粘性減衰を伴う擦弦の振動
―断片線形特性の自励振動系モデル―
（速報その2 弦の捕捉条件と捩りコンプライアンス）
（昭和51年8月31日受理） 前澤成一郎 水口義久 天摩勝洋Vibration of a Bowed String with Dissipative Damping : An
example of Self-excited Vibration in Piecewise-linear
Continuous System(2nd Rapid Report : The Condition of Capture and the Effect
of Torsional Compliance)
SeiichiroMAEZAWA YoshihisaMINAKUCHI KatsuhiroTENMA Abstract Following the foregoing rapid report， steady vibrations of a bowed string are studied as self−excited maintained vibrations in a piecewise・1inear continuous system． The effect of torsional compliance in relation to the condition of capture of the string by the bow is also discussed． The piecewise−linear model is valid for vibrations of two・step zig・zag type， since the return velocity of the bowed point in them is almost exactly constant． This is a introductory trial for constructing an aヵグ‘o夕‘theory of selfexited maintain． ・dvib・ati・n・・f・b・w・d・t・i・g・Err・rs du・t・any・m・Il d・vi・ti・n・f the ret・・n v・1・・ity from the constant one may be corrected by means of one of small parameter methods， which starts from the obtained piecwise・1inear solution as a generating solution． 1．断片線形特性モデルの妥当性 張力Tで張られた両端固定の線密度μ，長さ1の弦 を，左端からx＝・ξ（ξ＜1／2）の点で，弦に垂直上向きに 一定速度v。で走る幅のない弓で弾（ひ）くとしよう。 H．v． HelmholZによれぽ，このときの弦の振動は次の ようである。図一1において中点x−1／2において高さ
A
弓 ←P ｿ←M
ξ N →α p−〉 ／ 図一1 B y（x，t）昔三（・一凋噸撚ち両端を通る㈱
をAPB，これと上下対称な放物線をAQBとする。こ れら二つの放物線によってレンズ状の閉曲線AQBPA ができるが，この上を一つの点が反時針廻り（counter・ clock wise）に周回する。この点（PおよびQをある二 つの瞬間の位置とする）から基線に下した垂線の足M stick slip ／一ξ ／2：τ＝ レ 図一2 t：およびNは基線上を往復することになるが，その基線 上のスピードは共に弦の横波の伝播速度aに等しい。 折線APBおよび折線AQBがこれらの瞬間に弦の取る 形状（configulation）である。このとき弓の直下の点 は図一2に示すような2段ジグザグ（two steP zi9・za9） 運動をするが，往き行程の速度は弓の速度Voに等し い。すなわち，往き行程は接着区間（stick interval） に属し，弓の直下の点は弓に付着して運ぽれる。戻り 行程においても速度は一定であるがこの行程は滑走区 間（slip interval）に属し，その長さの接着区間の長さ に対する比はξ／（1一ξ）すなわち弦の直下の点が弦の 全長を内分する比に等しい。したがって戻り行程にお ける弓の直下の点の速度はv。（1一ξ）／ξである。最初 にξ≦1／2と仮定したのは，接着区間の方が必ず滑走 区間より長くなるからで，もしξ＞1／2ならばξ＝1 一ξをξの代わりに用いれぽよいのである。ただしこ の場合レンズ状閉曲線の上を周回する点の向きは時針 方向（clockwise）に取らなくてはならない。 この規則はξ／1が無理数であるときに限って成り立 つ。このとき弓の直下の点は何ら特別な点ではなく， 左端からの距ee xの任意の点も往き行程と戻り行程の 比が（1−x）／xであるような2段ジグザグ波形を描 く。以上のような弦の振動は減衰のない両端固定の弦 の自由振動の一般解 ・（X・−t）一曇、si・竿（An…竿τ
＋Bn・i・劉
（1・・） の一つのタイプに等しく， y（X・ ・）一U誉（−l！ケ1si・竿・in≡
