線形制御系の特異制御と零制御
九州工業大学制御工学科米 沢 洋
九州工業大学電子工学科藤原俊一
Singular Control and Zero Control of Linear System with Quadratic Performance Index
By Yoo Yonezawa
Toshiiti Fujiwara
In this paper， it is discussed the existence of the singular solution of the optimal control problem defined by
X（の一ノ1（のx（の十B（のσ（オ） （σ（τ）is restricted）
ノー†∫1・x・ωQ㊥xω4τ
X（オプ）−0 （τ∫is free）
where X（のis theηstate vector of the plant，ノ1（のanη×％matrix function， B（のanη×γ matrix function，σ（のtheγcontrol vector of the plant， and Q（のis a positive sernidefinite
η×カmatrix function．
Furthermore， it is shown the existence of the special singular control for which the loss．
function is identically zero， which have been very little discussed．
Basing on the above results， it is also discussed the existence of・the zero control of．the linear system with the following performance index，
∫一∫ζ・（†x（のQ（の＋∫（σ（τ），の）4τ
where∫（σ（の，のis a nonnegative definite scalar function and∫（0， Z）≡0．
As an extension of Suga s result for the degenerate loss function which is identically zero for some initial conditions and the zero control， it is presented a sufficient condition for the loss functiorl in which contains the corltrol vector to become the degenerate one． Many examples are presented．
1．はしがき より一般的な形でその存在定理を報告している JohnsonとGibson（1）は，広範囲の最適制御問 が・そのいずれも対象とする系および損失関数を・
それぞれスカラー制御の線形定数系，定係数2次 題における特異解の求め方を論じたが，問題があ
まりにも＿般的すぎたためその存在定理を確立す 形式に限定している。
るまでに到らなかった。 本論文では・より一般的な線形制御系を対象と 一方， より具体的な問題に対して，Letovと し損失関数が2次形式から成る最適制御問題の特 Chang（2）が考察した最適制御問題においてその 異制御の存在について論じ，従来みすごされてい 特異制御の存在を最初にWoDhamとJohnson（3） た重要な特異制御の存在を明らかにする。・
