三重相反境界要素法による三次元非定常熱伝導解析(熱工学,内燃機関,動力など)
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(2) 三 重相反境 界 要素法 に よる三 次元 非定常 熱伝 導解析. 1794. な お,滑 1で. ら か な 境 界 上 で はc=0.5,領. あ り,rお. よ びQは. 域 内 部 で はc=. 境 界 お よ び 領 域 を 示 す.ま. た,記. 号 あ σ は 境 界 上 で はP,Qを. る.な. お,三. 用 い る も の とす. 次 元 問 題 の 場 合,式(2)に. 温 度 解 析 の 基 本 解7i*(」P,σ,ち. お け る非 定 常. τ)およ び そ の 単 位 法 線. 72に 関 す る微 分 係 数 は 次 式 で 与 え ら れ る.. 凧 等 を 境 界 積 分 方 程 式 を 用 い て 補 間 す る た め に, 定 常 問題 の ∫重 多 重 調 和 関 数7'凶(P,ρ)を. た だ し,. 導 入 す る.. り'一{卍. 凸 甲.＼ 一 ノ. で あ る.式(2)に. 示 す よ う に 従 来 の 境 界 要 素 法 で は,. (7)よ. 内 部 セ ル を 使 用 し な け れ ば な ら な い. 2・2補. 間. 用 す る.時. 内 部 セ ル を 避 け る た め に,補. 間 τに お け る 熱 発 生 項. ま た,凧sお. よび 曜. ー1.. は グ リ ー ン の 定 理 お よ び 式(6),. り次 式 で 与 え ら れ る.. 間 を使. 凧S(ρ,τ)を 境 界 積. 分 方 程 式 を 用 い て 補 間 す る 方 法 を 示 す(7x8}.次. 式 で補. 間 す る こ と が で き る. 721〃1∫(《7,τ)=一レ}穿(σ,τ)(6) ゲ 72曜(α,τ)=一. ΣWノ(砺,τ)δ(σ. 一 σの. …(7). 加=1. 上 添 字Sは. 分 布 し て い る 関 数 を 示 し,上 添 字Pは. 点. で の み 値 を も つ 関 数 で あ る こ と を 示 す.式(6),(7) は 次 式 の よ う に 書 く こ と が で き る. レ 74凧. ∫(9,τ)=Σ. 礁P(σ 偽 τ)δ(4一. 砺)・. 初 期 温 度 分 布 も同様 に次 の積 分 方 程 式 を用 い て補 間 す. ・… ・(8). 2η=1. る こ とが 可 能 で あ る.. この 式 は 未 知 の 点 荷 重. 既Pを. 求 め る 式 と 同 じ もの で あ る.変 お り,未 知 の 点 荷 重 曜 う.た. 伴 う薄 板 の 変 形 卿. を. 形 量 凧5が 与 え ら れ て. を 求 め る こ と に よ り補 間 を 行. だ し,薄 板 の ふ ち の こ う配 も与 え ら れ て い る.. 同 様 に 初 期 温 度 分 布 を 次 式 で 補 間 す る. ρ727胃05((1,0)=一 麗 〕s((1,0)(9). 727汐5(g,0)=一. Σ7駅P(㊥,0)δ(σ. 一 ㊨)…(10). η診三1. ま た,次. 式 で 与 え ら れ る 関 数"(ρ,仏. 727憐1(ρ,σ,ち 曜. の数 を 〃. τ);7ア(ρ,σ,ち. ち τ)を 考 え る. τ)(11). と す る と,式(7)∼(11)よ. り,式(3) 2・3補. は グ リー ン の 第 二 定 理 を 二 度 使 用 す る こ と に よ り,次. 一聖. κ窟. ・τ)畔(1). レ(◎. ・)∂畔(亀 嘉 ち τ). ,Q,ち τ〉]勲. Pは. 購Pに. 曜. を 陽,∂. 関 す る も の で あ る.式(14)を. +チ 恩(-1)'. 添 字. 離 散 化 し,. 隅 ヲ∂η を 防 で 表 現 す る と 次 式 が 得 ら れ. る. .HJrl=σlyi+112隅. . わ か り や す くす る た め に,. 境 界 に 対 し て 一 定 要 素 を 用 い る こ と に す る.上. 式 で 示 す こ と が で き る.. ・7(P,!〉 一. 間式の離散化. た だ し,私,θ1,H2,θ2お も つ マ ト リ ッ ク ス で あ る.. 一 〇2y『0ノ. 鵬 ρ… …(18). よ び0ノ. は,次 式 の 成 分 を.