（ξ≦1／2） （1．2） と書き表すことができるのである（ξ＞1／2ならば ξ→ξ一1一ξ，（−1）n−1→1とする）。 逆にξ／1が有理数となるときは，再びHelmho1Zに よれば上の規則はそのままでは適用されない。それは 弓の直下の点を節点とするような高調波成分はこれを 弓によって励振することができないので，もしこのよ うな高調波成分が初期状態において存在していても， 弓がこのような点を弾き続けている限り，これらの高 調波成分はやがて衰えて消失してしまうからである。 すなわちこのような有理点を弓で弾く場合には，式（1． 2）からこの点を節点とするような高調波成分を全部 差し引かなくてはならない。たとえぽξ＝1／3とすれ ぽ第3，6，9，……高調波を取り除くのである。こ の場合図一1の放物線グラフに基づいて簡単な作図で各 瞬間々々の形状を求めることができる。図一3（a）および （b），図一4（a）および（b）にξ一1／3およびξ＝1／5の場合 の，各瞬間々々の弦の形状を，さらに図一5（a）および（b） に後者の場合の弦上の数個の点の変位波形を示した。 弓の直下の点は依然として無理数比の場合と同じく簡 単な2段ジグザグ運動をしているが，1／5で割り切れ ない点（特に両端に近い点）では，2段階ジグザグの 上に5個の漣（さざなみ）（ripple）が載ってくること が著しい。 簡単な作図とは次のようである。ξ・・1／3のとき 9（・・ t）一早o墓（−1仁1sin芹∬・i・”ヂ
ー妻、（蒜’si・3㌣ ・i・3㌣παり 弓 往き行程（ξ＝」／3） 旦互z4 α ・つ普・
弓 戻り行程（ξ＝1／3） 16 P7 旦旦∫ 18 4 α 19 20 21 22 23 24普・
図一3（a）ξ一1／3 の場合の往き行 程（数字は1／24 周期を単位とし た時間経過を示 す） 図一3（b）ξ ・1／3 の場合の戻り行 程（数字は1／24 周期を単位とし た時間経過を示 す）往き行程（ξ＝〃5） 玲’ 8 詰’ 戻り行程（ξ＝’／5） 弓 16 17 旦』也，4 α 18 19 20 上旦，4 α 図一4（a）ξ一1／5 の場合の往き行 程（数字は1／20 周期を単位とし た時間経過を示 す） 図一4（b）ξ＝1／5 の場合の戻り行 程（数字は1／20 周期を単位とし た時間経過を示 す） 一諜｛亙（一鵬㌍1si・竿・in〃；〃’ 一÷嘉、（r募丁1si・雰・i・儒’｝ と書けるから，第2項は厚さが1／9，口径が1／3のレ ソズが3個並ぶこととなり（図一6），この3個の閉曲線 の上をやはり反時針方向に大レソズ上の点の一回転と シンクロナイズして（垂線の足の速度はやはりa）3 回転する点P1， P2， P3とレンズ状曲線の両端の点A， 01，02，Bを結合する折れ線AP、01P202P3Bの縦座標
を初めの折れ線APBから差引いたARIR2R3Bがt−0
から1／24周期後の形状となる。以下同様に進めぽよ いo 以上において弓の動作機構（mOdus operandi）につ いては何ら言及していない。系は実際には非保存系で エ／’＝1／20 τ＝2」／α G／’＝2／20 エ／’＝3／20 エ／∫ニ4／20 劣／’；5／20 エ／’＝6／20 κ／’＝7／20 エ／’＝8／20 ズ／’＝9／20 ／’＝10／2 τ＝2’／α A 図一5（a）ξ・＝1／5 の場合の各点の 振動変位曲線 図一5（b）ξ＝1／5 の場合の各点の 振動変位曲線 （つづき） 図一6 Bあって，空気抵抗や内部摩擦によって失われるエネル ギや駒（bridge）から胴（body）へ，更に胴から空気 中へと音響エネルギとして失われるエネルギは弓の特 殊な励起作用，すなわち静摩擦力の方が全体として動 摩擦力よりも大きいという摩擦力特性に基づく作用に よって注入されるエネルギで丁度バランスされ，定常 振動が維持されているのである。しかし一周期に出入 するエネルギ量は弦の全振動エネルギに比して非常に 小さい部分に過ぎないので，このような場合の自励持 続振動の特長として，その振動数も波形もほとんど完 全に非減衰自由振動の1つのタイプのそれらに一致す るので，弓の動作機構に言及せずに振動波形も振動数 も共に実験に基づいて決定できたのである。 それでは一歩進んで弓の作用を考えに入れたらどう なるであろうか。弦と弓の間の固体摩擦力の特性は弓 を弦に押し付ける法線力Pを一定とするとき，相対速 度vの関数f（のとなり，その模様は図一7（a）のような グラフで与えられるものと考えられている。すなわち 動摩擦力（v・￥Oのとき）は相対速度lvlの増加と共に 始めは減少する。 また最大静摩擦力Fm。xは小さい相 対速度範囲の動摩擦力より大きい。このような摩擦力 特性を持つとき，Helmholzの規則に従う振動を弦が 行うときには，どのような摩擦力が働くであろうか。 まず戻り行程を考えると・相対速度は一定で㌔だ から，戻り行程では常に点Bの動摩擦力が働いている ことになる。次に往き行程では相対速度はゼロだから f（v） Fm甑Bノ一 一 一一一 Z B ノ百一ρ゜ A， f（v）
「
@△F
S一
a” BA
Fmax B’万
n Fヵ@B、 B7
