２種生物と２種化学物質の相互作用による 走化性数理モデルの分岐解析

２種生物と２種化学物質の相互作用による 走化性数理モデルの分岐解析

宇津木 翔 学修番号 17878305

2019年1月10日

1 ^{導入と主結果}

本論文では以下の走化性数理モデルを考える.

















u_t= (D₁u_x−χ₁uv_x)_x+u(θ₁−u), x∈(0, L), t >0, vt=D2vxx−v+w, x∈(0, L), t >0, w_t= (D₃w_x−χ₂wz_x)_x+w(θ₂−w), x∈(0, L), t >0, zt=D4zxx−z+u, x∈(0, L), t >0, u_x(x, t) =v_x(x, t) =w_x(x, t) =z_x(x, t) = 0, x= 0, L, t >0.

(1.1)

ここで,Lは正の定数, u(x, t), w(x, t)は位置x,時刻tにおける２種生物の個体数を表し,z(x, t), v(x, t)はそ れぞれの生物が分泌する化学物質の濃度を表す.またDi>0 (1≤i≤4)は拡散係数, θ1, θ2>0は環境収容 力,χ1, χ2≥0は走化性効果の強さを表すパラメータである. (1.1)の定常問題は次の通りである.

















(D1ux−χ1uvx)x+u(θ1−u) = 0, x∈(0, L), D₂v_xx−v+w= 0, x∈(0, L), (D3wx−χ2wzx)x+w(θ2−w) = 0, x∈(0, L), D₄z_xx−z+u= 0, x∈(0, L), ux(x) =vx(x) =wx(x) =zx(x) = 0, x= 0, L.

(1.2)

正 値 定 数 定 常 解 は (u, v, w, z) = (θ₁, θ₂, θ₂, θ₁) の み で あ る. ま た χ₁ = χ₂ = 0 の と き は, 解 u(x), v(x), w(x), z(x) ≥ 0 は u(x) ̸= 0, w(x) ̸= 0な ら ば, (u, v, w, z) = (θ₁, θ₂, θ₂, θ₁) と な る こ と が 知られている.

主結果を述べるための記号として,λk:= (^kπ_L)², k∈ {0} ∪N, I := (0, L)と定義する. 得られた主結果を述べる.非定数定常解の非存在性に関して次の結果が得られる.

定理1.1 Di ≥ 1 (1≤ i ≤ 4)を仮定する.更に, D1λ1 >4θ1, D3λ1 >4θ2を仮定する.このとき, ある

¯

χ1, χ¯2が存在して, 0< χ1<χ¯1, 0< χ2<χ¯2に対して, (1.2)の非負非定数定常解は存在しない. K₀²:= min

k≥1(χ^∗_k)²:= min

k≥1

(D1λk+θ1)(D2λk+1)(D3λk+θ2)(D4λk+1)

θ₁θ₂λ²_k と定義する.このとき,解(θ1, θ2, θ2, θ1)の安 定性に関して次の結果が得られる.

定理1.2 (1) χ1χ2> K₀²ならば,正値定数解(θ1, θ2, θ2, θ1)は不安定である. (2) χ1χ2< K₀²ならば,正値定数解(θ1, θ2, θ2, θ1)は安定である.

以下からはχ1=χ2=χとして考える. X =H_N²(I) ={h∈H²(I)|hx(0) =hx(L) = 0}, Y =L²(I), R¹ の開区間(0,+∞)に対して,X×X×X×X×R^{1の開集合}V をV =X×X×X×X×(0,+∞)とする. 写像F :V →Y ×Y ×Y ×Y を次で定義する.

F(u, v, w, z, χ) :=







(D₁u_x−χuv_x)_x+u(θ₁−u) D₂v_xx−v+w (D3wx−χwzx)x+w(θ2−w)

D4zxx−z+u







このとき,χ=χ^∗_kでの分岐解（特に,非定数正値定常解）の存在に関して次の結果が得られる.

定理1.3 k̸=lのときχ^∗_k ̸=χ^∗_l を仮定する.このとき,任意のk≥1に対して, 十分小さなδ >0をとれば, X×X×X×X×R^{1における}(θ₁, θ₂, θ₂, θ₁, χ^∗_k)の近傍V₀(⊂V),原点を含む区間(−δ, δ), χ^∗_k(0) =χ^∗_kを 満たす(−δ, δ)上で定義された実数値連続関数χ=χ^∗_k(s) (s∈(−δ, δ))が存在して,F(u, v, w, z, χ) = 0を満 たす点(u, v, w, z, χ) (∈V0)の非定数解は,次でパラメータ化できる.

