3 次元異材接合体の特異応力場に対する側面角度の影響

(1)

3 次元異材接合体の特異応力場に対する側面角度の影響

Influence of Side Surface Angle in 3D Bonded Structures on Stress Singularity Field

　　○　齊藤　裕一　（長岡技大院）　　　　　　正　古口　日出男　（長岡技大）　　

Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata Yuichi SAITO, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata

1

. 緒　　　　　　論

　特性の異なる材料が接合された構造物の接合界面端には応力特異場が発生する．接合体の強度は，特異応力場に密接に関係しているため，今までにも多くの研究が行われてきた．ところで，二次元接合体の場合，接合体界面端部の形状により特異性のオーダが変化することが知られている．当研究者の一人は，これまでに三次元異材接合体界面端角部における特異応力場の解析を行ってきた．角部を有する三次元接合体の場合，界面角部を囲む４つの側面の内，１面の界面に対する角度を変更すると，特異性のオーダが異なる応力特異線が角部で交わることになる．そのような場合の角部の特異応力場の強さを求めることは行われていない．

　本研究では，側面の角度を変えた接合体の界面端角部の応力を境界要素法により求め，端部の角度が特異応力場に及ぼす影響について明らかにする．

2.

三次元異材接合体における解析

2.1

　固有値解析　　特異応力場の特異性のオーダ

λ

は次式の有限要素法による固有値解析により求められる．ここで，固有値

p

は特異性のオーダ

λ

と

λ =1-p

の関係がある．この固有値

p

は次式の固有方程式を解くことにより求めることができる．

( [ ] [ ] [ ]){ } p

²

A + p B + C u = 0 (1)

なお，

[A]

，

[B]

および

[C]

は弾性定数からなる行列，

{u}

は変位ベクトルである．

2.2

　三次元境界要素法　　三次元異材接合体内における任意の点の変位は，次の境界積分方程式で求めることができる．

u p

i

( ) = ∫∫

S

U p Q t Q T p Q u Q ds Q

ij

( , ) ( )

j

−

ij

( , ) ( ) ( )

j

(2)

ここで，

p

は内点，

Q

は境界上の点，

U

ijは変位の基本解，

T

ijは作用力ベクトルである．内点の応力は，内点のひ

Key words : Three-Dimensional joints, Interface strength, Stress singularity

Fig.1 Model for analysis

ずみを次式で求め，フックの法則に代入して求める．

u p

i j,

( ) = ∫

_S

U

ik j,

( , ) ( ) p Q t Q T p Q u Q

j

−

ik j,

( , ) ( )

k

dds Q ( ) ⁽³⁾

　本研究の解析モデルを図

1

に示す．モデルの大きさは

20mm×20mm×10mm

である．材料１の側面の角度を界面に対して

75°

としたモデルについて解析した．また，

形状の対称性を考慮して，全体の

4

分の

1

を解析対象とした．接合体の材料として，材料

1

をシリコン，材料

2

をレジンを用いた場合と材料

2

のヤング率を 0.002 〜 250 まで変えた場合を解析した．

3.

解析結果と考察

　特異応力場の応力分布は前述した境界積分方程式を用いて求めた．得られた応力分布を図

2

に示す．図

2(a)

，

2(c)

に特異点からの距離

r (=r /L)(L=10mm)

に対する

σ

θθおよび

σ

rθの応力分布を示す．図

2(b)

，

2(d)

は

x

軸方向の特異応力線とのなす角

f

に対する

σ

θθおよび

σ

rθの応力分布である．

　三次元異材接合体の特異応力場の応力分布は次式で表される．

　　

σ

ij

r θ φ K f

ij ij

θ φ r

^λ

K f

ij ij

θ φ

K

( , , ) = ( ) , ⁺ ( ) , +

1 1 − 2 2

33 3 4 4

2

ij

f

ij

( ) θ φ , ln r K f ⁺

ij ij

( )( θ φ , ln r ) (4)

ここで，

r

は特異点からの距離，

K

_ijは特異性の強さ，

λ

は角部の特異性のオーダ（ここでは，

λ =0.285）

，

L

は図

1

に示した箇所の長さである．

　図

2(a)

，

2(c)

の各

σ

ijの応力分布を式

₍₄₎

で近似し，

最小二乗法により各項の係数

K

1ijを求めた．その結果を表

2

に示す．なお，表には

σ

θθ

,σ

rθ

,σ

fθの応力成分に対する結果を示してある．表より

K

ijは角度を付けた側面

f

=0°

付近の値よりも

f =90°

付近の値の方が大きい値となっていることがわかる．側面に角度を持たせた側では角度をつけない側面よりも特異性が弱くなっているということがわかる．

　応力の角度依存関数

f

ij

( f

) は次式により表される．

₍₅₎

f

1θθ

L

1θθ ^sideA

L

2 ^sideB

λ θθ

φ φ φ

λ

( ) ⁼ ( sin )

⁻

⁺ ( cos )

⁻

++

= ( )