B｛F工 △F S1 図一7（a） 図一7（b） 静摩擦力が働くが，静摩擦力は離脱（release）と捕促 （capture）の瞬間を除けば±．Fm。．の中間のどんな値で も取り得て，以上の条件だけからは定まらないが，エ ネルギの出入が小さいことを考えれぽ，接着区間の大 部分では点Bを通る水平線と縦座標軸の交点B’の値に 極めて近く，わずかにこれを上回る範囲内に止まるで あろうことが予想される。この接着区間の静摩擦力の 分布がいかようでもあれ，このような摩擦力の動勢は 摩擦力特性を図一7（b）のような断片線形特性で置き換え ても何ら結果は変らないはずである。すなわち弓の直 下の点のこれに近い方の端点からの距離をξとし，弓 の速度をVoとするときv・＝（1／ξ）Voの相対速度に相当 する動摩擦」ig F…f（÷小こ高さの乳い水平線・5・・ 全動摩擦力特性を置き換えるのである。静摩擦力の部 分はそのままとする。一層やかましく言えぽ，動摩擦 力特性にv＝・O±0の部分にBtts， B1”S1を付け加え 動摩擦力特性をv〈0に対しては折れ線A、B、BlttSl， v＞0に対しては折れ線ABB”Sとする。静摩擦力特 性はSB’B、’S1とし，±F＿の範囲で任意でよいとす るのである。 一見図一7（a）と図一7（b）の特性は相違が大きく，断片線 形モデルは現実に遠いと誤解され易いが，擦弦のこの 型の振動（後述のように他にも異なる型の自励持続振 動が数多く存在し，中には戻り行程の速度が一・定にな らないものも含まれる）に関しては戻り速度がほとん ど完全に一定であるので，断片線形特性モデルは極め て現実に近い結果を与えるはずなのである。 後述のいわゆるaprioriの解析の結果，戻り行程の 速度が多少一定でない結果が出たときには，この結果 を第ゼロ近似として，微小パラメータの方法によって 第1近似，第2近似など逐次近似の度を高めて行くこ ともできるであろう。2．aprioriな解析とaposterioriな解析
擦弦の振動は，空気抵抗や材料の内部摩擦のような 減衰力を受ける弦の一端を多少変位を許すような降伏 的（yieldin9）な駒（bridge）で支持し，他端（nutと 呼ぼれる方の端は指で押える）はほとんど完全に固定 し，その一部を一定速度Voで走るある幅δを持っだ 弓で弦に垂直に弾いたときに起こる連続体の自励振動 と考えられる。静止状態にあった弦をこのような弓で 弾き始めたとき，初期条件は全長にわたって変位およ び速度がゼロであり，振動は自励的に成長して（build upされて）行く過渡状態を経て遂には減衰や駒から 失われるエネルギと静摩擦力と動摩擦力の違いによって弓から注入されるエネルギがバランスして，定常周 期振動に落ち着く。その際弓を弦に押し付ける法線圧 力、Pは一定で，弦と弓との間の摩擦力特性すなわち弦 の弓に対する相対速度vの関数としての摩擦力の特性 ∫（のは振動のどの周期を取っても不変であると考え てよいであろう。 H・v・Helmholzの研究1）・2）は実験と理論の見事な 組合わせであって，顕微鏡の対物レンズを音叉の一方 の脚に装着した，いわゆる振動顕微鏡（vibration microscope）において，対物レンズを弦の長さの方向 に振動させて，黒塗りの弦の上に粘着させた澱粉粒を 強い照明の下で観察することによってリサジュー図形 を得，これを分析して二段ジグザグ形などの振動波形 を得ている。続いて両端固定の減衰なしの弦の自由振 動の一般解の中から実験で得た振動波形に対応する振 動のタイプを選び出して，前記の定常振動のフーリェ 級数展開を得ているのである。この研究が行われた時 代が我が国の嘉永，安政の頃にあることを考え合わせ れぽ，誠に先駆的な業績で一驚を禁じ得ない。その後 Kriger−MenzelとRapsによって同様な手法で主と して実験的な研究が一層詳細に行われ，Helmholzの 観察したタイプ以外にも種類の異なる多数のタイプの 振動波形が見い出された3｝。理論的研究の面での次の 巨歩は1910年代のC・V・Raman4）の研究である。彼の 研究も実験と理論との見事な結合である。彼は定常振 動を正負の方向に進行する二つの進行波の合成と考え る思想の上に立ち， しかも変位波（displacement wave）でなく速度波（velocity wave）を考察するこ とによって問題を極度に単純化し，透徹した物理的見 透しの上に立って顕著な成功を収めた。たとえぽ， Krigar・Menze1とRapsの実験的に観察した全部で64 個の振動波形の内，最初の40個は彼の分類法によって 分類され，パラメータを指定して全部理論的に再現さ れたのである。また接着区間で弦の直下の点が実際に 滑りなしで弓と共に定速度v。で前進するか否かは， 立論の基礎となる重要事項であるが，彼は自らこれを 実験的に確かめている5｝。 彼は一方で駒の降伏を考慮した運動方程式を形式的 に解いてはいるが，彼の理論的研究の主要部である速 度波を用いた解析の出発点はあくまでも減衰のない両 端固定の弦の自由振動であって，これを第ゼロ近似と して微小な線形減衰（近似的に空気抵抗，内部摩擦お よび音響伝播による減衰を代表させる）が存在すると きに，弓の付与しなけれぽならない加振力として弓力 （bowing force）を計算している。