体分布多重調和関数を用いた補間および多次元数値積分法
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(2) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌VoL14,Nα3,2004. た だ し,▽ ん=42/ぬ2で. あ り,〃 チ は ㎎Lの. 曲 率*で. デ ィ ラ ッ ク の デ ル タ 関 数 で あ る.式(2.1),(2.2)よ. こ れ は,図1に. 示 す よ うな点 荷 重 吋. 支 持 さ れ て お り,両 端 で モ ー メ ン ト吟. Fig.. 方,多. 1.. 知 の 点 荷 重 〃ノ を 逆 に 求 め て 補 間 が 行 わ れ る.た. を0と. 仮 定 して い る 。 な お,こ. with. unknown. thin. plate. 線 ア=∫rκ ノの 曲 率 は ∫"/rl+∫'2/3/2で. point. load. 与 え られ る か ら,所. く. は単純. れ は 自然 ス プ ラ イ ン と 同 じ も の で あ ノ方 向に掛. 式 に よ り補 間 を 行 う.. for interpolation. for two-dimensional. 料 力 学 の 分 野 で は,近 似 的 な 意 味 で こ の よ うに よ ん で い る の で,こ も 同 様 の 注 意 が あ て は ま る.. だ し,梁. 次 元 の ス プ ラ イ ン 関 数 をxと. 重 調 和 関 数 を 用 い る 方 法 で は,次. Beam. Fig. 2. Fictitious. 一Xfノ で あ り δrx-Xゴ ノ は. り 次 式 が 得 ら れ る.. く知 ら れ た 二 次 元 ス プ ラ イ ン に お い て は,一. け る こ と が 行 わ れ て い る.一. *曲. た,瑳Prκ,ノ=略Pδrκ. を伴 う梁 の 変 位 照 乙を 求 め る 式 と同 じ も の で あ る が 。 こ こ で は,い. っ か の 梁 の 変 位 ㎎Lが 与 え ら れ て お り,未. る[5,11]. 二 次 元 の 場 合,よ. あ る.ま. interpolation. を 曲 率 と よ ぶ こ と は 正 し く な い が,材 の 習 慣 に 従 う.以 下,二. 次 元,三. 次元 で.
(3) 体分布多重調和 関数 を用いた補間お よび多次元数値積分法. 〃∼Prκ2=〃. ∼Pδrκ一 κ,ノで あ り δrκ一 κゴノは デ ィ ラ ッ ク の デ ル タ 関 数 で あ る ・ 式(2・4)・(2・5)よ. り 次 式 が 得 られ. る.. こ れ は,図2に. 示 す よ うな 点 荷 重 耳ず を 伴 う薄 板 の 変 位 照 ∫を 求 め る 式 と 同 じ もの で あ る.し. は,い. くっ か の 点 で 薄 板 の 変 位Wρ が 与 え ら れ て お り,未 知 の 点 荷 重 の 値 〃ノ を 逆 に 求 め て,補. る.た. だ し,薄 板 の 縁 で モ ー メ ン トに 相 当 す る 曜. か し,こ. 積 分 方 程 式 を 用 い る.そ. た だ し,1は 二 点P,Q問 で あ る[3,41.. の 際,下. が0と. 仮 定 す る.式(2。4),(2,5)を. こで. 間 が 行 われ. 解 くに あ た っ ては境 界. 記 の 調 和 関 数 お よ び 重 調 和 関 数 を 用 い る.. の 距 離 で あ る.式(2.9)の. 重 調 和 関 数 は,下. 記 の 薄 板 ス プ ラ イ ン 乃 と同 等 の 関 数. 論 文[6,8】で は,こ れ ら の 事 柄 が 一 般 化 され て い る. 三 次 元 の 場 合 に は,多 重 調 和 関 数 を 用 い て 滑 ら か な 補 間 を 得 る た め に 方 程 式 の 数Fを3と. して補 間 を行. 汽 「ρ1. な お,三. 次 元 の 場 合,∫ と2で は 滑 ら か な 補 間 が 得 られ な い.実. で 与 え られ,図3か. ら 分 か る よ うに,重 調 和 関 数%は,rの. (2。5)を用 い た 補 間 で は 滑 らか な 補 間 が 得 られ な い.実 しか し な が ら,式(2,11)∼(2.13)の. よ うに 」 臨3と. 際,三. 次 元 の 多 重 調 和 関 数 鱈 は,. 関 数 で あ り,FOで. 滑 らか で は な い の で,式(2.4),. 例 を 数 値 実 験 の と こ ろ で 示 す.. した た め に,補. 間 の 安 定 性 に 問 題 が 発 生 し,し. か も,離. 散 化 し て 得 ら れ る 連 立 方 程 式 を 解 く の に 時 間 が 多 く必 要 と な る[6】.補 間 が 不 安 定 に な る 場 合 が あ る原 因 は, 本 補 間 で は 連 立 積 分 方 程 式 を数 値 的 に 解 く 必 要 が あ り,被. 積 分 関 数 パ 置,君r3を 含 む た め,そ. れ らを 離 散 化. して 得 られ る 連 立 方 程 式 の 係 数 行 列 の 成 分 の 値 が 大 き く変 化 し,連 立 方 程 式 は 悪 条 件 に な る た め で あ る.実 例 を数値 実験 の と ころ で示 す 。.
