有限平坦群スキームのモジュライ

有限平坦群スキームのモジュライ

今井 直毅

概 要

本稿では，Kisin によって構成された有限平坦群スキームのモジュライ の定義と諸性質，及び普遍局所変形環との関係について解説する．

0 _はじめに

本稿で解説する有限平坦群スキームのモジュライとは，大雑把に言うと，局所

体の Galois 表現の変形に Kisin 加群の情報を付加したもののモジュライである．

ただし Galois 群を考える局所体の剰余体の標数は，Galois 表現の基礎体の標数

と同じであるとする．Kisin 加群とは，本稿で出てくるS加群のことであり，有 限平坦群スキームの情報を持っている．有限平坦群スキームのモジュライは普遍 局所変形環上の射影的なスキームで，普遍局所変形環の特異点解消のようなもの になっており，このモジュライを調べることによって，普遍局所変形環の性質を 導き出すのが目標である．

第1節では，有限平坦群スキームのモジュライの構成について説明する．応用 上重要なのは，普遍局所変形環上のモジュライであるが，ここではもう少し一般 的な状況での構成を述べる．第2節では，第1節で構成したモジュライの局所的 な性質について解説し，その性質を用いて，有限平坦群スキームのモジュライの 特殊ファイバーに現れる有限平坦モデルのモジュライと普遍局所変形環を関係付 ける．第3節では有限平坦モデルのモジュライの連結成分を調べることによって，

普遍局所変形環の性質を導き出す．第4節では局所体の剰余体の標数が，変形す

る Galois 表現の基礎体の標数と異なる場合の普遍局所変形環の性質について述

べる．付録では圏上の亜群に関する言葉についてまとめた．

謝辞

「R=Tの最近の発展についての勉強会」を企画し，今回筆者に報告集執筆の 機会を与えて下さった，安田正大さん，山下剛さんに感謝いたします．また，山 下さんはこの原稿の初稿を読んで多くの有益なコメントを下さいました．ここに 改めて感謝の意を表したいと思います．

記法

本稿では以下の記法を用いる．pは3以上の素数とする．一般に，環Rに対し て，RのWitt環をW(R)で表し，局所環Rに対して，その極大イデアルをm_R で表し，整域Rに対して，その商体をFr(R)で表す．kはF_pの有限次拡大とし，

W =W(k)，K0 =W[1/p]とおく．KはK0の有限次完全分岐拡大とする．Kの 整数環をO_Kで表し，O_Kの素元πを固定する．Kの代数的閉包Kを固定し，K の絶対 Galois群をG_Kで表す．G_Kの惰性部分群をI_Kと書く．

1 有限平坦群スキームのモジュライ

本稿では Galois 表現の変形として圏上の亜群を考える．圏上の亜群の言葉に

ついては付録にまとめた．まず変形を考える二つの圏を定義する．Oを局所Z_p 代数とし，AROをO/mO ∼

−→A/mAとなる有限局所ArtinO代数Aの圏とする．

Aug_OをO代数Aとm_O ⊂IとなるAの冪零イデアルIの組(A, I)のなす圏とす る．ただし，この圏における射(A, I)→(B, J)は環準同型f :A→Bでf(I)⊂J となるものとする．AR_Oは自然にAug_Oの充満部分圏と思える．

F_pの有限次拡大Fを固定し，dを正の自然数とする．V_FをF上のd次元連続 G_K表現とし，V_FはO_K上の有限平坦群スキームの一般ファイバーに現れる表現 であるとする．このような表現を有限平坦表現と言う．

AR_W(F)上の亜群D_VFを以下のように定義する．AR_W(F)の対象Aに対し，D_VF(A) の対象を，連続G_K作用付きの有限自由A加群V_AとF線型G_K同型ψ : V_A⊗_A F−→^∼ V_Fの組(V_A, ψ)とする．射A→A⁰上の射(V_A, ψ)→(V_A⁰, ψ⁰)とはψ, ψ⁰と 両立するA⁰線型G_K同型V_A⊗_AA⁰ −→^∼ V_A⁰ の同型類とする．ただし二つの同型 はA⁰の単数倍だけ違う時に同値であるとする．

