数理物理学 (’19 年度版 )

数理物理学

(’19

)

(到達目標)

物理学をはじめとする自然科学や情報科学を学ぶ上で必要となる数学 に関して、数理科学科の必修科目で学んだ内容の復習だけでなく、実際 に物理学等に登場する具体例を用いてより直感的な理解を深めてもらう ことを目指しています。更に、個々の物理学の講義では扱い切れない、少 し進んだ数学的な内容についても、有機的にまとめた議論を行うことで、

宇宙を記述する数学の深い魅力を少しでも伝えることも目指したいと思 います。

(参考書等)

「微分積分」薩摩順吉 著（理工系の基礎数学）岩波書店 そのほか必要に応じて紹介します。

(成績評価方法)

平常点

(授業への出席、ミニレポート提出)

に評価する。

（ホームページ）

講義ノート、期末レポート問題等は、林の個人

HP

http://lab.twcu.ac.jp/lim/sub4.html

の所に、また休講等の急なアナウンスは個人

HP

http://lab.twcu.ac.jp/lim/index.html

2

3

第

1

1.1

元々、ニュートンは瞬間的な速度を表そうとして微分の概念を発見し たと言われている。最も簡単な場合として、x 軸にそった直線運動を考 える。時刻

t

x

x(t)

x(t)

t

t、縦軸に x

x − t

∆t

x

∆x

1.1

^∆x _∆t

v (v : velocity,

v = ∆x

∆t . (1.1)

しかし、一般的には速度は刻々と変わる。では、ある時刻

t

v(t)

1.2

t

（短い時間間隔）で考えれば、x

− t

t

t

v(t)

1.2

^∆x _∆t

∆t

x(t)

t

^dx _dt

v(t) = dx

dt = lim

∆t → 0

∆x

∆t = lim

∆t → 0

x(t + ∆t) − x(t)

∆t . (1.2)

4

1

図

1.1:

x − t

同様に、xの関数

(function) f(x)

⁰ (x)

f ⁰ (x) = df

dx = lim

∆x → 0

∆f

∆x = lim

∆x → 0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x (1.3)

が定義。y

= f (x)

⁰ (x)

(x, f (x))

(1.3)

∆x

f (x + ∆x) − f(x)

∆x ' f ⁰ (x) → f (x + ∆x) ' f(x) + f ⁰ (x)∆x (1.4)

'

x → 0, ∆x → x

f (x) ' f (0) + f ⁰ (0)x (1.5)

f (x)

1.1.

5

図

1.2:

x − t

例題

1.1 (1.5)

x

時

(正確には | x | ¿ 1

(a) (1 + x) ⁿ (b) sin x (c) e ^x

(a)

x) ⁿ

⁰ (x) = n(1 + x) ^{n − 1}

f (0) = 1, f ⁰ (0) = n

(1 + x) ⁿ ' 1 + nx

同様に

sin x ' x, e ^x ' 1 + x

2

f (x)g (x)

_dx ^d (f g)

d

dx (f g) = lim

∆x → 0

f(x + ∆x)g(x + ∆x) − f(x)g(x)

∆x

= lim

∆x → 0

[f (x) + f ⁰ (x)∆x][g(x) + g ⁰ (x)∆x] − f(x)g(x)

∆x

= f ⁰ (x)g(x) + f(x)g ⁰ (x) (1.6)

となる。なお、最後の変形で分子の

(∆x) ²

6

1

1.2

(1.4)

x → a, ∆x = b − a

f(b) − f (a)

b − a ' f ⁰ (a) (1.7)

と書ける。これは近似式であるが、近似ではなく正確に成立する関係式 が存在する。即ち（a < b として）、 

f (b) − f (a)

b − a = f ⁰ (c) (a < c < b) (1.8)

「平均値の定理」

と言う。これは、点

A(a, f(a)),

B(b, f (b))

AB

f (x)

(a, b)

(少なくとも一つ)

x

ここで関数として特に多項式の場合を考えてみよう。簡単な例として

1

f(x) = 3 + 2x

⁰ (0) = 2

(x) = f (0) + f ⁰ (0)x

(1.5)

2

f (x) = 3 + 2x + x ²

3 = f (0), 2 = f ⁰ (0), 1 = f ⁰⁰ (0)

2 (1.9)

であるので、

f(x) = f(0) + f ⁰ (0)x + f ⁰⁰ (0)

2 x ² (1.10)

と書くことが出来る。

こうした関係式は一般の多項式について言え、n 次の多項式について は

_dx ^d

x ⁿ = n!

f (x) = f (0) + f ⁰ (0)x + f ⁰⁰ (0)

2! x ² + . . . + f ⁽ⁿ⁾ (0)

n! x ⁿ . (1.11)

f ⁽ⁿ⁾ (x)

f (x)

n

では、多項式ではない場合にはどうなるであろうか？この場合には、

(1.11)

x

1.2.

