第 2 講：１次元データの要約 1. 度数分布とヒストグラム

(1)

第

2

講：１次元データの要約

平成

16

年

10

月

20

日

(2)

内容

1.

度数分布とヒストグラム

2.

代表値

3.

散らばりの尺度

(3)

1.

度数分布とヒストグラム

(4)

373

人の統計学の試験における得点の度数分布表

階級階級値度数相対累積累積度数度数相対度数

0

点以上

10

点未満

5 12 0.032 12 0.032 10

〃

20

〃

15 10 0.027 22 0.059 20

〃

30

〃

25 19 0.051 41 0.110 30

〃

40

〃

35 42 0.113 83 0.223 40

〃

50

〃

45 72 0.193 155 0.416 50

〃

60

〃

55 82 0.220 237 0.635 60

〃

70

〃

65 54 0.145 291 0.780 70

〃

80

〃

75 38 0.102 329 0.882 80

〃

90

〃

85 25 0.067 354 0.949 90

〃

100

点以下

95 19 0.051 373 1.000

合計

373 1.00

(5)

度数分布

•

階級値：階級を代表する値で、通常階級の中間値とする。

•

^度数

frequency

：各階級に属する観測値の個数

•

^相対度数

relative frequency

：各階級に属する観測値の割合

•

^累積度数

cumulative frequency

：度数を下の階級から順に積み上げたときの度数

•

^{累積相対度数}

cumulative relative frequency

：度数を下の階級から順に積み上げたときの相対度数

(6)

度数分布の定義

定義

1 (

^度数分布

)

観測値のとりうる値をいくつかの

階級

class

に分け、それぞれの階級で観測値がいくつ

あるか度数

frequency

を数えて、表にしたものを度数分布（

frequency distribution

）という。

(7)

ヒストグラム

•

^{ヒストグラムとは}

定義

2

度数分布をグラフにしたものをヒストグラ

histogram

ムという。

•

^{ヒストグラムの作り方}

階級に対して階級幅を横幅とし、柱の高さを度数とするように定める。

(8)

ヒストグラム作成時の注意

•

階級数、階級幅を変化させることによって、ヒストグラムの様子が大きく変わる。

•

^{スタージェスの公式}

:

観測値の数を

n

^とするとき、階級数を次のように決める公式

k ≈ 1 + log n/ log 2

例えば、試験の得点の場合、

n = 373 −→ k = 9 . 543 · · ·

(9)

ヒストグラムの例

20 40 60 80 100

Score 0

20 40 60 80

Frequency

図

1:

統計学の得点データのヒストグラム：階級数が

10

の場合

(10)

ヒストグラムの例

(

^つづき

)

20 40 60 80 100

Score 0

25 50 75 100 125 150

Frequency

図

2:

統計学の得点データのヒストグラム：階級数が

5

の場合

(11)

2.

^代表値

(12)

標本平均

定義

3 (

^標本平均

) n

^{個の観測値の算術平均}

y ¯ = 1 n

n

i=1

y

i

= 1

n ( y

1

+ y

2

+ · · · + y

n−1

+ y

n

)

を標本平均

sample mean

という。

(13)

順序統計量

定義

4 (

^{順序統計量}

) order statistics:

標本

y

1

, y

2

, · · · , y

n−1

, y

n を小さいものの順に

y

(1)

≤ y

(2)

≤ · · · ≤ y

(n−1)

≤ y

(n)

並べ替えられたものを順序統計量という。

定義

5 (

メディアン（中央値、中位数）

) median:

標本数

n

が偶数と奇数の場合に分ける

⎧⎪

⎨

⎪⎩

y med = y

(m+1) 奇数の場合：

n = 2 m + 1 y med =

^y^(m)^+y2^(m+1) 偶数の場合：

n = 2 m

(14)

分位点

定義

6 (

^百分位点

) percentile:

ある

0 ≤ p ≤ 1

に対し、順序統計量

y

(1)

≤ y

(2)

≤ · · · ≤ y

(n−1)

≤ y

(n)

の

100 p

^{番目の値を、}

100 p %

分位点という。

定義

7 (

^四分位点

) quantile:

順序統計量

y

(1)

≤ y

(2)

≤ · · · ≤ y

(n−1)

≤ y

(n)

を

4

等分したときの三つの分割点。

25%

分位点

− →

^第

1

^四分位点

50%

分位点

− →

^第

2

^四分位点^{（メディアン）}

75%

分位点

− →

^第

3

^四分位点

(15)

モード・その他

定義

8 (

^モード

) mode:

度数分布表において、その度数が最大である階級の階級値。

定義

9 (

^{ミッド・レンジ}

) mid-range:

y mid = y

(1)

+ y

(n)

2

注意

:

最もよく使われるのが次の３つである。

•

^平均

•

^{メディアン}

•

^モード

(16)

3.

^{散らばりの尺度}

(17)

分散

定義

10 (

^標本分散

) variance:

最もよく使われるのが次の標本分散である

S

_n²

= 1 n

n i=1

( y

i

− y ¯ )

²

= 1 n

( y

1

− y ¯ )

²

+ ( y

2

− y ¯ )

²

+ · · · + ( y

n

− y ¯ )

²

次の計算式を覚えておくと便利であろう。

S

_n²

= 1 n

⎧⎨

⎩ n

i=1

y

_i²

− n y ¯

²

⎫⎬

⎭

(18)

標準偏差

定義

11 (

^標準偏差

) standard deviation:

標本分散の平方根。

S

n

=

S

_n²

=

1 n

n i=1

( y

i

− y ¯ )

²

標準偏差の利点：観測値と同じ単位をもつこと。