D_VFの充満部分圏D_V^fl_FをD^fl_VF(A)の対象全体をD_VF(A)の対象(V_A, ψ)のうちV_A がO_K上の有限平坦群スキームの一般ファイバーに現れる表現であるもの全体と して定義する．End_F[GK]VF =Fである時，DVFは完備局所W(F)代数RVF で副表 現され，D_V^fl_Fは完備局所W(F)代数R^fl_VF で副表現される．

次に D_VF を Aug_W(F) 上の亜群に延長する．Aug_W(F) の対象(A, I) に対して，

AR^A,I_W(F)をAR_W(F)の対象A⁰とW(F)代数の単射準同型i:A⁰ →Aでi(mA⁰)⊂I となるものの組のなす圏とする．AR^A,I_W(F)の対象全体は自然に有向集合をなす．

D_VF(A, I)の対象全体を

D_VF(A, I) = lim−→

A⁰∈AR^A,I_W(F)

D_VF(A⁰)

と定義し，射f : (A, I)→(B, J)とη∈D_VF(A, I), ξ∈D_VF(B, J)に対しf上の射 η→ξ全体の集合を

Hom_DVF(η, ξ)_f = lim←−

A⁰

lim−→

B⁰

Hom_DVF(V_A⁰, V_B⁰)_f

と定義する．ここでA⁰はAR^A,I_W(F)の十分大きな元を動き，B⁰ はf(A⁰) ⊂ B⁰ と なるようなAR^B,J_W(F)の十分大きな元を動き，V_A⁰ ∈ D_VF(A⁰)はηの代表元，V_B⁰ ∈ D_VF(B⁰)はξの代表元とし，右辺の添え字fはfから誘導されたA⁰ →B⁰上の射 を考えていることを意味する．同様にD_V^fl_FもAug_W(F)上の亜群に延長しておく．

ここで Galois 表現とφ加群の対応について簡単に復習する．S = W[[u]]と

置き，S[1/u]のp進完備化をO_E と書く．O_Eは離散付置環であり，その剰余体 はk((u))である．OEの商体をEとする．R = lim←− O^K/pO_Kとおく．ただし推移 写像はp乗写像を考えている．n ≥ 0に対して，π_n ∈ Kをπ₀ = π，π_n = π_n+1^p となるように取って，固定する．π = (π_n)_n≥1 ∈ Rとおき，[π] ∈ W(R)をπの Teichm¨uller 持ち上げとする．S→W(R)をu7→[π]で定まる射とする．これに より埋め込みE → W(FrR)[1/p]が定まる．W(FrR)[1/p]に含まれるE の最大不 分岐拡大をE^urと書く．O_E^urの剰余体はk((u))の分離閉包となっている．O_E^urの p進完備化をO_dEur と書く．W(FrR)上の Frobenius 写像からO_dEur ⊂ W(FrR)に よってO_dEur に誘導される作用をφと書く．

K_∞ = S

n≥0K(π_n) とおき，G_K∞ を K_∞ の絶対 Galois 群とする．G_K∞ は O_dEur ⊂ W(FrR)によってO_dEur に作用する．連続GK∞ 作用のある有限Zp 加群 の圏をRep_Zp(G_K∞)で表す．

誘導するO_E線型写像φ^∗(M)→M が同型になるようなφ半線型写像M →M 付きの有限OE加群の圏をΦMOE で表す．φ半線型写像M →M もφで表す．

すると，関手

T : ΦM_OE →Rep_Zp(G_K∞);M 7→(O_dEur ⊗_OE M)^φ=id は Abel 圏の同値を与える．準逆関手は

Rep_Zp(G_K∞)→ΦM_OE;V 7→(O_dEur ⊗_ZpV)^GK∞

で与えられる．AR_W(F)の対象Aに対して，Aの作用付きのΦM_OE の対象のなす 圏をΦM_OE,Aと書き，Aの作用付きのRep_Zp(G_K∞)の対象のなす圏をRep_A(G_K∞) と書くと，T は圏同値

T_A : ΦM_OE,A →Rep_A(G_K∞)

