成 瞑 大 学 理 工 学 研 究 報 告 」.Fac.Sci.Tech.,Se止eiUniv Vol.48No.2(2011)pp.79-88 (新 任 者 の 論 文)
曲 面 の分 類 定 理 のZIP証
明 とそ の 安 定写 像 へ の応 用 に つ いて
鴻 巣
ゆ う,高 瀬
将 道*1
On the ZIP proof
of the classification
theorem
of closed
surfaces
and its application
to stable maps
Yu KONOSU,
Masamichi
TAKASE
*'
ABSTRACT
: The aim of this article, based on the master's thesis [13] written by the first-named author,
is two-fold: to provide a detailed account in Japanese of Conway's ZIP proof of the classification theorem
of closed surfaces and to discuss its application to a study of stable maps. For the former purpose, we
heavily rely upon the survey article [1] by George K. Francis and Jeffrey R. Weeks. The latter enables us
to explicitly construct a stable map from a closed surface to the plane with any number of cusp points
satisfying the Whitney-Thom congruence formula.
Keywords
: surface, classification
theorem,
ZIP proof, stable map, cusp
(Received August 21, 2011)
1.は じ め に こ の 記 事 は 第 一 著 者 に よ る 修 ± 論 文[13]を 下 敷 き と し て い る こ と を は じ め に 注 意 し て お く 。 トポ ロ ジ ー の 基 本 問 題 の 一 つ は 多 様 体 を(微 分)同 相 の も と で 完 全 に 分 類 す る こ と で あ る 。 本 文 で は2次 元 コ ン パ ク ト閉 多 様 体,す な わ ち 閉 曲 面 の 分 類 問 題 を 扱 う。 閉 曲 面 の 同 相 に 関 す る 分 類 定 理 は 古 く か ら知 られ て お り, そ の 証 明 に は 多 く の バ リエ ー シ ョ ン が あ る 。 現 在 最 も 広 く 知 ら れ て い る の は 、 曲 面 を 多 角 形 の 等 化 図 に ま で 切 り 開 く 方 法[ll,5]で,基 本 的 にSeifert-Threlfall[ll]を 踏 襲 す る も の で あ る 。Seifert-Threlfa11の証 明 は 構 成 的 で 理 解 し 易 い も の で あ る が,与 え ら れ た 曲 面 を 幾 分 人 工 的 な 標 準 形 ま で 整 形 し な け れ ば い け な い と い う欠 点 が あ る 。 こ の 欠 点 を 克 服 す る も の と し て,1992年 頃 にJohnH.Conwayは 乙12証 賜(ZIPproof)と 呼 ば れ る 完 全 に 新 しい 証 明 を 考 案 し た 。ZIP証 明 は 初 等 的 で あ り な が ら無 駄 が な く,広 く 従 来 の 証 明 に 取 っ て 代 わ る 可 能 性 を 持 つ も の で あ る 。 し か し な が ら,現 在ZIP証 明 に つ い て 解 説 し た 文 献 は,Francis とWeeksに よ る 解 説 記 事[1]の 他 に 殆 ど な く,特 に 日本 語 に よ る 解 説 は 著 者 の 知 る 限 り皆 無 で あ る 。 こ の 文 章 の 第 一 の 目 的 は,ConwayのZIP証 明 をFrancisとWeeksに よ る解 説 記 事[1]に 基 づ い て 解 説 す る こ とで あ る 。 