が指摘し，その後，Webber（4），Hsia（5），須賀（6）が 最後に，特異制御存在定理の応用として零制御
の存在を論じ，これの特殊な場合であるKalman 〔例1〕 次式で表わされるプラントを考えよ の零制御についての須賀㈹の結果をより一般的 う。
な形に拡張する。 κα）＝・4（f）κ（の＋B（の％（の （7）
ここで，A（の，．B（のは，それぞれη×％，κ×γ 2 特異制御存在定理 行列関数。とくにB（のはγ個のη次元ベクトル 関数b乞（の＠−1，2，……，プ）から成りB（の
〔㌻罐塁㌫プラントを考える．；二㌫㌶蕊跳大
畑＝4（x，オ）壇幼醐 （1）いま・一階微分可能な嬬（ゐくη）行列関
ただし，ドット（ ）は読を表わし・劣（のはη 数D（のに対して次式をみたす制御μ＊（のが存在 次元状態ベクトル，4（κ，のおよび9（κ・のは・そ するとしょう。
れそれη次元ベクトル関数 ％×γ行列関数・ D （のB（のが（の＋［1）・（の＋D （のA（の］κ（の＝0
％（のは大きさに制限のあるγ次元制御ベクトル （8）
とする。 ただし，プライム（ ）は転置を表わし，0は次 最小にすべき評価関数が次式で与えられる最適制 元の如何を問わず零ベクトルを表わすものとす 御問題において， る。
ノイll乙（κ（の鋤 （2）カ；嚇籔鴇蒜㌶㌘‡驚
ただし，任意のX，τに対して次式が成立するも
べき評価関数が次式のように表わされる場合，
のとすnlκ（の，；）≧。 （3） ・一∫ilF［D （τ）κ（の］4τ （9）
以下，本文を通じ終端条件として，終端時刻τ∫を （8）式から明らかに，バング・バング形でない制御 自由，終端状態κ（オ∫）を原点に固定する。バング ％（の＝％＊（の，および適当な初期値κぴo）に対し
・バング形でない制御が（のおよび適当な初期値 て，1γ（のκ（の一〇が制御系（7）式の解集合とな xαo）に対する制御系（1）式の解κ＊（のが次式をみ り，したがって，F［D （のκ（の］＝0となるから，
たすとしよう。 が（のは特異制御である。
L（κ＊（の，∫）−0 （4） 特異制御面は次式に示すように〃個の超平面か このとき，μ＊（のは特異制御である。 ら成っている。
ただし，μ（のの領域をσとすると次式がみたされ D （のκ（の＝0 00 るものとする。 ここで，F［D （のκ（の］のもっとも基本的なも ％＊（の∈σ （5｝ のとして，たとえば2次形式〆D（のD （のκ（のや 〔証明〕 当問題において最大原理の要求する必 次に定義する符号関数を用いた〆（のD（のsgn
要条件より， 最適制御は特異制御を除けば周知 （D （τ）κ（の）のような関数も考えられる。
の通りバング・バング形になる。いま初期値κ（τo） 〔定義1〕C（のを勿×1行列関数でそのij要 が（4）式をみたすとしよう。 素をGプ（のとすると，sgn（C（Z））はi元要素が L（κぴo），τo）−0 （6） sgn（ぱプ（のなる勿×1行列符号関数となる。
任意のZ）≧τoに対して，％（の＝％＊（のにすれば損 ただし，CZ」（r）が0ならsgn（Gプ（7））も0とす 失関数L（κ＊（の，のが恒等的に0になる。こ る。
の場合，評価関数が0で最小となる。つまり， 上の例で係数をすべて定数として，損失関数が
％＊（のは最適制御で，かっバング・バング形でな 2次形式κ （のD（のDノ（のκ（ので％（のがスカラー いから明らかに特異制御である。 制御としょう。このような場合でも，特異制御面 （証明終） は（10式で表わされ，複数個の超平面から成り得る
が，従来の文献の方法からは，特異制御面とし 御存在定理を述べる。