を与える．rを正の整数とすると，階数rの自由O_E⊗_ZpA加群であるΦM_OE,Aの 対象と，階数rの自由A加群であるRep_A(GK∞)の対象が，TAで対応している．

T_FによってV_F(−1)と対応するΦM_OE,Fの対象M_Fをとる．ここで(−1)はTate 捻りの逆を表している．AR_W(F)上の亜群D_MF を以下のように定める．AR_W(F) の対象Aに対して，D_MF(A)の対象をO_E ⊗_ZpA上自由であるようなΦM_OE,Aの 対象M_AとΦM_OE,Fにおける同型ψ : M_A⊗_AF−→^∼ M_Fの組(M_A, ψ)とする．射 A→A⁰上の射(M_A, ψ)→(M_A⁰, ψ⁰)はψ, ψ⁰と両立するようなΦM_OE,A⁰における 同型M_A⊗_AA⁰ −→^∼ M_A⁰の同値類とする．ただし二つの同型はA⁰の単数倍だけ 違う時に同値であるとする．D_VF の時と同じようにして，Aug_W(F)上の亜群に延 長しておく．

πのK₀上のモニック最小多項式をE(u)とする．S加群Mと誘導されるS線 型写像φ^∗(M)→Mの余核がE(u)倍で消えるようなφ半線型写像M→Mの組 のなす圏を⁰(Mod/S)で表す．

S加群としてL

i∈IS/pⁿⁱSという形の加群と同型になる⁰(Mod/S)の対象全 体のなす充満部分圏を(Mod FI/S)と表す．ただしここでIは有限集合を表し，ni

は正の整数を表しているとする．

さらに，p倍で消える(Mod FI/S)の対象全体を含み，拡大で閉じているよう な⁰(Mod/S)の最小の充満部分圏を(Mod/S)と表す．

次に係数付きのS加群を考える．Z_p 代数Aに対して，S_A = S⊗_Zp Aとお く．⁰(Mod/S)の対象MとZ_p代数の射ι : A → EndMの組(M, ι)のなす圏を

0(Mod/S)_Aと表す．また，S_A上有限射影的な対象全体のなす⁰(Mod/S)_Aの充 満部分圏を(Mod FI/S)_Aで表す．(Mod FI/S)_Zpと(Mod FI/S)は異なることに 注意．

ここでS加群とO_K 上の有限平坦群スキームの関係について簡単に復習する．

(Mod/S)を Breuil加群の圏とし，(p-Gr/O_K)を位数がp冪であるO_K上の有限 平坦群スキームのなす圏とする．このとき，忠実充満関手

(Mod/S)→(Mod/S) と圏同値

Gr_D : (Mod/S)→(p-Gr/O_K) が存在する．これらの合成を

Gr_S,D : (Mod/S)→(p-Gr/O_K)

と書くことにする．Breuil 加群の定義や上の関手の構成[Kis, (1.1)] については ここでは述べない．重要なのは次の事実である．

命題 1.1. Mod/Sの対象Mに対して，GK∞表現としての標準的な同型 T(O_E ⊗_SM)(1)−→^∼ Gr_S,D(M)(K)|_GK∞

が存在する．ただしここで(1)は Tate 捻りを表している．

証明は[Kis, Proposition 1.1.13]を参照．この命題から，Kisin加群とそれに対 応する有限平坦群スキームをとったときに，加群側で係数O_Eをテンソルするこ とと，群スキーム側で一般ファイバーを取ることがTate 捻りの差を除いて対応 している事がわかる．Galois 表現をG_K∞に制限して考えているが，有限平坦表 現に関しては次の定理[Br2, Theorem 3.4.3]が成り立つ．

定理 1.2. G_Kの有限平坦表現の圏からG_K∞の表現の圏への制限関手は忠実充満 関手である．

また係数付きのS加群に関しては，次のようにp可除加群との関係が知られて いる．

定理 1.3. (Mod FI/S)_ZpとO_K上のp可除加群の圏の間に圏同値が存在する．

証明は[Kis, Corollary 2.2.22]を参照．対応は，忠実充満関手 (Mod FI/S)_Zp →(Mod FI/S)_Zp

に，Breuil加群と有限平坦群スキームの間の反変圏同値から極限をとることで得 られる(Mod FI/S)_Zp とp可除加群の間の反変圏同値を合成しさらに Cartier 双 対をとることで得られる．一つ目の忠実充満関手が，実は圏同値であることを示 すのが主な部分である．

