2. 定値制御系の外乱に対する特性設計

定値制御系 の外乱に対す る特性設計

中 村 喜 太 郎*

Synthesis of Automatic Regulating System  for Disturbance

Kitaro Nakamura

1. 緒 言

一般に迫値制御系では, 目標値 (入力)の変化に対する制御量 (出力)の応答特性が制御の良 否を決めるのであ り,外乱に対す る制御量の変動特性は目標値に対するほど考慮 しな くて もよい とされている｡これに対 し定値制御系では目標値は常に一定であるので,制御特性の長香は外乱 に対する出力の応答特性で決まると考えてよい. したが って定値制御系では,サーボ機構のよう に目標値の変化に対する出力の行 き過 ぎ畳や行き過ぎ時間だけで設計を行な って も不十分であっ て,外乱を入力とした ときの過渡最大誤差,減衰の速 さ,定常誤差等に着 日して特性設計を行な わなければならない｡一般に行き過ぎ量が規定値以下に設計されていても,過渡量大 誤 差 は 行

(1)

き過 ぎ量 よりも相当に大きくなる場合が多い｡この過渡最大誤差は閉/レープ伝達関数 の 代 表 根

( Domi nantpol e )

本文では,他励直流電動概の自動速度制御系において,域枕的負荷 (外乱)が加わ った ときの 回転数 (出力)の応答について,系の代表根をある程度指定 しつつ.特に外乱の時定数の大きさ が過渡量大誤差 と減衰の速さに及ぼす影響を考慮 し,

Evans

2 .

電機子供給電圧

V( t )

n( t )

◆̀

i Z

7 2

1

圧 〔Ⅴ〕

n

^{〔 r pm〕}

Tl(i) :横桟的負荷 トルク (外乱)

〔 N･m〕

Ra

〔 E 2 〕 エα

F

J k m T

(

S

電機子巻線のインダクタンス

〔 H〕

機械損による線形坪数 〔N

･ m/ r p m〕

回密子の仮性能率

PZO / ( 6 0 a ) ‑Co ns t 〔 Ⅴ/ r pm〕

駆動 トルク

〔 N

q+ ) I ( L I

つ ぎに,ブロック線図を外乱 トル クが出力端に加わ った形に等価変換 し,電動機の 伝 達 関 数 (2)

Gm(ら)と外乱の伝達関数 D(S)を求めてみ る｡回路要素は線形で重ね合わせの理が成 り立つの で,図

1

‑ R l a ‑ …ka ･ ÷… k F

^{意 … T}

^{‑ i‑ … T , " .}

とおけば

6 0 2 ･ k 恥･ k a ･ k F で秤 ( 1 Ts Te ‑ ) ‑ ( f T T

G

‑( S )‑ ‑

‑ ‑ 一 丁禰 2 7打2 Tk Tk

･ ･ ･ ‑

1

て 豆 秤 ‑ ( l Ts IJ( 1

+ T T Ti J

ここで,

1 +6 0 苧 ･ k 桝2 ･ ka ･ k F / ( 2 7 t ) 2…k

T' ガ ▲ >･ T

6 0 2

k 仇･ k a ･ k F

m･ k a ･

^{(2 7 t )2}

〜

方) 2 ･ k

1+

^{言 霊 ' " 吐}

また

,6 0 2 ･ k m･ k a ･ k F / ( 2 7 r ) 2 k…K

T' W . / k…T

Gm( S ) 二

1+s T

のよ うに簡単な形 とな り

, 1

同様に して,

D′ ( S )

6 0 k F

豆 武1 +‑ 3

H̲

6 0 2 ･ k2

n ･ k a ･ k

l

行 蒜

i 前 T

i 手盲 符

〜

｣享 些ダ / B ik ̲

1+

s Tm' / k

‑‑‑(2)

ここで

,T

7･ N o

㌔

すれば,最藤伍定理か ら

･ i ^{m 占 D, ( S ) ･ 与 ‑ ‑ 6 2 % ･T} E = 州 o

S ‑ ナ ^{0 ( 5 )}

定借制御系 の外乱 に対す る特性設計

ただ

L/7 7:

,N

D( S )

(

7宇言 町

‑

1

とな り,図

1

2

1 1 +s T

甲 ･ S N ｡

ゆえに, (4)式 と

( 5)

‑･･‑‑‑･‑‑‑‑‑‑

･ ･ ￠) 7 3

I . ′

図

2

3 .