彼の用語法によれ ぽ彼の研究は在来aposteriori（経験すなわち実験に 基づいた）ものであった解析を，a priori（先験的すな わち実験に基づかない）な方向に大いに進めたもので あるが，まだ多分にaposterioriの部分を残している ということができるであろう。 この意味で完全なaprioriの研究に近いものとし ては，両端固定で減衰なしの静止している弦を定速度 の弓で弾き始めるとき，振動が成長していって遂には 定常振動に落ち着く過渡的な経過が，図一7（a）のような 一般の摩擦力特性を基礎として，A・Wittによって点 変換法を用いて見事に説明され6｝・7），また衝撃波の反 復反射を利用してJ．B． Keller8｝とF．G． Friedlanderg） によってほとんど同時にほとんど同一の手法で一層詳 細に解き明かされた。 しかし両端固定，減衰なしの弦のモデルは，自励振 動が成長してゆく過渡過程の説明にはよいであろう が，定常振動の状態では全くエネルギの授受がないの で，発音体である楽器としては無意味となる。また， Ramanが減衰なしの両端固定の弦の自由振動を第ゼ ロ近似として，これに基づいた第1近似として計算し た弓力の曲線はそのままで現実を表しているとは思わ れない。 たとえぽξ＝1／9のとき，普通の二段階ジグザグの 振動に対してRamanの計算した必要とする弓力の曲 線は図一8のようになるが，現実の摩擦力特性は図一7（a） のようであることを考えると捕捉と離脱の前後には， いわゆる「兎の耳」（rabbit ears）と呼ばれるパルス 状の尖鋭部（spike）が存在しなくてはならないことが aposterioriに結論される11）。弓方，すなわち弓の弦 に与えるべき摩擦力がRamanのような形状（図一8） では，接着区間の中央でその最大値に達するので，捕 捉も離脱も不可能であると言わざるを得ない。Raman 自身はその論文4）で， “If Krigar−Menzel and Raps were correct in their explanation of the ‘breaking loose of the bowed point from hairs of the bow’as due to the increas・ ing tension of the string， we should have expected G（θ） Stick Slip 図一8 θ＝Pt
to丘nd that the friction of the bow is amaximum immediately before the release takes place． As we have just seen， that is by no means generally the case， and we are therefore forced to conclude that the pure kinematics of the motion is also a factor in determining the release of the string by the bow．” と述べているがいかがなものであろうか。 このような理由から多少変位を許す降伏的（yield・ ing）な一端と固定した他端の間に張られ，空気抵抗 などによる減衰を伴う弦を，弦との間に図一7（a）のよう な与えられた摩擦力特性を持つ定速度v。で走る弓で 垂直に弾くときの弦の定常振動だけでも，これを運動 方程式と境界条件だけからaprioriに解析できること が望ましいわけである。なおその際弦の振りコンプラ イアンスや曲げこわさの影響，および弓の幅がゼロで なくてある有限な幅を持つことの効果なども考慮に入 れられるならぽ，それに越したことはないわけであ る。 我々の知る限りにおいて，宮島の研究1°）はこのよう なアプローチのほとんど唯一のものであるが，残念な ことには未完であって弓の位置が極度に一端に近く弓 の直下の点の変位の二段ジグザグ波形が鉛直な部分を 持つ場合に限られている。 我々は第1節の理由から摩擦力特性を第ゼロ近似と して図一7（b）のように断片線形化する代わりに，完全に aprioriで厳密な解析を試みようとするものである。 往き行程では弓の直下の点の速度は弓の定速度v。に 等しいという条件，戻り行程では弓の摩擦力が一・定の 動摩擦力Fv（相対速度（1／ξ）v。に対応する）に等し いという混合的な条件を満足させ，なおかつ弦の捕促 と離脱の瞬間には弓力は最大摩擦力Fm。．に等しくな るように条件付ける。その結果得られた速度波形が戻 り行程で一定速度を与えるならば，我々の断片線形モ デルは完全に現実を表現していることになる。もし戻 り行程の速度が多少一定から外れる結果が得られたと きには，断片線形モデル解を母解とする微小パラメー タの方法たとえぽ摂動法などを用いて，誤差を評価す れぽよいであろう。 3．弦の捕捉と離脱の条件 我々は出発点として全長にわたって平等な線形減衰 を受ける両端固定の弦を，左端からx一ξ（ξ≦1／2） の距離の点で一・定速度Voで走る幅のない弓で弦に垂 直上向きに弾く場合を考える。弦の曲げこわさは当面 ゼロとし，駒の降伏も始めは考えない。