曲 面 の 分 類 定 理 のSeifert-Threlfallの 証 明 に お け る ポ イ ン トは 与 え られ た 曲 面 を 多 角 形 に ま で 切 り 開 く と こ ろ に あ る が,こ の 多 角 形 の 代 わ り にZIP証 明 に 登 場 す る の は そ れ ぞ れ に 穴 が い く つ か 開 け ら れ た 球 面 の 集 ま り で あ る。 し た が っ て,こ れ ら の 「穴 」 の 塞 ぎ方 の 考 察 か ら 自 然 に 到 達 す る 「通 常(ordinaly)」 と い う概 念 の 導 入 が,ZIP 証 明 に お け る 一 つ の キ ー に な っ て い る 。 ま た 証 明 の 記 述 に は 多 く の 工 夫 が あ り,「zip対 」 の 概 念 や 「ク ロ ス ハ ン ドル 」 の 導 入 も そ の 中 に 含 ま れ る 。 こ の 文 章 の 第 二 の 目 的 は,こ の ク ロ ス ハ ン ドル の 導 入 に 着 目 し て,ZIP証 明 の 議 論 を 安 定 写 像 の 理 論 に 結 び 付 け る こ と で あ る 。A
↓
R
2
図0折
り目特 異 点 と カス プ特 異 点
*1:共 通 基 礎 准 教 授(mtakase@st .seikei.ac.jp) 具 体 的 に は,以 下 のWhitney-Thomの 合 同 式 の 合 同 を 実現 す る 最 小 個 数 の カ ス プ 特 異 点 を 持 つ 安 定 写 像 の,具 体 的 記 述 を 与 え た(定 理35): Whitney-Thomの 合 同 式.M2を 閉 曲 面 とす る 。こ の と き, 任 意 の 安 定 写 像f:M2→R2に 対 し て, X(M2)≡#C(f)(mod2) が 成 り立 つ 。 こ こ で#C(f)は カ ス プ 特 異 点 の 個 数 を 表 す 。
さ らに 定 理35で
得 られ た 構 成 の 系 と して 以 下 の 事 実
を,や は り写 像 を 具 体 的 に 記 述 す る こ と に よ り,証 明 し
た(系3.7)。
(イ)任 意 の 種 数 の 向 き付 け可 能 閉 曲面 か ら,任 意 に 与
えた(非 負)偶 数 個 の カ ス プ 特 異 点 を 持 っ 安 定 写
像 を構 成 す る こ とが で き る。
(ロ)任 意 の 偶 数 種 数 の 向 き付 け不 可 能 閉 曲 面 か ら,任
意 に 与 えた(非 負)偶
数 個 の カ ス プ 特 異 点 を持 つ
安 定 写 像 を構 成 す る こ とが で き る。
(ハ)任 意 の 奇 数 種 数 の 向 き付 け不 可 能 閉 曲 面 か ら,任
意 に 与 えた(非 負)奇
数 個 の カ ス プ 特 異 点 を持 っ
安 定 写 像 を構 成 す る こ とが で き る。
2.ConwayのZIP証 明 曲 面 は 数 学 の 様 々 な 分 野 に 自 然 に 登 場 す る 重 要 な 対 象 で あ る 。 曲 面 の 分 類 は1860年 代 に は 既 に な され て い て, 全 て の 閉 曲 面 は,球 面 に い く つ か の ハ ン ドル,も し く は い く つ か の ク ロ ス キ ャ ッ プ を 接 着 し た も の に 位 相 的 に 同 値(同 相)で あ る こ と が 知 ら れ て い る 。 こ の 分 類 定 理 に つ い て,現 在 の ほ と ん ど の 教 科 書 はSeifert-Threlfall[ll] に 従 っ た 証 明 を 採 用 し て い る 。 こ の 証 明 は 構 成 的 で は あ る が,与 え られ た 曲 面 を 標 準 形 ま で 整 形 す る 必 要 が あ る 。 こ の 節 で は1992年 頃 にConwayが 見 出 し た,烈 願 鰻 ヨ、 (ZIPprooDと 呼 ば れ る 新 しい 証 明 を 紹 介 す る 。ZIP証 明 はSeifert-Threlfallの 証 明 の 構 成 的 な 特 徴 を 残 し た ま ま,標 準 形 と い う欠 陥(irrelevancy)を 回 避 す る も の で あ る 。 Conwayは こ れ をZeroIrrelevancyProof(無 欠 陥 証 明)あ る い は,「ZIP証 明 」と 呼 ぶ よ うに 要 請 し て い る そ うで あ る 。 こ れ は,そ う し て お か な い と 「一 見 す る と 自 明 な 証 明 と 思 わ れ て そ の 起 源 が 失 わ れ る と い う危 険 が あ る 」 と い う こ と で あ る 。 こ の 節 の 中 身 は ほ ぼ 忠 実 に[1]を 元 に し て い る が,説 明 が 分 か りに く い 部 分 な ど に つ い て は 独 自 に 補 完 し た 。 ま た 説 明 に 用 い る す べ て の 図 は 第 一 著 者 が 描 い た も の で あ る 。 但 し,[1]に 描 か れ て い る 図 も す べ て 素 晴 ら し い も の で あ り,是 非 そ ち ら も 同 時 に 参 照 し て ほ しい 。 、 、 PC
