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図形と証明
① 対頂角 ∠ａ ＝ ∠ｂ （証明） ∠ａ＋∠ｃ＝ 180 °なので ∠ａ ＝ １８０°－ ∠ｃ ・・・① ∠ｂ＋∠ｃ＝ 180 °なので ∠ｂ ＝ １８０°－ ∠ｃ ・・・② ①，②から ∠ａ ＝ ∠ｂ ∠ａ と ∠ｂ のように、交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます。 等しいことは、当然のように見えますが、証明とは、それを筋道立てて説明することです。∠a も、∠ｂ も 角度を使った式で、「同じ式になる」ということを述べるのが、この証明です。 ② 同位角 直線 ℓ と ｍ が平行ならば、∠ａ = ∠ｂ 同位角が等しいことは、証明しません。 「同位角が等しいことはきまり」なのです。 ③ 錯角 直線 ℓ とｍ が平行ならば、∠ｃ ＝ ∠ｂ (証明） 対頂角は等しいので、∠ａ ＝ ∠ｃ ・・・① 同位角は等しいので、∠ａ ＝ ∠ｂ ・・・② ①，②から ∠ｃ＝∠ｂ2 ④ 三角形の内角 三角形の内角の和は、∠ａ ＋ ∠ｂ ＋ ∠ｃ ＝ 180 ° （証明） ∠ａ ＋ ∠ｄ ＋ ∠e ＝ 180 ° ・・・① 錯角は等しいので、∠ｄ＝∠ｂ ・・・② 錯角は等しいので、∠ｅ＝∠ｃ ・・・③ ②，③ より ①の、∠ｄ ，∠ｅ を、∠ｂ ，∠ｃ に置き換え、 ∠ａ ＋ ∠ｂ + ∠ｃ ＝ 180 ° ⑤ 三角形の外角 三角形の外角は、∠ａ ＋ ∠ｂ ＝ ∠ｄ （証明） 三角形の内角の和より、∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＝ 180 ° ・・・① 内角と外角の和より、 ∠ｄ＋∠ｃ＝ 180 ° ・・・② ①，②の式から、∠ａ ＋∠ｂ ＝∠ｄ ⑥ 多角形の内角 ｎ角形の内角の和は、180 °×（ｎ－２） （証明） ｎ角形の対角線は、１つの頂点から、（ｎ－３）本ひくことができる。 このことから、ｎ角形は、（ｎ－２）個の三角形に分割することができる。 ｎ角形の内角の和は、（ｎ－２）個の三角形の内角の和と同じなので 180 °×（ｎ－２）となる。
3 １つの頂点から、隣の頂点へ対角線をひけません。ということは、１つの頂点と両隣の頂点以外の点に向け て対角線がひけるわけです。だから本数は（ｎ－３）となります。 次に、（ｎ－３）本の線で、１多い数 （ｎ－２）個の三角形 に分かれます。 ⑦ 多角形の外角 ｎ角形の外角の和は、360 ° （証明） 多角形の１つの頂点で、（内角）＋（外角）＝180 °である。 したがって、ｎ角形のすべての内角と外角の和は、180 °×ｎ となる。 そこで、180 °×ｎ から内角の和をひくと、 180 °×ｎ － 180 °×（ｎ－２） ＝ 180 °× ２ となる。 よって、外角の和は 360 °である。 ⑧ 合同な三角形の性質 ⅰ 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい。 ⅱ 合同な三角形の対応する線分の長さは等しい。 △ＡＢＣ≡△ＤＥＦならば、 ∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｅ，∠Ｃ＝∠Ｆ ＡＢ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＥＦ，ＣＡ＝ＦＡ ⑨ 合同な三角形の条件（合同条件） ⅰ ３辺が、それぞれ等しい三角形は、合同である。 ⅱ ２辺とその間の角が、それぞれ等しい三角形は、合同である。 ⅲ １辺とその両端の角が、それぞれ等しい三角形は、合同である。
4 ⑩ 二等辺三角形の性質「２辺が等しい三角形」 ⅰ 二等辺三角形の底角は等しい。 ⅱ 二等辺三角形の頂角の２等分線は、底辺を垂直に２等分する。 （証明） △ＡＢＣの頂角Ａの２等分線とＢＣとの交点をＰとすると、 ∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＰ・・・・・① 二等辺三角形なので、 ＡＢ＝ＡＣ ・・・・・・② ＡＰは共通の辺なので、ＡＰ＝ＡＰ ・・・・・・③ ①，②，③から、２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 △ＢＡＰ≡△ＣＡＰ したがって、∠Ｂ＝∠Ｃから、△ＡＢＣの底角は等しい。