次にAug_W(F)上の亜群DS,MFを以下のように定める．Aug_W(F)の対象(A, I)に 対して，D_S,MF(A, I)の対象を(Mod FI/S)_Aの対象M_AとO_E ⊗_ZpA/I加群の同 型ψ : (O_E ⊗_SM_A⊗_AA/I)−→^∼ M_F⊗_FA/Iで両辺のφ半線型写像と両立するも の組とする．射(A, I)→(A⁰, I⁰)上の射(MA, ψ)→(MA⁰, ψ⁰)はψ, ψ⁰と両立する ような(Mod FI/S)_A⁰における同型M_A⊗_AA⁰ −→^∼ M_A⁰の同値類とする．ただし 二つの同型はA⁰の単数倍だけ違う時に同値であるとする．

命題 1.4. Aug_W(F)上の圏の射

D^fl_VF →D_MF;V_A7→(O_dEur ⊗_ZpV_A(−1))^GK∞

は忠実充満関手になる．さらにD_S,MF →D_MF には自然な射が誘導され，

D_V^fl_F ^//D_MF

D_S,MF

ΘVF

ccFFFFFFFFF

OO

が自然同値を除いて可換になるようなAug_W(F)上の圏の射ΘVFが自然同値を除い て一意的に存在する．

証明の概略. D^fl_VF → D_MF が忠実充満関手であることは，Galois 表現とφ加群の 圏同値と定理1.2からわかる．D_S,MF(A, I)の対象M_Aに対して，O_E ⊗_S M_Aを 考えると，これが十分大きな Artin 環A⁰上定義されることが示され，

DS,MF →DMF;MA7→MA⁰

が誘導される．またM_A⁰ =M_A⁰∩M_A⊂M_Aとおくと，M_A⁰が(Mod/S)の対象 となることが示され，MA⁰が有限平坦群スキームから来ていることが命題1.1か らわかる．

AをAR_W(F)の対象とし，ξ=V_A∈D^fl_VF(A)に対し，付随するAug_W(F)上の亜 群を考えそれを再びξと記す．Θ_VF を用いて，2ファイバー積

D_S,MF,ξ =ξ×_D^fl

VF D_S,MF を考え，Aug_W(F)上の亜群とみなす．

命題 1.5. 記号は上記の通りとする．この時，ある射影的AスキームG R_VF,ξ が 存在して，Aug_Aの任意の対象(B, I)に対して自然な全単射

|D_S,MF,ξ|(B, I)−→^∼ Hom_SpecA(SpecB,G R_VF,ξ) が存在する．

証明の概略. M_A = O_dEur⊗_ZpV_A(−1)_GK∞

とおき，Aug_Aの対象(B, I)に対して，

M_B =M_A⊗_ABとおく．定義より|D_S,MF,ξ|(B, I)は，階数dの射影的S_B部分加 群MB ⊂MBであって，SB[1/u]加群MBを生成し，MBのφ半線型写像で安定 で，それから誘導されるφ^∗(M_B)→M_Bの余核がE(u)倍で消えるようなもの全 体の集合と同一視される．

SBのp進完備化をSbBと書き，McB = MB ⊗SB SbBとおく．すると[BL]の主 結果よりM_B 7→M_B⊗_SBSb_Bは，M_Bを生成するような，階数dの射影的S_B部 分加群M_B ⊂M_B全体の集合と，Mc_Bを生成するような，階数dの射影的Sb_B部 分加群McB ⊂ McB全体の集合の間の全単射を与える．後者の集合はアファイン

Grassman 多様体で表現されるので，φ半線型写像で安定であるという条件と誘

導される射の余核がE(u)倍で消えるという条件で定まるアファイン Grassman 多様体の閉部分帰納スキームをG RVF,ξとおけばよい．さらに，課された二つの 条件から考えている部分加群の範囲が絞られ，G R_VF,ξがスキームであることも確 かめられる．

