赤阪正純 (htt● nupri.web fc2 com) απ +1=´ αη +9型 (1)
αη +1=pα η tt g型 の漸化式の解法 を学ぶ
前 回の プ リン トで も紹介 した よ うに ,「 漸 化式」 とは ,数 列 を決定 つ ける DNAみ たいなもんで ,漸 化式 か らも との数 列 を作 り出す こ とがで きます llI化 式か ら作 り出 され た数列 の一般項 を求め ることを 「漸化式 を解 く」 といい ,こ れか らの学習の メイ ンとな ります
llll化 式には様々な型がありますが,ま ずは基本中の基本である ,α η +1=pα ″ +g型 (p,cは 定数 )の
漸化式から学習することにしよう
この型 は , この後 に続 くあ らゆ る漸化式 の基礎 とな ります た り置 き換 え した りすれば , この型 に帰着 で きるか らです 完璧 に解 ける よ うになる必要 があ ります
なぜな ら , どんな複雑な漸化式でも ,変 形 し したがって ,そ の仕組みをしっか りと理解 し
,イ人奪大りさ
1ミ5わ たし t lE■ tた
さて
,pゃ σ
″ 注
つ ま り ,絶 対 に
,｀ ヽ
・ it断 りい る ,1こ ヒ .セ ■ tr暑 !￨
また後 ほど扱 い ます
漸化式 απ +1=pα η +g型 は ,定 数 p,cの 値によって ,次 の 3つ の Typeに 分かれます
pキ 1,9キ oの とき α π +1=pα″十g・ ¨ ・¨ Type ③
＾ υ
︐ ︑
︱
︱
ク =1の とき
9=0の と き
απ +1 ‑α η +9
α″ +1=´ αη
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漸化式の基本は ,ま ずはここからです !!!!
最 初に 注 意し た いこ と は ,p,
に πを含んではいけないのです
pや cの 部分に πが入 る漸化式は
,それぞれの Typeを 順番に見ていくことにしよう
απ +1=α ″十 g (gは 定数 )
この漸 化式 は ,「 (ど こで もいいか ら )η 番 目の項 に 9を 足 した ら隣の κ +1番 目にな る」 とい うこ とを表 現 して お り , この ことはつ ま り ,数
,」{α π }が 公差 σの等差数 列であ る ことを意 味 してい ます
珍 注 当然 なが ら ,9が 定数 の場合 に限 ります
この Typeは ,数 列 {α ″ }が ,単 なる公差 cの 等差数 列 なので ,等 差数列 の公式 を利用すれ ば一般項 を求 めることができます
初項 α l,公 差 αの等差数列の一般項は
,%=0+い dで す 今 さ ら で す べ 念 の た か … ノ撃 ん
Ok
Pointく
α %+1=α π +g 一→ 公差 gの 等差数列
.+3
/ヽ
一 ,0、 ′ G用
,赤阪正純 (httL nup五 web fc2 com) αη +1=p%+c型 (2)
輩 晟 !￨ヽ 鋼ょ ゅ ̲・ なっていることがわか ります 7●7久
た t今
:ミ1ヽ ■ )13̀
αη +1=pα η (pは 定数 )
この漸化式は ,「 (ど こでもいいから )π 番目の項を夕倍すれば ,隣 のπ +1番 日になる Jと いうことを表 現しており ,こ のことはつまり ,数 列 {α η)が 公比 っの等比数列であることを意味しています
珍 注 当然 なが ら ,pが 定数 の場合 に限 ります
この Typeは ,数 列 {α η }が ,単 な る公比 夕 の等比数列なので ,等 比数列 の公式 を利用すれ ば 一般項 を求 めることができます
初眩 飢 ″の等比数列の 般吼 c=グ ヨ で
'今 さらですハ 念のため …
。 :3フ わ ″ :よ
― 田ロヨ 次の漸化式を解け
α l=1, αη +1=α η 2
① 漸 化 式 よ り数 列 {α π }は 初項 1,公 差 ‑2
の等差数列 なので
,αη =1+(π ‑1)(‑2)=‑2η +3
珍 注 ぃ きな り「初項 1,公 差 ‑2の 等 差数 列 な
ので Jと 断言 して解答 しま したが ,念 のため ,具 体 的 に書 き出 して調べてみ る と
,{α η }: 1, ‑1, ‑3, ‑5, …… , とな り ,確 か に ,初 項 1,公 差 ‑2の 等 差数列 に
診 注 、ヽきな り「初項 2,公 比 3の 等比数列 なの で Jと 断言 して解答 しま したが ,念 のため ,具 体 的 に書 き出 して調べてみ る と
,::〕 メ 3
= 18 2メ 〕
= 54 2メ 3
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E鵬ヨ 次の漸化式を解け
α l‑2, αη +1‑3α η
① 漸 化式 よ り ,数 列 {α ″ }は 初項 2,公 比 3の 等比数列 なので
,こ 仏 t
α α α ３ ３ ３
