ベータ分布を用いた累積プロスペクト理論における確率ウェイト関数についての一考察

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(1)―≪論説≫―. ベータ分布を用いた累積プロスペクト理論における確率ウェイト関数についての一考察 A Study of the Probability Weighting Function in the Cumulative Prospect Theory Using Beta Distribution. 犬童健良 KENRYO INDO Abstract The probability weighting function is a quantitative model that captures people's responses to risk as a non-linear bias to probability. Various fields such as psychology, economics, and management science apply this function. However, the one-parameter functional form in Tversky and Kahneman’s cumulative prospect theory (CPT) is not capable of predicting the common consequence elimination case originally presented by Allais. Additionally, it cannot model the reference dependency in this problem. Therefore, we proposed a series of computational experiments of a modified version of CPT with a beta distribution; that is, an incomplete beta ratio and other functional forms, including generalized hyperbolic discounting, instead of the original probability weighting function used in CPT. The results reveal that the modified CPT with a beta distribution can reproduce a typical choice pattern in the Allais paradox and reference dependency under more natural inverse S-shaped curvature.. 1 はじめに現実の人々は，小さな確率を過大評価し，大きな確率を過小評価する傾向がある．例えば，Covid-19（新型コロナウィルス感染症）に感染する心配が全くなかった0%から，感染率1%に増えたときの不安感は大きいが，感染率が30%のときの不安感と31%のときの不安感はあまり変わらないだろう．また，もしあなたが無症状だがPCR検査の結果，陽性と判定され，99%の確率で感染していると告げられたときと，同じく無症状だが，肺のレントゲンで炎症が確認され，確実に感染していると告げられたときと比べると，前者ではいくぶん楽観的に重症化のリスクを考えるかもしれない．確率ウェイト関数(probability weighting function)は，人々のリスクへの反応を，確率に対する非線形バイアスとして捉える計量的なモデルであり，その典型的なグラフ形状は逆 S字型である（図1参照）．図1に示される逆S字のグラフ形状は，直観的に解釈すれば，小さな確率を過大評価し，大きな確率を過小評価する現実の人々の認知的バイアスを表現する．このタイプの確率ウェイト関数ないし非加法的確率を用いたリスク下の意思決定モデルの研究は，心理学，経済学，経営科学，意思決定支援システムなど広領域に渡る（第2節参照）．Kahneman & Tversky(1979)のプロスペクト理論（PT）は，現実の人々の選択が参照点(reference point)に依存し，符号依存，感度逓減，および損失回避の3 つの特徴をもつことを明らかにした．PTはAllais(1953)によって指摘されたタイプの反例を ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 1.

(2) 含め，期待効用理論では予測できない現実の人々の典型的な選択パタンを記述する代替理論であり，今日の行動経済学ないし広い意味で行動科学と総称される分野における重要な基礎理論の一つになっている．Daniel KahnemanとAmos Tverskyはその改良版である累積プロスペクト理論(CPT)において，ショケ積分（ランク依存変換）を取り入れた確率ウェイト関数が組み込んだ(Tversky & Kahneman, 1992; Wakker, 2010)．累積プロスペクト理論では，クジの結果が3種類以上ある場合にも適用できるようにすると同時に，確率が未知の場合を含む選択問題も扱えるようにして，とくにEllsberg(1957)によって指摘された現実の人々が確率の曖昧なクジを嫌う傾向を記述できる．また感度逓減のモデル化において，改善されている(Fennema & Wakker, 1997)．オリジナルのプロスペクト理論(Kahenman & Tversky, 1979)では，両端で不連続な確率ウェイト関数のグラフが，関数形を明示せずに示されたが， Tversky&Kahnemann(1992)の累積プロスペクト理論では，次の関数形が明示的に導入された． 𝑝𝑝𝛾𝛾 𝑤𝑤(𝑝𝑝) = （1） 1 (𝑝𝑝𝛾𝛾 + (1 − 𝑝𝑝)𝛾𝛾 ) �𝛾𝛾 パラメータγが0から1までの値を取り，γ=1のとき確率そのものであり，1より小さくなるほどバイアスによる歪みが顕著になる．図1aのグラフ形状から分かるように，0や1の付近での確率の変化に対してより敏感で，それ以外の部分ではほぼ線形である．導関数は偏りのあるバスタブ（U字）型である．. (a). (b). (c). (d). 図 1 確率ウェイト関数．(a)は，𝑝𝑝𝛾𝛾 /(𝑝𝑝𝛾𝛾 + (1 − 𝑝𝑝)𝛾𝛾 ). 1� 𝛾𝛾 ，γ=0.61. およびγ=0.32．(b)はγ=0.61 の場合とそ. のベータ分布𝐼𝐼𝑝𝑝 (0.4,0.3)による近似．(c)は(b)の微修正，(d)はβ=0.4α上から選んだ． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 2.

(3) 確率ウェイト関数は利得と損失では若干形が変わり，損失側のパラメータは利得側のそれよりやや大きくなり，元の線形に近づく． Tversky & Kahnemann(1992)では，確実性等価の金額の実証データの中央値から利得側のγを0.61と損失側を0.69と推定している．なお (1) は Karmarker(1978) の関数形 𝑝𝑝𝛾𝛾 ⁄𝑝𝑝𝛾𝛾 + (1 − 𝑝𝑝)𝛾𝛾 の一般化とみなせる． Quiggin(1982)やYarri(1987)では𝑤𝑤(1/2) = 1/2が仮定されたが，この性質が取り除かれた．2002年にDaniel Kahnemanがノーベル経済科学賞を実験経済学者のVernon Smithと共に受賞して以降，行動経済学がにわかに注目されるようになり，2017年に Richard Thalerが受賞した時点ではすでに経済学において隆盛で，政策応用が各国で進んでいる状況であった．中村(2013は確率ウェイト関数の代表的な関数形をPT・CPTとの関係を整理し，理論的な矛盾の潜在性，心理学的基盤の考察，関数形を特定しモデルのパラメータをより精密に調べる必要性を指摘している．確率ウェイト関数が研究されたきっかけは，期待効用理論の修正であり，Allais(1953)， Ellsberg(1961)，Strotz(1955)以降，長らく研究されてきた．この文脈については第2節でかいつまんで紹介する．このうち確率ウェイト関数の研究は，とくにAllaisやEllsbergの提起したリスク選択における意思決定問題への対処に関連する．Strotzの論文は動的選択における双曲線型時間割引率と自己制御にかんするものであり．意思決定問題の種類が異なるが，しかし理論的あるいは心理学的な基盤において，両者は潜在的に関連する (Lowenstein & Prelec, 1991; Grant, Kajii, & Polak, 2000; Halevy, 2008; Takahashi, 2011; Takemura & Murakami, 2016;竹村・村上, 2019; 犬童, 2019b)． Allais のパラドックスを生じる具体的な CPT モデルは，第 3 節で説明するが，一般に簡単な条件では書けないため，コンピュータ・シミュレーションの力を借りて計算する．先行研究では確率ウェイト関数の関数形および参照点を反映した金額シフト付きの CPT を用いて，具体的に Allais のパラドックスの例題を予測できるモデルパラメータ範囲が視覚化されている(犬童, 2018a, 2018b）．本論文では確率ウェイト関数の関数形をベータ分布や一般化双曲線型割引に変更することによって CPT モデルの改良を示唆した犬童 (2019b, 2020)の結果の一部，およびその関連実験を合わせて報告する．ベータ分布の累積分布は，実数部分が0と1の間にある複素数z（0 ≤ 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑧𝑧 ≤ 1）において次のように定義される． Β𝑧𝑧 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽) （2） 𝐼𝐼𝑧𝑧 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = . Β(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) 𝑧𝑧. ここでΒ𝑝𝑝 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)は不完全ベータ関数Β𝑧𝑧 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = ∫0 𝑡𝑡 𝛼𝛼−1 (1 − 𝑡𝑡)𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑑𝑑 であり，またΒ(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) =. Β1 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)はベータ関数と呼ばれる．𝐼𝐼0 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)=0，𝐼𝐼1−𝑧𝑧 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = 1 − 𝐼𝐼𝑧𝑧 (𝛽𝛽, 𝛼𝛼)である． 𝐼𝐼𝑧𝑧 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)は，不完全ベータ比，あるいは正則化された不完全ベータ関数（正則ベータ関数）とも呼ばれる．ベータ分布は，直観的に言うと，連続化した二項分布である．実際，平均成功率 𝑝𝑝 のベルヌーイ試行 𝑛𝑛 回において成功回数 𝑘𝑘 以下の確率は 𝐼𝐼1−𝑝𝑝 (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘, 𝑘𝑘 + 1)=1 − 𝐼𝐼𝑝𝑝 (𝑘𝑘 + 1, 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)である(Wadsworth, 1960 p.52)．り，F 分布やｔ分布はベータ分布. によって簡潔に表すことができる．自由度𝑑𝑑1 , 𝑑𝑑2 の F 分布にしたがう変数𝑥𝑥に対して，𝑧𝑧 = 𝑑𝑑2 𝑥𝑥⁄𝑑𝑑1 (1 − 𝑥𝑥)の累積分布は𝐼𝐼𝑧𝑧 (𝑑𝑑1 ⁄2 , 𝑑𝑑2 ⁄2)であり，また t 分布は𝐼𝐼𝑧𝑧 (1⁄2 , 𝑑𝑑2 ⁄2)，つまり 𝑑𝑑1 = 1とした F 分布である(蓑谷, 2010; 四辻, 2019)．ベータ分布は経験的ベイズ法の自然共役事前分布として知られる(Raiffa & Schraifer, 2000)．例えばベルヌーイ試行𝑛𝑛回中 ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 3.