剰余体がO/m_Oであるような完備局所O代数のなす圏をAR[_Oで表す．D_V^fl_F を AR[_O上に延長しておく．ξ ∈D_V^fl_Fを固定する．i≥1に対して，ξ_i ∈D^fl_VF(R/mⁱ_R) をξの像とし，Aug_R/mⁱ

R 上の亜群DS,MF,ξi を考える．Aug_R上の亜群DS,MF,ξ を Aug_Rの対象(B, I)に対して

D_S,MF,ξ(B, I) = lim←−

i

D_S,MF,ξi(B, I)

とすることで定める．

命題 1.6. 記号は上記の通りとする．この時，ある射影的RスキームG R_VF,ξ が 存在して，Aug_Rの任意の対象(B, I)に対して自然な全単射

|DS,MF,ξ|(B, I)−→^∼ HomSpecR(SpecB,G RVF,ξ) が存在する．

証明の概略. A=R/mⁱ_Rに対して，命題1.5を適用することで射影的R/mⁱ_Rスキー ムG R_VF,ξi を得る． G R_VF,ξi

i≥1から得られる形式的スキームG Rd_VF,ξiを考える と，アファインGrassman多様体の性質からG Rd_VF,ξiが射影的RスキームG R_VF,ξ に代数化できることが示される．このG R_VF,ξが命題の条件を満たすことは簡単 にわかる．

定義 1.7. V_Fの有限平坦モデルとは，Fベクトル空間の構造を持つようなO_K上 の有限平坦群スキームGとF[GK]加群としての同型VF ∼

−→ G(K)の組のことを いう．

系 1.8. ある射影的FスキームG R_VF,0が存在して，Fの任意の有限次拡大体F⁰に 対して，V_F⁰ =V_F⊗_FF⁰の有限平坦モデルの同型類の集合とG R_VF,0(F⁰)の間に自 然な全単射がある．

証明の概略. R =F，ξ =V_F ∈D_V^fl_F(F)に対して命題1.6を適用して得られる射影 的FスキームをG RVF,0とすればよい．

2 モジュライの局所的性質

各Q_p代数埋め込みψ : K → K₀に対してv_ψ ∈ [0, d]を選び，v = (v_ψ)_ψとお く．各σ ∈Gal(K0/Qp)に対して，σのGal(K0/Qp)への持ち上げσ˜を固定する．

F_σ ⊂K₀をG_K0 の部分群 τ ∈GK0

ψ|K0 =σ となる ψ に対して v_{σ◦τ◦˜˜ σ}⁻¹_◦ψ =vψ

に対応する体とする．全てのσ∈Gal(K0/Qp)に対してFσ ⊂F となるようなQp

の有限次 Galois 拡大体F をとる．O_F の剰余体がFであるとする．

EをF の有限次拡大とする．ξ =V_OE ∈ D_V^fl_F(O_E)に対して，V_ξ =V_OE ⊗_OE E とおく．VξはOK上のp可除群の一般ファイバーとして現れる表現になることが わかる．特にV_ξはクリスタリン表現である．E上のクリスタリンG_K表現のなす 圏をRep^crys_E と書き，Eの作用付きのK上のフィルター付き弱許容φ加群のなす 圏を(Mod/K0)Eと書く．[CF]の主結果より，圏同値

D_crys : Rep^crys_E −→^∼ (Mod/K₀)_E; V 7→(B_crys⊗_QpV)^GK

を得る．任意のa∈Kに対して det_E a

D_crys(V_ξ)_K/Fil⁰D_crys(V_ξ)_K

=Y

ψ

ψ(a)^vψ

が成り立つ時ξがp進 Hodge 型vであるという．ただしここでDcrys(Vξ)K は E⊗_QpK加群として考えている．

Rを剰余体がFであるような完備局所Noether O_F 代数とする．ξ∈D^fl_VF(R)を 固定する．EがF の有限次拡大体であるとき，O_F 代数の準同型y: R → O_E が p進 Hodge型vであるとは，yから誘導されるD^fl_VF(R)→D^fl_VF(O_E)によるξの像 がp進 Hodge 型vであることをいう．