(4) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol.14,Nα3,2004. 2.2体. 分 布 多 重 調 和 関 数 に よ る補 間. 二 次 元 の 場 合,式(2.7)に 耳望 を 与 え た ほ うが,滑 る.点. 荷 重 の 場 合,荷. 分布荷重 岬. お い て は 点 荷 重 を 考 え た が,【91に お い て,半. 径 過 の 円形 領 域 に一様 な 分布 荷重. ら か な 補 間 が 得 られ る こ と が 示 され て い る 。 よ り詳 し く 述 べ る と,以. 重 点 に お け るモ ー メ ン トお よ び 薄 板 の 曲 率 砺3が 無 限 に な る.半 径Aの. を 与 え た 場 合,モ. 下 の よ うで あ 部 分 に一 様 な. ー メ ン トお よび 薄 板 の 曲 率 〃ず は 有 限 値 に な り,点 荷 重 の 場 合 よ り 滑 らか な. 曲 面 と な る.し か し,分 布 荷 重 〃望 で 表 現 した 場 合,分. 布 の 状 態 を 表 す 情 報 が 必 要 に な る 。 そ こ で,半. の 円 形 領 域 に 一 様 な 分 布 荷 重 〃望 を 与 え る とす る と,半. 径Aと. き る.な. お,半. 径 』 の 円 形 領 域 の 一 様 な 分 布 荷 重 耳ゲ を%二. 式 に お け る 領 域 積 分 を避 け る た め に,分. 径乃. 中心 点 の位 置情 報 だ けで 処理 す るこ とが で と置 き,点. 荷重 の場 合 と同様 に連 立積 分 方程. 布 荷 重 聾学 が 作 用 す る 領 域 ∫2刃に 関 して 次 式 で 示 され る 体 分 布 多 重. 調 和 関 数 を 用 い る.. 二次 元 問題 の 場合 の体 分 布 調和 関数7ン の具 体 形 は以 下 の よ うで あ る.. 三 次 元 の 場 合,上. 記 の 二 次 元 の 結 果 を うけ て,安. 定 か つ 滑 ら か な 補 間 を 得 る た め に,次. の よ うな 半 径 月.
(5) 体分布多重調和 関数 を用いた補間お よび多次元数値積分法. Fig. 4.. Notations. for polyharmonic. function. of vol ume. distribution. の 球 の 一 様 分 布 〃鶉 を 用 い た 補 間 を 考 え る.. 式(2.21)を 導 入 す る と,次. た だ し,図4に. 式 で 定 義 され る 体 分 布 多 重 調 和 関 数7ン が 必 要 に な る(図4参. 示 す よ うに 観 測 点Pか. 行 う と 丑 の 関 数 と な る が,式(2.14)と. 照).. ら 体 分 布 関 数 の 中 心 σま で の 距 離 を 刃 とす る[12】.式(2.22)の 積 分 を の 整 合 性 の た め に 丑 をrと. 書 き 改 め て,本 論 文 に 必 要 な 体 分 布 多 重 調. 和 関数 の具 体 形 を以 下 に示 す 。. 式(2.20),(2.21>を. 解 く た め に,式(2.20),(2.21)を. 分 布 状 態 猟 二(φ の 数 をMと. し,領. の 定 理 よ り 次 式 が 得 ら れ る[6,7,8】.. 境 界 積 分 形 に 変 形 す る.点9の. 域 Ωの 境 界 の 面 積 要 素 を お. ま わ りに 半 径 オ の 一 様. と す る と,式(2,20),(2.21)お. よ び グ リー ン.