て，ただ調の超平面しか得られないので〃一・ 〔定理2〕すべての制御が系を安定にする特異 の場合にのみ正しい糸課が得られる｝・すぎない． 制御となるためには・次式をみたす正なるスカラ より具体的な例を上げると， 一値関数ρ（のが存在しなければならない（9）。
〔例2〕次式で表わされるプラントに対して・ 〆ωQ（の（ρ㊥∫−A（τ））−1b・（ ）＝0）
㍗㌫ぷ）r（τ） 一（7㌫〆・ヨ（17）
㍗〕ω ゜1）竃議灘灘㌔‡㌶；
ただし・臆の欄してαω〉°・κω＜°・ （7）式のプラントより求められる制御が特異制御で 已（の1≦1とする。
． ある。
最小にすべき評価関郷次式なり・ 〔証明〕駄原理によればハミルトニアン麟
∫＝∫ご〔1轡〕κ（7）4τ（12；縫㌶数 とすると それぞ
例1から繰制御・および特異制御面はそれぞれ 壬一丁瑚Q（のκ（の十Pノ（のノ1（のκ（τ）
次式で表わされる。 ＋P （のB（の％（の （18）
β（の％＊（の＝α（のκ・（の （13 戸（の一一≡−Q（の。（り一A （τ）P（の （19）
（；；｛）κ（の一・ （14）すべての：；力獺制御となるためには，（19式
特異制御領域の範囲は⑬式・および1μ（のに≧1か および次式をみたし，
ら次式で示される。 P （のb乞（の＝0（ −1，2，，…，γ） ⑳ 1β（の1≦1α（のκ2（の1 （10 かつ，ハミルトニアン関数Hを最大一定値，当間 係数をすべて定数にした場合でも，従来のアブ 題においては0にすることから・次式をもみたす
ロ＿チから上のような結果は得られない。ここで Pα）が存在しなければならない。
次の蟻をおく． P ωA伽ω一丁κ （τ）Q伽ω ・1）
〔定義2〕損失関数を恒等的に零にする特異制 まず，⑳式力塒間朗如何を問わず成立するた 御とそうでない特異制御を区別し・前者・および めに嫁元ベクトル関数P（の，およびb・ωに 瀦を・それぞれ第運第2麟異制御と呼 要求される＋分なる雑を示すと，
び・特異制緬に関しても鋼様に・それぞ鳩 r鰍な場合として，Pω，およびb・ωの各 躍・第2麟異制御面と呼ぶことにする・ 麟間の積がことごとく0なら，P（τ），および 定理1は沸1麟異制御存在の＋分条件で・ 6、ωについて何らの制限もなし・が，搬に，次
必要条件は目下検討中である。 式のように表わされねばならない。
以下対象とするプラハを（7）式で表わされ竺 P（の一一ρωPω 幽
形制御系に・最小にすべき評価関数を次式に甜 @ δ、（の一＿ω6、ω ㈱
2次形式積分形にそれぞれ限定する。 ＿
∫一丁∫1蜘Q（の⑭ （1パ㌫；（の 砲（のは それぞ樋当なスカフ
ただし，Q（のはη×π対称非負定行列関数。 以上より，すべての制御が特異制御となるため っぎにこの最適制御問題における第2種特異制 には，（19〜⑳式以外に⑫式をもみたすP（のが存
在ぽ驚㌦式よりρ（のが醐の 一TP・（・）κ（。）「二撫）三㌔］閻
固有値に等しくないとしてP（のを求め次式を得
る。 特異制御が系を安定にするなら，初期状態κ（0）
p（の＿＿（ρ（の1＿、4，（の）．1Q（のκ（の ⑭ を終端時刻な→・・で終端点κ（オ∫）→原点に到達さ 上式を（2儲よび（21）式に代入して伍η式を得る・つ せ・上式の積分値鮪限値一TP・（・）κ（・）に棘 まり，すべての制御が特異制御となるためには07） する。
式をみたすρ（のが存在することである。 このためには，閻式より明らかなように，ρ（の つぎに・0η式をみたすρ（のが存在したとすると が正でなければならない。 （証明終）