SpfRに付随するp進解析空間[deJ, §7]をX^anで表す．X^anの点はR[1/p]の極 大イデアルと対応している．yの核から定まるR[1/p]の極大イデアルに対応する X^anの点を再びyで表す．yのp進Hodge型を(v_ψ,y)_ψとする．[Sen]の主結果より，

各Q_p代数埋め込みψ :K →K₀に対してX^d−vψ,y(X−1)^vψ,yの係数はy∈ X^anに 関する解析関数になる．さらにX^d−vψ,y(X −1)^vψ,yの係数は整数なので，X^anの 連結成分上で定数となり，関数y7→v_ψ,yもX^anの連結成分上で定数となる．

また，X^anの連結成分とSpecR[1/p]の連結成分は一対一に対応しているので，

SpecR[1/p]の連結成分の集合の部分集合で，yがp進 Hodge 型vであることと yがその部分集合に含まれるある連結成分上にあることが同値となるようなもの が存在する．この部分集合に含まれる連結成分全体のSpecRにおける閉包に対 応するRの商をR^vとする．

D_S,MFをAug_OF 上に制限した亜群をD_S,MF|_AugO

F と書く．D_S,MF|_AugO

F の充満

部分亜群D^v_S,MFを次のように定める．Aug_OF の対象(A, I)に対し，D_S,M^v _F(A, I) の対象全体をD_S,MF(A, I)の対象M_Aのうち，a ∈ O_Kに対してO_K上の多項式 関数として

detA

a

(1⊗φ) φ^∗(MA)

/E(u)MA

=Y

ψ

ψ(a)^vψ

が成り立つようなもの全体とする．ただしO_K上の多項式関数として上の等式が 成り立つとは，O_KのZ_p上の基底α₁, . . . , α_neをとって上の式のaにP_ne

i=1α_iX_iを 代入した時，X1, . . . , Xneの多項式として上の等式が成り立つことをいう．この等 式の条件を，p進 Hodge 型vの条件と呼ぶことにする．さらに

D^v_S,MF,ξ =ξ×_D^fl

VF|AugOF

D^v_S,MF

とおく．D^v_S,MFはG RVF,ξのある閉部分スキームG R^v_VF,ξによって，命題1.6の意 味で表現されることがわかる．

V_FのF上の基底β_Fを固定する．AR_W(F)上の亜群D_VF を以下のように定義す る．AR_W(F)の対象Aに対し，DVF(A)の対象を，連続GK作用付きの有限自由 A加群V_AとF線型G_K 同型ψ : V_A ⊗_AF −→^∼ V_F とψ によってβ_Fの持ち上げ となるようなV_AのA上の基底β_Aの組(V_A, ψ, β_A)とする．射A → A⁰上の射 (V_A, ψ, β_A)→(V_A⁰, ψ⁰, β_A⁰)とはψ, ψ⁰と両立しβ_Aをβ_A⁰に送るようなA⁰線型G_K 同型V_A⊗_AA⁰ −→^∼ V_A⁰ の同型類とする．ただし二つの同型はA⁰の単数倍だけ違 う時に同値であるとする．

D_VFの充満部分圏D^fl,_VF をD_V^fl,_F (A)の対象全体をD_VF(A)の対象(V_A, ψ, β_A)のう ちV_AがO_K上の有限平坦群スキームの一般ファイバーに現れる表現であるもの 全体として定義する．D_VFは完備局所W(F)代数R_VFで副表現され，D^fl,_VF は完備 局所W(F)代数R^fl,_VF で副表現される．

この節の残りと第3節ではR=R^fl,_VF ⊗_W(F)O_F とし，ξをD^fl,_VF (R^fl,_VF )の普遍対 象から誘導される対象とする．このときAR_OF 上の亜群の射ξ → D_V^fl_F は形式的 に滑らかである．

O_{G R}^v_V

F,ξのp冪捩れ切断のなすイデアル層に対応するG R^v_VF,ξの閉部分スキーム をG R^v,loc_VF,ξ と表し，G R^v,loc_VF,ξ =G R^v,loc_VF,ξ ⊗_OF Fとおく．