(3) 三 重相反 境界 要素法 によ る三 次元非 定常 熱伝 導解析. 式(15)よ. り次 式 が 得 ら れ る.. 111肌=・(穿11匹 一 畢 一6!】 ぞ四D(24) た だ し,0'は. 次 式 の 成 分 を も つ マ ト リ ッ ク ス で あ る.. (篇 一7'lu(P、,α ノ)(25) ま た,式(14)に. お い て,内. 点 の 熱 発 生 凧(〆)の. 値 を. 活 用 す る と次 式 が 得 ら れ る.. た だ し,γ(,)は 第1種 不 完 全 ガ ン マ 関 数9)で あ る. 一 定 時 間 内 挿 を用 い た 場 合 ,時 間 積 分 は 解 析 的 に 処 理. 駅 〆)=-H3隅+θ3腸+H4賜 一 σ4コ 区三 一 σ♂鵬P(26) た だ し,正13,03,正1、,0、. お よび α. は,次. 式 の成 分 を. す る こ とが で き る.時 間'∫ か ら な まで の 穿 ∂穿/∂ η に 関 す る時 間 積 分 を以 下 に示 す.. も つ マ ト リ ッ ク ス で あ る.. (32) 上 式 よ り 罵,%お. よび 曜. 一 定要 素 を用 いた場合. を 求 め る こ とが で き る.. ,境 界 を 莇 分 割 し,内 点 を 鋼. 個 活 用 し た 場 合,(2八 も+2V1)行 け れ ば な ら な い.ま 置 き,そ. た,式(32)の. の 連 立 方 程 式 を解 か な 左 辺 の行 列 を 且 と. の 逆 行 列 を 求 め て お く と,下 記 の よ う に 容 易. に 補 間 が 行 う こ とが で き る.. 2・4非. 定常 問題 の多重 調和 関数. 多重調和 関数 η. は,式(11)よ. 蹴1(ρ,α,ち τ)4》. 非 定 常 問題 の. り次 式 で 得 られ る.. ∫〆 穿(A4,',・)4雌 (34). 非 定 常 問 題 の 多 重 調 和 関 数 穿 お よび そ の 法 線 方 向 微 分 係 数 を具 体 的 に示 す.. お よび.
(4) 6. 三重相 反境 界要 素法 に よる三次 元非定 常熱伝 導解 析. し①ノ. 」. ただ し, α・-4. κ(蒼. の(45). で あ り,r(,)は. 第2種. 不 完 全 ガ ン マ 関 数9)で あ る.. 空 間 お よ び 時 間 に 関 す る 離 散 化 を 行 い,境 界 上 の 温 度 お よ び温 度 こ う配 を 乃,Q∫ Fと. 置 き,式(15)を. と置 く.時 間 分 割 数 を. 境 界 積 分 した 係 数 を 瓦F,σ ∫Fと. 置 き,初 期 温 度 お よ び 熱 の 影 響 をB。 で 示 す と,従 来 の 時 間 依 存 の基 本 解 を使 用 した 離 散 化 と同 じ下 記 の 形 式 で 表 現 す る こ とが で き る.. ア. ア. Σ 劫F1ン=Σ(翠 ∫司. ∫FQ∫+B。(46). ∫=且. 次 に,境 界 積 分 に お け る7に 考 え る.式(33),(34)で が あ るが,第1種. 関 す る特 異 性 の 問 題 を. は,形 式 上7に. 関 す る特 異性. 不 完 全 ガ ン マ 関 数 の級 数 展 開 式. γ(ど,ρ 〉一蕩8篶1. (47). を 用 い る と 実 質 的 に はrに (33),(34)に. Temperature ( n =150). distributions. 関 す る 特 異 性 は な い.式. 関 す る 特 異 性 は,第2種. 数 と 第1種. imml. Fig. 2. 不 完 全 ガ ンマ関. 不 完 全 ガ ン マ 関 数 の 関 係(9). 17(ξ,ρ)=.F(忽)一 γ(2,ρ)(48) を 活 用 し,式(47)の. 級 数 展 開 式 を 用 い る こ と に よ り容. 易 に 解 決 す る こ とが で き る. 以 上,任. 意 の熱 発 生 分 布 や 初 期 温 度 分 布 が あ る場 合. で 示 し た が,均. 一 な 熱 発 生 分 布 が あ る 場 合 や,定. 常状. 態 か ら非 定 常 状 態 に 変 化 す る こ とに伴 う初 期 温 度 分 布 の 場 合 は,内 点 が 不 要 で あ る.つ 初 期 温 度 分 布 が 式(6),(9)で. ま り,熱 発 生 分 布 や. 近 似 で き る 場 合 は,式. (12)は 次 式 と な る.. ・T(Pの. 一 一κ∬ ∫[T(9,・)∂"(讐. ち τ). (a ). Boundary. (b) Fig.. I. Boundary. elements. of. sphere. region. Fig. 3. Internal. Cubic. elements. points. region. in sphere.