その上式より高々7個の超平面が得られ・このう この定理は，その証明に明らかなように，特異 ち少くとも1個が下の式から得られる2個の超平 制御の存在に関して最大原理の要求する必要条件 面のいずれか一方に等しくなる。 をみたす1個の十分条件にすぎない。したがっ つまり・特異制御が存在するなら・⑰式の上式 て，本定理は，特異制御が存在するための狭い意
から高々γ個の超平面が得られ・これらが状態空 味での必要条件である。
間のなかに特異制御領域を構成する。
したがって，特異制御面はこれらγ個の超平面
から成り，この特異制御面と臓のプラントより 3定理の考察と適用例
求められる制御が特異制御になる。 第1種特異制御が存在する最適制御問題は，さ この場合・グ個の超平面をことごとく時間微分 らに第2種特異制御存在の有無を検討しなければ した式に（7）式を代入して得られるγ個の式から特 ならない。 もし， 第2種特異制御も存在するな 異制御を求めるので・一般に特異制御は・線形制 ら，直接定理2を適用すると，第1種，第2種特 御として求められる。 異制御面が同時に得られる。
したがって・いま初期状態x（0）が特異制御面 この場合，ρ（のの如何にかかわらず，⑰式を の上にあれば，だ≧0で％（のを特異制御に選ん みたす超平面が第1種特異制御面で，これを除い で系が安定であれば終端状態の原点に。・時間で到 て，さらに正なるスカラー値関数ρ（のを適当に 達する。 定めることによって働式をみたす超平面が得られ 以上のことを念頭において，（19），脚式，および るなら，これが第2種特異制御面である。
⑫式を考慮して次式を得る。 このことは，例1に明らかなように，第1種特
（P 伽（の）一一2ρ（のP 伽（彦） 異制鋤竺する醐こは・Q（のの麟柳以
一x・ﾖQωκω （25）下たとえば・ ・したがって・Qωはη×ゐ
特異解が。◇≦τ，に対して存在すると考えても 行列関数DωでQ（の一D（τ）D ωのように表 一般性が失われないので，この時間区間に対して わされ，07）式がゐ次元ベクトル関数D （のκ（りを
（25）式械立すると考えて，これを角翠くと， 共顧壁ち第1櫟異制御が存在するなら・こ
一・∫1綱 籔㌫㌶‡；婿は 岨一致
P （のκ（の一ε P （0）κ（0） っまり，定理2は第1種特異制御の存在に関し （0≦Z〈τ∫） ㈱ ても必要条件となっている。したがって，一般に 上式・および（25）式を考慮して・κ （のQ（のκ（のを （7）式，および（16）式から成る最適制御問題の特異制 時間積分して・ 御存在を検討する場合，定理2を直接適用するの
∫一丁∫i・瑚Q伽伽τ が望ましいわけである．
一丁［P （τゾ）κ（τ∫）−P（・）κ（・）］ す麓菖隠㌶麟㌶；㌶
κ＝ki−i∴i〕㌦㌦覆竃嶽し一と一2…
竺 る 問題を考え miiii〕κ＝° （35）
∫一Ziiト・哩麟製璽三三式 分し゜とおいた式
謄雛欝羅il＝〔三1−一＿）一、）▲66）
および第1種特異制御が得られる。 （2）Q（の＝1，B（Z）＝（000α（のyの場合．
（；；1）κ一・ （3・膿1ρ゜＝1に選んで 第＝制御面
％＊＝ 0 （31） （ 1 1 1 1 ） κ ＝ 0 （37）
さらに・定理2を蹴，ρ（喘に選んで・第：灘翌㌫元撒隠。、（，）
第2種特異制御面・および第2種特異制御が得ら ＋1，α、（の＋1）x 鍋 れる。 以上（1），②は，定理2の証明で述べた通りγ個 （1 1 ン百）x＝0 62 の第2種特異制御の存在は，その特異制御面が7
％一（β一L）… 倒個の超平面から成ることの具体例である゜
〔〕 M2 （3）Q（の一1〔1111〕の場合．
従来の文献の方法から得られる特馴緬お ｛
よび特異制御は，それぞれ働，㈹式だけで，第1 1 種特異制御面60式，および第1種特異制御e1）式に ただし・