直流電動校の自動速度調整を行な うには種 々の方式が考えられるが,ここでは電機子電圧制御 方式を採用すると,その信号伝達経路を示すブロック線図は図

3

図

3 ブ p

図

3

G( S)

W ( ら )を求めると,

D( s )

‑

‑ 丁両 ‑

1+s T

1 / R I

G( S )

了手諺 言

iTs 訂

了耳s I L 7/ 町 ･K gN ･ 一 議 賢 一･K E

ただ し,

つぎに,制御系各要素の伝達関数を定める｡

<3･1>

定格電圧 :

2 2 0〔 Ⅴ

1 5 0 0〔 r pm〕

出力 : 2. 2〔 KW

R a: 2 〔 E 2〕

無負荷電流

i m. : 2〔 A〕 .

A ‑ =

^{二川 1 56 7}

^{y/ r pm}

% ･ hF ‑

‑ 6 ｡荒 . X l 1 4 5 6 0 7 0 x2 '‑ 5 3 6

7 4

1号

k等 1 ナ6 0 2 を 桝 2 k ｡ k F / ( 2 7 t )2 三 5 3 4

K m ≡ 6 02 k m k a k F / ( 2 7 { )2 k二 三6 . 7 2

を得 る｡ また,電動機の減速試験 の結果,

T

‑I / F = 1 0‑1 2 ノ 〔 scc

T' " Jk二 三0 . 2 〔 sec

C( S ) ̲ K m

一 両

T Tf T T ‑ 蕊

翁

一 再 守 ㌃ ‑市 長 1

を得 るO‑

<3･2 >

端 子 電

圧 :2 2 0 士4 0t V〕

: ‑3 t KW〕

主 励

磁 : ‑ Z 1 ^‑0. S〔 A〕, V g = ^{2 2} 0〔 V〕

制 御 励 磁 :

i 1‑0‑± 0 . S〔 A〕 , V‑o･ 〜 土 44 〔 γ

R 1‑1 6 . 7

2 〕 , L

G0 . 8 4l H. ]

以上 の定数を用いて

Ky ･ N ‑ % ^{‑ 88l V/ A]}

主

: 二 : コ

制 御

励 8 R v / m ^l

図

5

‡ 一 ^…

ーt

l

s ) ̲

マ市 r W L l l l /

濃 ^{〔 A/ V}

を得 る｡

<3･3 >

増幅器 の入力 イ

y

1

T a

0 . 0 3 〔 s e c

V l ( s

W

I

i

TT

1手打

〔 V/ V〕 ‑･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･

となる｡

<3･4 >

制御系 のゲインを大 き くして も,制御系が安定に動作 し,かつ定常誤差を小 さ くするには,補 償要素 をそ う入 して一巡伝達関数の形を変 えなければな らない｡一般 にルTプ伝達関数の極が互

(3)

いに接近 してい る場 合は,系 のゲインをあ ま り大 き くとることができない｡ ここでは直列補償 回 路を採用 し,かつ消去補償 を行な って原点 の近 くに一つの極を持つ よ うにす る｡そこで,図

6

よ うに補償回路定数を決めれば,その伝達関数は,

Vo ( s ) ̲ 1 +s Tc

‑ I . I ; , ( 許 ニ ー1 1 1 . 731 ･ i r T ‑ ‑ 1 1 だ0 : . I ‑ : ‑ S‑

定値制御系の外乱に対する特性設計 となる｡ ▲′

ただ し,

T

,CR2 ≡ 0 . 2 〔 s e c 〕 a . = ( Rl十R2 )/R

苧 2 0

R1 ‑3 8 0 〔 KS l 〕

7 5

区 Ⅰ 6

<3･5 >

電動機の回転数が

1 5 0 0 l fpm

1 5 0〔 V

E

15 0 〔 Ⅴ

KL r LNL

^{( ( i S}

‑ o･ 1〔

となる｡ただ し,回密計発電機の電機子回路定数は,これを無視する｡

4 .

自動制御系の特性設計には,一般にナイキス ト線図法(M軌跡法),ボー ド線図法等が もっぱら 用いられているが, これ等の方法は何れ も制御系の開ループ 伝達関数 G

( j

,

(4)

これに対 し

Evans

閑

ら,粧軌跡法は最 も合理的な設計法であると考えられ る｡ しか し,板軌跡を招 くにはかな りの時 間を必要 とする｡

図

7

直列補償後の系の一巡伝達関数 G(S)紘,図

7

く 2 0 )

7 6 長野工業高等専門学校紀要 ･第 1

A

G(S)ニー岩 倉 ･

I.

. T5 f

I. O h

5 T

･8 8

f

･o･ 1 K

(1+

4 S

･( 1 +0 . 0 3

)･( 1 +0 . 0 S s )

1 0 3 K

6 ( S +0 . 2 5 ) ( S +3 3

33 )(S+

ただ し

,K :

,Kヱ 3 . 5 4 8A

････

･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ‑･ ･ ･ 榊

図

8 板 軌 跡

( 2 0 )

‑ /K

1

G( S)‑ 0,

‑ 0 ‑ 9 3)

を満足する板軌跡を招いた ものが図

8

K = 2 2 5 . 7

<4･1 >

非制御時の速度変動率 ,7と制御時の速度変動率 770との関係は, つぎの

( 2 2 )

7

0 ^{= 1i} S ⇒ ^m 0

^{･ ̲}

^{. ･}

^{7 7}

定借制御系の外乱 に対す る特性設計 77 ここで

,7 7 ‑1 0

7 7 ･ N. ‑15 0 〔 rpm

, Vo ≦ 0. 2

8≦ 3 〔 r pm

,( 2 2)

K < 49

<4

･ 2 >

純

2

6 ‑

.