(6) 日本 応 用 数 理 学 会論 文 誌VoL14,Nα3,2004. た だ し,oはPが 上 の 点,小. 滑 ら か な 境 界 上 に あ る と き は0.5で. 文 字gは. 式(2.27),(2.28)を え ば,補. 内 点 を 示 す も の とす る.同. あ り,内 点 の と き は1の. 値 を と る.大. 文 字9は. 境界. 様 に 式(2.21)よ り,次 式 が 得 られ る.. 用 い て 補 間 を 行 う た め の 具 体 的 計 算 手 順 は2.4節. で 与 え ら れ る.大. 雑 把 に言. 間 の た め に 与 え ら れ た 境 界 上 の 点 の 値 と 任 意 位 置 の 内 点 の 値 か ら,式(227),(2.28)を. 用 い て ∂監. 畷. の 値 を 求 め,そ. れ を 式(2.27)に 代 入 し て 舗. 間 点 で の 値 を計 算 す る。. 式(2.21)を 導 入 す る と き,半 径 滋 の 球 領 域 に 一 様 に 分 布 させ た 状 態 を 示 す 体 分 布 多 重 調 和 関 数 窃 を用 い た が,一 般 的 に は 一 様 に 分 布 さ せ る必 要 は な い.こ の 時,%の を 用 い て,次 式 で 定 義 さ れ る 関 数 を 用 い る こ と に な る.. CADやCGな. どに お い て は,補. 間 さ れ た 分 布 の 微 分 値 が 重 要 な 働 き を す る の で,補. を 求 め る 式 を 示 す.式(2.27)をx,(戸1,2,3)で. 上 式 に お い て,2点. 代 わ り に,分 布 布 状 態 を示 す 関 数 、 研 〃,φ,aノ. を κ,(#1,2,3)とX!と. 微 分 す る と,次. 間 され た 分 布 の 勾 配. 式 が 得 られ る.. す る と,∂ 〃 ∂κ、=rκ、一κ!ノ〃 で あ る.. 2.3数 値 積 分 法 任 意 境 界 形 状 内 で 定 義 さ れ た 関 数 の 数 値 積 分 方 法 を 示 す.ま ず,分 布 照 μが 式(2.11)∼(2.13)で 合,グ. リー ン の 定 理 を活 用 し,領 域 積 分 を 境 界 積 分 に 変 換 す る た め に,関 数 輪=1を. れ る 関 数 吟 を 使 用 す る.. 式(2.11)∼(2.13),㎎. グ=㎎7偽,式(2.34)お. よ び グ リ ー ン の 定 理 よ り 次 式 が 得 ら れ る. Ar曽.「!ノA.」. △. 補 間 した 場. 定 義 し,次 式 で 与 え ら.
(7) 体分布多重調和 関数 を用 いた補間お よび多次元数値積分法. た だ し,ρ は 任 意 点 を 示 し,式(2.35)の い.な. お,η. 次 元 問 題 の 場 合,次. 式 に よ り式(2.35)の 関 数 吟 が 求 め ら れ る.. 三 次元 の場 合 の 吟 お よび ∂吟/勧. 同 様 に,式(2.20),(2.21)で. た だ し,関. え ば,与. は 次 式 とな る.. 補 間 し た 場 合 は,次. 式 と な る.. 数 豚μ は 次 式 で 得 られ る 。. 式(2.40)の 関 数 偽4は,rの. 式(2.39)を. 積 分 値 は 点 ρ の 位 置 に よ らな い 値 と な り,ρ は 領 域 外 で あ っ て も よ. 用 い て,数. 値 に 関 係 な く 次 式 で 与 え られ る.. 値 積 分 を 行 う た め の 具 体 的 計 算 手 順 は2.4節. え られ た 境 界 上 の 岬. に 代 入 す る こ と に よ っ て,積. で 与 え ら れ る.大. と 補 間 の 言+算 に お い て 計 算 さ れ た ∂髪(∫=瓦2),唯. 分 値 が 計 算 さ れ る.な. お,二 次 元 の 場 合,関. 数 吟,そ. 式(2.39) の 法 線 方 向微 分,. お よび 関 数 偽 κは 次 式 で 与 え られ る,. ま た,一. 次 元 の 場 合 も,関. 数 吟,そ. の 法 線 方 向 微 分,お. よび 関数 伽. 雑把 に言. は 次 式 で 与 え られ る..