ついては何らふれていない。 αz（の＝α1（‡）−1（ ＝2・3，4）・α1（のく0 つぎに，WonhamとJohnson（3）が考察した 定理2から第2種特異制御は存在しないが・第1
プラントを時変数系に拡張し，Q（のを単位行列 種特異制御面が存在し，これを次式に示す。
に固定し％（のの次元を変えた場合・Q（の」およ （1111）κ＝o eg びA（のが特殊な形になった場合について・特異 第1種特異制御は，同様にして，次式をみたす制 制御面，および特異制御を調べよう。 御であれば任意である。
〔例4〕 次式のプラントに対し， （1111）B（の％＝0 ⑩
4． 安定な特異制御 で示される制御は，安定な特異制御となる。
以上の具体例で得られた特異制御は，いずれも 以下・例4の②を例に上げると，
ω ψ（の＝ψ11（のとおいて，これと⑯式から，
ところが上式で示される特異制御は系を不安定
にする。 〔ノ1（の十B（の（K（τ）十ψ（のF，（の）〕
＝ 0 1 以下系を安定にする特異制御を安定な特異制御
0 0 と呼ぶことにして，この安定な特異制御を得るた
0 0 めの条件として，線形定係数系のスカラー制御に
α（のψ・、（のα（のψ、、（の＋1 対して須賀（6）の論文にあるが，ここでは線形制
簿雛騰；講鯉：α∴）＋、∴1／働
まらないような特殊な場合（例4の（3））でも線形制
御におきかえることができる（例では，Kalmanの 上式の行列が且urwitz行列になるためには・
零制御を選んだ）ので，このような仮定は何ら＿ その固有値がすべて複素平面上の左半平面内に存 般性を失なわない。 在すればよいから・
彿（オ）＝1（（τ）κ（τ） （≠⊇≧∫o） （42） detO㌧1＿｛A（オ）十B（τ）（K（τ）十ψ（オ）Fノ（オ））｝〕
ただし・K（のはγ×η行列関数τoは特異解が 一（λ＋1）（λ2＋1）（λ一α（のψ11（の）−0 ㈱
生㌶鑑が次式で表わされるものとす〉三畿㌶㌫式をみたす任意のスカ
る。
F・（のκ（の一〇 （43） α（加1・（τ）≦0（魁・） 働
ただし，F（のはカ×ゐ（ん≦γ）行列関数。 以上の安定論をつぎの具体例に適用しよう。
適当な・×桁列関蜘ωを用い，（42，（4拭 〔例5〕次式で表わされ磁適制御問題を考え
る。より得られる次式もまた特異制御である。
上式を：㌶ぽF（ x（z彦）］ κ（Z） （44））宝（ぷ）門δ1ハ6。
κ（の＝［A（の十B（の（K（の十ψ（Z）Fノ（の）恒（｢一∫測1：：：㍑；；｝（の4一
上式より，系が安定になるためには， ただし，任意のZに対して411（の，422（Z）＞0，
［ノ4（τ）十』3（彦）（K（の＋ψ（のF （の）］が任意のZ≧ち 4212（Z）≦σ11（Z）422（のとする。
に対してHurwitz行列になるようにψ（のを定め 定理2を適用して，4212（≠）一σ11（Z）σ22（のの ることである。このようなψ（のに対して，⑭式 時に限りρ（のの如何にかかわらず第1種特異制
御面として次式を得る。 したがって，第2種特異制御も同じ63）式で表わ 412（のx1（の＋σ22（のκ2（の＝0 （51） される・
まず，41，（Z）一γ・4、1（のσ2「（万の場合，61）式を この例は・係数をすべて定数にすると・Hsia（5）
書き改めて， の扱かった例と一致し瀦果も第2種特異制御に
関する限り一致する。
ン4、1（のκ1（の＋ゾσ22（のκ，（の一〇 働
第1種特異制御は上式を時間微分し0とおいた式
に（5賦の上式を代入して得られる。 5・定理の応用と零制御について
⑭）イα（の一2ゾ鵠κ・（の＋ 小嶽鷲巖㌫≧二：遵㌶