( 7)

W( S )

2

そ こで,図

8

‑0 二 35

湛 sl

S2 ,S

l s ll > ,ls2

( Re al )

, S2 ,S

y K = 6 0 ･ 2

< 3 〔 r pm

V了

･

n‑1 4 ･ 3

,2

イクルで ･(行き過 ぎ量が外乱の大きさの土

1

= 0. 8 7〔 se d

7 7 ･ ^{N o}

C( ^t

i ) ‑ l β･ i ウ 0 m 0

･

鈷 ･ ｢ 一 一 一 ‑

となるので,単位関数状外乱

1 ( t )

C( i

9

〜 となる｡

図

9

C .

A:過渡最大誤

M

:行 き過 ぎ量

￡

:定常誤差

t

d :減衰 時間

T

:振動 周期

5 .

ステ ップ状外乱 7

･ N｡ /

C( i

( 2 4)

C( i )‑i‑i w( S )･

可

c c

' , ･ ' w w w( S ) 誓 F xp( s t ) ds

‑

4 0〔 W(0)

D *l Rp･e xb( s pt

･ ･ ･ ( 2 i )

,Rp

W( S ) /

S ‑'0

7 8

T Y(

?)

t

I

I ( S ‑S & )

■ ‑

長野工業高等専P明と校紀要 ･第

1 号

(n< m)

pl [1

なる有理関数で,単極のみを有するとき,

･ R p =

m ( S‑

S⇒ Bp

として求 まる｡

( 24)

8

･ W ( i ) ‑〔 ( s l s l I f l C , ' ^{( S} ( ^{l l / s T , a ) ( ' gi} W 〕 ･ 〔 ‑ ( i !

7

^{･ ･ ･ ' ･ ･ ‑( 2 去 )I}

となるので,式の留数計男:か ら

.

C( i ) ‑ ‑ o l ‑ ^{1 /} ( ^{T ̲}

^{) /} 誓 S / T

･ 壬 警 is s f g f ‑ C ( ) s e t ) / ‑ i# / ' T三

･e

x p ( s ュ t )

誓 ; i( ( s

1

/ )

T( q s )

B l ‑ 1#5 a ･e sp( S 2 t )

+ ｣処 ･

i ･(

s去

堤 ISl )(

) ‑ s

左 吐 ‑s

2 1/ )( ‑ TI sま

+1

/ T 机) 1 1 / a ･ e

b ( S : i)

･RT ⁽ L ^s 3 ^l ‑ = ⁺ 1 ¹ l ^/ T ^T 聖 ふ ) ) L l ( / S ち 2 + = 1 / 1 T / T n , ) ‑ ) ( ( ‑ S 1 王 / I + 1 / r / T l れ i ) T E i 2 1 ･ e X b ⁽

‑ ‑ ‑ ･ ‑ ‑ ‑

ここで

,( 2 7 )

8

S 2≡ Wn Sj ぬ = un( ‑

√ F 戸 )

S 王 ‑ wn S ' jね = wn( ‑ 6‑

s l= ‑AI

s l + 1 / T C = ‑BIG s 2 + 1 / T c= B2 0 8 ] 92c

s左+1 / T

‑B2 0 81' 9 2 C I1 / TC ‑1T 約‑ ‑C , n c

s l+1 / T

‑D l

S2‑ S l ≡ A

61 9 2 1 sl十1 / T . 7 ‑ ‑Bュ a s2+1 / Ta = B2 a

9 2 a

s 五 十1 / Ta

B2 a

･

Q 2 a 1 / Ta

1 / T

‑C n . a

s 2 +1 / T

‑D 2 m ^{6 ]027 n}

S

一 s l ‑A 2 1 8･ 3 ' 921

sl+1 / T J ‑ ‑Bl / S 2+1 / T J= B2 1 8 3 ' ￠ 2 ′ S五十1 / T J ‑.B2 ′ 8‑ 5 92 1

1 / T

T1 ‑ / T か ｣ ‑.

m′一

S ! ･ +1 / T

8‑ ) ' 如

? ( i

･ 禦 〔1 / Tc i l

/ . T

a 2 '

l / T

慧 芸 濃 五 ･c x p( ‑Al l )

ナ上 ₂₁ ･ V1 ̲ ‑ j 62･ e･阜2 02 n･ A2 ㌦ B2 1 ･ D 1 2

･ Tm ‑ ‑ ･e ' x bt i (

.j VT巧

? i

定借制御系の外乱に対す る特性設計 7 9

･ i (

￠20+ ￠2a+ ￠2 J )

' ･( ￠2+￠2 1 +￠2 ‑ . ) L

一昔

･ ノ

^: 蕊

; 聖 ' .