（ⅰ） ∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＣ＝90°，ＢＰ＝ＣＰから、 頂角の２等分線ＡＰは、底辺を垂直に２等分する。（ⅱ） ⑪ ２角が等しい三角形 ２つの角が等しい三角形は二等辺三角形である。 （証明） △ＡＢＣの頂角Ａの２等分線とＢＣとの交点をＰとすると、 △ＢＡＰと△ＣＡＰの内角はそれぞれ等しいので、 ∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＰ・・・・・① ∠ＢＰＡ＝∠ＣＰＡ・・・・・② ＡＰは共通の辺なので、ＡＰ＝ＡＰ ・・・・・・③ ①，②，③から、１辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、 △ＢＡＰ≡△ＣＡＰ したがって、△ＡＢＣ は ＡＢ＝ＡＣ の二等辺三角形である。
5 ⑫ 直角三角形の合同条件 ⅰ 斜辺と１つの鋭角が、それぞれ等しい三角形は、合同である。 ⅱ 斜辺と他の１辺が、それぞれ等しい三角形は、合同である。 （証明ⅰ） △ＡＢＣと△ＤＥＦで、 直角三角形なので、∠Ｃ＝∠Ｆ＝90° ・・・① １つの鋭角が等しいので、∠Ｂ＝∠Ｅ ・・・② ①，②から、∠Ａ＝∠Ｄ ・・・③ 斜辺が等しいので、ＡＢ＝ＤＥ ・・・④ ②，③，④から、１辺とその両端の角が、それぞれ等しいので、 △ＡＢＣ ≡ △ＤＥＦ （証明ⅱ） △ＡＢＣと△ＤＥＦで、 直角三角形なので、∠Ｃ＝∠Ｆ＝90° ・・・① ＡＣ＝ＤＦから２辺を重ねると、∠Ｃ＝∠Ｆ＝90°から、 ＢＥを底辺とする△ＡＢＥができる。 斜辺が等しいので、ＡＢ＝ＤＥ ・・・② △ＡＢＥは二等辺三角形で、底角は等しいので、∠Ｂ＝∠Ｅ ・・・③ ②，③から、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ
6 ⑬ 正三角形の性質「３辺が等しい三角形」 正三角形の内角は、∠ａ ＝ ∠ｂ ＝ ∠ｃ ＝ 60° （証明） 正三角形の３辺は等しいので、 ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形であることから、∠Ｂ＝∠Ｃ ・・・① ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形であることから、∠Ｃ＝∠Ａ ・・・② ①，②と、三角形の内角の和は 180°であることから、 ∠ａ ＋∠ｂ ＝∠ｃ＝ 60° ⑭ 平行四辺形の性質「向かい合う辺が平行な四角形」 ⅰ 平行四辺形の向かい合う辺は等しい。 ⅱ 平行四辺形の向かい合う角は等しい。 ⅲ 平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。 （証明ⅰ，ⅱ） △ＡＢＤと△ＣＤＢで、 ＡＢ // ＣＤから、∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ ・・・① ＡＤ // ＢＣから、∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ ・・・② 共通の辺なので、 ＢＤ＝ＤＢ ・・・・③ ①，②，③から、１辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、 △ＡＢＤ≡△ＣＤＢ したがって、ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣから、向かい合う辺は等しい。(ⅰ) 合同な三角形なので、∠Ａ＝∠Ｃ また、①，②より∠Ｂ＝∠Ｄ になるので、向かい合う角は等しい。（ⅱ）
7 （証明ⅲ） △ＡＢＯと△ＣＤＯで、 ＡＢ // ＣＤから、∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ ・・・① ∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＯ ・・・② 平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、ＡＢ＝ＣＤ ・・・③ ①，②，③から、１辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、 △ＡＢＯ≡△ＣＤＯ したがって、ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯから、 平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。