母分布と標本分布 , 期待値の計算

.

... 母分布と標本分布, 期待値の計算

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習II L02(2013-04-17 Wed)

今日の目標 .

..

1 母分布(^確率分布)^{からグラフが描ける}. .

2.. 標本からExcelでヒストグラムが描ける.

. ..

3 母分布から手と数式で(母)期待値が計算できる. .

..

4 標本から電卓やExcel^で(^母)^{期待値が推定で} きる

Quiz

ここまで来たよ

1... ランダムウォークと擬似乱数生成 Quiz^解説

2... 母分布と標本分布,^{期待値の計算} 母分布と標本分布

(相対)度数分布表 ヒストグラム 期待値

ランダムウォークと擬似乱数生成 Quiz解説

.Quiz(疑似乱数の使いかた) ..

...

サンプルプログラムを参考に,引数 y として[0,1)一様乱数が与えられた とき,^{下の確率で値を返す}int getrandom(double y)^を書こう.

返り値 確率

−1 1/3 0 1/2 +1 1/6

Quiz^解答:^{疑似乱数の使いかた}

ソースコード 1: ^乱数

1 int g e t r a n d o m ( d o u b l e y ){

2 if ( y < 1 . 0 / 3 . 0 ){

3 r e t u r n -1;

4 } e l s e if ( y < 1 . 0 / 3 . 0 + 1 . 0 / 2 . 0 ){

5 r e t u r n 0;

6 } e l s e {

7 r e t u r n +1;

Quiz

誤りの種類(深刻順) S(50%)

1 i f( y<1 . 0 / 3 . 0 ){

2 /∗ A ∗/

3 } e l s e i f ( y<1 . 0 / 2 . 0 ){

4 /∗ B ∗/

5 } e l s e {

6 /∗ C ∗/

7 }

のような誤り. Aは0≤y <1/3, Bは1/3≤y <1/2 のとき起きる. 確 率は,この区間の長さに等しいので, A^は1/3, B^は1/6^{の確率でおきるこ} とになっちゃう. この問題でいちばん考えてほしいポイントでした. ^もう 1回考えてみてね.

I(19%) C^では,a < x < bみたいな不等式は書けません(^{正確には別の意} 味になっちゃう). ^面倒でも&&^でa<x && x<b^{と書かなきゃ}.

C(31%) 1/3って書いてるけど,それCでは int 同士の整数の演算で0に

ランダムウォークと擬似乱数生成 Quiz解説

F(14%) 1/3 = 0.33 と短い桁の小数で書いちゃった. 不正確すぎ.

R(13%)

1 i f( y<1 . 0 / 3 . 0 ){

2 /∗ ^{何 か} ∗/

3 } e l s e i f ( y>=1.0/3.0 && y<5 . 0 / 6 . 0 ){

4 /∗ ^{何 か 別} ∗/

5 } e l s e {

6 /∗ ^{ま た 何 か 別} ∗/

7 }

の y>=1.0/3.0^{って無駄じゃない}? ここに来るなら必ず成立してるよね.

E(6%) その他例外的な誤り.

ここまで来たよ

1... ランダムウォークと擬似乱数生成 Quiz^解説

2... 母分布と標本分布,^{期待値の計算} 母分布と標本分布

(相対)度数分布表 ヒストグラム 期待値

母分布と標本分布,期待値の計算 母分布と標本分布

母分布と標本分布 例A

確率分布

R 確率

1 ¹₆ 2 ¹₃ 3 ¹₂

ここからグラフを描く方法 ×2

母分布 標本分布

母分布と標本分布の比較

母分布 標本分布

サイズ 1つに定まっている. 本物. ‘やる’たびに違う. 実験結 果.

→ ^サイズ∞ → ^{標本サイズ を自由に決} められる

例 表

関数 P_j =f(R_j)

1^個のgetrandom() ^{実行してみる}

1個のサイコロ ふってみる 赤ひげ危機一髪 刺してみる ブラックボックス 使ってみる この他にも,^{母ナントカ},標本ナントカ がいろいろある. 母=population, 標本=サンプル

母分布と標本分布,期待値の計算 母分布と標本分布

母ナントカと標本ナントカの関係

母ナントカから標本ナントカを作る 標本抽出

サンプルに1個ずつデータを追加(試行という)していって作る

作るたびに異なるサンプルになる

母分布がブラックボックスでも,とりあえず使えるデータが手に入る 推定に使うため,好きなサイズのサンプルを作る

標本ナントカから母ナントカをあてる推定

正確にあたるとは限らない

サンプルが違えば推定結果も違う

母分布が(正確には)わからないとき,なるべく正確な推定をしたい.

.Quiz(母分布と標本分布) ..

...

以下のようにして得られるのは母分布?標本分布? 母分布のものを何個で も選ぼう.

.

1.. getrandom()^{内の定義を読んで},この値が返る確率はいくつ,^と考

える. . ..