7

し、その

“誤差”については、上記の「平均値の定理」を用いて正確に表

すことが出来る。例えば

(1.8)

a → 0, b → x

(x)

f ⁽²⁾ (x)

f ⁽²⁾ (x) − f ⁽²⁾ (0)

x − 0 = f ⁽³⁾ (c)

→ f ⁽²⁾ (x) = f ⁽²⁾ (0) + f ⁽³⁾ (c)x (0 < c < x) (1.12)

⁽¹⁾ (x)

f ⁽¹⁾ (0)

f ⁽¹⁾ (x) = f ⁽¹⁾ (0) + f ⁽²⁾ (0)x + f ⁽³⁾ (c)

2! x ² (1.13)

が得られる。同様にもう一度積分すると、最終的に

f (x) = f (0) + f ⁽¹⁾ (0)x + f ⁽²⁾ (0)

2! x ² + f ⁽³⁾ (c)

3! x ³ (1.14)

f(x)

f 0)+f ⁽¹⁾ (0)x+ ^f

₂ ⁽⁰⁾ x ²

³

^f

_3! ^(c) x ³

一般に

f ⁽ⁿ⁾ (x)

f (x) = f (0) + f ⁽¹⁾ (0)x + f ⁽²⁾ (0)

2! x ² + . . . + f ⁽ⁿ⁾ (0)

n! x ⁿ + f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) (n + 1)! x ⁿ⁺¹

(0 < c < x) (1.15)

という

n + 1

“余り”の項 ^f

_(n+1)! ^(c) x ⁿ⁺¹

を

“ラグランジュ(Lagrange)

n

に剰余項が小さくなる、即ち

n lim →∞

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! x ⁿ⁺¹ = 0 (1.16)

が言える場合には、（1.15）で

n → ∞

f (x) = f (0) + f ⁽¹⁾ (0)x + f ⁽²⁾ (0)

2! x ² + · · · =

∑ ∞ n=0

f ⁽ⁿ⁾ (0)

n! x ⁿ (1.17)

8

1

⁽⁰⁾ (x) = f(x), 0! = 1

こうした展開式を 

「テイラー（・マクローリン）展開」

と呼ぶ。これは、多項式でない一般の関数でも

“無限級数” (無限の次数

x

1

なお、同様の議論を行うと、より一般的には  

f (x) = f (a) +f ⁽¹⁾ (a)(x − a) + f ⁽²⁾ (a)

2! (x − a) ² + · · · =

∑ ∞ n=0

f ⁽ⁿ⁾ (a)

n! (x − a) ⁿ

(1.18)

テイラー展開の具体例を考えてみよう。まず、f

(x) = e ^x

何回微分しても関数は変わらないので

f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1

(1.17)

e ^x = 1 + x + 1

2! x ² + 1

3! x ³ + . . . =

∑ ∞ n=0

1

n! x ⁿ (1.19)

例題

1.2 (1.17)

(a) sin x (b) cos x

(a)

x

f (0) = f ⁰⁰ (0) = · · · = 0。また f ⁰ (0) = cos 0 = 1, f ⁰⁰⁰ (0) = − cos 0 = − 1, · · ·

sin x = x − 1

3! x ³ + 1

5! x ⁵ + . . . =

∑ ∞ n=0

( − 1) ⁿ

(2n + 1)! x ²ⁿ⁺¹ . (1.20)

cos x = 1 − 1

2! x ² + 1

4! x ⁴ + . . . =

∑ ∞ n=0

( − 1) ⁿ

(2n)! x ²ⁿ . (1.21)

となる。 

2

(N.B.)

x

ず、意味を成す

x

1

1 − x = 1 + x + x ² + . . . (1.22)

1.3.