(4) 𝑘𝑘回の成功が観察されたときの事後分布は𝐼𝐼𝑧𝑧 (𝛼𝛼 + 𝑘𝑘, 𝛽𝛽 + 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)である．またベータ分布を多次元に拡張したディリクレ分布は幅広く工学的に応用されている．ところで𝛼𝛼, 𝛽𝛽を0から1の範囲で選ぶと，ベータ分布の累積分布はは逆S字の形状になり，また(𝛼𝛼 − 1)⁄(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 − 2)が反モード(antimode)となる．たとえば，𝐼𝐼𝑧𝑧 (0.5,0.5)は，後述するように，逆正弦関数であり，𝑧𝑧 = 0.5で不動点となる．. 確率ウェイト関数 𝑤𝑤(𝑝𝑝) = 𝐼𝐼𝑝𝑝 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)とすると，図1bに示されるように，𝛼𝛼 = 0.4，𝛽𝛽 = 0.3としたベータ分布が，関数形(1)のγ=0.61と似る（ベータ分布との類似は犬童(2020)で報告された．付録A1⑨の図も参照）．また標準ケースだけでなく，個別被験者に適合させた確率ウェイト関数についてもベータ分布を用いて柔軟に近似できる．実際，図1cに示した3 種類のベータ分布は，Takemura & Murakami(2016)や竹村・村上(2019)で報告された個人の確率ウェイト関数に類似する．さらに，図1dに示されたベータ分布を用いて， Allais のパラドックスを予測すると，オリジナルのCPTを用いた図1aの下側カーブ（γ≤0.32）と比べ，より自然な逆S字形状が得られる．Allaisのパラドックスの予測モデルの修正については第3節で詳しく述べる．ちなみに 𝐼𝐼𝑝𝑝 (0.5,0.5)，すなわち，𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 = 0.5のベータ分布は，n 回ベルヌーイ試行におけるジェフリーズの事前分布(Jeffreys’ prior) にあたる．また逆正弦(arcsine)分布𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 2𝜋𝜋 −1 arcsin�√𝑥𝑥�もこの場合と一致する．同じ関係が 2 次元正規分布（ないしある種のコピュラ）における相関係数𝜌𝜌とケンドールの順位相関係数𝜏𝜏との間の関係に表れる．2 系列間で順序関係が保たれるペア（concordant pairs）の比率を𝑇𝑇とすると，𝜏𝜏 = 2𝑇𝑇 − 1である．また 1 次元ブラウン運動（Wiener 過程）によってこのケースはシミュレーション的に近似できるが，これは逆正弦法則（arcsine law）として知られる(Lévy, 1939)．すなわち[-1,1]の一様乱数の和分が正負のいずれの象限に属するかについての分布である．なお Wiener 過程では領域境界での粒子の反射が仮定されるが，この過程を緩和しても 𝐼𝐼𝑝𝑝 (0.5,0.5)が再現される．境界で吸収される（到達した粒子はそこで停止する）と仮定すると，図 1c の 3 形状をいずれも近似することができるが，詳細は別の機会に報告したい． Takemura & Murakami(2016)は，Gonzalez&Wu(1999)で提案された2パラメータの確率ウェイト関数の推定法を修正して用い，7種類の関数形を推定し，その中でTakahashi （2011）の一般化双曲線割引関数 𝛿𝛿 𝑝𝑝 𝑤𝑤(𝑝𝑝) = � � 𝑝𝑝 + 𝑘𝑘(1 − 𝑝𝑝). （3）. が，個別被験者の確率ウェイト関数としてもっともよく適合するとしている．犬童(2019b)はマッチング法則に基づくヒューリスティクな推論から， 𝑤𝑤(𝑝𝑝) = (1 + 𝑘𝑘𝐷𝐷 𝛾𝛾 )−１を導き，この関数形の下でAllaisのパラドックスを予測するコンピュータ実験を示している． (2)は𝑤𝑤(𝑝𝑝) = (1 + 𝑘𝑘(𝑝𝑝−1 − 1))−𝛿𝛿 と書き直せるから，明らかに 𝐷𝐷 = 𝑝𝑝−1 − 1 かつ 𝛾𝛾 = 𝛿𝛿 = 1 とした場合である．図1aに示したγ=0.32は，実は（オリジナルの）CPTでこのあと紹介するAllaisのパラドックスとして知られる例題の典型的な回答パタンを再現することができるγの値の上限である．図1aから明らかなように，標準的とされた実証値γ=0.61からは大きく外れる．より最近行われた実証研究では，回答データのヒストグラムから，γ=0.32付近の値はほとんど観察されない(Takemura & Murakami, 2016)．一般化双曲線割引(3)を確率ウェイト関数(1) の代わりに用いても，Allaisのパラドックス，とくにAllaisのCCE例に対して，オリジナルの ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 4.

(5) CPT より自然なモデルが得られる（犬童 , 2019b ）．双曲線型割引はマッチング法則 (Herrnstein, Laibson & Rachlin, 2000)から導かれる．つまり選択対象への反応率がその魅力の相対比率に比例する．また第2パラメータを共有する独立なガンマ分布にしたがう 2変数の相対比率はベータ分布にしたがう（四辻(2019) p.246）．それゆえ類推としては，ベータ分布が2つの競合するガンマ分布から生成されたものとみなせるなら，双曲線型割引とベータ分布が似た記述力を持つ場合があってもおかしくはない．しかし厳密な異同については未検証であり，事実，本論文で示すように，Allaisパラドックスの予測にかんする両者の記述力は同等ではない．なお，先行研究ではソフトウェアとして，エクセルと Prolog を使用した（ベータ分布のプログラム検証のため R や Python も部分的に使用している）．複雑なモデル作成，柔軟なモデル変更，見通しの良い便利なプログラミング，さまざまな条件下で行うシミュレーション実験，およびそのデータの保存と再利用，ソフトウェア間のデータ連携といった煩雑な作業を遂行し，正確性と可読性，再現性を損なわないための工夫が必要である．本論文では，Indo(2015, 2019a)で開発された Prolog プログラムなどを再利用し，それらをさらに拡張して用いた．その基本部分を再現するためのインストラクションを付録とした．本論文の以降の部分では，第 2 節で期待効用理論の修正について，とくに確率ウェイト関数に関連する研究に簡単に言及する．第 3 節では累積プロスペクト理論の定式化について説明する．第 4 節は参照点を考慮した CPT を用いて，Allais パラドックスの例題を予測する条件について述べ，また予測可能なモデルパラメータを視覚化する（実験 1）．第 5 節はベータ分布と一般化双曲線型割引を，CPT のオリジナルの確率ウェイト関数の代わりに用いて，3 水準の参照点 0, 50, 100 についてそれぞれ利得側と損失側の確率ウェイト関数をペアで生成し，予測可能モデルを比較する（実験 2）．第 6 節はベータ分布を用いて利得側と損失側の一方のパラメータを固定して他方の予測可能モデルを可視化する（実験 3，実験 4）．第 7 節では文献における選択問題における実証的な選択率のデータを用いて，確率ウェイト関数を交換するなどして修正した CPT など，代替的なモデル間で適合度を比較する（実験 5～7）．最後に第 8 節でまとめとする．. 2 期待効用モデルの修正以下では，期待効用理論の修正にかんする研究を手短に紹介する．ただし，以下では本論文に関連する代表的な文献に限定して言及するに止め，網羅的でも厳密でもないことを予めお断りしておく．日本語で読めるレビューとしては，前述の中村(2013)がある．経済学とそれが応用される諸分野では，20世紀半ば以降， John von Neumann と Oskar Morgensternの期待効用理論，あるいはその不確実性下への一般化であるSavage の主観的期待効用理論とその公理系が，リスクのある状況での合理的選択の理論として用いられてきた．しかし，これらの標準的理論の初期時点ですでに，Mourice Allais， Daniel Ellsberg，Harry Markowitzらがそれぞれ提示した例題を通じて，現実の人々の選択パタンが仮定（公理）に矛盾することがあることは研究者の間では知られていた．元々 Allais や Ellsberg が提起した問題は，期待効用理論の独立性公理あるいは Savageの確実性原理といった，合理的選択の基本性質の違反として論じられたが， Strotz や Machina が論じたように，それは動的意思決定の文脈では，帰結主義 ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 5.