ここで，G R^v,loc_VF,ξ の局所的性質を導く上で必要になるモジュライM_v^locの定義と 性質について述べる．Λを階数dの自由O_K加群とする．O_F スキームT に対し て，M_v(T)を，以下の条件をみたすようなO_K ⊗_Zp O_T 部分加群L ⊂ Λ⊗_Zp O_T の集合とする．

• LはT 上局所的に，O_T 加群としてΛ⊗_ZpO_T の直和因子である．

• a∈ O_Kに対して，O_K上の多項式関数として det_OT(a|L) =Y

ψ

ψ(a)^vψ

が成り立つ．

関手M_vはO_F 上射影的なスキームで表現されるので，このスキームを再びM_v と書く．またM_v⊗_OF F のM_vにおけるスキーム論的閉包をM_v^locと書く．[PR,

§5]の結果から次の命題が容易に従う．

命題 2.1. M^loc_v =M_v^loc⊗_OF Fとおく．このとき以下が成り立つ．

1. M_v^locは正規かつ Cohen-Macaulay である．

2. M^loc_v は被約で有理特異性をもつ．

3. 任意のσ ∈Gal(K₀/Q_p)に対し，ψ|_K0 =σとなるようなどの二つの整数v_ψ の差も高々1であるとする．このとき，各ψに対してv_ψ が0か1である，

e≤2である，のどちらかが成り立つならばならば，M_v^loc =M_vである．

次にG R^v,loc_VF,ξ とM_v^locを結びつける上で必要になるAR_OF 上の三つの亜群を定 義する．まず，a∈ OKに対して，多項式関数として

detF

a

(1⊗φ) φ^∗(MF)

/u^eMF

=Y

ψ

ψ(a)^vψ

が成り立つ(Mod FI/S)_Fの対象M_Fを固定する．さらにO_K⊗_ZpF加群としての 同型

ι:M_F/u^eM_F −→^∼ Λ⊗_ZpF

を固定する．以下でAR_OF 上の亜群D_M^v_F，D˜^v_MF，D¯_M^v_Fを定める．A, A⁰をAR_OF の対象とし，A →A⁰をAR_OF における射とする．

D^v_MF(A)の対象全体は，a∈ OKに対して多項式関数として det_A

a

(1⊗φ) φ^∗(M_A)

/E(u)M_A

=Y

ψ

ψ(a)^vψ

が成り立つ(Mod FI/S)_Aの対象M_Aと(Mod FI/S)_Fにおける同型ψ_A :M_A⊗_A F−→^∼ M_Fの組全体とする．(1⊗φ) φ^∗(M_A)

/E(u)M_Aが有限自由A加群になる

ことが確かめられるので，上の式の左辺は意味を成している．射A→A⁰上の射 は，同型MA⊗AA⁰ −→^∼ MA⁰ でψA, ψA⁰と両立するものとする．

D˜^v_MF(A)の対象全体は，D^v_MF(A)の対象(M_A, ψ_A)とO_K ⊗_ZpA加群の同型ι_A: M_A/E(u)M_A −→^∼ Λ⊗_Zp Aの組で図式

M_A/E(u)M_A

⊗_AF

ιASS⊗1SSSSSSSS)) SS

SS

∼ //M_F/u^eM_F

ι

Λ⊗_ZpF

を可換にするもの全体とする．射A→A⁰上の射は，同型M_A⊗_AA⁰ −→^∼ M_A⁰で ψ_A, ψ_A⁰, ι_A, ι_A⁰と両立するものとする．

D¯^v_MF(A)の対象全体は，O_K ⊗_Zp A加群LとO_K ⊗_Zp A加群の単射_A : L ,→ Λ⊗_ZpAの組であって以下の条件をみたすもの全体とする．

• LはA加群としてΛ⊗ZpAの直和因子である．

• a∈ O_Kに対して，O_K上の多項式関数として det_OT(a|L) =Y

ψ

ψ(a)^vψ

が成り立つ．

• 合成

L⊗AF^ιA,→^⊗1 Λ⊗ZpF−→^ι−1 MF/u^eMF

の像が(1⊗φ) φ^∗(MF)