蕊隠艦ω］え1：∫；1［七＿＿輌
倒 60）
ただし，ψ11（のは次式をみたす任意のスカラー値 ただし，終端条件として，む未定，κ（τゾ）を原点 関数である。 とし，スカラー値関数∫（％（の，のは任意の％，Z
・11（Z）＜min（2σ、緩，・2旨ill檬22）64）に対して1（％（τ），の≧。 61）
つぎに，σ12（Z）＝一／σ11（Z）422（オ）の場合・次 かつ・次式をみたす。
式をみたす時に限り安定な第1種特異制御が存在 ∫（0，の≡0 働 する。 以下，上の最適制御問題の零制御について考察
W器）〉・ 6・す㌫および例1の結果から次の系を得る．
以下同様にして・61）式を書き改めて・第1櫟異 〔系1〕臆四≧。に対してA（Z）がHu，wit，
制御面を得る。 行列で，カ×〃（〃＜η）行列関数D（のに対し ゾ4・・（Z）κ・（Z）一ゾ422（r）κ・（；）＝° （5θ てQω一D（r）D・（Z）かつ，次式が成立するとし
第1種特異制御として， よう。
δ（鋤（の一（α（の＋2ン捻）κ1（Z） か（の＋ぴ（の炸Ω（；）ρ（の ｛63
蝸＋2v4噺畔・） 蕊し漂；≡㌫㌶二㌻購
＋ψ、、（の［〆σ、、％・（の一両22κ・（τ）］間 数・
ただし，ψ、1（のは次式をみたす任意のスカラー値 このとき・最適制御はことごとく零制御で・こ 関数である。 れと適当な初期値κ（≠o）に対する（7）式の解集合
2癬1≧・＜・1・（の＜−2σ誌（5一以下零罐磨1は次式で表わされる゜64
第2糎制御面は・ζ（の硬19｝と選んで麗とな麟慧鱈よ姦瓢嶽
ゾσ11（のκ1（Z）＋〆422（のκ2（；）＝0 働 に対する（7）式の解集合は，（64式で表わされる。こ
上式は，σ12（の＞0の場合の第1種特異制御面 のとき，損失関数が恒等的に0となる。
と同じ式を表わす。 A（のがHurwitz行列であるからプラント
鋤一A伽ωは錠でパ・一・・で原点に到達 ヂ∫㌦（瓢ξ），ξ）4ξ
し・評臓が @ 凡（榔）イτビ゜砿（・ω㊥赫
∫一∫；μ命＋鋤）］⊇ ＋Lぴ（Zo），°・ち）≧°（ゴ＝L2 ・；
で最少となる。 （証明終） このとき・L（κ（τo），0・τo）＝0（ ＝1・2・… ）を ん
このように損失関数が恒等的に0となるような みたす初期値κ（τo）に対して，関数ΣL乞（κ，μ，の 包＝1零制御については，Kalman（8）が最初に論じ，
は4egεηθ抱彪損失関数となる。
須賀（7 はより珊的に論じた・しかし・額 〔証明〕（、）式のプラント拷慮して，臓をみ は，制御ベクトルを含まない形の損失関数を対象
たす解は，㈹式の関数凡（κ，μ，のを用いて次式 とした・より搬的には・次の系に述べる損失関 のように表わされる。
慧蕪i三i麗二㍗すべき＿一ぽ鷲の
（ゴー1，2，…，〃） 01）
ノ曝一㊨）4Z（65）1㌶麟籔一に対して
巖縫‡三無㌫ξll≧：lL仇。，の一，∫悟・・㌫Σ。，ち）
τに対して，
（ ＝1，2，…，〃） 『2）
Lz（κ，μ， Z）⊇≡≧ 0 （ ＝＝1，2， … ，〃） （66｝
上式は，μ（の≡0に対するプラント（1）式の解集合 かつ，次式をみたすものとする。
であるから，Lz（κ（τo），0，Zo）＝0 （ ＝1，2，…
〈警，4（鋪〉＋2ξ 〃）をみたす初臓㈲，および臆のオ訓こ
ゐ
＿声（κ，μ，のム＋砿＊（κ，μ， ） 対して，ΣL （κ，0，の≡0となる。したがって るニユ
た＿∴；1；霊一ゐ）は適当な㌻ノ鴫証，・，の ・㈲
ラー値関数，任意のκ，Zに対して，砿＊（κ，％の 瓦
は次式をみたす適当なスカラー値関数。 さらに・（66）式より嵩ム（況％・のが非負定だから・
