位数 p の群スキームの分類について
On the classification of group schemes of order p
数学専攻 天野 通大 AMANO Michio
1 序文
代数多様体に群構造が入ったものがいわゆる代数群であり，代数多様体の一般化であるスキー ムに群構造を導入したものが群スキームである．Galois理論はこうした群スキームを用いること により一般化することができ，また，Galois理論を幾何学的に捉えることができる．ここでは位 数pの有限群スキームについて，その分類についての考察を行うものである．
位数pの群スキームに関して，F. Oort, J. Tateにより分類定理が示されている([1], THEOREM 2)．この定理は，本質的に，Deligneの定理とよばれる，任意のS-スキームTに対して，位数nの 可換S-群スキームGのT-valued pointsG(T)の任意の元はn乗すると単位元になる，という事実 により，F∗pが位数pの群スキームに作用することから得ることができる．また，位数pの群スキー ムの分類定理の証明において，分類に対応する群スキームの座標環と演算がわかる．これに基づく と，例えば，有限体Fq上の位数pの群スキームは，よく知られている，ααp,Fq, µµp,Fq, (Z/pZ)Fq， 他幾つかに分類される．これらのことを概観することがこの要旨の目的である．
記号
この要旨を通して ，nは正整数，pは素数とする．また，Fp, Fqはそれぞれ位数p, q=pnの有 限体とし，Zpはp進整数環であるとする．
2 準備
ここで，群スキームの定義と例を復習する．
定義 S を任意のスキームとする．このとき，S-スキームGがS-群スキームであるとは，S- morphism
m:G×SG→G (multiplication)
e:S→G (identity)
ι:G→G (inverse)
が群の公理とよばれる可換図式を満たすときにいう．
注意 アフィンスキームと可換環の圏は逆向きに圏同値であるから，座標環の言葉で述べること ができる．このようなものをホップ代数という．
1
例 Aを任意の環とする．Ga,A= SpecA[X]と定義する．演算はX→X⊗1 + 1⊗Xで与えら れる．このような群スキームを加法群スキームという．
次に，Gm,A =A[X, 1
X]と定義する．演算はX→X⊗Xで与えられる．このような群スキー ムを乗法群スキームという．
ここで，有限群スキームの定義と例を復習する．
定義 S = SpecAをアフィンスキーム, G= SpecBをアフィンS-群スキームとする．Bが階数 nの射影A-加群のとき，Gの位数はnであるといい，有限群スキームであるという．
例 kを体とする．このとき，µµn,k= Ker[n:Gm,k →Gm,k]は，Gm,kの部分群スキームであり，
演算はGm,kの演算を制限したものであたえられる，位数nの有限群スキームである．
また，FをGa,Fpのフロベニウス自己準同型とする．このとき，ααp,Fp = Ker[F :Ga,Fp→Ga,Fp] はGa,Fpの部分群スキームであり，演算はGa,Fpの演算を制限したものであたえられる，位数pの 有限群スキームである．
次に，Γを位数nの有限群とする．このとき，(Γ)k = SpeckΓと定義するとき，kΓの基底をeγ とすると，(Γ)kは演算がeγ →
δµ=γ
eδ⊗eµと定義される群スキームとなる．これは位数nの有限 群スキームであり，constant群スキームという．また，(Γ)k(k) = Γである．これがconstantの 由来であり，(Γ)kは有限群Γをあらわす群スキームといえる．
3 位数 p の群スキームの分類定理
F. Oort, J. Tateによる位数pの群スキームの分類定理を述べる．
定理 ([1], THEOREM 2.) Λ =Z[χ(Fp), 1
p(p−1)]∩Zpと定義する．ここで，χは自然な全射Zp →Fpの乗法的なsectionで ある．このとき，S = SpecRをΛ上のアフィンスキームとしたとき，同型を除いた位数pのS-群 スキーム全体と以下の同型を除いた(L, a, b)の全体の間に全単射が存在する．ここで，Lは可逆 R-加群であり，a,bはa⊗b= ωp, ωp ∈ Λ×を満たすa∈ L⊗p−1, b∈ L⊗1−pである．(L, a, b)と (M, α, β)との同型をLとM の間にf⊗(p−1)(a) =α,f⊗(1−p)(b) =βとなるR-加群の同型f が存 在するものとして定義する．
以下ωpについて説明する．
G= SpecAを位数pのS-群スキームとする．このとき，任意のS-スキームTに対し，T-valued pointsG(T)の任意の元はp乗すると単位元になる．([1], THEOREM)