(6) (consequentialism)の仮定と関連しつつ，時間不整合（動的矛盾）やゲーム理論における投機的取引の可能性という別の現象となって現れる(Halevy, 2004, 2008)．また（末尾）独立性の違反のさまざまなバリエーションが実証的に知られるようになった(Birnbaum, 2008)． Birnbaumらはクジの結果間で確率ウェイトを柔軟に移動できる修正理論（TAX）を提唱している．また第3節で述べるように，CPTは参照点の移動に対して必ずしも感応的ではないのである．確率ウェイト関数は心理学で Edwards(1962) によって論じられ，経済学では Handa(1977)やKarmarker(1979)が確率ウェイト関数を用いてAllaisのパラドックスを予測した． Handa は確率ウェイトの推定にクジの確実性等価を用いた．また Einhorn & Hoagrth(1985, 1986)，Currim & Sarin(1989)によって心理学と経営行動科学の文脈で研究された．経済学ではQuiggin(1982)が最初期の文献であり，期待効用理論のアノマリーへの対処として1980年代後半から1990年代初頭にかけて集中的に研究された(Machina, 1982, 1992)．また修正された期待効用理論の公理系は， Yaari(1987), Segal(1989), Chew, Karni, & Safra(1987), Schmeidler(1989), Giboa(1987), Luce & Fishburn(1991), Chateauneuf(1991), Schmidt & Zank(1992), Wakker & Tversky(1993)らが発展させた（Sugden(2004)も参照）．確率ウェイト関数の実証的な推定法は，Lattimore, Baker & Witte(1992) ， Tversky & Kahneman(1992) ， Tversky & Fox (1994) ， Prelec(1998) ， Birnbaum(2008) ， Wu & Gonzalez(1996), Wu & Gonzalez(1999), Wakker & Deneffe(1996), Abdelloui(2000), Bleichrodt and Pinto(2000)などによって考察された． PrelecはLowensteinと共に，学習心理学におけるマッチング法則に関連する双曲型時間割引と，確率ウェイト関数の2つの心理学的研究を統合的に発展させた（Takahashi(2011), Takemura & Murakami(2016), 竹村・村上(2019)も参照）．オリジナルのプロスペクト理論(Kahneman & Tversky, 1979)の主な狙いは，参照点に依存する選好のモデル化であった．参照点付きの，つまり金額をシフトしたCPTモデルは，第 3 世代プロスペクト理論と呼ばれることもある (Schmidt, Starmer & Sugden, 2008) ． Schmidtらは第3世代プロスペクト理論を用いてそれまでの期待効用理論の修正では予測できなかった選好逆転現象を記述できると主張した．一方，現実の人々の選択は，第3 世代プロスペクト理論の仮定に反するとの批判もある(Birnbaum, 2018)．ショケ積分を用いた期待効用理論の修正や非協力ゲーム理論への応用が地道に続けられていたが，累積プロスペクト理論に採用されたことにより，行動経済学に関連する基本的手法の一つとしても知られるようになった．前述のように，確率ウェイト関数はクジの確率がショケ容量に相当すると解釈できる場合に相当する．ショケ積分は，容量 (capacity)についてのChoquetによる数学研究に由来し，信念関数，ファジィ理論，マルコフ過程，ポテンシャル理論，ゲーム理論との深い結びつきがある．本論文ではショケ積分自体については詳しく論じない．Phelps(2001), Grabisch (2016)などの文献を参照されたい．前述のように，1990年代までの，期待効用理論の修正の文脈における確率ウェイト関数の研究は，代表的なアノマリーに対する理論（公理系）の修正という目的が主たる意図であって，今日の行動経済学における現実の人間行動の予測，およびその政策的な現実応用にまでは至っていない．現時点でもなお，確率ウェイト関数の研究は，行動経済学の中心からやや外れて，心理学よりに位置している．しかし関連する隣接領域の広がり ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 6.

(7) から，その潜在的な意義は小さくないと思われる．ちなみに，このジャンルの文献は確率ウェイト関数を明示せず，非加法的確率(nonadditive probability)と言うテーマで括られることがある．本論文では取り上げないが，Dempster-Shafer理論は非加法的確率の下でのベイズの定理の一般化であり，膨大な文献がある．例えば，実験ゲーム理論への先駆的な応用として，Camerer & Karjalainen(1994)は非協力ゲームにおけるプレイヤー間の信頼関係の分析に非加法法的確率を応用した．実質的に確率ウェイト関数の下でのゲーム理論の修正とその行動経済学的な意義を論じたものと言える．. 3 累積プロスペクト理論（CPT）ショケ積分は容量を計算する方法として，容量の限界貢献（ポテンシャル）を累積する．容量 (capacity) は，事象 E ⊆ S に対して定義された実数値関数 𝑊𝑊: 2𝑆𝑆 → 𝑅𝑅 で， 𝑊𝑊(∅) =. 0，𝑊𝑊(𝑆𝑆) = 1, 𝑋𝑋 ⊆ 𝑌𝑌 → 𝑊𝑊(𝑋𝑋) ≤ 𝑊𝑊(𝑌𝑌)を満たす．累積プロスペクト理論において，決定ウェイトπは，利得側と損失側を区別して，それぞれゼロを起点にした容量の限界貢献である． 𝜋𝜋𝑖𝑖+ (𝑓𝑓). 𝑛𝑛. 𝑛𝑛. 𝑘𝑘=𝑖𝑖. 𝑘𝑘=𝑖𝑖+1. = 𝑊𝑊 �� 𝐴𝐴𝑘𝑘 � − 𝑊𝑊 � � 𝐴𝐴𝑘𝑘 � , 0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑛𝑛 − 1, 𝜋𝜋𝑛𝑛+ (𝑓𝑓) = 𝑊𝑊(𝐴𝐴𝑛𝑛 ), 𝑖𝑖. 𝑖𝑖−1. （4）. − (𝑓𝑓) 𝜋𝜋𝑖𝑖− (𝑓𝑓) = 𝑊𝑊 � � 𝐴𝐴𝑘𝑘 � − 𝑊𝑊 � � 𝐴𝐴𝑘𝑘 � , 1 − 𝑚𝑚 ≤ 𝑖𝑖 < 0, 𝜋𝜋𝑚𝑚 = 𝑊𝑊(𝐴𝐴−𝑚𝑚 ) 𝑘𝑘=−𝑚𝑚. 𝑘𝑘=−𝑚𝑚. リスク下の選択では，各𝐴𝐴𝑖𝑖 の確率𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖 ) = 𝑝𝑝𝑖𝑖 ， 𝑖𝑖 = −𝑚𝑚, … , 𝑛𝑛が既知であり，クジ（ないしプロスペクト）は確率分布𝑝𝑝 = (𝑝𝑝−𝑚𝑚 , ⋯ , 𝑝𝑝0 , … , 𝑝𝑝𝑛𝑛 )と同一視し，容量の代わりに確率ウェイト関数を用いる． ⎧ ⎪. 𝜋𝜋𝑖𝑖+ (𝑝𝑝). 𝑛𝑛. 𝑛𝑛. 𝑘𝑘=𝑖𝑖. 𝑘𝑘=𝑖𝑖+1 𝑖𝑖−1. = 𝑤𝑤 �� 𝑝𝑝𝑘𝑘 � − 𝑤𝑤 � � 𝑝𝑝𝑘𝑘 � , 0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑛𝑛 − 1, 𝜋𝜋𝑛𝑛+ (𝑝𝑝) = 𝑤𝑤(𝑝𝑝𝑛𝑛 ),. （5） ⎨ − − ⎪𝜋𝜋𝑖𝑖 (𝑝𝑝) = 𝑤𝑤 � � 𝑝𝑝𝑘𝑘 � − 𝑤𝑤 � � 𝑝𝑝𝑘𝑘 � , 1 − 𝑚𝑚 ≤ 𝑖𝑖 < 0, 𝜋𝜋−𝑚𝑚 (𝑝𝑝) = 𝑤𝑤(𝑝𝑝−𝑚𝑚 ). 𝑘𝑘=−𝑚𝑚 𝑘𝑘=−𝑚𝑚 ⎩ クジ（ないしプロスペクト） 𝑓𝑓 = (𝑥𝑥, 𝑝𝑝)の評価関数 𝑉𝑉 は，原点で屈折する価値関数 𝑢𝑢(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝛼𝛼 , 𝑥𝑥 ≥ 𝑟𝑟; = −𝜆𝜆(−𝑥𝑥)𝛽𝛽 , 𝑥𝑥 < 𝑟𝑟と合わせて，決定ウェイトπを用いて以下のように定義される． 𝑖𝑖. 0. 𝑛𝑛. 𝑖𝑖=−𝑚𝑚. 𝑖𝑖=0. 𝑉𝑉(𝑓𝑓) = � 𝜋𝜋𝑖𝑖− 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) + � 𝜋𝜋𝑖𝑖+ 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 ),. （6）. プロスペクトの対f,g間の選好をf≽gのように書き，「fはgより好まれる」と読む．つまり≽は意思決定者の選好ないし選好順序を表し，「fとgを比べて一つを選べるとすると，fが選ばれる」ことを意味する．数学的には≽は完備的かつ反射的かつ推移的な二項関係であり， f≽gかつg≽fでないとき，f≻gと書くまた無差別f∼g はf≽gかつg≽fのときである．評価関数𝑉𝑉 は直観的に次のような意味において意思決定者の選好を表現する．すなわち， f≽g⇔ V(f)≥V(g) である． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 7.