9

、においては、|

x | < 1

n

x

x | > 1

1.3

e ^x

sin x, cos x

e ^ix = cos x + i sin x. (1.23)

実際、テイラー展開

(1.19)、(1.20)、(1.21)

e ^ix =

∑ ∞ n=0

(ix) ⁿ n! =

∑ ∞ n=0

( − 1) ⁿ

(2n)! x ²ⁿ + i

∑ ∞ n=0

( − 1) ⁿ

(2n + 1)! x ²ⁿ⁺¹ = cos x + i sin x (1.24)

（1.23）より、逆に、三角関数を指数関数を用いて

cos x = e ^ix + e ^{− ix}

2 , sin x = e ^ix − e ^{− ix}

2i (1.25)

と書くことも出来る。

また、三角関数に良く似た性質を持つ「双曲線関数」は虚数の角度を 持った三角関数であると言える。つまり、(1.25)で

x

ix (x

cos(ix) = e ^x + e ^{− x}

2 ≡ cosh x, sin(ix) = i e ^x − e ^{− x}

2 ≡ i sinh x, tanh x ≡ sinh x

cosh x (1.26)

が得られるが、この

cosh x, sinh x

物理では、例えば相対性理論に現れる「ローレンツ変換」は双曲線関数

10

1

( ct ⁰ x ⁰

)

=

( cosh θ − sinh θ

− sinh θ cosh θ

) ( ct x

)

. (1.27)

ここで、(t, x),

(t ⁰ , x ⁰ )

S, S’)

(event)”）を見た時の、時刻と位置座標（簡単のた

x

tanh θ = u

c (1.28)

で与えられる。ここで

u

(S

S’

の速度)。  

1.4

dx, df

微分を表す

_dx ^df

(1.4)

∆f = f (x + ∆x) − f(x)

∆x、∆f

∆f ' df

dt ∆x (1.29)

であるが、∆x

→ 0、∆f → 0

∆x → dx, ∆f → df (1.30)

の様に書くことにすると、(1.29) は、この極限で

df = df

dx dx (1.31)

という（微分を無限小量

dx, df

_dx ^df

dx, df

11

第

2

自然科学一般にそうであるが、特に物理学においては基本的な法則の 多くは未知関数の微分（あるいは

“偏微分”)

「微分方程式」

の形で与えられる。典型例は古典的なニュートン力学において最も重要 な「運動方程式」

F = ma (2.1)

である。ここでは、簡単のため

x

m

(1

F, a

x

a

a = dv

dt = d ² x

dt ² (2.2)

の様に書けるので、運動方程式は

x(t)

(2

d ² x

dt ² = F

m (2.3)

の形で書かれる。これを満たす関数

x(t)

“微分方程式を解

“普通の微分”、

即ち常微分を用いた微分方程式を

「常微分方程式

(ordinary differential equation)」

と言う。これに対して偏微分（後述）を用いた微分方程式である「偏微分 方程式」も物理学では良く登場するが、この章では常微分方程式を扱う。

2.1

12

2

x

y = f (x)

d ² y

dx ² = x ² + 2x + 3 (2.4)

という

2

基本的に

2

y

実際

(2.4)

x

2

dy

dx =

∫

(x ² + 2x + 3)dx = x ³

3 + x ² + 3x + c ₁ , y = x ⁴

12 + x ³ 3 + 3

2 x ² + c ₁ x + c ₂ (2.5)

y

ここで注意すべき重要なことは、2回不定積分したので解には二つの任 意定数（積分定数）c

1 , c ₂

「n 階の微分方程式の解は

n

ことになる。(2.5) で求めた解は、すべての解を網羅している（他には解 は有り得ない）最も一般的な解なので 

「一般解」

と呼ばれる。自分が求めた解が一般解であるかどうかを判断するには任 意定数の数を見ると良い。2階の微分方程式で

2

“解の

これに対し、例えば

(2.5)

c ₁ = 0

y = ^x ₁₂

+ ^x ₃

+ ³ ₂ x ² + c ₂

(2.4)

c 2

い。こうした微分方程式のある特別な解を

「特解（特殊解）」

と呼ぶ。

なお、力学において例えば重力を受け鉛直方向に運動する物体につい て考えると、時刻

t = 0

x

= 0

y

^dy _dx

c ₁ , c ₂

x = 0

「初期条件」

と呼ぶ。実際、(2.5)において、例えば

y(0) = 0, _dx ^dy (0) = 1

2.2. 1

13

c ₁ = 1, c ₂ = 0

y = ^x ₁₂

+ ^x ₃

+ ³ ₂ x ² + x

所で、微分方程式は上記の様に容易に解けるとは限らず、解析的には 解けないことも多い（そうした場合でも、コンピュータを用いて数値的 に（近似的にではあるが）解くことが可能な場合もある）。例えば

