解答例＋引用題 理系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

点$ % & の定める平面をDとする。原点2を 通り平面Dに直交する直線とDとの交点を+とする。また線分+2上の点で +か らの距離がWとなる点を3Wとする。ただし3Wの動く範囲から両端点+ 2は除くと

する。次の問いに答えよ。

点+の座標とWの動く範囲を求めよ。

平面D上にあり 3Wからの距離が 2+ となる点が作る円を6Wとする。6Wとその

内部を底面とし3Wを頂点とする円錐の体積をIWとする。このときIWを求め

よ。

2005 金沢大学（理系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ

定数D は＜D＜を満たすとする。行列 ¸

¹ · ¨

© §

D DD D

3 について次の問いに答

えよ。

3の乗は ¸

¹ · ¨

© §

E E

E E

3 _{という形で表されることを示せ。}

Qが自然数のとき3のQ乗は ¸

¹ · ¨

© §

Q Q

Q Q Q

S S

S S

3 という形で表されることを

数学的帰納法を用いて証明せよ。

のSQについて数列

^ `

SQ の一般項と Q

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３ 解答解説のページへ 関 数I[を≦[≦S の と きI[ VLQ[ とおき [＜ またはS＜[のとき

[

I とおく。次の問いに答えよ。

つの定積分

³

S

^

`

[ G[

I と

³

S

^

S

`

G[

[

I の値を求めよ。

定積分

³

S

S

I[I [ G[の値を求めよ。

D＞ について

³

S

^

S

`

D D [ _D [ G[

7 I I とおく。7Dの最小

2005 金沢大学（理系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ

個のさいころを振る試行をくり返す。Q回の試行で少なくとも回はの目が出

る確率をDQとする。N QについてN回目の試行ではじめての目が

出る確率をENとする。次の問いに答えよ。

DQをQを用いて表せ。

¦

Q

N N Q

Q _D NE

0

_{とする。0QをQを用いて表せ。}

の0Qについて Q Qof0

OLP を求めよ。ただし U ＜のときOLP_of Q

Q QU が成り

‹電送数学舎 2005

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１ 問題のページへ

点$ % & の定め る平面Dの方程式は

\ ]

[ _[\]

すると平面D の法線ベクトルはQ となる の で N を 定 数 と し て 2+ NQ N か ら

+ N N N と表せ

N N

N N

よって + となり 2+ _より

＜W＜

3Wを頂点とする円錐は母線2+ 高さ3W+ Wから円6Wの半径は

W W よって円錐の体積IWは

_{W S W W S W W}

I

より_{IcW SW} SWW すると右表よりIWの最大値は

S

S

I

［解 説］

切片を利用して平面の方程式を記述しました。詳細はピンポイントレクチャーを参 照してください。

W … …

W

Ic _{＋ −}

W

I

+

2

$ % &

]

\

[

2005 金沢大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2005

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２ 問題のページへ

¸ ¹ · ¨ © § D DD D

3 に対して

¸¸¹ · ¨¨© § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § D D D

DD D D D D D D D D D D D 3

ここで_{E DDとおくと ¸}

¹ · ¨ © § E E E E

3 _となる。

¸ ¹ · ¨ © § Q Q Q Q Q S S S S

3 と表されることを数学的帰納法で証明する。

L Q のとき S Dとおくと成立する。 LL Q Nのとき ¸

¹ · ¨ © § N N N N N S S S S

3 であると仮定する。

¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § D DD D S

SS S 3 N N N N N ¸ ¹ · ¨ © § N N N N N N N N DS S D DS S D DS S D DS S D ¸ ¹ · ¨ © § N N N N S D D S D

DDD S D DS

ここで SN DDSNとおくと ¸

¹ · ¨ © § N N N N N S S S S

3 となる。

LLLより ¸ ¹ · ¨ © § Q Q Q Q Q S SS S

3 と表される。

より SQ DDSQとなり

Q

Q D S

S

よって

Q

Q S D

S

Q

Q D D

S

ここで＜D＜から＜D＜となりQ→∞のとき_DQ o_から

OLP_of Q

Q S

［解 説］

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３ 問題のページへ ≦[≦SのときI[ VLQ[[＜またはS＜[のときI[ より

^

`

³

S

[ G[

I

³

^

`

³

S

^

`

S

S

[ G[ I [ G[

I

³

S

VLQ [G[

³

S

FRV [G[

>

VLQ

@

S

S

[

[

また ≦ S ≦S

[

S≦[≦S

のときI

[S

VLQ

[S

FRV[とな り [S＜またはS＜[S

[＜S S＜[

のときI

[S

である。

^

`

³

S S

G[ [

I

³

^

`

S S _G[ [

I

³

_SS

^

S

`

G[ [ I

³

_SS

FRV [G[

³

_SS

FRV [_G[

>

VLQ

@

S S S [ [

³

S

S

[ [ G[

, I I とおくと

³

S S _G[ [ [

, I I

³

_SS

S

[ [ G[

I

I

³

S

S S

[ I [ G[

I

VLQ FRV

>

VLQ

@

³

S S S

S [ [G[ [

³

S

^

`

D D [ G[

7 I

³

S

S

I [ I [ G[

³

S

^

S

`

_{[ G[} D I

より _˜S_{˜ ˜}S D D D 7 D D S S

D＞から相加平均と相乗平均の関係より

_˜ D D D

7 ≧ S S S

等号成立は

D D S

S すなわち

D のときである。

以上より

D のとき7Dは最小値S をとる。

［解 説］

積分区間を分けて丁寧に計算すれば 2. です。思考を整理するためにグラフを書

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４ 問題のページへ

Q回さいころを振ったとき の目が出ない確率は Qより少なくとも回は

の目が出る確率DQは Q Q

D

N 回目に振ったときはじめて の目が出る確率をENはEN Nである。

ここで

¦

Q

N N

Q NE

6

¦

Q

N

N

N

_とおくと

Q

Q 6

6

¦

Q N

N

N

_¦

Q

N

N

N

Q Q

Q

よって 6Q

^ `

Q Q Q Q Qとなり

Q Q

Q Q

Q

Q Q

0

条件よりQ→∞のときQ Q oなのでから

OLP_of Q

Q 0

［解 説］

有名な等差×等比タイプの数列の和6Qで期待値を計算していることがわかり