2 getrandom()^をfor ^{で何度も実行して},どの値が何回返ったか数える.

.

3.. 赤玉白玉のたくさんはいった箱から,中を見ないで取りだして,^元に 戻す. このとき赤玉である確率を求めるのに,箱の中の赤玉白玉の総 数を数える.

.

4.. 宝くじのあたる確率を,宝くじを買ってみることで求める .

..

5 あるコインの表がでる確率がきっちり1/2かどうか調べるために, コインを何回も投げてみる.

母分布と標本分布,期待値の計算 (相対)度数分布表

ここまで来たよ

1... ランダムウォークと擬似乱数生成 Quiz^解説

2... 母分布と標本分布,^{期待値の計算} 母分布と標本分布

(相対)度数分布表 ヒストグラム 期待値

(相対)度数分布表 サンプル → ^{度数分布表}→ ^{相対度数表} 例A

母分布と標本分布,期待値の計算 ヒストグラム

ここまで来たよ

1... ランダムウォークと擬似乱数生成 Quiz^解説

2... 母分布と標本分布,^{期待値の計算} 母分布と標本分布

(相対)度数分布表 ヒストグラム 期待値

ヒストグラム (^相対)度数分布表を粗くグラフ化する方法

一定幅の階級,ビン a≤r < a+dに分けて,その中に入る個数を数える. d: 階級,ビンの幅

データから Excel^{で描く方法}→ ^演習

例 ある時点で, AKB48グループから無作為に彼女1人を選んだときの, 身長の母分布のヒストグラムを描こう

145,152,153, . . ..

階級 度数 相対度数

145より大きく150以下 7 0.09 150より大きく155以下 17 0.22 155より大きく160以下 29 0.37 160より大きく165以下 19 0.24 165より大きく170以下 4 0.05 170より大きく175以下 1 0.01 175より大きく180以下 0 0.00 180より大きく185以下 1 0.01

合計 78 1.00

母分布と標本分布,期待値の計算 ヒストグラム

.Quiz(ヒストグラム) ..

...

下の1変量データについて,度数分布表とヒストグラムを作ろう. ただし, 階級は,^幅が5, ‘a^以上b^未満’^{で定めよう}.

X 104 108 108 108 108 112 114 115 115 118

ここまで来たよ

1... ランダムウォークと擬似乱数生成 Quiz^解説

2... 母分布と標本分布,^{期待値の計算} 母分布と標本分布

(相対)度数分布表 ヒストグラム 期待値

母分布と標本分布,期待値の計算 期待値

母期待値

R: ^確率変数

例

R ^確率

r₁ p₁ r2 p2

· · · · · · r_m p_m

j: とりうる値につけた番号. 当然,確率の合計

∑m j=1

p_j = 1. (全事象)

f(R): R の関数

例f(R) = 2R, R²,e^R,(場合分けで書かれた関数),^…. .f(R)の母期待値

..

...

E(f(R)) =

∑m j=1

p_j×f(r_j)

.

よく使われる期待値

確率の合計 = E(1) = 1. ^つまりf(R) = 1, 平均値 =µ= E(R). つまり f(R) =R,

分散 =σ²= E((R−µ)²). つまり f(R) = (R−µ)². 例A

母分布と標本分布,期待値の計算 期待値

標本から母期待値を推定する

さっきのようにして,^{まず母分布を推定して},そこから母期待値を計算す ることもできるが,もっと楽な方法がある.

.標本期待値 ..

...

母期待値 E(f(R))^は,^{標本期待値}

1 N

∑N i=1

f(R⁽ⁱ⁾)

に近いはず. ‘母期待値を標本期待値で推定する’ (i): サンプル番号. 値に重複あり. N:サンプルサイズ.

Excel ^{で計算する方法}→ ^演習

例A

母分布と標本分布,期待値の計算 期待値

.Quiz(期待値) ..

...

確率変数 R は,値R=−2を確率3/11で,値R=−1を確率1/11で,値 R= 0^を確率2/11^で,^値R= +1^を確率5/11 ^でとる.

.

1.. 母期待値 E(R²) ^{を求めよう}. .

..

2 母期待値 E(R)を求めよう. .

..

3 e^R>0.9 ^{となる確率を求めよう}.

.Quiz(標本期待値) ..

...

ゆがんだサイコロがある. これを振ってでる目の数を確率変数R とする. 振ることによって,次のようなサンプルを得た.

1,6,1,2,1,3,4,2,2,1 .

..

1 (相対)度数分布表を作ろう .

..

2 ヒストグラムを作ろう .

3.. 期待値 E(_R¹)^{を推定しよう}. .

..

4 期待値 E(R) を推定しよう.

母分布と標本分布,期待値の計算 期待値

予習復習問題これからは,

金11:05^{締切の予習復習問題は} RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle→^計算科学II(講義) で やってね.

水13:35 ^{締切の予習復習問題は} C-learning

http://asp.c-learning.jp/s/^{でやってね}.