Mz＊（κ，0，の≡0 （ −1，2，… ） （68） 那（の≡0が評価関数を最小にする。つまり，関数
かつ・ @ ゑL・（顕）は4・脚・α端失関数となってい 砿（繊）一孤・（斑）＋＜静9（鋪ゆ る． （証明終）
＋＜嘉の02…・ゐ）（69）㌫i蕊鴛㌢㌫歴㌫1亀
とおいて，任意のκ，％，τに対して，次式が成 べば須賀の結果に一致する。
立するものとする。 さらに，次式を定義すると，
M⑭一￡ノ；砲輌∫㍍∫誕㌶㌦赫 σ。
包＝1
㈱，蜘式より明らかなように，任意のκ，τに対して次式をみたし，
1レf（κ， 0 ，］！） ≡≡≡≡ 0 （75）
なかつ，ΣLz（κ，％，のが非負定だから，次式をもみたさねばならない。
るニ
熱圃一一）＋誤㍗畿），。，九）≧。 （7θ
上式は（70），および（74）式を考慮して，間式の総和 α砲）＝α1（の一1 （〃−2，3，4），α1（のく0か をとって得られる4θgε〃θγ磁θ損失関数の一般形 つ，B（の一（0，0，0，α（の） としよう。
である。 （1）最小にすべき評価関数が次式で表わされる場 以下，4（κ，オ），9（κ，のを，それぞれA（のκ（の， 合・
撚㍑鷲二）慧碧蒜，。，ち）ノー∫lf｛ξ、κ・（の｝2＋∫（％・≠）］4オ （7w
を・それぞれ・∫（μ，Z）・2ω乞（Z）・〔4 乞（≠o）κ（τo）〕2・ 系1を適用し， Kalmanの零制御面を次式に得 ただし・∂z（τ） （ゴ＝1，2，… ，〃）は一階微分可能 る。
なヵ次元ベクトル関数で，D（の一（41（の，42（の 4
＿，4 ω）とおくと，Dωカ・蹴をみたすなら， 、恥ω＝° σ8）
（76）式は（6①式の損失関数にまったく一致する。 （2）最小にすべき評価関数が次式の場合．
る酋にもどつ錠理2から次の系を得ノ才［丁〆（のκ（の＋∫（昧）］4オ（7勃
〔系3〕 ⑰式をみたす正なるスカラー値関数 o
ρ（のが存在し，かつ⑰式から得られる高々γ個の 系3を適用し・ρ（の一1と選んで上の例と同じ閲 超平面が，ことごとく適当な初期値κ（τo），およ 式で表わされる零制御面を得る。
び％（の≡0に対する（7）式の解になれば，これら超
平面上で最適制御はすべて零制御となる。 6．あとがき
〔証明〕 ∫（％，のが恒等的に0なら，当問題は（7）
線形制御系を対象とし，損失関数が2次形式で 式のプラントと（16）式の評価関数から成る最櫛u御 与えられる場合の特異制御の存在につし、て論じ 問題になり，系3は定理2から明らかなように，
た。
この問題の特異制御がことごとく零制御となるた 損失醐を恒等的に。にする特異制御とそうで めの＋分条件となる・ ない特異制御を区男‖し渓際問題においてその両
ところが，零制御であれば∫（μ，のの定義式61）
方が存在する場合があり，とくに前者の存在が従
およ醐式から明らかに臆の以・に対し 来の方法樋用して棚らかにされないことを指 となる． ∫（勒≡° （証明終）摘した．
最後に，定理の応用として，零制御について論 系は定理2の考察に述べたと同様の理由で系1
じ，Kalmanの零制御に関する須賀の結果を制御
を含んでいる・ ベクトルをも含んだより搬的な損失関数にまで
しかし，第1種，および第2種特異制御が同時
拡張した。
に存在する髄制御問題があ哩ても・損失麟 本研究で種硝益な識をいただし・た大学院生 を恒等的に0にしない零制御と恒等的に0にする
の上田隆之君に心よりお礼申し上げる。
Kalmanの零制御が同時に存在する最適制御問題 はあり得ない。
ここで，系1，系3の適用例を上げる。
〔例6） 例4のプラントで
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