(5) 三 重相 反境界 要素 法 に よる三 次元 非定常 熱伝 導解 析. 一 (b)Internalpoints Fig.6Circularcylinderwithheatgeneration. い る の で 内 点 は不 要 で あ る.図2に す.図2中. 温 度 の 変化 を示. の 実 線 は,次 式 で示 され る厳 密 解 で あ る.. T(・,')一. 畢. 激(一. 募 η+'sinη. 霧γ. ×・xpC4')(5・) 次 に,図3に. 示 す 一 辺 の 長 さ が 乙=10mmの. 体 領 域 で の 解 析 を 行 う.補. 間 に 使 用 す る 内 点 は729点. で あ り,温 度 伝 導 率 π は16mm2/sと 面 の 温 度 を0℃ 3.解. 析. 熱 と し,そ. 例. 立 方. と し,初 期 温 度 は0℃. す る.図3の と し,ス. 表. テ ップ 加. の 熱 発 生 分 布 は次 式 で 与 え られ る もの とす. る.. 本 解 法 の 有 効 性 を確 か め るた め に,初 期 温 度7も 二 10℃ の 球 の表 面 温 度 を0℃ に した場 合 の 非 定 常 温 度 分 布 を 求 め た.温 度 伝 導 率 κ を16mm2/s,球 の半 径 わ =10mmと し,図1に 要 素 分 割 を 用 い,時 間 ス テ ップ 数 を10と. し て計 算 し た.本. 計 算 例 で は,式(49)を. 用. 職. ・〃,・)一 既 ・i・努. ・i・碧. ・i・穿. …(51). この 場 合 の 厳 密 解 は,ラ プ ラ ス 変 換 と有 限 サ イ ン変 換 を用 い る こ と に よ り次 式 とな る..
(6) 三 重相反 境界 要素法 によ る三 次元非 定常 熱伝導 解析 熱 発 生 分 布 は 次 式 で 与 え ら れ る も の と す る. レF(7・)=レレ もexp[一. μ(7一 α)](56). ス テ ッ プ 加 熱 と し,温 〇.1,縣. 境 界 上 の 温 度 を0℃ 3,10sに. 度 伝 導 率 κ は16mm2/s,μ. β=IK・mm-2と. し た.図6に と し た.図7に. 二. 示 す よ う に, 時 間!=0.5,1,2,. お け る本 解 法 で 得 られ た 温 度 分 布 と有 限 要. 素 法(3)の 結 果 を 示 す.. 言. 4.結. 従 来 の境 界 要 素 法 に お い て 時 間 依 存 の 解 を使 用 して 非 定 常 熱 伝 導 解 析 を 行 う場 合 は,内 部 セ ル が 必 要 で あ っ た.三 重 相 反 境 界 要 素 法 を用 い る こ と に よ り,領 域 積 分 が 境 界 積 分 に 変 換 され,内 部 セ ル が 不 要 に な っ た.非 定 常 熱 伝 導解 析 を行 うた め の 高 次 基 本 解 を求 め る こ とは 困 難 な こ とで あ るが,第1種 r kmr. Fig. 7. Temperature. in circular. 数 を 用 い て 示 し た.ま. 不 完 全 ガ ンマ 関. た,プ ロ グ ラ ム を作 成 す る 際. cylin der. 基 本 解 の解 析 的 時 間 積 分 が 必 要 で あ り,第2種 ガ ンマ 関 数 を用 い て 示 した.本. 不 完全. 解 法 で は内 点 を使 用 す. るが,内 部 セ ル に比 べ,デ ー タ作 成 は容 易 で あ り,計 算例 か ら本 解 法 の有 効 性 が 示 され た.. 文. L 〃訟=10K・mm-2と. し,図4に. 0.2,0.4,1sに. 時 間'=0.05,0.1,. ( 1). お け る本 解 法 で得 られ た 温 度 分 布 と式. (52)の 厳 密 解 の 比 較 を 示 す. 次 に,図3の. 要 素 分 割 を 用 い て,定. 常 状 態 か ら非 定. 常 状 態 に な っ た 場 合 の 解 析 例 を 示 す.本 点 は 不 要 で あ る.温 図3の. 必=0の. ハ=10℃. 計算 例 では内. 度 伝 導 率 κ は16mm2/sと. 面 の 温 度 を0℃,灘=10の. (2) (3). す る. 面 の温 度 を. (4). と し,他 の 面 は 断 熱 と し,定 常 状 態 で あ っ た. と す る.初. 期 温 度 分 布 は 次 式 で 与 え ら れ る.. 7(必,0)一. 一勢(54). ( 5). 