^d _dx

^y

+ 2x( ^dy _dx ) ² + 3x ² y = 5x

2.2 1

変数

x

y

「斉次（同次）微分方程式

(homogeneous differential equation)」

と言う。一番簡単な

1

a(x) ^dy _dx + b(x)y = 0 (y, ^dy _dx

1

a(x)

_a ^b

a(x)

dy

dx + a(x)y = 0 → dy

dx = − a(x)y (2.6)

a(x) = − 1

e ^x

y(x) = ce ^x (2.7)

の様に、1個の任意定数

c

a(x)

^dy _dx

dx, dy

x

y

dy

y = − a(x)dx. (2.8)

これに積分記号を付け、不定積分の形にすると（無限小量の足し合わせ に対応）

∫ 1

y dy = − ^∫ a(x)dx → log | y | = − ^∫ a(x)dx → y = ± e ⁻

∫ a(x)dx

(2.9)

14

2

y

^∫ a(x)dx

(x)

(y)

( ^∫ _y ¹ dy = − ^∫ a(x)dx

「変数分離型」の微分方程式 と呼ぶ。 

例えば

a(x) = 2x + 1

y(x) = ± e ⁻

∫ (2x+1)dx

= ± e ^{− x}

^{− x − c} = Ce ^{− x}

^{− x} (C = ± e ^{− c} ) (2.10)

C

例題

2.1

(質量 m)

v

“抵抗力” F = − kv (k :

0)

F = ma

v(t)

v ₀

解

a = ^dv _dt

F = ma

− kv = m dv

dt → dv

dt = − k

m v (2.11)

の様に、v に関する１階の斉次微分方程式が得られる。上で述べた解法 を用いると 

∫ 1

v dv = − k m

∫

dt → log | v | = − k

m t + c → v = Ce ⁻

^t (2.12)

C = ± e ^c

= 0

v(0) = C

v ₀

v = v 0 e ⁻

^t (2.13)

の様に速度が求まることになる。なお、これから

t → ∞

2

2.3

2

2.3.

2

15

2

a(x)

「定数係数の

2

の場合には、系統的に解く方法が知られているので、その解法を紹介する。

定数係数の

2

d ² y

dx ² + a dy

dx + by = 0 (a, b

(2.14)

y

「線形の微分方程式」

と言う。線形の斉次微分方程式では 

「重ね合わせの原理」

が成立する。これは、特解の線形結合（重ね合わせ）もまた微分方程式 の解である、ということである。実際、微分方程式（2.14）の

y ₁ , y ₂

d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by ₁ = 0, d ² y 2

dx ² + a dy 2

dx + by ₂ = 0 (2.15)

c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ (c _1,2 :

(2.16)

_dx ^d

1 y 1 +c 2 y 2 ) = c 1 d

y

dx

+c 2 d

y

dx

等より

d ²

dx ²

1 y 1 + c 2 y 2 ) + a d

dx

1 y 1 + c 2 y 2 ) + b

1 y 1 + c 2 y 2 )

= c ₁ ( d ² y ₁

dx ² + a dy ₁

dx + by ₁ ) + c ₂ ( d ² y ₂

dx ² + a dy ₂

dx + by ₂ )

= 0 + 0 = 0 (2.17)

が言えるからである。ここで

(2.15)

上の議論で

c _1,2

(2.16)

c ₁ , c ₂

16

2

そこで、特解として

y = e ^λx (λ :

(2.18)

の形の解を想定してみよう。すると、この指数関数は微分すると自分に 比例するので（

^dy _dx = λe ^λx = λy、等）、(2.18)

(2.14)

λ ² y + aλy + by = (λ ² + aλ + b)y = 0, (2.19)

y 6 = 0

λ ² + aλ + b = 0 (2.20)

という代数方程式（λ に関する

2

2

「特性方程式」

と言う。 

（2.20）の二つの解は

λ _1,2 = − a ± √

a ² − 4b

2 (2.21)

で与えられる。(2.18)に代入すると二つの特解

y 1,2

y _1,2 = e ^λ

^x . (2.22)

(2.14)

y = c ₁ e ^λ

^x + c ₂ e ^λ

^x (λ _1,2 = − a ± √

a ² − 4b

2 , c _1,2

(2.23)

例題

2.2

k

m

F = − kx (x

t

x

解

2.3.