（ⅲ） ⑮ 平行四辺形になる条件 ⅰ 向かい合う辺が等しい四角形は、平行四辺形である。 ⅱ 向かい合う角が等しい四角形は、平行四辺形である。 ⅲ 対角線が、それぞれの中点で交わる四角形は平行四辺形である。 ⅳ １組の向かい合う辺が等しく、平行な四角形は平行四辺形である。 （証明ⅰ） △ＡＢＤと△ＣＤＢで、 ＡＢ＝ＣＤ ・・・① ，ＡＤ＝ＣＢ ・・・② 共通の辺なので、ＢＤ＝ＤＢ ・・・・③ ①，②，③から、３辺がそれぞれ等しいので、△ＡＢＤ≡△ＣＤＢ したがって、∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ から、錯角が等しいので、ＡＢ // ＤＣ ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ から、錯角が等しいので、ＡＤ // ＢＣ 向かい合う辺が平行なので、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。
8 （証明ⅱ） ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝２（∠Ａ＋∠Ｂ）＝360°から、∠Ａ＋∠Ｂ＝180° また、∠Ｂの外角を∠ＣＢＥとすると、∠ＣＢＥ＋∠Ｂ＝180° したがって、∠Ａ＝∠ＣＢＥから、同位角が等しいので、ＡＤ // ＢＣ 同様に、∠Ｄの外角を∠ＣＤＦとすると、 ∠Ａ＝∠ＣＤＦから、同位角が等しいので、ＡＢ // ＤＣ （証明ⅲ） △ＡＢＯと△ＣＤＯで、 ＡＯ＝ＣＯ ・・・①，ＢＯ＝ＤＯ ・・・② 対頂角は等しいので、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ ・・・③ ①，②，③から、２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 △ＡＢＯ≡△ＣＤＯ したがって、∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ から、錯角が等しいので、ＡＢ // ＤＣ 同様にして、△ＢＣＯ≡△ＤＡＯ したがって、∠ＢＣＯ＝∠ＤＡＯ から、錯角が等しいので、ＡＤ // ＢＣ （証明ⅳ） △ＡＢＤと△ＣＤＢで、 ＡＢ＝ＣＤ ・・・①，ＡＢ // ＣＤから、∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ ・・・② 共通の辺なので、ＢＤ＝ＤＢ ・・・・③ ①，②，③から、２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 △ＡＢＤ≡△ＣＤＢ したがって、∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ から、錯角が等しいので、ＡＤ // ＢＣ 向かい合う辺が平行なので、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。
9 ⑯ ひし形の性質「４辺が等しい四角形」 ひし形の対角線は垂直に交わる。 （証明） △ＡＢＯと△ＡＤＯで、２辺は等しいので、ＡＢ＝ＡＤ ・・・① 対角線は、それぞれの中点で交わるので、ＢＯ＝ＤＯ ・・・② 共通の辺なので、ＡＯ＝ＡＯ ・・・③ ①，②，③から、３辺がそれぞれ等しいので、△ＡＢＯ≡△ＡＤＯ したがって、∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ＝90°から、対角線は垂直に交わる。 ⑰ 長方形の性質「４つの内角が等しい四角形」 長方形の対角線は等しい。 （証明） △ＡＢＣと△ＤＣＢで、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝90°・・・① 四角形の向かい合う辺は等しいので、ＡＢ＝ＤＣ ・・・② 共通の辺なので、ＢＣ＝ＣＢ ・・・③ ①，②，③から、２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 △ＡＢＣ≡△ＤＣＢ したがって、ＡＣ＝ＤＢから、対角線の長さは等しい。 ⑱ 正方形の性質「４辺が等しく、４つの内角が等しい四角形」 正方形の対角線は等しく、垂直に交わる。 （証明） 四角形ＡＢＣＤは、４辺が等しいので、対角線は垂直に交わる。（ひし形の性質） 四角形ＡＢＣＤは、４つの内角が等しいので、対角線は等しい。（長方形の性質） したがって、対角線は等しく、垂直に交わる。