(8) なお，特殊ケースとして，符号による変化や参照点の影響を無視した(6)は，ショケ期待効用理論と呼ばれる．ショケ期待効用では，第一階確率支配やさまざまな末尾独立性の違反を説明できない(Birnbaum, 2008)．. 4 Allais のパラドックスを予測する：参照点を考慮した CPT 金額単位を日本円にアレンジしたAllaisのパラドックスを，以下に示そう．. 問 1：. 題オプション 1: �. ¥500,000,000, 10%; ¥100,000,000, 89%. オプション 2:. 問題 2. オプション 3:¥500,000,000, 10% オプション 4:¥100,000,000, 11%. ¥10,000,000, 100% それぞれの問題では一つのオプションを選ぶことができる．現実の人々の典型的な回答パタンは，問題1では確実な金額として提示されたオプション2を選ぶ（確実性効果）が，問題2では金額のより大きなオプション3を選ぶ（共通結果効果（CCE））．ところが問題2は 89％の1億円を消去した問題1と一致するから，クジの期待効用は，構成成分の金額とその確率を掛け合わせて合計したものに等しくなるという期待効用理論の仮定に反するため，上述のような選択パタンは予測できない．（6）の評価関数を用いて予測モデルの条件を具体的に書くと，次のようになる． 𝑉𝑉1 < 𝑉𝑉2 ⟺ 𝑤𝑤 + (0.1)500𝛼𝛼 + �𝑤𝑤 + (0.99) − 𝑤𝑤 + (0.1)�100𝛼𝛼 < 100𝛼𝛼 , （6a） 𝑉𝑉3 ≥ 𝑉𝑉4 ⟺ 𝑤𝑤 + (0.1)500𝛼𝛼 ≥ 𝑤𝑤 + (0.11)100𝛼𝛼 整理すると次のようになる． 1 − 𝑤𝑤 + (0.99) > 𝑤𝑤 + (0.1)(5𝛼𝛼 − 1) ≥ 𝑤𝑤 + (0.11)(1 − 5−𝛼𝛼 ). （6b）問題1で確実な金額のオプション2，問題2で金額の大きい方のオプション3をそれぞれ選ぶパタン（確実性効果＋共通結果効果）を予測できる(1)のパラメータγは0.32程度かそれより小さくなくてはいけない．(6b)式から分かるように，金額単位は条件(6a)の成立に影響しない．またこの後すぐ説明するように，金額から参照点を差し引いてCPT評価値を計算しなおしても，ほとんど影響はない（図2も参照）．すなわち，たとえ参照点を金額シフしても，上記の Allais パラドックスに対する予測力は向上しない（ちなみに Tversky&Kahnemann(1992)の推定値は 𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 = 0.88, 𝜆𝜆 = 2.25である）．次にもう一つのAllaisの例題を示す．問題 3 オプション 1: 問題 4 オプション 3:¥400,000,000, 20% ¥400,000,000, 80% オプション 4:¥30,000,000, 25%. オプション 2:. ¥300,000,000, 100% 前の例題同様，現実の人々は，問題3は確実な金額であるオプション2を選び，問題4 では確率の大きさよりも金額の大きさを重視してオプション3を選ぶ（確実性効果＋共通比効果（CRE））．しかし問題4は問題3の確率を25％の倍率で縮小したものであり，期待効用理論に沿って計算したとき，両オプションの大小関係は保たれるため，このような回答パタンは矛盾なく予測できない．後の方に示した例題（確実性効果＋共通比効果）については，(1)の関数形でγを1よ ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 8.

(9) り若干小さくするだけで予測が成立する．プロスペクト理論の紹介ではこのケースを取り上げて説明している文献が多い．またオリジナルの PT を提案した Kahneman & Tversky(1979)における共通結果効果の数値例は，上述の問題1と2とは異なる．そこで，以下ではAllaisパラドックスのCPTによる予測を論じるときは，CREではなく，主にCCEの例題について論じることにする．参照点に依存した CPT モデルは，より記述力が高いとされる (Schmidt, Starmer & Sugden, 2008)．例えば，金額シフト𝑟𝑟 × 106 が1億円以内のときの予測モデルは，次のようになる． 𝑤𝑤 + (0.1)(500 − 𝑟𝑟)𝛼𝛼 + (𝑤𝑤 + (0.99) − 𝑤𝑤 + (0.1))(100 − 𝑟𝑟)𝛼𝛼 − 𝑤𝑤 − (0.01)𝜆𝜆𝜆𝜆𝛽𝛽 < (100 − 𝑟𝑟)𝛼𝛼 , （7） 𝑤𝑤 + (0.1)(500 − 𝑟𝑟)𝛼𝛼 − 𝑤𝑤 − (0.9)𝜆𝜆𝜆𝜆𝛽𝛽 < 𝑤𝑤 + (0.11)(100 − 𝑟𝑟)𝛼𝛼 − 𝑤𝑤 − (0.89)𝜆𝜆𝜆𝜆𝛽𝛽 . （１）を代入して整理すると次のようになる（犬童(2018) 命題 2）． 0.99𝛾𝛾 5𝛼𝛼 0.1𝛾𝛾 0.11𝛾𝛾 1− (8) 1 > 1 ≥ 1 (0.99𝛾𝛾 + 0.01𝛾𝛾 ) �𝛾𝛾 (0.1𝛾𝛾 + 0.9𝛾𝛾 ) �𝛾𝛾 (0.11𝛾𝛾 + 0.89𝛾𝛾 ) �𝛾𝛾 その他の場合は犬童(2018)付録Aにまとめられているが，簡潔な表現は得られない．そこで犬童シミュレーション技法を用い，予測モデルの視覚化を試みよう．犬童(2018a)は Allaisのパラドックスを予測する参照点付きCPTモデルの視覚化し，また実験用PrologプログラミングをIndo(2019)において公開しているので，これらを利用することができる．実験 1 利得側の確率ウェイト関数のパラメータγと参照点𝑟𝑟を同時にランダム生成し，損失側の確率ウェイト関数のパラメータは 0.69 に固定ないし利得側標準パラメータからの乖離に応じて比例配分することによって，上記の問題 3 と問題 4 の典型的選択パタンを予測する CPT モデルを見出す．実験 1 の結果（CPT モデルの予測可能領域）を図 2 に示す．. (a). (b). (c). 図 2 実験 1．Allais のパラドックスの CPT モデル．横軸は金額シフト（参照点）𝑟𝑟，縦軸は利得側の確率ウェイト関数𝑤𝑤(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝𝛾𝛾 (𝑝𝑝𝛾𝛾 + (1 − 𝑝𝑝)𝛾𝛾 )−1⁄𝛾𝛾 のパラメータγ．参照点𝑟𝑟と確率ウェイト関数のパラメータγの組を. ランダム発生させた（a は 5 万件，ｂと c は各 3 万件）．図 2a は参照点をより広い区間とした．図 2a と図 2b では損失側パラメータを 0.69 に固定し，図 2c ではγ(1 + ρ)，ρ = (0.69 − 0.61)/(1 − 0.61)とした．. 図 2 から分かるように，左図上側のγ≧1.5（非逆 S 字）の領域を無視すると，𝑟𝑟 = 0，すなわち参照点による金額シフトなしでは，γは概ね 0.32 以下でないといけない．また金額のゼロ点を横軸の参照点𝑟𝑟分シフトしたとしても，可能領域は広がらず，むしろγの上限値が減少しており，また小さなγの値について予測が失敗する領域が新たに発生してい. ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 9.