χ^∗_k(s) =χ^∗_k+O(s), (1.3)







uk(s, x) vk(s, x) wk(s, x) z_k(s, x)





=





 θ1

θ2

θ2

θ₁





+s







(D2λk+ 1)(D3λk+θ2)(D4λk+ 1) χ^∗_kθ2λk

χ^∗_kθ2λk(D2λk+ 1) (D₂λ_k+ 1)(D₃λ_k+θ₂)





cos(kπx L ) +s







φk(s, x) ψk(s, x) ηk(s, x) ξ_k(s, x)





. (1.4)

ここで, (φk(s, x), ψk(s, x), ηk(s, x), ξk(s, x))は(φk(s, x), ψk(s, x), ηk(s, x), ξk(s, x))∈(N(D(u,v,w,z)F(θ1, θ2, θ2, θ1, χ^∗_k)))^⊥ かつ(φ_k(0, x), ψ_k(0, x), η_k(0, x), ξ_k(0, x)) = (0,0,0,0)を満たす連続関数である.記号D_(u,v,w,z)F(θ₁, θ₂, θ₂, θ₁, χ^∗_k)

はフレッシェ微分を表す.

定理1.3で得られた分岐解の分岐の形状に関して次の結果が得られる.

定理1.4 定理1.3の条件の下, (1.3)をχ^∗_k(s) =χ^∗_k+K2s+K3s²+o(s²)と表す.このとき,K2= 0であ り,K3の値は(D1, D2, D3, D4, θ1, θ2, χ^∗_k, λk, L)を用いて具体的な表現式を得る.

定理1.4によって, K3̸= 0ならば(θ1, θ2, θ2, θ1, χ^∗_k)における局所分岐曲線はpitchfork typeになることを 意味する.

定理1.4で得られたK3の表現式を用いて, K3の符号に関して次の結果が得られる. 系1.5 θ1=θ2= 1とする.このとき,

(1) D₁=D₃=ε >0で十分小さく, D₂=D₄=D >0のとき,K₃<0である. (2) D₂=D₄=ε >0で十分小さく,D₁=D₃=D >0のとき, D < _λ¹

k ならば, K₃ <0, D > _λ¹

k なら

ば,K₃>0である.

定理1.6 十分小さなδ >0に対して,s∈(−δ, δ), s̸= 0, χ^∗_k =K0のときの分岐解は,K3>0ならば安定, K3<0ならば不安定である.

χ^∗_k > K0なるχ^∗_kからの分岐解については,定理1.2から,K3の符号に関わらず不安定であることもわかる.

１種生物と１種化学物質による走化性数理モデルの分岐解析が[3]で行われている.また, [4]では競争項を もつ２種生物と２種化学物質の相互作用による走化性数理モデルにおける,時間発展による解の収束に関して 研究が行われている.本論文によって,生物間の競争効果を無視した場合の,２種生物と２種化学物質の相互作 用による走化性数理モデルの分岐解析を行ったことになる.定数解からの分岐解が不安定となる場合,大きな振 幅をもつ安定な非定数正値定常解の存在を示唆していると言える.

2 予備知識

補題2.1 (Ω, µ)を測度空間とし, 1 ≤p, q ≤ ∞^{を 1}_p+ ¹_q = 1なる実数とする.このとき, Ω上の可測関数 f, gに対して,次が成り立つ.

∥f g∥L¹(Ω,µ)≤ ∥f∥L^p(Ω,µ)∥g∥L^q(Ω,µ)

定義2.2 J ⊂R^{1を開区間とする}. f ∈L²(J)とi∈N^に対して,あるg∈L²(J)が存在して,

∫

J

f(x)Dⁱϕ(x)dx=−

∫

J

g(x)ϕ(x)dx

が任意のϕ∈C₀^∞(R)に対して成り立つとき,gをf のi次の弱微分といい, Dⁱf(x) =g(x)で表す.ここで, Dⁱϕ(x) =_∂x^∂i_iϕ(x)である.この弱微分を用いて,ソボレフ空間H^m(J)は以下で定義される.

H^m(J) :={f ∈L²(J)|Dⁱf ∈L²(J) (i= 0,1,· · ·, m)}. また,その内積とノルムを,

(f, g)_Hm(J):=

∑m i=0

(Dⁱf, Dⁱg)_L2(J)

∥f∥H^m(J):=

{∑_m

i=0

∥Dⁱf∥²_L2(J)

}¹₂

として,ヒルベルト空間になることが知られている.