しかし弦の曲 げこわさを考慮し，また駒の降伏を考えに入れて駒と 胴を多自由度の振動系と考えても，影響が線形である かぎり後出のように，自動制御の言葉で言えば，ただ 弦を含む全体の振動系の周波数応答が異なってくるだ けで，解を求める困難さは原理的に変わらない。 この場合の弦の運動方程式は左端から距ee xの点の 時刻tにおける横変位をy（x，t）として 』き＋2・；1−♂｛謬・一疏 （3・・） となる。ここに，2cは線形減衰係数であり，弦の長さ dxの部分に働く減衰力は，弦の線密度をμとして 2・μ｛㍑となる・・は瀬のない弦における横波の 伝播速度で弦の張力をTとするとき，∼／T／μで与えら れる。我々は摩擦力特性を断片線形化して図一7（b）とす る。Fm。。は最大静止摩擦力， F，，は前述のように相対 速度（1／ξ）v。に対応する現実の動摩擦力に等しく取っ た一定と考えた動摩擦力である。動摩擦力Fvは一定 であるから，これによる静たわみyo（x）を差し引いた 変位の変動部分をop（x， t）と考えて y（x， t）＝Yo（x）十η（x， t） とする。ここに ξ＝1一ξ， x＝1−x として ・・（・）一莞品（x≦ξ）および
鋤ω一芸÷諏≧ξ）
変位の変動部分op（X， （3．1）と同形で 票＋2・；｝一∂纂 となり，境界条件は 1） 2）x一ξ で丁砺＿一嘉＿
（3．2） （3．3） （3．4） t）の満たす微分方程式は式 （3．5） りじ＝0，x・＝1でη（0，の＝η（1， t） ・−o（3．6）（∂η／ j）イ（v・一批♪一∫ω
一F（糺♪ （3・・7）
F（；幻のグラフは・U−9のとおりである・ 今定常周期振動を考え，その円振動数をω（初めに は未定）とする。ωは我々が今考えている型の振動で は減衰なしの弦の自由振動の最低次のモードの円振動 数レ≡πα／1に極めて近いであろうが，減衰の影響を 考え，一一次元の摩擦振動から類推すると，必ずしも初 めからω一レと置く必然性はないようである10）。 定常振動に達すれぽすべての変量は周期的になるのF駕
B
砂0O
一
△F（＝Fm 1一ξ一力0 ξ 2Fむ △F 図一9 ∂η ∂t で弓力（bowing force）B（θ）も周期的となり，フー リェ級数展開ができる。すなわち B（θ）＝＝ Fv十G（θ） oo ＝Fv十ao十Σ（a。cosnθ十b。sinnθ） （3．8） n＝1 ここにθ≡ωτは無次元時間でその原点を接着区間の 中央に取っている。G（θ）は弓力の変動部分である。 我々は一定の動摩擦力Fvによる静たわみを差し引い た変位の変動部分η（x，t）を考えているので，滑走 区間ではG（θ）一・Oである。G（θ）を接着区間の間だ けでフーリェ級数展開して竃㍗一 叶鋤
とする。式（3．8）の級数は式（3．9）の級数から簡単な 変換で得られる12）・13）。 接着区間での弓の直下の点の速度が，滑りなしでv。 に等しい条件 η（ξ， t）＝＝・Vo （3．10） はα2m．1，β2m＋1に対する無限連立1次方程式となり 無次元化して欝：：1：：翼鴛ごゴ誌｝
（3．11） と書ける13）。 ここにevlm＋、，属れ．、は無次元化された弓力の変動 部分 ・（θ）−G（θ）／（誓÷・・anh㌃）・ξ＋ξ （3．12） に対する式（3．9）と同様なフーリェ級数展開の係数で あり，係数Ckm，1）km， Ekm， Fkm（le， m−0，1，2， …… jは，与えられた弦については振動数比9≡ω／P と接着区間の長さθoの関数となり 4 （−1）々＋7π、9μ7πμ々×C々n靴＝・ πθo ξ、（ n（1十cos nθo）μm2−〃2）（μ兎L〃2）払・i・・n 偏一一E・le−凵i−1）肋輪・
曇、（ 〃2（1一トcos nθo）μm2−〃2）（μ、2−n2）払・…n 』☆（一・）k・・s2・ 曇、（n3（1＋cos〃θ。）μ仇2−〃2）（Ptl、2−n2）払・i・仇 （3．13） で与えられる。またM。e一仇は弓の直下の点に働く 無次元化した周期的加振力θ輌6に対する同点の無次 元化した周波数応答でこのときの同点の変位は ηπ（ξ， t）＝ノ∬πθ」（nt°t−qn） （3．14） と表現されるが，ここに一一
v芸）㎞蕊芦
2a （3．15）：1；i；；：饗：：；：｝（3・・16）
で与えられる13｝。 この外に弓の直下の点に対する境界条件として，弦 の弓からの離脱と弦の弓による捕促に際しては G（＿eg＋0 2）−G（♀一・）−F＿−Fv （3．17） でなくてはならない。 しかしこの中で離脱の条件G（θ。／2）−dFは現実に 成立しなくては離脱がそもそも行われないと思われる が，捕促の条件G（一θo／2）−AFには疑問がある。捕 促の条件はむしろη（ξ，一θ。／2ω）−v。すなわち弓の直 下の点の速度が弓の速度に等しくなることであって， これは条件式（3．10）に含まれていると考えられる。 G（一θ。／2）＝dFの方の条件は実質的に満足されなく とも，dFの高さの弓力の無限小幅のパルスで達成さ れてもよいのである。このようなパルスを伴った弓力 曲線G（θ）とこれを伴わないG（θ）はいわゆる到る 所（almost everywhere）で等しい関数だから同一・のフ ーリェ展開を与え，同一の弦の運動を結果するのであ る。 このことは一自由度系の摩擦振動を考察すれば，な お一層明らかになるであろう。