この定理により，F∗pはGに作用する．したがって，F∗pは座標環Aに作用する．このとき，一 般に，A = R⊕I（I はargementation ideal）と直和分解し，F∗p はIのみに作用する．ここで，
ei= 1 p−1
m∈F∗p
χ−i(m)[m]∈R[F∗p], Ii =eiI と定義する．このとき，Iiは固有空間
Ii={f ∈A |[m]f =χi(m)f for∀m∈Fp} (1≤i≤p−1)
2
である．
次に，µµp,Λ = SpecB, B = Λ[X]/(Xp −1) = Λ[z], (z =X)とする．これは位数pのΛ-群ス キームであるから，先に述べたように，固有空間
Ji ={x∈B |[m]x=χi(m)x for∀m∈Fp}
を持つ．このとき，yi = (p−1)ei(1−z), (y=y1) とおくと，Ji = Λyi, yi ∈Jiであることがわ かり，yi =ωiyi.(ωi ∈Λ)となることがわかる．これにより，
ω1, ω2,· · · , ωp
が定義される．これは，主定理における，a, bを結びつけ，位数pの群スキームの構造を決める，
重要なものである．
4 有限体 F
q上の位数 p の群スキームの分類
ここで，有限体Fq上の位数pの群スキームの分類をする．
定理 有限体Fq上の位数pの群スキームは，
ααp,Fp, Ga,0 (a= 0), G0,b (b= 0) のいずれかと同型である．特に
G1,0 (Z/pZ)Fq, G0,1 µµp,Fq
である．ここで，a, b∈F∗q/F∗q(p−1)であり，Ga,0 (a= 0)と同型なGa,0, (a∈F∗q)の個数はq−1 p−1 である．G0,b (b = 0)についても同様である．
以下，証明に必要となるものを述べる．
分類定理の証明により，(L, a, b)に対応する位数pの群スキームをSpecAとおくと，座標環A とこの群スキームの演算は
A=R[X]/(Xp−aX) X→X⊗1 + 1⊗X+ b
1−p
p−1
i=1
Xi⊗Xp−i ωiωp−i
であることがわかる．Fq上では可逆Fq-加群はFqとなる．これにより，(L, a, b)に対応する位数 pの群スキームをGa,bとあらわす．
次に，(a, b)∼(a, b)であるための条件は，a=up−1a, b=u1−pbとなる，u∈R∗が存在する ことである．
また，Ga,bのcartier dualはGb,aであり，µµn,kのcartier dualは(Z/nZ)kである．
定理の証明 分類定理により(a, b)には次の関係式があった．
ab=ωp =pωp−1. 3
ここで，Fqは標数pであるから，ab=pωp−1 = 0が成り立つ．これにより，a= 0またはb= 0 である．したがって，Fq上では
G0,0, Ga,0 (a= 0), G0,b (b= 0)
のいずれかと同型である．以下，(a, b) = (0,0),(1,0),(0,1)の場合を調べる．
a=b= 0のとき，座標環と演算は
A=R[X]/(Xp) X→X⊗1 + 1⊗X となる．したがって，G0,0 ααp,Fq を得る．
a= 1, b= 0のとき，座標環と演算は
A=R[X]/(Xp−X) X→X⊗1 + 1⊗X
であるから，これは，群スキーム準同型Ga,Fq →Ga,Fq,X→Xp−Xのカーネルとして，(Z/pZ)Fq で与えられる．したがって，G1,0 (Z/pZ)Fqを得る．
a = 0, b = 1のとき，G0,1 のcartier dualはG1,0 (Z/pZ)Fq であるから，さらに，これの cartier dualをとれば，G0,1µµp,Fqを得る．
次に，Ga,0 (a = 0)と同型であるGa,0, (a ∈ F∗q)の個数を調べる．(a,0) ∼ (a,0)であるた めの条件は，a = up−1a となる，u ∈ R∗が存在することであったから，up−1 ∈ R∗の形の元が いくつあるか，すなわち，F∗q(p−1)の元の個数を調べればよいが，これはよく知られているよう に，同型F∗q/F∗p F∗q(p−1)がある．したがって，F∗q(p−1)の元の個数はq−1
p−1 であることがわかる．
G0,b (b= 0)についても同様である．
参考文献
[1] F. Oort, J. Tate - GROUP SCHEMES OF PRIME ORDER,Ann. scient.Ec. Norm. Sup.´ , 4e s´erie, t. 3, (1970), 1-21.
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