補題2.3 （ソボレフの埋め込み定理）J ⊂R^{1を有界区間とする}.このとき,任意のf ∈H¹(J)に対して, f はJ 上の連続関数と同一視でき,ある定数C0=C0(J)>0が存在して,次が成り立つ.

∥f∥L^∞(J)≤C0∥f∥H¹(J).

補題2.4 （ポアンカレの不等式）J ⊂R^{1を有界区間とする}.このとき,f ∈H¹(J), f ̸= 0, ∫

Jf dx= 0なる f に対して,次が成り立つ.ここで,|J|^は区間J の長さを表す.

( π

|J| )2

∥f∥²L²(J)≤ ∥fx∥²L²(J).

補題2.5 （フルビッツの安定性条件）a_j ∈R(j= 1,2,3,4)とする.このとき,f(x) =x⁴+a₁x³+a₂x²+ a₃x+a₄= 0の全ての解が負の実部をもつための必要十分条件は,次の(1)−(4)を満たすことである.

(1) a1>0 (2) a3>0 (3) a4>0

(4) a1a2a3> a²₃+a²₁a4

補題2.6 （パーセバルの等式）有界区間[−J, J]と周期2J の周期関数f ∈L²([−J, J])に対して,次が成り

立つ. ∫ J

−J

|f(x)|²dx= 1 2J

∑∞ n=−∞

∫J

−Jf(x) exp(−^inπx_J )dx².

本論文では,以下のCrandall-Rabinowitzによる局所分岐定理を用いて分岐解の存在を示す.

補題2.7 （[2]参照）X, Y をバナッハ空間, ΩをX のある点x0の近傍とする. R^{1の開区間}(λ1, λ2)に対 して, X×R^{1の開集合}V をV = Ω×(λ1, λ2)と定める. f(x0, λ) = 0 (λ1 < λ < λ2)を満たす連続写像 f :V →Y をC¹-級の写像とする.このとき,λ1< λ0< λ2なるλ0が分岐点となるための十分条件を与える. 仮定1. D_x,λf が存在してV 上作用素ノルムで連続.

仮定2. N(D_xf(x₀, λ₀))は1次元.

仮定3. R(D_xf(x₀, λ₀))は余次元1の閉部分空間.

仮定4. D_x,λf(x₀, λ₀)x^∗∈/R(D_xf(x₀, λ₀))となるx^∗∈N(D_xf(x₀, λ₀))が存在する.

以上の仮定の下で, X×R^{1における}(x0, λ0)の近傍V0 (⊂V),原点を含む区間(−δ, δ), λ(0) =λ0を満た す(−δ, δ)上で定義された実数値連続関数λ=λ(s) (s∈(−δ, δ))を適当にとれば, f(x, λ) = 0を満たす点 (x, λ) (∈V0)の全体は,次の二つの曲線Γ1,Γ2の合併と一致する;

Γ₁={(sx^∗+sz(s), λ(s)); s∈I}, Γ2={(x0, λ); (x0, λ)∈V0}.

ここで,z=z(s)は, (−δ, δ)上で定義され,z∈(N(Dxf(x0, λ0)))^⊥かつz(0) = 0を満たす連続関数である.

3 ^定理 1.1 ^の証明

3.1 準備

補題3.1 (u, v, w, z)を(1.2)の非負解とする.このとき,次が成り立つ.

∥u∥L²(I)≤θ1

√L, ∥w∥L²(I)≤θ2

√L.

証明 (1.2)の第一式をI上積分すると,

∥u∥²L²(I)=θ1∥u∥L¹(I). 補題2.1より,

θ1∥u∥L¹(I)≤θ1∥u∥L²(I)

√L.

以上より,

∥u∥L²(I)≤θ₁√ L.

同様の議論により(1.2)の第三式から,

∥w∥L²(I)≤θ₂√ L.

補題3.2 (u, v, w, z)を (1.2) の非負解とし, D2 ≥ 1, D4 ≥ 1 を仮定する. このとき, ある定数 C = C(θ1, θ2, L)>0が存在して,次が成り立つ.

∥v∥H¹(I)≤C, ∥v∥L^∞(I)≤C, ∥vx∥L^∞(I)≤C,

∥z∥H¹(I)≤C, ∥z∥L^∞(I)≤C, ∥zx∥L^∞(I)≤C.

