Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
2006. 11. 21
先週の補足と極値問題
先週の補足と極値問題
先週の補足 先週の補足 先週の補足 先週の補足
dx d
作用素について、もう少し説明を行 う。
f
結論から述べると：
について
：作用素
と
df dx
関数
の違いとは？
dx d
dx
df
：導関数作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数
作用素と導関数
作用素と導関数の違いと は？：作用素は、この記号の後に来る関数を
x
で 微分せよ、という命令記号のようなもの。dx d
dx
df
：導関数は、関数f
をx
で微分した後の関数具体的な例として、次の先週の課題を例にとって説明す る。
x f
の記号の場合も全く同様
作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数
を、極座標 を用いて書き換え よ。
教科書
p.141
問6.
2
2 0
2 2
2
y f x
f
x f x
f
2 2 2
2
解答例：
) , (r
f
x x
関数
作用素
偏導関数
r f
r f x
sin cos
r f
r f x
sin cos
作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数
作用素 偏導関数 関数
x
F
関数 F
F r r F
sin
cos
(6.30) 式を適用
を元に戻す F
r r
f r
f
r f
r f r
sin cos sin
sin cos cos
sin cos
cos
r f
r f r
作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数
作用素 偏導関数 関数
sin cos
cos
r f
r r
f r
偏導関数 関数
の内部は関数の積になっているので
、積の微分公式を適用する。
作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数 作用素と導関数
sin cos
cos
r f
r r
f r
sin sin cos
cos
cos
r r
f r
f r r
r f r
f r
sin sin cos
0
cos 2 2
2 2
2
r f
r r
f r
f
以下、第２項以降の各項についても同様に計算す る。
作用素とはその直後の関数に作用する命令 記号のようなもの
極値問題 極値問題
極値問題 極値問題
関数の極大・極小 極大
極小
２変数関数における極大値・極小値を求める問 題を考える。
極大値・極小 極大値・極小 値 値
極大値・極小 極大値・極小 値 値
まず、１変数の場合と同様に考えるとする
。１変数関数の場 合：
となる方程式を解いて、極値の候補を探 した。
で極値なら ば
a
x f ( a ) 0
) ( x f
0 x ) ( x f
a
0 )
(
x
f
極大値・極小 極大値・極小 値 値
極大値・極小 極大値・極小 値 値
２変数の場合も同様に考えるとする。
領域 で全微分可能な関数 が点 で極値をとるならば
定理
6.1 1:
0 )
, ( )
,
( a b f a b
f
x yD b
a , ) (
) , ( x y D f
この定理の逆は成り立たない。１変数関 数でも の場合があるのと同 様。
)
3( x x
f
注）
鞍点 鞍点
鞍点 鞍点
２変数では極大点・極小点でもないも う一種類の点が存在する。峠
もし、下のような山があったとして、手前側から 向こう側へ行きたいとき、どのルートを通るか？
鞍点 鞍点 鞍点 鞍点
峠
この峠に相当する点は、
x
軸方向に対しては極小 点だが、y
軸方向に対しては極大点。鞍点
鞍点
（この考え方は、後に、最適制御などで用い
極大値・極小 極大値・極小 値 値
極大値・極小 極大値・極小
値 値
極大値・極小値の求め方関数 は点 を含む領域で 級で、
定理
6.1 2:
0 )
, ( )
,
( a b f a b
f
x y) , ( a b )
, ( x y
f C
20 )
,
( a b f
xx１）
を満たすとする
。
f
xx( a , b ) f
yy( a , b ) f
xy( a , b )
2と置くとき、次が成り立つ。
かつ のとき
、 は極大値
0
f ( a , b ) 0
) ,
( a b f
xx２）
かつ のとき
、 は極小値
0
f ( a , b )
３）
のとき、 は極大値でも極小値でもな
0
い
f ( a , b )
注）
のとき、 これだけでは判定出来な
0
い
本日の課題 本日の課題 本日の課題 本日の課題
の極値を調べよ ２変数関 。
数
2
2
6 2
3 )
,
( x y x xy y
f
定理