(8) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol,14,Nα3,2004. 2.4補. 間 お よ び 数 値 積 分 の 具 体 的計 算 手 順. 補 間 の場 合. ま ず,境 界 上 お よ び,い. く つ か の 内 点 で の 関 数 値 か ら,式(2.27),(2.28>の. 求 め る ・任 意 の 点 で の 関 数 の 補 関 値 は ・計 算 さ れ た ∂〃ザ/∂ η,〃 娼 を用 い て,式(2、27)よ. ∂〃ザ/∂ ηやW鉱. 式(2.27)お よ び(2.28)を 離 散 化 に 際 し,境 ク トルWp∂. gは 内 点 を 示 す も の とす る.式(2.27)を. た だ し,Hl,G1,H2,G2お. り計 算 す る.以 下,. 界 に 対 して 一 定 要 素 を 用 い る こ と に す る.曜(0を. 〃ザrgノ/∂ ηを成 分 に 持 つ ベ ク トル をVf,砂. を. 成 分 に持 っ ベ. 蜘 加ノを 成 分 に 持 つ ベ ク トル をwfと. し,ρ お よ び. 離 散 化 す る と次 式 が 得 られ る 【11。. よ びG9は,点1で. 離 散 化 し,薦. ・ で 面 積 分 を 行 っ た 場 合,次. 式 の 成分 を持 っマ. ト リ ッ ク ス で あ る.. た だ し,上. 添 え 字Pは. ま た,式(2.27)に. 畷. を 与 え る 点 で あ る こ と を 示 す.W敷P)に. お い て,値W(pP)の. た だ し,H3,G3,H4,G4お. 内 点 を 活 用 す る と次 式 が 得 られ る.. よ びGlは,次. ρ ∂7YηPO♪. 関 し て 式(2.28)よ り次 式 が 得 られ る .. 式 の 成 分 を 持 つ マ ト リ ッ ク ス で あ る..
(9) 上 式 よ りV1,V2お. よびwfを. 求 め る こ と が で き る.任 意 点 の 補 間 値 は,求. め られ たV1 ,V2,W『. を用 い て式. (2.27)よ り計 算 す る.式(2.62)で はW2=0と 置 い た が,面 対 称 の 所 で はV2=0と 置 い て も よ い.一 定 要 素 を 用 い,境 界 を 焼 分 割 し,内 点 を ノV1点使 用 した 場 合,(2ハ も+2Vl)次 の 連 立 方 程 式 を 解 か な け れ ば な ら な い .な お,鼻3と し,体 分 布 調 和 関 数 を 用 い な い 場 合 は(3瑞+ハ11)次 の 連 立 方 程 式 を解 か な け れ ば な ら な い. 式(2.50),(2.52)の 計 算 に お い て 戸 ノの 場 合 の 成 分 の 計 算 方 法 を 示 す.四 角 形 一 定 要 素 を 使 用 す る 場 合,図 5(a)の よ うに 要 素 を 分 割 し,図5(b)の 記 号 を 使 用 す る と,次 式 の 積 分 で 計 算 す る こ と が で き る 【1】 .. た た し,躍 θは 二 角 形 の 面 積 で あ る. 数値積分の場合. 式(2。39)の数 値 積 分 の 式 も 上 記 と同 様 に 離 散 化 す る こ と が で き る.. (a) Element. (b) Co-ordinates Fig.. 5. Notation. for integral.