. T

エ. i . W , 恥t

‑

i( 4, 如 + ￠2 a+OB ′ )+ ' '( ￠2+4 , 2 1 + ￠ 2 ㌣ ) ∫ ,

･篭 ^語 呂

^{･叫 ( ‑i nl ‑)} 〕 ‑

‑7

･ N ｡〔 C

‑C l ･e X b( A ^ll

+C 2 ･C X P( ‑ Ew

) ･ s i n

了 二五 ･w n t +4 , ) + C

X b( ‑i / T れ )

となるので,･叔軌跡か ら

C ｡= 1 / TC' A l

^w

J l / T/ ^{= 0 . 0 1 6 4 4}

^{‑ 5. 3 5} c l ‑ A

B JA 漂 鶴 = o ･ 0 1 8 1 2 wn ‑ 1 5 ･ 3

C 8‑‑ ∈ 完 無 意 L = 01 2 5 4 ､ ′丁=ア ･

n‑ 1 4. 3 4 ･‑ ( ￠2e+ 4, 20+ ￠2a) ‑ ( ￠2+4 ･ 2 1 十や2 れ)= ‑0 . 7 3 3 〔 r a d ]

を得 る｡ゆえに

0 0 . 1 0 . 2 . 0 . 3 0

4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9

1 . 0

1 . 2 1 . 3

L

【 sec)‑ ‑

区11 0

80 長野=業高等専P槻 要 ･第 1 号

C( i ) ‑ 7 ･ N ｡ 〔 0 . 0 1 6 4 4‑0 . 0 1 8 1 2 ･ex b ( ‑4 3 . 3

+

^{0 . 3 8 4 1} ･e x b( ‑5 . 3 5

･s i n ( 1 4. 3

0

7 3 3 )

+

o･ 2 5 4 ･ e xb ( ‑5t ) 〕

つ ぎに,外乱に対する速度変動を示す

( 2 9 )

･ N

1 0

m=8 8〔 %〕

で,定常誤差 8=

1. 6 4〔 %

=0 . 8 7〔 s e c

つ ぎに,過渡最大誤差

C

2 0〔 %

れ ‑0 . 4〔 s e c

C(

( 3 0 )

c( i ) ‑ 7 ･ N ｡ 〔 0

0

6 4 4‑0 . 0 0 85 ･ex P ( ‑4 3. 3 5

+

0 . 1 8 9 2 ･e x

‑5 . 3 5

) ･s i n ( 1 4 . 3 5 ト 0 . 9 0 6 )

+

^{o･ 1 3 8 4 ･es p( 12 . 5}

ただ し,

C

= 0 . 0 1 6 4 4 C ^l =0. 0 0 8 5 C ² = 0 . 1 8 9 2

C 3 = 0 . 1 3 8 4 4 ,I ‑0 . 9 0 6

( 3 0 )

1

C

= 1 9〔 %〕

t e = 0 . 1 3〔 s e c 〕

^{6 ニ} 1 . 6 4〔 %

i d

1 . 0 9〔 s e c

仇= 0 . 2〔 s e c

0

0. 2

3

0 . 5

0.7

8 0. 9 1 .

4

t

図 1 1

定借制御系の外乱に対する特性設計

8 1

6 .

言

定値制御系の外乱に対す る特性設計では,サーボ機構の ような迫伍制御系の特性設計に比べ, どのような点が異 なるかについて,‑設計例をあげて述べてみた｡特に,外乱の時定数

T ^m

C

t

K

e

参

考 文 献

( 1 ) 高井 :電学誌 7 8,1 0 5 0( 昭. 3 3 )

( 2 ) 岩城 ･斉藤 ･宅間 : OHM 47 , ( 昭. 35.8) ( 3 ) 加藤 : 自動制御諭 ( 昭. 3 5 )

￠) ∫. G. Tr u xa l:Aut oma t i cFe e dba c k Cont r olSys t em Synt l l eS i s ( 1 9 5 5 )

( 5 ) H. Che s t nut

R. Ma ye r :Se r vome c ha ni smsandRe gul at i ngSys t em Des i gn,γol .1 ( 1 9 5 9 )

( 7 ) 高橋 : 自動制御計罪法 ( 昭. 3 4 )

( 8 ) G , J . Mu r phy :Cont r olEngi ne e r i ng ( 1 9 5 5 )

■ ･

i /