2

17

− kx = ma → d ² x

dt ² = − k

m x → d ² x dt ² + k

m x = 0

(2.24)

x

2

a = 0, b = _m ^k

λ _1,2 = ± ^√ − 4 _m ^k

2 = ±

√

k

m i. (2.25)

よって、（2.24）の一般解は

ω =

√ k

m

x = c ₁ e ^iωt + c ₂ e ^{− iωt} (2.26)

ここで、オイラーの公式

(1.23)

x = C ₁ sin(ωt) + C ₂ cos(ωt) (C ₁ = i(c ₁ − c ₂ ), C ₂ = c ₁ + c ₂ ) (2.27)

x = A sin(ωt + ϕ ₀ ) (A =

√

C ₁ ² + C ₂ ² , tan ϕ ₀ = C 2

C ₁ ) (2.28)

“振幅” A

“初期位相” ϕ ₀

2

19

第

3

3.1

 今まで考えて来た関数は

x

r) (~ r = (x, y, z))

4

「多変数関数」

という。多変数関数の場合には、微分を考える際に、他の変数を固定し ながら、一つの変数のみに

“偏って”微分を行うことが可能である。例と

2

x, y

z = f (x, y) (z

∆x lim → 0

f(x + ∆x, y) − f (x, y)

∆x (3.1)

を、関数

z

x

∂z

∂x (3.2)

と書く。

y

z = f (x, y) = x ² y

∂z

∂x = lim

∆x → 0

f(x + ∆x, y ) − f (x, y)

∆x

= lim

∆x → 0

(x + ∆x) ² y − x ² y

∆x = lim

∆x → 0

(2x∆x + ∆x ² )y

∆x

= 2xy (3.3)

と求まるが、これは

f (x, y) = x ² y

y

x

20

3

3.2

では、x, yが

“無限小”

dx, dy (変化量 ∆x, ∆y

z

“無限小”の変化 dz

z = xy ²

dz = (x + dx)(y + dy) ² − xy ²

= (x + dx)(y ² + 2ydy) − xy ²

= y ² dx + 2xydy (3.4)

となる。ただし、ここで、

dx, dy

2

は無視した。実際、例えば

^dxdy _dx = lim _{∆x,∆y → 0} ^∆x∆y _∆x = 0

dxdy

∂z

∂x = y ² , ∂z

∂y = 2xy (3.5)

なので、(3.4)は

dz = ∂z

∂x dx + ∂z

∂y dy (3.6)

と書けることが分かる。(3.6)の関係式は、この関数に限らず一般に成立 し 

「全微分の式」

と呼ばれる。(3.6) で例えば

dy = 0

^dz _dx = ^∂z _∂x

y

z

x

^dz _dx

なお、全微分の式

(3.6)

(1.31)

物理学では、例えば円運動を考える時などに用いられる極座標を用い て運動を記述することがある。ここでは、全微分を用いて、無限小の距 離だけ離れた

2

x − y

この時、無限小の距離離れた

2

(x + dx, y + dy)

dl

2

dl ² = dx ² + dy ² (3.7)

3.2.

21

(r, θ)

x = r cos θ,

y = r sin θ (3.8)

で与えられる。これ以降の導出は、以下の例題を参照して頂きたい。

例題

3.1

2

(r, θ)

(r + dr, θ + dθ)

dl

dr, dθ

  解 

極座標が

dr, dθ

(3.8)

dx = ∂x

∂r dr + ∂x

∂θ dθ = cos θ dr − r sin θ dθ, dy = ∂y

∂r dr + ∂y

∂θ dθ = sin θ dr + r cos θ dθ (3.9)

dl

dl ² = dx ² + dy ² = dr ² + r ² dθ ² (3.10)

3.1

P(r, θ)

Q(r + dr, θ + dθ)

2

22

3

図

3.1:

2

23

第

4

4.1

x

f (x)