図一10においてばねleの左端で固定壁に固定されたぽね一質量系（弦を代表 する）が，定速度v。で走るベルト（弓を代表する） の上に載っていて，これに駆動される。このとき二段 ジグザグのstick・slip振動が起こるとき，摩擦力特1生 を再び簡単化のため図一7（b）のように断片線形化すれ ば，振動の変位曲線はv。の傾斜の直線線分と正弦波 の一部を接ぎ合わせた図一11（a）のような静たわみ孔／le だけ高い基線を中心とした対称な鋸歯状波形となり， したがって速度曲線は図一11（b）のような載頭正弦曲線 となる。また質量mに加わるベルトカから一定の動摩 擦力F。＝f（v。）を差し引いたベルトカの変動成分 G（θ）は，図一11（c）のようになる。このときの自励持 続振動の円振動数ωは と計算され14），必ず多少なりとも，ぽね一質量系の固 有円振動数v−∪砺より低い。このとき捕促の条件 は淀＝〃。であって，ベルトカの変動部分G（θ）は捕促 直後の瞬間にはA2点またはC2点にあり，実質的には 最大摩擦力に達していない。このようにベルトカは実 質的には最大摩擦力Fm。．に達しなくとも， Fm。。と 一．Fm。．の中間の任意の値であってよいのである。し かし図一7（b）で動摩擦力特性を水平線AB”だけでな く，これに鉛直な線分B”Sを追加して鍵形の折れ線 ABB”Sと考えれば，捕促の瞬間を股いで幅がゼロで 高さが∠Fのパルス02P202’またはR2Q2R2’が付け加 わることになり，瞬間的にはベルトカは最大摩擦力に 到達すると考えられるのである。このようなパルスが 働いても，結果としての変位波形や速度波形には何の 影響もないのである。 4．振りコンプライアンスの影響 前節で行った弦の捕促条件の分析は，弦の振りに対 するコンプライアソスを考慮することによって一層明 らかになる。弦自身の中心線のまわりの回転慣性を無 視する（これは弦の涙り振動の固有振動数が，横振動 の振動数よりもはるかに高いと仮定することになる。 高調波を含めれば多少問題もあるが，当面このように 考える）と，振りコンプライアンスは弓の変位と弦の 横変位の中間に介在してぽねとして働くことになり， 接着区間では弦の横変位は弓の移動よりも，rを弦の 半径として弓の直下で弦が振り角qだけ弓の上を転が る距離夕ψの差をもって後れることになる（図一12）。 すなわち η（ξ， t）＝：Vot−rq十Const． （4．1） 滑走区間では弓力の変動部分はゼロであり，変位は 連続だから，tを捕促の瞬間から測れぽ，滑走区間の 終わりの変位を ・・．・．一・（9・ −il／t−・）浅着区間の始めの勧角を qoとしてConst．一η，．。．＋rqoである。 すなわち 79（ξ， t）＝Vot−r（q−qo）−Fηs．e． また振れ角ψは ξξG（θ）r ψ＝丁’GIP （4．2） （4．3） で与えられる。ここにGは弦材の横弾性係数，ち＝ π〆／2は弦断面の断面2次極モーメソトである。した がって式（4．2）をtで微分して無次元化すれぽ，接着 区間で滑りなしの条件は 図一10 1自由度の摩擦振動 モデル 一 Vot 一η（ξ，t） 図一12 弓
M
B N D A C 瓦／ん 4 2π A1 MI BI C1 D1 t）0 02 P2 O1 G（θ） Nl a、 Q2 @ R、R≦ D2 A2 ドθ・／2 M2 ﾆ。／2 C2 へ θ θ （a＞ （b＞ θ（＝det）（c） 図一11 1自由度の摩擦振動の変位波形x，速度波形 X，およびベルトカの変動部分G（θ）1驚1藁力』｝（4・・4）
となる。 フーリェ級数，式（3．9）は項別微分が可能とは限ら ない。しかし弓力を接着区間（一θ。／2＜θ＜θ。／2）では 到る所で滑らかであると考えれぽ，フーリェ級数 （4．5）は与くθ弓噸別微分飼能である・鵡9）
の各係数α’2m．1，β’2m．、は式（4．5）の辰。’， iii ’ 2m．1， β’，州から 1：：：：：：螢）Ei’o＋Eii’2m＋1｝（4・・6） で与えられるから，接着区間での滑りなしの条件，式 （4．4）は無限連立一次方程式 co oo Cko Eilo’十］Z］ Ckmlli’2m＋1十Σ（Dim十δ為mσμヵのβ’2m＋1 m＝・O m＝0 4（−1）le π（2k＋1） Eko blo’一Σ（Dmk十δ。，kaiCtm9）Ei’2m＋i m＝O ＋ΣF伽β’・頑一〇 m＝O （4．7） となる。ここにδヵmはクロネッカーのデルタ記号 （δkle−1，δkm−O， le・￥m）であり， Ckm， Dlem， Fkmは 前出の式（3．13）で与えられ，また （4．8） である。 式（4．4）はφをある定まった関数として ￠｛9（θ）｝一←σ9’（θ）＝＝1 、 （4．9） という形のg（θ）についての一階の微分方程式となっ ているから，その解は積分定数を1個含むはずで，実 際無限連立一次方程式（4．7）は，「未知数の数が方程 式の数より1個多い」。したがって未知数元o’，∂’2耐， ．p−’2m＋1（m−0，1，2，……）の間にもう1個の条件を 付け加えなくてはならない。この条件を捕促と離脱の 条件の1つであるところの 9（一θo／2）＝＝9（θo／2） とすれぽ，これは Σ（−1）m・β’，洲一〇 m ＝O （4．10） （4．11） となる。式（4．7）と式（4．11）を合わせれば「未知数の 数と方程式の数は等しく」なり，一意にliio’， lli’2m＋1， β’2剛を決定することができる。 今度は弦の捕促の前後の条件からG（一♀＋・）−dF （4・・2）