証明 (1.2)の第二式にvをかけてI上積分すると,境界条件より,

−D₂

∫

I

v²_xdx−

∫

I

v²dx+

∫

I

vwdx= 0.

また,補題2.1より, ∫

I

vwdx≤ ∥v∥L²(I)∥w∥L²(I). よって,

D2

∫

I

v²_xdx+

∫

I

v²dx≤ ∥v∥L²(I)∥w∥L²(I). また,

∥v∥L²(I)∥w∥L²(I)≤ 1

2∥v∥²L²(I)+1

2∥w∥²L²(I)

が成り立つことと,補題3.1より, D2

∫

I

v_x²dx+1 2

∫

I

v²dx≤1

2∥w∥²L²(I)≤1 2θ²₂L.

仮定より,

1 2

∫

I

v_x²dx+1 2

∫

I

v²dx≤ 1 2θ²₂L が成り立つので,

∥v∥H¹(I)≤C(θ2, L) を得る.また,補題2.3より,

∥v∥L^∞(I)≤C(θ2, L) を得る.更に,

vxx= 1 D2

(v−w) より,

∥vxx∥L²(I)≤ 1

D₂(∥v∥L²(I)+∥w∥L²(I))

≤ ∥v∥L²(I)+∥w∥L²(I)

≤2∥w∥L²(I)

≤2θ2

√L.

すなわち,

∥vx∥L∞(I)≤C0∥vx∥H¹(I)

≤C0(∥v∥²H¹(I)+∥vxx∥²L²(I))¹²

≤C(θ2, L)

を得る.同様の議論により(1.2)の第四式から,

∥z∥H¹(I)≤C(θ₁, L), ∥z∥L^∞(I)≤C(θ₁, L), ∥z_x∥L^∞(I)≤C(θ₁, L) を得る.改めて,C=C(θ1, θ2, L) = max(C(θ1, L), C(θ2, L))と定めることで,

∥v∥H¹(I)≤C, ∥v∥L^∞(I)≤C, ∥v_x∥L^∞(I)≤C,

∥z∥H¹(I)≤C, ∥z∥L∞(I)≤C, ∥zx∥L∞(I)≤C が成り立つ.

補題3.3 (u, v, w, z)を(1.2)の非負解とし, D1≥1, D3≥1を仮定する.このとき,あるχ^′₁, χ^′₂>0と,あ る定数C^′=C^′(θ1, θ2, L)>0が存在して, 0< χ1< χ^′₁, 0< χ2< χ^′₂に対して,次が成り立つ.

∥u∥L^∞(I)≤C^′, ∥w∥L^∞(I)≤C^′. 証明 (1.2)の第一式にuをかけてI上積分すると,境界条件より,

−D₁

∫

I

u²_xdx+χ₁

∫

I

uu_xv_xdx+θ₁

∫

I

u²dx−

∫

I

u³dx= 0.

補題2.1,補題3.1,補題3.2より, D₁

∫

I

u²_xdx=χ₁

∫

I

uu_xv_xdx+θ₁

∫

I

u²dx−

∫

I

u³dx

≤χ₁

∫

I

|u||u_x||v_x|dx+θ₁

∫

I

u²dx

≤Cχ₁

∫

I

|u||u_x|dx+θ₁³L

≤Cχ₁ (1

2

∫

I

u²dx+1 2

∫

I

u²_xdx )

+θ³₁L.

ここで,χ^′₁>0, Cχ^′₁≤1とすると, 0< χ1< χ^′₁に対して,仮定より,

∫

I

u²_xdx≤ 1 2

∫

I

u²dx+1 2

∫

I

u²_xdx+θ³₁L.

すなわち, ∫

I

u²_xdx≤

∫

I

u²dx+ 2θ₁³L≤θ²₁L(1 + 2θ₁).

すなわち,

∥u∥H¹(I)≤C^′(θ1, L).

補題2.3より,

∥u∥L^∞(I)≤C0C^′(θ1, L)

を得る.同様の議論により(1.2)の第三式から,χ^′₂>0, Cχ^′₂≤1とすると, 0< χ₂< χ^′₂に対して,

∥w∥L^∞(I)≤C0C^′(θ2, L)

を得る.改めて,C^′=C^′(θ1, θ2, L) = max(C0C^′(θ1, L), C0C^′(θ2, L))と定めることで,

∥u∥L^∞(I)≤C^′, ∥w∥L^∞(I)≤C^′ が成り立つ.