δ)のとき,

|(1 + 1/n)ⁿ−e| ≤e√ δ≤3√

δ 程度となる.

• 自然対数の底 eの近似値を求める通常の方法は,e^xのテイラー展開 e^x=

k=0

x^k k! を用いる方法である.

– これを用いると,

e=

k=0

1 k! となるが,N 次の項までで計算を打ち切ったとき,

e−^N

k=0

1

k! =

k=N+1

1 k! ≤ 1

N!

が成り立つ. したがって,eの近似値を誤差εで求めるためには, 1

N! < ε を満たす最小のN まで計算すればよい.

– このとき,この計算に要する演算回数は高々O(N)回であるため,丸め誤差はCNδ程度となる.

従って, 求めた値は

e−

N

k=0

1

k! < ε+CNδ をみたす.

– テイラー展開を計算する際には, 高次の項から計算する必要がある. 低次の項から計算すると,

「10⁰のオーダの数」と「10^−k のように低いオーダの数」との加算を行なうこととなり,「積み

● 講義資料

【多角形近似による π の計算】

半径1 の円に内接する正n角形の周長を{_n},外接する正n角形の周長を{L_n}とすると,それら の間には次の関係式が成り立つ.

2n= 2n

1−

1−(_n/n)²

2 , (1)

L2n=2n² L_n

−1 +

1 + (Ln/n)²

(2) 特に,

L_2n = 2nLn

_n+L_n (3)

が成り立つ.

1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10 Inner

Outer (0) Outer (1)

• “inner” : (1)による計算

• “outer(0)” : (2)による計算

• “outer(1)” : (3)による計算

【改良した多角形近似による πの計算】

{n},{Ln}の間には次の関係式が成り立つ.

2n=

√2n

1 +

1−(n/n)²

(4)

1e-16 1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10 Inner

Outer

【更なる改良】

q_2n=p_n+q_n

2 , p_2n=√p_nq_2n, p_n= 1/_n, q_n= 1/L_n. (5)

1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

Inner Outer

【arctan(x), log(1 +x) のテイラー級数による計算】

arctan(x) =

∞

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+ 1, |x|<1, log(1 +x) =^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n , |x|<1

arctan(x)

1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

1 10 100 1000 10000 100000

x=0.90 x=0.95 x=0.990 x=0.995 x=0.9990 x=1.0000

log(1 +x)

1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

1 10 100 1000 10000 100000

x=0.90 x=0.95 x=0.990 x=0.995 x=0.9990 x=1.0000

● 実習内容

1. 上記の多角形近似による πの値の近似計算

• (1), (2) を使う.

• (1), (3) を使う.

• (4), (2) を使う.

• (5)を使う.

の４種類をプログラムし, πの値と計算値との誤差のグラフを書きなさい.

2. arctan(x)のテイラー級数の収束の様子の図を書きなさい.