/u^eMFである．

射A→A⁰上の射は，同型L_A⊗_AA⁰ −→^∼ L_A⁰ で_A, _A⁰ と両立するものとする．

命題 2.2. AR_OF 上の亜群の射

D˜_M^v_F →D^v_MF; (MA, ψA, ιA)7→(MA, ψA), D˜_M^v_F →D¯^v_MF; (MA, ψA, ιA)7→

ιA (1⊗φ)φ^∗(MA)/E(u)MA

, A

を考える．ただし二つ目の射において_Aは自然な埋め込みを考えている．この とき，一つ目の射は相対的に副表現可能であり，二つの射はどちらも形式的に滑 らかである．

証明の概略. AをAR_OF の対象とし，ξ = (M_A, ψ_A)をD^v_MF(A)の対象とする．

AROF の対象A⁰に対して，D˜_M^v_F,ξ(A⁰)の対象は，射A → A⁰とD_M^v_F(A⁰)の対象 M_A⁰ と同型M_A⊗_AA⁰ −→^∼ M_A⁰ と同型M_A⁰/E(u)M_A⁰ −→^∼ Λ⊗_Zp A⁰ からなる．

よってD˜^v_MF,ξはA⁰値点が Hom_OK⊗ZpA⁰

M_A/E(u)M_A

⊗_AA⁰,Λ⊗_ZpA⁰

→Hom_OK⊗ZpF M_F/E(u)M_F,Λ⊗_ZpF

によるιの逆像になるような完備局所A代数Rで表現される．SpfRは，A⁰ 値 点が

Ker Aut_OK⊗ZpA⁰(Λ⊗_ZpA⁰)→Aut_OK⊗ZpF(Λ⊗_Zp F)

になる形式群G上の捻子になるので，RはA上形式的に滑らかである．これに より一つ目の射に関する主張が示された．

二つ目の射が形式的に滑らかであることは，定義に従って容易に示される．

ここまで準備したことを用いて，次の命題を証明する．

命題 2.3. G R^v,loc_VF,ξ とG R^v,loc_VF,ξ に関して以下が成り立つ．

1. G R^v,loc_VF,ξ は正規かつ Cohen-Macaulay である．

2. G R^v,loc_VF,ξ は被約で有理特異性をもつ．

3. 任意のσ ∈Gal(K₀/Q_p)に対し，ψ|_K0 =σとなるようなどの二つの整数v_ψ の差も高々1であるとする．このとき，各ψに対してv_ψ が0か1である，

e ≤ 2である，のどちらかが成り立つならばならば，G R^v,loc_VF,ξ = G R^v_VF,ξ で ある．

証明の概略. 主張は全てG R^v,loc_VF,ξ 上局所的なのでG R^v,loc_VF,ξ の閉点yの近傍で示せ ばよい．yの剰余体をF⁰とする．FをF⁰に，RをR⊗_W(F) W(F⁰)に取りかえる ことによってF⁰ =Fとしてよい．yに対応する(Mod FI/S)_Fの対象をM_Fとし，

OK⊗Zp F加群としての同型

ι:M_F/u^eM_F −→^∼ Λ⊗_ZpF を固定する．

AをAR_OF の対象とし，(M_A, ψ_A)をD_M^v_F(A)の対象とすると，(M_A, ψ_A)は自 然にD^v_S,MF(A)の対象を定める．これによりAR_OF 上の亜群の射D^v_MF →D_S,M^v _F が定まる．この射と命題2.2の射から得られる次の図式を考える．

D˜_M^v_F,ξ ^//

D˜^v_MF ^//

D¯^v_MF

D_M^v_F,ξ ^//

D^v_MF

G R^v_VF,ξ ^//

D_S,M^v _F

ΘVF

ξ ^//D_V^fl_F

ここで一番下の四角図式はファイバー積になっており，残りの二つの四角図式が ファイバー積になるようにD_M^v_F,ξ，D˜^v_MF,ξを定義している．