(10) 174. 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol.14,No.3,2004. 積 分 値 は,式(2.62)よ. 3.活. 用. り 求 め ら れ たV1,V2,wfを. 代 入 す る こ と に よ っ て 計 算 さ れ る.. 例. 外 形 の 形 状 お よ び 内 点 が 与 え られ た 場 合 の 補 間 例 を 示 す.図6(a),(b)に1辺 分 割 と内 点 の 例 を 示 す.立. 方 体 の 表 面 の 値 を1と. 内 点 の 黒 丸 を 一1と す る.図7(a)に. し,ボ. の 長 さ は10の. トル 容 器 の 表 面 点(白. 体 分 布 多 重 調 和 関 数7云. 丸)を0と. 立方 体 の 要素. し,ボ. トル 容 器 の. を 用 い て 補 間 した 場 合 の 例 を,図6(a)に. おける. 戸5に お け る 断 面 で 示 す.こ の 図 よ り,こ の 補 間 は 立 体 形 状 を 作 成 す る こ と に 使 用 で き る こ と が 分 か る.っ ま り,レ イ トレ ー シ ン グ に よ り,値 が0の 面 を探 査 し,そ の 表 面 点 の 法 線 を 式(2.30>を 用 い て 計 算 す る こ と に よ り,立 体 をCRT上 方 程 式 の数 を 」 聾2と 合,連. 続(Oo)で. に 表 示 す る こ と が で き る[10】.図7(b)に,こ し,関. 数 ろ を 用 い た 場 合 を 図7(c>に. は あ る が 滑 らか な 補 間 が 得 られ な い.小. と し,関 数 ろ を 用 い た 場 合,図7(d)に. 示 す.こ. の よ う に して 得 られ た 立 体 の 例 を 示 す. の 例 か ら分 か る よ うに 、 酷2を. さ な 窪 み は,指. 定 した 表 面 点 で あ る.ま. 示 す よ うに 滑 らか な 補 間 が 得 られ る が,角. 用 い た場 た,」 聾3. 部 の補 間 が 乱れ てい る こ. とが 分 か る.な お,半 径 滋 は 最 も 近 い 他 の 表 面 点 ま た は 内 点 ま で の 距 離 の112と した. こ の 補 間 は 図7の よ うな 単 純 な 形 状 で あ る必 要 は な く,図8(a)の ミ ロ の ビー ナ ス の 表 面 点 か ら 図8(b)の 形 状 を 得 る こ とが で き る. 次 に,次. 図蜘. 式 の 三 重 積 分 の 数 値 積 分 を 行 っ た.. に境一. で あ り,式(2,39)を. 分割と使用 した内点を示括1・ 用 い た 数 値 積 分 の値 は259.0で. とした場合 上式の厳密なイ 直は〔夢1=258・L. あ っ た.た. 面 積 分 に は8点 ガ ウ ス 積 分 を使 用 した.数 値 積 分 の 精 度 は,境 と し,体 分 布 多 重 調 和 関 数 を 使 用 し な い 場 合,PentiumIVのCPUを. だ し,境 界 は 一 定 要 素 を使 用 し,領 域 境 界 の 界 要 素 数 と 内 点 を 増 加 す る と 向 上 す る.」聾3 用 い た 計 算 時 間 は5.02倍 必 要 と な り,. 計 算 値 は 不 安 定 性 の た め239.5と な っ た.∫ と3の 場 合 に は,境 界 の 分 割 数 多 くす る と 逆 に 計 算 誤 差 が 増 加 し,値 が 減 少 す る 傾 向 が あ っ た.プ ロ グ ラ ム 作 成 を 容 易 に す る た め に,一 定 要 素 を 使 用 し た が,数 値 積 分 の 精 度 を 向 上 させ る に は 境 界 に 対 し て 高 次 の 要 素 を 使 用 す る 必 要 が あ る.. (a) Boundary Fig.. 6. Interpolation. (b) Internal using. integral. equation. (Bottle). points.
(11) 体分布 多重調和関数 を用いた補 間お よび多次元数値積分法. (a) Contour line (y=5, T2A). (c) Obtained. shape. (T2 ). Fig. 7. Interpolation. (a) Surface. (d) Contour lines (T3 ). using integral equation (Bottle). points. Fig. 8. Interpolation. (b) Obtained shape (T2A). (b) Obtained using integral. equation. shape. (T2A). (Venus de Milo).
(12) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol,14,No.3,2004. (a) Boundary discretization. (b) Internal points. Fig. 9. Triple integral (Cube). 次 に,図10(a)に の と す る.. 内 半 径8=10,外. 示 す 中 空 円筒 の114領. 半 径 炉30,高. さ 厚=20と. 域 の 数 値 積 分 を 行 っ た.被 積 分 関 数 を 脳 砂 ま次 式 で 与 え られ る も. し,図10(b)の. 内 点(11×7×7)を. 使 用 し た.. 4. 厳 密 な 積 分 値 乃 は6283.16_で. あ り,数 値 計 算 値 は6319.44で. あ り,相. 対 誤 差 は0,58%で. 分 の 精 度 を 向 上 さ せ る に は 境 界 に 対 し て 高 次 の 要 素 を 使 用 す る 必 要 が あ る.. あ っ た .数 値 積.