(10) る（図 2 中央を参照）．なお付録 A に図 2b をエクセルで再現する方法を概略した．本論文では選択問題の予測の成否を，前述の CPT 評価値による選好順序の表現可能性に基づく 2 値的な判断とする．しかしそれとは異なる考え方もある．すなわち 2 オプションの評価値をその魅力と考えて，マッチング法則に準じて評価値の相対比率の関数として選択確率（ないし反応率）を予測し，実証的な回答比率と適合させる．ロジットモデルなどで採用されるこの方法には，前者にはなかった，予測モデルの有用性を連続的な指標として吟味できる利点がある．ただし，図 2 のような，視覚的な境界がはっきりしなくなる．図 2 では，仮にロジットモデルを採用したとして，境界付近では選択確率が 1/2 に近いと推論することができる．. 5 確率ウェイト関数変更による CPT の改良本節では実験 2 として，確率ウェイト関数を変更して参照点シフト付き CPT モデルに代入し，CCE 例の予測可能領域を視覚化する．実験 2 利得側の確率ウェイト関数のパラメータ組と，損失側の確率ウェイト関数のパラメータ組を同時にランダム生成し，実験 1 と同様に CPT 評価値を計算し，問題 3 と問題 4 の典型的選択パタンを予測する CPT モデルを見出す．確率ウェイト関数の関数形は， (1)Tversky&Kahneman(1992)，(2)ベータ分布，(3)一般化双曲線型割引の 3 種類を，それぞれ第 3 節で定義した CPT モデルに代入し，また参照点𝑟𝑟は 0, 50, 100 の 3 水準で金額シフトさせた表 1 に示す計 9 パタンについて調べる．表 1 実験 2 で用いる確率ウェイト関数の図 2 における記号（利得側および損失側）. 確率ウェイト関数. ＼参照点 0. 50. 100. CPT（累積プロスペクト理論）. a. d. g. ベータ分布（正則ベータ関数）. b. e. h. 一般化双曲線割引（マッチング法則）. c. f. i. 以下に実験 2 の結果をまとめる．１）オリジナルの CPT では，単一パラメータ𝛾𝛾 ≤ 0.32で予測可能である（図 2a）．しかし参照点のシフトはほとんど予測を改善せず，かえって予測可能領域を狭くする（図 2d および図 2g）．これらは実験 1 の結果と一致する．２）ベータ分布は参照点を考慮しないとき，図 2b で示される 0≤ 𝛼𝛼 ≤ 1の範囲では，概ね 𝛽𝛽 ≤ 0.4𝛼𝛼の領域内で予測できる．ただし𝛼𝛼 > 146辺りから𝛽𝛽の小さい値は予測できなくなり， 𝛼𝛼 > 155で予測可能領域は消える．参照点を 0～100 の範囲で動かすと，参照点が上昇するにつれて，傾向として利得側では同上領域が拡散し，また損失側では𝛽𝛽 ≥ 𝛼𝛼の領域に集まる（図 2e および図 2h）．参照点を 500 まで上げると，ほぼ𝛼𝛼 ≤ 0.4𝛽𝛽の領域になる．３）一般化双曲線割引を用いた場合，参照点なしで 2 パラメータがなす予測可能領域は双曲線型の境界部分から上方の範囲に広がる（図 2c）．しかし参照点が上昇すると，可能領域は拡散し，損失側は𝑘𝑘が 0 に近い場合を除き，𝛿𝛿 ≤ 0.4に集中する（図 2f および図 2i）． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 10.

(11) (a). (b). (c). (d). (e). (f). (g). (h). (i). 図 3 実験 2．Allais のパラドックス（CCE 例）を予測する修正 CPT モデルの 3 種類の確率ウェイト関数， (1) 𝑝𝑝𝛾𝛾 (𝑝𝑝𝛾𝛾 + (1 − 𝑝𝑝)𝛾𝛾 )−1⁄𝛾𝛾 ，(2) 𝐼𝐼𝑝𝑝 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)，(3) (1 + 𝑘𝑘(𝑝𝑝−1 − 1))−𝛿𝛿 ．利得側（上）と損失側（下）で ( 𝛾𝛾 ,-) ，. (𝛼𝛼, 𝛽𝛽)，(𝑘𝑘, 𝛿𝛿/100)をそれぞれ 1 万組の[0,1]区間一様乱数ペアとして発生させた．参照点は a～c では𝑟𝑟 =. 0， d～f では𝑟𝑟 = 50，g～i では 𝑟𝑟 = 100とした．. ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 11.

(12) ちなみに，グラフを含めた詳しい結果は省力するが，Prelec(1998)の関数形 𝑤𝑤(𝑝𝑝) = exp(−𝑘𝑘(− ln(𝑝𝑝))𝛼𝛼 ))を関数形(1)の代わりに用いた場合， 𝑘𝑘 ≤ 1.5では，(1)と同様に記述力がなく，境界は𝑘𝑘 = 1.5のとき𝛼𝛼 ≤ 0.11，𝑘𝑘 = 2では𝛼𝛼 ≤ 0.61であり，下方に押しつぶれたグラフ形状になる． 2 パラメータを自由に動かすことによって記述力が改善するが，しかし参照点の移動は貢献せず，わずかのシフトで予測可能領域が消失する．付録で説明するエクセルシート等を用いて確認することができる．. 6 利得側と損失側のペアリング実験 2 では Allais パラドックス（CCE 例）を予測可能な CPT の確率ウェイト関数の利得側と損失側のペアを，ランダムなパラメータの分布として観察したが，図 2 のグラフでは利得側と損失側のパラメータがそれぞれ独立に描かれており，個別の CPT モデルにおけるペア関係については十分な情報が得られない．そこで実験 3 として，ベータ分布を用いた個別の CPT モデルにおける確率ウェイト関数の利得側と損失側のペア関係を視覚化する．. 図 4 予測境界の近似𝛽𝛽 = 0.4𝛼𝛼上のベータ分布の反モード 5⁄(7 − 3/(𝛼𝛼 − 1))．. ところで，図 1d に示した 3 種類のグラフは，図 3d の予測可能領域の境界部分𝛽𝛽 = 0.4𝛼𝛼に沿って移動することによってベータ分布を変化させることによって得られたものだった．この境界上で得られるベータ分布の反モードは，図 4 に示されるように，𝛼𝛼によって単調に減少する（図 4 参照）．表 2 Tversky & Kahneman(1992)の確率ウェイト関数のベータ分布による近似. 利得／損失. 金額の大きさ. α. β. 反モード. 利得側. ＄200 以下. 0.4. 0.3. 0.462. 利得側. ＄200 より大きい. 0.5. 0.3. 0.417. 損失側. ＄200 以下. 0.55. 0.47. 0.459. 損失側. ＄200 より大きい. 0.6. 0.44. 0.417. 興味深いことに金額の大きさによって区別された Tversky & Kahneman(1992)の確率ウェイト関数のグラフをベータ分布で近似すると，利得側と損失側とでそれぞれ反モード(α -1)/(α+β-2)が一定となる．この結果は犬童(2020)のポスター報告および事前録画において示唆された．表 2 はそれを再現している． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 12.

(13) 図 5 利得側から損失側への確率ウェイト関数のパラメータの変化と反モード．右上(1,1)に至る点線の線分は反モード一定のパラメータ組(α,β)の集合を表す．矢線は表 2 にしたがって Tversky&Kanheman(1992)の標準モデルを金額の大きさによって区別して近似した．. 図 5 は表 2 に示したパラメータ組とベータ分布の反モードの関係を視覚的に表現した．図 2d~f からも予想されうるように，表 2 および図 5 に示した確率ウェイト関数の利得・損失ペアでは，Allais パラドックスの CCE 例を予測することができない．次に前の 2 つの実験で用いたシミュレーション実験に若干改良を加えることによって，利得側（あるいは損失側）の確率ウェイト関数をベータ分布モデルとして特定したとき，そのペアとなる損失側（あるいは利得側）の予測可能なモデルを領域として視覚化する．. 図 6 ベータ分布(α,β) = (0.35, 0.25)を利得側の確率ウェイト関数とし，参照点 100 として，Allais のパラドックスを予測する損失側の確率ウェイト関数のパラメータ．矢線は図 7 のペア．. ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 13.