が要請される。たとえばξ／1−1／2，γ≡c／μ一〇．05， 9−・1．0，θo−180°の場合（γの影響を拡大するため ） γの値を実際の値の約10倍にとっている）の式（3．11 の解g（θ）はo−0のとき図一13の曲線①のようであ るが，a・￥Oとして条件，式（4．10）を満足する解は 同図の曲線②（σの小さいとき）および曲線③（σのE
↑ 1．1 1．00』90・ 0・ 90・
→θ
図一13振りコンプライアンスの弓力への影響 （ξ／1＝1／2， γ＝＝c／レ＝0．05， 、Ω＝1．0，，θo＝180°） § ↑ 20．0 10．0』91・ 0・ 91・
一→θ 図一14振りコンプライアンスの弓力への影響 （ξ／1＝・1／2，γ＝c／y＝0．05，2＝1．0，θo＝：182°）大きいとき）のようになる。またξ／1＝1／2，γ一 〇．05，S2 ＝1．0，θ。＝182°では， o・￥Oのとき図一14曲 線①（σの小さいとき）および曲線②（σの大きいと き）のようになる。σ ・＝Oのときは『兎の耳』があまり 鋭く長い（左53．64，右53．68）ので図に示さなかった。 このような図で，弦の振りコンプライアソスがゼロ になった（a→0の）極限を考えると，前節で述べた 捕促の瞬間の弓力のパルスモデルが，無理のない仮定 であったことがわかるのである。 5． 解の一意性と弓の有限な巾の効果 このようにΩ≡ω／レを1．0と指定すれば，θoを多 少（ξ／1）2πより大きく取ることによって「兎の耳」 を延ぽし，振りのコンプライアソスを考えることによ って左右の「兎の耳」の高さを搬る（・已＋・） 一・ピー・））ことができて・捕促と離脱の条件まで含 めて全部の境界条件を満足する解を一意に得ることが できる。もちろん弓を押し付ける法線力Pは，最大静 止摩擦の係数をμ、としてμ、Pが「兎の耳」のない （θ。一（ξ／1）2πでの）G（θ）m。。以上となるものでなく てはならない（弓の最小法線力）。 しかし我々は前にも述べたとおり，自由に選び得る パラメータとして振動数比2（＝ω／y）を持っている。 減衰がゼロでないとき，固有振動数は低下し，波動の 伝播は分散的（dispersive）となるので，減衰なしの 場合のように簡単な点変換法から，それに向かって過 渡振動が収束して行く定常振動が9−1．0を持つこと を結論付けることはできない。このような根拠から， 9は1．0よりも多少小さい（差は非常に小さく基本波 で9＝Vl一γ2だからγ＝0．05でも9＝O．99875と なる）ことが予想される。 しかし9の変位に対するG（θ）曲線の変化，特に 「兎の耳」の変化の感度は非常に鋭敏で，わずかな9 の変化は「兎の耳」の大きな変化をひき起こす。a＝O のとき9をわずか減少しても左の耳は下り時には下 に垂れ，右の耳は大いに生長する。したがって振りの コソプライアンスを考えるとき，捕促と離脱の条件は 9 ・＝ tO／yの1．0からの僅少な低下（耳に感じられない 程度の）によって必ず満足される（図一15および16）。 このようにして2−1．0付近に微小な幅であるけれど も捕促，離脱の条件をも含めて，全部の条件を満たす 解のone Parameter familyが存在することになり， 解の一意性が失われるように思われる。これは物理的 に考えて，一見奇異に感じられる。 ↑80 ・（・）／｛（・・anh￡）妾剖 40 0 一90° 0° @ −40 90−一→θ＝ωτ 一80 一120 ↑8。 ・（の／｛（manh芸）聲｝ 40 0 一」L」L 一160° @ −40 0° 160° @ 一→θ＝ωτ 一80 一120
図一159のわ
ずかな低下が 「兎の耳」に与 える影響，その 1 （ξ／1＝1／2，γ＝ c／μ＝0．005，σ＝ 0・001，9＝0会999， θo＝180°，k， m ＝100， n ＝＝ 500）図一162のわ
ずかな低下が 「兎の耳」に与 える影響，その 2 （ξ／1＝1／9，γ＝ c／p＝0．005，σ＝ 0．001，2＝＝O．999， θo＝320°，k， m ＝150， n＝700） この点について，弓の有限幅の効果が一意性に寄与 しているのではないかと推測される。実際に幅δの弓 の直下の弦の部分が「凍結」して剛体になったと仮定 すると，接着区間でのこの剛体の加速度がゼロという 条件式がもう一つ加わってくる（δ一〇のときには，こ の条件式は0−0という恒等式に堕落してしまう）。 この条件式はat’2m＋1，β’2m．1についての同次の連立方 程式となり，係数の行列式がゼロという条件はΨ（、9， θ。）−0の形となり，解の一意性が確立される。 しかし弓の直下の部分は現実には依然としてfiexible であり，接着区間でも部分的には滑りが起こって，そ れ自身変形しているかも知れない。このような現実の 事態の解析は，摩擦力特性の相対速度の極めてゼロに 近い領域が，実験的にもまだ確立されていない事実と 考え合わせると，ますます困難の度を増してくるわけ であるが，何とか然るべき自然な仮定を設けてこの点 を解明したいと考えている。↑80 ・（・）／｛（・・anh鵠斜 40 0 一90° 0° @ −40 90° 黹ﾆ＝ωe 一801 一120 ・（の／｛（…nhC’）ξξ @ ↑8。 、αTZ