⁻

⁺

L

f

r

L

r ^sideA

L

r

2

1 1 2

θθ

θ θ

λ

φ φ φ

θ

( ) sin cos cosφφ φ

φ φ

λ

θ λ

θ

( )

+ ( ) ⁺

−

sideB sideA

L

r

L

r

sin

sin cos

3 1

4

(( ) ⁺ ⁺

=

1−

5 6

1 1

λ

θ θ

φθ φθ

φ φ

φ

sideB

L L

f L

r

sin

r

cos

( ) sinn φ

^λ

cos φ

φθ

cos φ sin φ

λ

φθ

( ) ⁻ ( )

+

−_sideA −_sideB

L L

2 3

ccos φ − L

4φθ

sin φ

最小二乗法により角度

f

に対する応力分布を式

₍₅₎

により近似し，各式の_L_1ijを得ることができる．この式で

λ

sideAは , 側面の角度を付けない側の応力特異線の特異

性のオーダで 0.299，

λ

sideBは角度を付けた側の特異線の特異性のオーダで 0.318 である．

－448－

1207

〔No.09-21〕日本機械学会第22回計算力学講演会CD-ROM論文集〔2009-10.10〜12・金沢市〕

(2)

K_1θθ

MPa

K_1rθ

MPa

K_1φθ

MPa

10° 0.6664 0.1748 0.21091

20° 0.5645 0.1978 0.13605

30° 0.5347 0.2033 0.07717

40° 0.5267 0.2187 0.02369

50° 0.5233 0.2153 -0.02848

60° 0.5482 0.205 -0.0811

70° 0.6001 0.1989 -0.1435

80° 0.6772 0.1756 -0.23

Table2 The intensity of stress singularity

,Kij

for several angles

f

(a) Distribution of stress σ

θθ

against r/L

(b) Distribution of stress σ

θθ

against angle f

(c) Distribution of stress σ

rθ

against r/L

(

d) Distribution of stress

σ

rθ

against angle f Fig.2 Distributions of stress

Fig.3 Variation of intensity of stress singularity for E

2/E1

　三次元の特異性の強さ_K_1ij^3Dは_K_1ijと_L_1ijの積によって求められる．このように得られた_K_1ij^3Dをヤング率の比 E2/E1に対して図

₃

に示す．この図は材料

₂

のヤング率_E₂ を種々に変えて求めたものである．固有値解析から得られた特異性のオーダを見ると_E₂_/E₁=1 付近では特異性は消失している．特異性のある材料の組み合わせにおいて，_K_1ij^3Dの値はほぼ一定である．このことから特異性の強さは材料の選択によらないということがわかった．

4. 結　　言

　三次元異材接合体に対して固有値解析および境界要素法を用いて応力解析を行った．応力

σ

θθは側面に近づくにともない大きくなる．側面と界面のなす角を鋭角にすると，特異性のオーダが小さくなるとともに応力

も低下する．また，特異性の強さは材料の選択によらないことがわかった．

文　　　　献

[1] H.Koguchi," Stress singularity analysis in three- dimensional bonded strures", Int. J. Solids Struc. Vol.

34, 1997, pp.461-480.

[ 2 ] H . K o g u c h i , T. M u r a m o t o , T h e o r d e r o f s t r e s s s i n g u l a r i t y n e a r t h e v e r t e x i n t h r e e - d i m e n s i o n a l joints,Int. J. Solid Structures Vol.37,2000,pp.4734-4762 [3] H.Koguchi,Intensity of stress singularity fields at a vertex in three-dimentsional bonded joints with a interlayer,Trans JSME,Vol.72,no.724-A,pp.2058-2065.

3 4 5 6 7 8

109 2 3

Stress σθθ MPa

4 6 8

0.001 ² ⁴ ^{6 8}0.01 ² ⁴ ^{6 8}0.1 ² r/L

Model: Slant side surface 75º θ = 90°, r = 0.0004~02

: 10º : 20º

: 30º : 40º

: 45º : 50º

: 60º : 70º

: 80º : fit line

35 30 25 20 15 10 5 Stress σθθ MPa

80 60 40 20

Angle φ, deg Model: Slant side surface 75º θ = 90°, φ = 2.5°∼87.5°

: r = 0.0004 : r = 0.001

: r = 0.01 : r = 0.1

8

19 2 3 4 5 6 7 8 9

Stress σrθ MPa

4 6 8

0.001 ² ⁴ ^{6 8}0.01 ² ⁴ ^{6 8}0.1 ² r/L

Model: Slant side surface 75º θ = 90° r = 0.0004~02

:10º :20º

:30º :40º

:45º :50º

:60º :70º

:80º : fit line

8

6

4

2 Stress σrθ MPa

80 60

40 20

Angle φ, deg Model: Slant side surface 75º θ = 90°, φ = 2.5°∼87.5°

: r = 0.0004 : r = 0.001

: r = 0.01 : r = 0.1

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2

Kij3D

MPa

0.001 0.01 0.1 1 10 100 E2/E1

Slant side surface75º : Kθθ

: K_rθ

: Kφθ

3 次元異材接合体の特異応力場に対する側面角度の影響