(14) 図 7 参照点 100 として Allais のパラドックスを予測する確率ウェイト関数のペアの一つ．. 実験 3 標準的な CPT の確率ウェイト関数のベータ分布による近似(α,β) =(0.4, 0.3) と図 1c のモデルの一つであるベータ分布(α,β) = (0.3, 0.2)の中間を利得側確率ウェイト関数として，Allais のパラドックスを予測できる損失側の確率ウェイト関数のパラメータ組をシミュレーション実験によって生成する．参照点は 100 とする．図 6 は実験 3 の結果を示している．図 6 には利得側(0.3, 0.2)から損失側(0.17, 0.35) への矢線を追加し，(α,β) の変化も示してある．興味深いことに，前者は標準モデルと反モードが近い値である．また参照点 100 のとして，図 1c の下側のグラフ(α,β) = (0.4, 0.2)と上側のグラフ(α,β) = (0.2, 0.3)のペアリングは Allais のパラドックスを予測する（CPT 値は v1 = -4.248, v2 = 0, v3 = -71.963, v4 = 100.130）．図 6 からわかるように，このモデルの弱点は，損失側のパラメータの下では，利得側のパラメータはかなり広範囲に広がってしまうことである．事実，図 6 で示された損失側の可能領域は，参照点を上げたときの損失側の可能領域（図 3f）そのものに近づく．また損失側のカーブが利得側に比べて，より線形に近くなるという Tversky & Kahneman(1992)以来の観察にも反している．そこで，実験 3 とは逆に損失側のパラメータを固定して，利得側の可能領域を視覚化してみよう．実験 4 損失側の確率ウェイト関数の近似として，ベータ分布(0.17, 0.35)と(0.3, 0.2)を固定して，Allais のパラドックスを予測できる利得側のパラメータ組の範囲を調べる．. 図 8 参照点 100 のとき，確率ウェイト関数の損失側のモデルを，図 8 左側は(α,β) = (0.17, 0.35)，また図 8 右側では(α,β) = (0.3, 0.2)として，それぞれ Allais のパラドックスを予測できる確率ウェイト関数のパラメータ組ペアの利得側を図示した． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 14.

(15) 図 8 左側は損失側をベータ分布(α,β) = (0.17, 0.35)としたときの利得側モデルの予測可能領域である．また (α,β) = (0.3, 0.2)のとき，標準モデルの損失側はより線形に近い形状となる．利得側の予測可能領域は図 8 右側のようである．図 8 右側から分かるように，損失側の確率ウェイト関数がより線形に近い標準的な形状であると仮定するならば，利得側のモデルは参照点なしの場合（図 3d）を若干非線形に歪めた領域になり，参照点移動による効果が観察できた．. 7 実証的選択率による諸モデルの比較文献では一般双曲型割引の記述力が優れていると報告されている (Takemura & Murakami, 2016)．前節までの考察を踏まえると，ベータ分布は一般双曲型割引と同等かそれ以上の記述力が期待できる．そこで本節では，文献で報告された実証的な選択率のデータを用いて各種モデルの適合度を比較してみよう．第 3 節で説明したように，CPT 評価関数は，確率ウェイト関数を容量とみなした価値関数のショケ積分(4)(5)によって計算される．すなわち，符号を考慮して利得側と損失側それぞれ，最善値から最悪値に向かって限界貢献を累計する（これはゲーム理論における Shapley 値とも関係するが詳しくは省く）．逆に最悪値点から始めて限界貢献を累計することも考えられる．この双対的な CPT は，通常の CPT 値の楽観的なバージョンである．実験 5 Takahashi(2011)の一般双曲線割引を確率ウェイト関数に代入し，CPT 値𝑓𝑓と双対 CPT 値𝑔𝑔を線形結合した新しい評価関数(1 − 𝑎𝑎)𝑓𝑓 + 𝑎𝑎𝑎𝑎による予測の実証的な選択率との適合を調べる．ただし参照点は動かさない．また価値関数とそのパラメータは Tversky&Kahneman(1992)の標準的な設定とする．文献に対応する記号を，a53：Allais(1953)，b08:Birnbaum(2008), kt79:Kahneman & Tversky(1979), t69:Tversky(1969), e02: Erev, Roth, Slonim, & Barron (2002)とする．また実験に用いた文献の選択問題データは，a53：4 問，b08：40 問，e02：200 問，kt79：16 問， t69：10 問の計 270 問である．ただし a53 については Allais(1953)に実証的な選択率のデータがないため，犬童(2013)の追試のデータを用いた．. 図 9 楽観的な CPT との線形混合による一般双曲線型割引(20, 0.6)の実証的選択率との適合度． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 15.

(16) 図 9 の横軸は混合係数𝑎𝑎であり，0 のときが元の一般双曲線型割引(20, 0.6)の場合である．適合度は，ペア比較(x,y)における実証的な x の選択率 Pr(x)が 50％を超えるときに x の評価値 v(x)が y の評価値 v(y)より大きい，つまり Pr(x)-0.5 と v(x)-v(y)が同符号の場合，もしくは実証的な選択率と 50％の差が 5％未満であり，かつ評価値の合計が正で，かつ相対評価値と 50%の差が 3%未満，つまり 0.03 > v(x)/(v(x)+v(y))-0.5 のとき 1，それ以外を 0 として平均した．一般双曲線型割引モデル(20, 0.6)は，図 3g で示した予測境界の若干外側に位置するが，図 9 が示すように𝑎𝑎 =0 付近で，Allais のパラドックスの 4 問とプロスペクト理論が予測する kt79 の 16 問すべてと適合し，e02 についても 90%を超える．また𝑎𝑎をわずかに負とした場合に e02 や b08 の予測力が若干改善していることに注意する．絶対値の小さい負の混合係数𝑎𝑎 < 0は，CPT に若干の楽観性が追加されることを意味する．また 𝑎𝑎 > 0で t69 の非推移性のケースの予測力が改善する．末尾独立性の違反などを含む b08 では −0.08 ≥ 𝑎𝑎 ≥ −0.18で 65%が最大である．次に，文献で観察されたように，損失側の確率ウェイトがより線形に近いと仮定して，より線形のグラフに近いベータ分布を用いて，利得側を反モード一定として参照点を動かしながら予測モデルを生成してみよう．実験 6 利得側を反モード 0.37 としたベータ分布(0.5,β)，損失側をベータ分布(0.6, 0.52)とした場合の修正 CPT を，参照点を 0～500 の範囲で動かして実験する（実験結果を図 10 として示す）．. 図 10 利得側の確率ウェイト関数を反モード 0.37 のベータ分布( 0.5, β)，損失側をベータ分布(0.6, 0.52)とした場合の修正 CPT を，参照点を 0～500 の範囲で動かしたときの文献の実証的選択率との適合度． a53 ： Allais(1953) ， b08:Birnbaum(2008), kt79:Kahneman & Tversky(1979), t69:Tversky(1969), e02:Erev et al.(2002).. もし反モードを 0.38 に変えると，a53 は参照点なしでも予測できることに注意する．図 10 から分かるように，利得側のモデルが図 3d の境界付近に位置するためか，参照点の移動による改善は限定的である．言い換えれば，実証的なパタンと適合する参照点が特定される．具体的には，この事例では 30～37 の範囲に定まる．実験 7 さまざまな確率ウェイト関数を CPT に代入し，同上文献データを使って選択率適合度を比較する（結果を図 11 として示す）． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 16.

(17) 図 11 さまざまな確率ウェイト関数を代入した CPT の修正版が文献の実証的選択率データと適合する比率．確率ウェイト関数の種類は，linear:線形，s87：Segal(1987)，k87：Karni & Safra(1987), eh85: Einhorn and Hogarth(1985,1986), Currim and Sarin(1989), cpt: Tversky & Kahneman (1992), tax: Birnbaum(2008), tf94: Tversky & Fox (1994), Lattimore, Baker, and Witte(1992), t11, t11_1: Takahashi(2011)でパラメータ組(20, 0.6), (7, 0.8), t11x~z: 楽観的な CPT バージョンとの線形混合（混合比𝑎𝑎=0, 0.5, -0.08, -1.03）． 5 系列目の ph は優先順位ヒューリスティックス(Brandstätter, Gigerenzer, and Hertwig, 2006)．ベータ分布は右端の beta で(α,β)=(1, 0.1)．. 実験 7 の結果を示す図 11 では，Prelec の p98（2, 0.57）, Tversky&Fox の tf95x（2, 0.57）と並んで Takahashi の一般化双曲線割引(7, 0.8)の適合が高い．楽観混合バージョン t11x は，t11 の一般化双曲線割引(20, 0.6)の適合度 83.0%より良い．しかしこれらのモデルはグラフ形状が J 字型をしており，確率が 1 に近づくまで下方につぶれた形である（付録 A1⑨の図を参照）．これらと比較するため，図 11 ではあえて極端なパラメータ値のベータ分布(α,β)=(1, 0.1)のケースが示されている．このデータセットではオリジナルの cpt は 68.9％と，線形モデル（74.4%）にすら劣っている．したがってベータ分布 (α, β)=(0.4, 0.3)についても適合が良くない．このデータセットでは，問題数にばらつきが大きく，とくに問題数が多い e02 で結果が良好であるモデルに有利になる（線形モデルでも十分良い）．e02 を除いた 70 件のデータセットでは，b08 の占める割合が大きくなり，tax が 77.1%で最も適合し，次いで Prelec 60.0%，一般双曲線型割引 58.6%と続く．tax 以外のモデルは 60%を超えない．. 8 まとめ本論文では累積プロスペクト理論 (CPT)の確率ウェイト関数の関数形を修正して， Allais のパラドックスをより自然に表現できるように改良を試みた．一般化双曲型割引は， CPT の確率ウェイト関数に代入すると，じゅうらい提案されてきた代替理論と比較して優れた記述力を持つと考えられる．しかし Tversky & Kahneman のオリジナルの関数形同様，参照点の移動による予測改善は見られなかった．一方，ベータ分布を用いた場合，参照点の移動による影響が観察された．またベータ分布を用いた予測モデルから，参照点の位置を推論できる可能性が示唆された． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 17.