(13) 体分布多重調和 関数 を用いた補間および多次元数値積分法. 4.結. 177. 言. 体 分布 多重 調 和 関数 お よび積 分 方 程 式 を用 いた 三 次元 補 間 法 を提 案 した.本 補 間 法 で は任 意 外形 形状 の領 域 内 の 関数 が 補 間 で き る ので,従 来 の スプ ライ ン 関数 を用 い る場 合 に比 べ て活 用 しや す い.ま た,同 様 に本 数 値 積 分 法 は任 意 外形 形 状 の領 域 で の数 値 積 分 が 可能 で あ り,積 分点 も任 意 の位 置 に置 く こ とが で き,実 用 上有 効 で あ る.三 次元 問題 の場 合,体 分布 多重 調和 関 数 を使 用 す る こ とに よ り,多 重 調和 関数 を使 用 す る場 合 に比 べ て,安 定 した 補 間 が得 られ,し か も計算 時間 が 短縮 す る こ とがで き る.数 値 積 分 にお い て重 要 な 計 算 精 度 の 向上 に関 す る研 究 を今 後 行 う予定 で あ る.. 参 考 文 献 [1]Brebbia,C.A.,Telles,J.C.F.andWrobel,L.C.,BoundaryElementTechniques--Theoryand ApplicationsinEngineering,SpringerVerlag,Berlin,(1984),(境 訳,(1984),pp.46・70,pp,274・276,丸. 界 要 素 解 析 理. 論. と 応 用,田. 中 正 隆. 善).. [2!Davis,PJ,andRabinowitz,P,MethodsofNumericalIntegration,2nded.,AcademicPress,London, (1983). [3】Dyn,N.,InterpolationofScatteredDatabyRadialFunctions,血TopicsinMultivariate Approximation,Eds.C.KChui,L.L.SchumakerandF.1.Utreras,AcademicPress,Loadon,(1987), pp.47-61. [4)Frank,R.,ScatteredDataInterpolationTestsofSomeMethods,Math.Comp.,Vo1.38,{1892), pp,181・200. [5】 市 田 浩 三,吉. 本 富 士 市,ス. 【6】 落 合 芳 博,多. 重 調 和 関 数 を 用 い た 補 間 お よ び 数 値 積 分 法,日. プ ラ イ ン 関 数. と そ の 応 用,教. 育 出 版,(1979). 本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌,Vol.8,No.4,(1998>,. pp.457-468. [71落. 合 芳 博,多. 重 調 和 関 数 を 用 い た 軸 対 称 数 値 積 分 法,日. 本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌,Vol.10,No.2,(2000),. pp.199-210. [8]Ochiai,Y.andSekiya,T.,GenerationofFree-FormSurfaceinCADforDies,Advancesin EngineeringSoftware,Vo1.22,(1995),pp.113-118. [910chiai,YandYasutomi,Z.,ImprovedMethodGeneratingaFree-FormSurfaceUsingIntegral Equation,ComputerAidedGeometricDesign,Vo1.17,(2000),pp.233-245. [10】Roth,SD.,RayCastingforModelingSolids,ComputerGraphicsandImageProcessing,Vbl.18, (1982),pp.109-144. [11】 桜 井 明,Cに [121佐. よ る ス プ ラ イ ン 関 数. 藤 正 千 代,新. 濃 清 志,ポ. 東 京 電 機 大 学 出 版 局,(1993)、. テ ン シ ャ ル,培. 落 合 芳博(正 会 員) 〒577・8502東. 風 館(1984),pp。26・29,. 大 阪 市 小 若 江3の4の1. 1975年 大 阪府 立大 学機 械 工 学科 卒 業,1977年. 大 阪府 立 大学 工学研 究科 修 士 課 程修 了.工 学博 士.大 阪府 立. 産 業 技術 総 合研 究所 主任研 究員,現 在,近 畿大 学 大 学 院総 合 理 工 学研 究科 教授 (2002年12月24日. 受 付). (2004年7月12日. 最 終 稿 受 付).
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図
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