必=10の. 面 の温 度 が 急 に π=0℃. 変 化 を,式(49)を. とな っ た場 合 の 温 度. 用 い て 求 め た.こ. の場 合 の厳 密 解 は,. ラ プ ラ ス変 換 と有 限 サ イ ン変 換 を 用 い る こ と に よ り次. (6). 式 とな る. T(灘,')一. 弓. 舗. 弊22)・inπ. ( 7). 肇」 『. ×・xp(〃22π2!乙2)(55) 図5に. ( 8). 時 間'=0.01,0.05,0.1,0.2,0.4,lsに. お け. る 本 解 法 で 得 られ た 温 度 分 布 と厳 密 解 の 比 較 を 示 す. 熱 発 生 を 伴 う 円 筒 の 非 定 常 熱 伝 導 解 析 を 行 っ た.円 筒 の 内 径 を2α,外. 径2わ. と し,円. と し,上 下 表 面 が 断 熱 と し た.図6に. 筒 の 内 外 表 面 を0℃. を 示 す.. 要素分 割 と内点. (9 ). 献. Brebbia, C. A., Tells, J. C. F. and Wrobel, L. C., Boundary Element Techniques—Theory and Applications in Engineering, (1984), pp. 47-107, Berlin, Springer-Verlag. Wrobel, L. C., The Boundary, Element Method, Vol. 1 (2002), pp. 97.-117, John Wiley & Sons, West Sussex. Nakasone, Y., Yoshimoto, S. and Stolarski, T. A., Engineering Analysis with ANSYS Software, (2007), pp. 263-330, Butterworth- Heinemann. Ochiai, Y., Two-Dimensional Unsteady Heat Conduction Analysis with Heat Generation by Triple-Reciprocity BEM, International Journal of Numerical Methods for Engineering, Vol. 51, No. 2 (2001), pp. 143-157. Ochiai, Y., Sladek, V. and Sladek, J., Transient Heat Conduction Analysis by Triple-Reciprocity Boundary Element Method, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 30 (2006), pp. 194-204. Carslaw, H. S. and Jaeger, J. C., Conduction of Heat in Solids, 2nd ed., (1959), pp. 8-11, pp. 233-234 Clarendon Press. Ochiai, Y., Multidimensional Numerical Integration for Meshless BEM, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 27, No. 3 (2003), pp. 241-249. Ochiai, Y. and Kobayashi, T., Initial Strain Formulation without Internal Cells for Elastoplastic Analysis by Triple-Reciprocity BEM, International Journal for Numerical Method in Engineering, V01.50 (2001), pp. 1877-1892. Abramowitz, M. and Stegun, A., eds., Handbook of Mathematical Functions, (1970), pp. 255-263, Dover, New York..
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図
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