(18) 付録Ａ本付録では，エクセルを用いて確率ウェイト関数と CPT モデルによる予測を実験するための簡便な方法を述べる．以下では実験 1 の一部を再現するが，一定の汎用性をもたせてあり，その他の分析にも応用可能である．Ａ１各種の確率ウェイト関数を定義し，計算する ① エクセルで新しくファイルを開き，シート名「モデル定義」として下図のように入力する． A. ◢. B. C. D. E. F. G. Prm1. Prm2. Prob. formula. 1. index. name. Formula. 2. 1. linear. P. 3. 2. eh85. p+θ*(1-p-p^β). β. 4. 3. tk92. p^γ/(p^ γ+(1-p)^γ)^(1/γ). γ. 5. 4. p98. EXP(-κ*(-LN(p))^α). κ. α. p. 6. 5. tf95. θ*p^δ/(θ*p^δ+(1-p)^δ). θ. δ. p. 7. 6. t11. (1+Κ*((1-p)/p) )^(-α). Κ. α. p. 8. 7. beta. BETA.DIST(p,α,β,TRUE). α. β. p. パラメータと変数の記号. Prm1. Prm2. Prob. p θ. p p. 9 10. ②の数式. ② セル G2 に以下の数式を入力し，G8 まで下向きコピーする． =SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE($C2,F2,F$10),D2,D$10),E2,E$10) ③ シート名「モデル計算」を作り下図のように入力する．H1:P1 には 0.1~0.9 を入力する． ◢. A. B. C. D. E. F. G. Prm1. Prm2. 0. 0.01. 0.05. 1. #. 種類. 2. 1. linear. 3. 2. eh85. 0.4. 4. 3. tk92. 0.61. 5. 4. p98. 2. 0.57. 0. 1. 6. 5. tf95. 0.724. 0.61. 0. 1. 7. 6. t11. 20. 0.6. 0. 1. 8. 7. beta. 0.4. 0.3. 0. 1. 0 0.1. 0 0. H I J K L M N O P. Q. R. S. 0.95. 0.99. 1 1. ④の数式を入力し，F2：. 1. T8 にコピー＆貼り付け. 1. 9. ④ セル F2 に以下の数式を入力し，F2 を範囲 F2：T8 にコピーして貼り付けする． ="="&SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE( モデル定義 !$G2,"Prob", F$1),"Prm1","$C"& $A2+1),"Prm2","$D"& $A2+1) 例えば，セル H5 には，「=EXP(-2*(-LN(K5))^0.57)」と表示されていることを確かめる．確率 0 や 1 での数値エラーに対処するためには，以下のように修正する． ="=IF(""Prob""=0,0,IF(""Prob""=1,1,"&SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(SUBSTITUT ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 18.

(19) ⑤ ⑥ ⑦ ⑧. E( モデル定義 !$G2,"Prob", F$1),"Prm1","$C"& $A2+1),"Prm2","$D"& $A2+1) &"))" ここなでの結果を，エクセルファイルを「モデル管理.xlsx」として保存する．「モデル計算」シートを CSV ファイルとして保存し，ファイルを保存せずに閉じる．「モデル計算.csv」をダブルクリックして開き，「実験１.xlsx」として保存する．適宜分析を追加する（下図参照）．. Ａ２効用関数ないし価値関数を定義し，計算する A1 で作成した「モデル管理.xlsx」を開き，効用関数（価値関数）を定義するため，「効用モデル」シートを追加する． ◢. A. B. C. D Prm1. Prm2. E. F. Prm3. Money. 1. #. name. formula. 2. 1. linear. x. 3. 2. power. x^α. Α. x. 4. 3. cara. 1.0 -EXP(-x/(1000*α)). Α. x. 5. 4. tk92. IF(x<0, -λ*(-x)^β, x^α). Α. 6. 5. log. IF( y = 0, 0, IF( y > 0,. G formula 2. x. Β. λ. x y. LN( y ), -LN( -y ) ) 7. 6. ks87. IF( X < -1, X, IF( X <. X. 12, 10 * X + 10, 6.75 * X + 49 ) ) 8 ⑩の数式. 9 10. Prm1. ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. Prm2. Prm3. XX. を入力. 19.

(20) ⑨ セル G2 に以下の数式を入力し，G8 まで下向きコピーする． =SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE($C2,G2,G$10) ,D2,D$10),E2,E$10),F2,F$10) ⑩ 「オプション定義」シートを追加し，以下のように入力する． A. B. 1. Option. No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2. outcome. 1. 500. 100. 500. 100. 400. 300. 400. 300. 3. outcome. 2. 100. 0. 0. 0. 0. 0. 4. outcome. 3. 0. 5. probability. 1. 0.1. 0.1. 0.11. 0.8. 0.2. 0.25. 6. probability. 2. 0.89. 0.9. 0.89. 0.2. 0.8. 0.75. 7. probability. 3. 0.01. ◢. C. D. 1. E. F. G. H. I. 1. J. 8. ⑪ B10:B15 に図のように数値を入力し，C10 に以下の数式を入力して C10:J15 にコピーする． =IF(ISERROR(MATCH($B10,C$2:C$4,0)),0,INDEX(C$5:C$7,MATCH($B1 0,C$2:C$4,0))) 10. Pr（＄）. 500. 11. 400. ⑫の数式を入力し，. 12. 300. C10：J15 にコピー＆貼. 13. 200. 14. 100. 15. 0. 16. ⑫ 「パラメータ設定」シートを追加する．B4:B5 に文字列「'=RAND()*500」を入力し，また C4:C5 に「'=RAND()」を入力して D4:I5 にコピーして貼り付けする． ◢. A. 1. B 参照点. C. D. E. 効用関数のパラメータ. F. G. 利得側 Id. R. Prm1. 4. 1. =RAND()*500. =RAND(). 5. 2. =RAND()*500. =RAND(). Prm2. I. 確率ウェイト関数のパラメータ. 2 3. H. Prm3. Prm1. 損失側 Prm2. Prm1. Prm2. ⑬ セル A5 に「=A4+1」と入力し直し，実験するケース数分を行コピーする． ⑭ 「効用計算」シートを追加し，以下のように入力する． 15-1） A～Q 列 1 行目に列名を英文字で入力する（「= LEFT( ADDRESS( ROW(), COLUMN(), 4), 1)」を入力してコピーする）． 15-2）G 列までを以下のように入力する．ただしセル A5 には「=A4+1」を入力する． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 20.