U
40 一・一 一160° 0° @ −40 160° 黹ﾆ＝ω1 一80 一120 図一17弓力の 変動部分G（θ） （ξ／1＝1／2，γ＝ c／レ＝0．005，σ＝ 0．001，2＝1．0， θo＝180°，k， m ＝100， n＝500） 図一18弓力の 変動部分G（θ） （ξ／1＝1／9，γ＝ c／y＝0．005，σ＝ 0．001，9＝1．O， θo＝320°，k， m ＝150， n＝700） 最後にξ／1＝1／2，γ一〇．005，9＝1．0，θo−180°お よびξ／1＝1／9，γ＝0．005，Ω＝1．0，θo＝320°の， Helmholzの規則に正確に従う2つの条件に対する弓 力の変動部分g（θ）のグラフを図一17と図一18に掲げて 置く。 図一15∼18は，東大大型計算機セソターにおけるデ ィジタル計算機による数値計算の結果であり，le， m は2k−1，2m−1がそれ以上を切り捨てた無限連立 一次方程式の元数を示し，〃はCkM等の無限級数およ びフーリェ級数の式（3．8）でn以上の番号の項をすべ て省略したことを示す。なおこれらの計算の一部は， 昭和50年度文部省科学研究費補助金によるものである ことを附記する。 文 献 1）Helmholz， H・v・：Phil・Mag・21， PP・393− 396 （1861） 2） Helmholz， H・v．：Sensations of Tone（En・ glish Translation）， Dover Publ． Inc．1954， pp．80−88 and pp．384−387．＊） 3） Krigar−Menze1，0．＆Raps， A．：Ann． der Physik，44， PP．623−641（1891） 4） Raman， C． V．：Indian Association for the Cultivation of Science， Bulletin， No．15， pp． 1−158 （1918） 5） Raman， C． V．：Ibid． No．11， P．43（1914） 6）Witt． A．：Tech． Phys． USSR，4−4， PP．261 −288 （1937） 7） 藤井ほか：機械の研究，3−8，PP．1∼6（1951） 8）Keller， J． B．：Comm． Pure＆ApP1． Math．， 6， PP．483−495 g） Friedlander， F． G． l Proc． Cambridge Phil． Soc．，49・Part 3， PP．516−530 （July 1953） 10） Miyajima， T．：Y． Fujioka Commemorative Issue， Institute for Optical Research， pp，12 −20 （1967） 11） Schelleng， J． C．：Scientific American，230− 1， pp．87−95 （Jan． 1974） 12）Maezawa， S．＆Minakuchi， Y．：Report of the r．Faculty of Engineering， Yamanashi University， No．26， pp．79−89（Dec．1975） 13）Maezawa， S．＆Minakuchi， Y．：Proc．7th ICNO， Berlin 1975（in printing） 14） 前澤ほか：日本機械学会等53期全国大会講演論文集 （昭50−10），No．750−14， PP．221∼224 ＊）英訳本p．386およびp．387には誤りがある。 たとえぽp．386（4）式は声芸（L−・）tの代枷こ
8V （L−x）（t一τ／2）f（t一τ／2）− LT でなくてはならず，したがって最下の行は〆㌢（L−x）の代わりに
〆磐（L−・） であり，p．387で途中の式を上に相当して変更す べきであり，たとえぽ Lt＝xTの代わりに2L（t 一τ／2）＝＝xT および最後に〃…芸o・（L−x）の代捌こ
⇔一
￨砥一x）
でなくてはならない。附 録（前報の正誤） 前報に誤りがあったので，次のように訂正する。 式（4．14）は C・・a・’＋翼。C・・∂’・m・・嘉（D・・＋δ・m・μ・のβ・m・1一撒㌫苧） co oo EkOぼo’十Σ（Eヵバδm々σμmΩ）lii t 2m＋1十ΣF伽β’2m＋1＝O m＝O m＝・O α’…1÷1講）≡・’＋Eiit・m・1・β’…1一β’− C・・−6。（一・）・μ・Ω曇、毒霊M・si・・n E・・一☆（一・）・嶋三i麗゜M・C…n とする。またこの外に Frrata （4．14） 頁 欄 行 83 〃 〃 〃 〃 ．ク 〃 〃 84 84 右 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 右 左 1 3 4 16 〃 21 25 26 21