∆x

N

∆x

4.1

∆x lim → 0

∑ N i=1

f(x _i )∆x =

∫ _b

a

f (x)dx. (4.1)

要するに、∆x

→ 0

∆x → dx, ^∑ → ^∫ (4.2)

と置き換えられると考えればよい。 

∫ _b

a f(x)dx

x

3

P

Q

(contour)

C

この経路に沿って位置座標

(x, y, z)

F (x, y, z)

C

N

i , y _i , z _i )

F (x _i , y _i , z _i )

∆r _i

∆r _i → 0 (N → ∞ )

∆r lim

→ 0

∑ N i=1

F (x _i , y _i , z _i )∆r _i ≡ ^∫

C

F (x, y, z)dr ( ≡

(4.3)

24

4

図

4.1:

こうした曲線に沿った積分を

「線積分」

と呼ぶ。

もしも経路

C

I

C

F (x, y, z)dr (4.4)

の様に書かれる。 

同様に、空間内の曲面

S

「面積分」

も定義できる。面は閉じた面でも構わない。面

S

N

i

∆S _i

F (x _i , y _i , z _i )

（(x

i , y _i , z _i )

∆S lim

→ 0

∑ N i=1

F (x _i , y _i , z _i )∆S _i ≡ ^∫

S

F (x, y, z)dS (4.5)

4.2.

25

V

「体積積分」

を定義することが出来る：

∫

V

F (x, y, z)dV (4.6)

を定義出来る。

4.2

物理では、電場（電界）

E(x, y, z) ~

t

「ベクトル場」 

と呼ぶ。

物理では、ベクトル場に関する積分がよく登場する。まずベクトル場

V ~ (x, y, z)

P

Q

V _t

V _t = V ~ · ~t = | V ~ | cos θ (θ : V ~

V _t

∫

C

V _t dr =

∫

C

V ~ · ~t dr (4.7)

を考える。

(4.7)

れを

d~ r

r

“線要素”と呼ばれる）、線積分は

∫

C

V ~ · d~ r (4.8)

とも書かれる。なお、線積分には方向性があり、d~

r

P

Q

P

Q

C

C

P

∫

C ¯

V ~ · d~ r (4.9)

26

4

(同じ微小区間で、d~ r

∫

C ¯

V ~ · d~ r = − ^∫

C

V ~ · d~ r (4.10)

の性質がある。

物理における線積分の例として、位置エネルギーを挙げることが出来 る。位置ベクトル

~ r = (x, y, z)

P

F ~

U (~ r)

U (x, y, z)

O（普通

P

C

F ~

（人がする）仕事に等しいが、それは経路

C

− F ~ · d~ r

U (~ r) = − ^∫

C

F ~ · d~ r (4.11)

という線積分で与えられる。

例題

4.1

F ~ = − grad U (4.12)

を導きなさい。ただし、grad (gradient,勾配) は 

grad U ≡ ( ∂U

∂x , ∂U

∂y , ∂U

∂z ) (4.13)

で定義される。

  解 

位置ベクトル

~ r = (x, y, z)

P

r = (dx, dy, dz)

P

dU

((3.6)

dU = U(~ r + d~ r) − U(~ r) = U (x + dx, y + dy, z + dz) − U (x, y, z)

= ∂U

∂x dx + ∂U

∂y dy + ∂U

∂z dz

= ( ∂U

∂x , ∂U

∂y , ∂U

∂z ) · d~ r (4.14)

4.2.

27

F ~

d~ r

dU = − F ~ · d~ r (4.15)

とも書ける。よって、(4.14)、(4.15)より、力と位置エネルギーの間の関 係式

F ~ = − grad U

2

ナブラ

(nabla)・ベクトル

∇ ≡ ~ ( ∂

∂x , ∂

∂y , ∂

∂z ) (4.16)

を用いると

grad U = ∇ ~ U → F ~ = − ∇ ~ U (4.17)

次にベクトル場の面積分を考える。この場合には、ある曲面

S

V ~

V _n

n

∫

S

V _n dS =

∫

S

V ~ · ~ n dS =

∫

S

V ~ · d ~ S (4.18)

S ≡ ~ ndS

dS

2

S

例えば、点電荷を囲む閉曲面

S

E ~

∫

S

E ~ · d ~ S (4.19)

は、

E ~ · d ~ S

dS

( | E ~ |

E ~

S

q

S

R