(21) A. ◢ 1. B. A. 2. C. B. C. 参照点. パラメータ. R. Prm1. D. E. D. F. E. Prm2. Prm3. G. H. F. G. モデル. 効用関数. 効用u. u:formula. 3. Id. 4. 1. 4. 5. 2. 4. H. 6. 15-3）B4 に「="=パラメータ設定!"&B$1&ROW()」を入力し，コピーして B4:E5 に貼付けする． 15-4）G4 に以下の数式を入力し，G5 にコピーする． =SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(SUBSTITUTE( INDEX(効用モデル!H:H, F4+1), "Prm1", "$" & C$1 & ROW() ), "Prm2", "$" & D$1 & ROW() ), "Prm3", "$" & E$1 & ROW() ) 15-5）H～Q 列の 3 行目までを図のように入力する（後の計算のため，利得と損失に分ける）． H H. I I. J J. K K. L L. 利得側 0. M M. N. O. P. Q. N. O. P. Q. 100. 300. 400. 500. 損失側 100. 300. 400. 500. 0. 15-6）H4 に以下の数式を入力し，L5 まで右向きコピーする． ="="&SUBSTITUTE($G4,"XX","MAX(0,"&H$1&"$3-$"&$B$1&ROW()&")") 15-7）M4 に以下の数式を入力し，Q5 まで右向きコピーする． ="="&SUBSTITUTE($G4,"XX","MIN(0,"&N$1&"$3-$"&$B$1&ROW()&")") 15-8）5 行目（A5:Q5）をコピーして，⑭で作成した個数分，貼付けする． 15-9)「モデル管理.xlsx」を上書き保存する． ⑮ 「モデル管理.xlsx」に追加したシートを以下の手順で「実験 1.xlsx」に反映する． 16-1) 「オプション定義」「パラメータ設定」「効用計算」の各シートをいったん CSV ファイルに保存する．これらを書き出したら，ファイルを保存せずに閉じる． 16-2) 先に「実験１.xlsx」を開いておく．⑯で保存した CSV ファイルをそれぞれダブルクリックしてエクセルに読み込む．各シートのタブを右クリックし，「シートの移動またはコピー」で「実験１.xlsx」に移動する（モデル管理.xlsx から直接シートをコピーするのではないことに注意）． 16-3) 「モデル管理.xlsx」で，「データ」「クエリと接続」の「リンクの編集」で，リンク元をすべて「モデル管理.xlsx」に変更する．変更したらファイルを上書き保存する． ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 21.

(22) Ａ３ CPT 評価値を計算し，実験結果をレビューする ⑯ 「モデル管理.xlsx」に「CPT (1)」シートを追加し，以下のように J 列 5 行目まで入力する． A. ◢ 1. A. 2. B. C. D. B. C. 参照点. 利得側. R. Prm1. E. D. F. E. G. F. 損失側 Prm2. Prm1. Pr. H. I. J. G. H. I. J. 選択. 関数. 利得. 損失. option. w. w+. w-. 3. Id. 4. 1. 1. 3. 5. 2. 1. 3. 17-1) B4 に「="=パラメータ設定!"&B$1&ROW()」と入力する． 17-2) C4 に「="=パラメータ設定!"&F$1&ROW()」と入力し，F4 まで右向きコピーする． 17-3) I4 に以下の数式を入力する． =SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(VLOOKUP(H4, モデル定義 !$A$1:$G$8, 7, FALSE), "Prm1", "$"&C$1&ROW()), "Prm2", "$"&D$1&ROW()) 17-4) J4 に以下の数式を入力する． =SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(VLOOKUP(H4, モデル定義 !$A$1:$G$8, 7, FALSE), "Prm1", "$"&E$1&ROW()), "Prm2", "$"&F$1&ROW()) 17-5）「CPT (1)」シートの K～U 列の 3 行目までを図のように入力する． K. L. K. L. 累積確率. 利得. 0. 100. M M 300. N N 400. O O 500. P P oo. Q. R. Q. R. 累積確率. 損失. 0. 100. S. T. U. S. T. U. 300. 400. 500. 0. 17-6) K4 に以下の数式を入力し，O4 まで右向きコピーする． ="=IF(" & K$1 & "$3<$" & $B$1 & ROW() & ", 0, VLOOKUP(" & K$1 & "$3,オプション定義 !$B$10:$J$15,1+$" & $G$1 & ROW() & ",FALSE))+" & L$1 & ROW() 17-7) Q4 に以下の数式を入力し，U4 まで右向きコピーする． ="=IF(" & Q$1 & "$3<$" & $B$1 & ROW() & ",VLOOKUP(" & Q$1 & "$3,オプション定義 !$B$10:$J$15,1+$" & $G$1 & ROW() & ",FALSE),0)+" & P$1 & ROW() 17-8）「CPT (1)」シートの V～AE 列の 3 行目までを図のように入力する． V. W. X. Y. Z. V. W. X. Y. Z. ウェイト. 利得. 0. 100. 300. 400. 500. AA. AB. ウェイト. 損失. 0. 100. ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. AC. AD. AE. 300. 400. 500. 22.

(23) 17-9）AA1 に「=LEFT(ADDRESS(ROW(),COLUMN(),4),2)」と入力し，AP1 まで右向きコピーする． 17-10) V4 に以下の数式を入力し，Z4 まで右向きコピーする． ="="&SUBSTITUTE($I4,"Prob",K$1&ROW()) 17-11) AA4 に以下の数式を入力し，AE4 まで右向きコピーする． ="="&SUBSTITUTE($J4,"Prob",Q$1&ROW()) 17-12）「CPT (1)」シートの AF～AP 列の 3 行目までを図のように入力する． AF. AG. AF. AG. 決定ウェイト. 利得. 0. 100. AH. AI. AH. AJ. AI. 300. AJ. 400. 500. AK. AL. AK. AL. 決定ウェイト. 損失. 0. 100. AM AM. AN AN. AO AO. AP AP 評価値. 300. 400. 500. cpt. 17-13) AJ4 には「="="&Z$1&ROW()」を入力する．また AF4 に以下の数式を入力し， AJ4 まで右向きコピーする． ="="&V$1&ROW()&"-"&W$1&ROW() 17-14) AK4 には「="="&AA$1&ROW()」を入力する．また AL4 に以下の数式を入力し， AO4 まで右向きコピーする． ="="&AB$1&ROW()&"-"&AA$1&ROW() 17-15) AP4 に以下の数式を入力する． ="=SUMPRODUCT(" & AF$1 & ROW() & ":" & AO$1 & ROW() & ",効用計算!H" & ROW() & ":Q" & ROW() & ")" 17-16) B4:AP4 をコピーして B5 で貼付けする． 17-17) 「モデル管理.xlsx」を上書き保存する． ⑰ 「実験結果」シートを追加し，5 行目 J 列まで図のように入力する． ◢. A. B. 1. 実験結. 2. CPT値. 3. Id. 4. 1. 5. 2. 1. C. D. E. F. G. 差 2. 3. 4. ⊿1-2. ⊿3-4. H. I. 選好逆. アレ. reversal. cce. J. 18-1) A5 に「=A4+1」と入力する． 18-2) B4 に以下の数式を入力し，E4 まで右向きコピーする． ="='CPT ("&B$2&")'!AP"&ROW() 18-3) F4 に「="=B"&ROW()&"-C"&ROW()」を入力する． 18-4) G4 に「="=D"&ROW()&"-E"&ROW()」を入力する． 18-5) H4 に以下の数式を入力する． ="=NOT(SIGN(F"&ROW()&")=SIGN(G"&ROW()&"))" 18-6) I4 に以下の数式を入力する． ="=AND(B"&ROW()&"<C"&ROW()&","&"NOT(D"&ROW()&"<E"&ROW()&" ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 23.

(24) ))" ⑱ 「CPT (1)」と「実験結果」をそれぞれ CSV に保存し，⑯と同様の手順で，これらを「実験 1.xlsx」に反映し，リンク元を変更する．また「実験 1.xlsx」で「CPT (1)」を「移動またはコピー」で「コピーを作成する」を 3 回実行し，「CPT (2)」「CPT (3)」「CPT (4)」それぞれで G 列を 2,3,4 に変える．「実験 1.xlsx」を上書き保存し，また適宜分析を追加する（図参照）．. ⑲ ベータ分布版を作る．必要なシートは「モデル定義」「オプション定義」「効用計算」「パラメータ設定」「CPT (1)」であるが，このうち作り変えるのは「CPT (1)」のみである． 20-1) 「実験１.xlsx」を開き，ファイルの名前を変えて保存で，「実験２.xlsx」として保存する． 20-2) 「CPT (1)～(4)」と「実験結果」の５シート分を削除する． 20-3) 「モデル管理.xlsx」を開き，H 列 7 に変えてから，いったん CVS ファイルに保存し，ファイルを閉じる（繰り返すが，エクセルファイルから直接シートをコピーするのではない）． 20-4) 「実験２.xlsx」に戻り，作成し直した「CPT (1).csv」と既存の「実験結果.csv」を開いて，「実験 2.xlsx」にシートを移動する．データのリンクを編集してリンク元を「実験２.xlsx」に変更する． 20-5) ⑲と同様に，「CPT (1).csv」を 3 回シート複製し，「CPT (2)」「CPT (3)」「CPT (4)」それぞれで G 列のオプションを 2,3,4 に変える．ファイル名を「実験 2.xlsx」に変えて保存する． 20-6) 適宜分析を追加する（図参照）．. ©関東学園大学, 2021. 関東学園大学経済学紀要第 47 集. 24.

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