図1ハ ン ドル さ て,ト ポ ロ ジ ー の 世 界 で は 曲 面 を 自 由 に の ば し た り 変 形 し た り す る こ と が で き る 。 例 え ば 球 面 と楕 円 面 は, 一 方 か ら他 方 へ 滑 ら か に 変 形 で き る の で 同 じ も の(同 相 で あ る)と み な す わ け で あ る 。 一 方,球 面 と トー ラ ス は こ の よ うな 変 形 が 不 可 能 な の で トポ ロ ジ ー と し て 異 な る (同 相 で な い)も の で あ る。 これ か ら 多 く の 図 が 登 場 す る が,そ れ ら は す べ て こ の よ うな 曲 面 の 変 形 を 表 す も の で あ る 。 例 え ば,図IAの2つ 穴 の あ い た 四 角 形 は,そ の 四 角 形 に2つ の チ ュ ー一一ブ が つ い た も の(図IB)へ と 変 形 が で き る か ら 同 相 で あ る 。 よ り 一 般 的 に 述 べ る と,2つ の 曲 面 が 同 相 で あ る と は,一 方 か ら他 方 へ の(両 方 向 の) 連 続 か つ 全 単 射 な 写 像 が あ る こ と で あ る。 同 相 は,連 続 な 変 形 に よ っ て 移 り合 え る か ど うか を 測 る 重 要 な 同 値 関 係 で あ る。B
♂ 一 「じD
、()grゐ
、i I『 一腎 .,・ _iIべ
川 ㎎
図2ク ロ ス ハ ン ドル 曲 面 に 現 れ う る特 徴 的 な 形 状 を 「zipper」 あ る い はzipperの 片 側 をzipと 呼 ぶ こ と に す れ ば 「zip対」 の 概 念 を 使 っ て 説 明 し て み よ う。例 え ば,図IAの 四 角 形 に は2つ の 穴 が 開 い て い て,そ れ ぞ れ の 穴 に は(青 く 描 か れ た)zipが 付 い て い る。 こ のzipが つ い た 部 分 を 引 っ 張 っ てzipを 閉 じ る と,登 之 」シ ヒ(handle)付 き の 曲 面(図ID)が 得 ら れ る 。 い ま 一 方 のzipの 向 き を 逆 に し て み る(図 2A)。(赤 く描 か れ た)2つ のzipを 閉 じ る 際,zipの 向 き を
合 わ せ よ う と す る と,チ ュ ー一ブ の 一 部 が 図2Cの よ うに チ ュ ー ブ 自 身 を 貫 通 し な け れ ば な ら な い 。図2Cで は,見 易 さ の た め に,自 身 を 貫 通 す る チ ュ ー ブ に 縦 の 切 れ 込 み が 入 れ て あ る が,図2cの よ う に し て お い て か らzipを 閉 じ て い く と,ク ロ ス ハ ン ドル(crosshandle)と い う も の が 得 ら れ る(図2D)。 図2Dは 自 身 を 貫 通 す る ク ロ ス ハ ン ド ル を 描 い て い る 。 チ ュ ー ブ が 自 身 を 貫 通 す る 部 分(自 己 交 叉)は,図2Dで 黒 い 点 線 で 示 され た 線 分 で あ る.自 己 交 叉 は 曲 面 を3次 元 空 間 内 に 描 く と き に は 特 徴 的 で 目 を 引 く 部 分 で あ る が,曲 面 自 体 の トポ ロ ジ ー に と っ て は 本 質 的 な 特 徴 で は な い 。 . i . 唖 B ll i' ㌃ ↓ 一( 1『 ;"一'
る
㌧, 「一隔昌 , ' 、r一 一1＼ノ
(一
ヰ
↓ L →C
「 ↑ 'L.;D ＼ 図4ク ロ ス キ ャ ッ プD
9碑 一 、 図3キ ャ ッ プ も し 図3Aの よ う に あ る1つ の 円 周 に,半 周 ず つzipが つ い て い て,尚 且 つ そ れ ら の 向 き が う ま く揃 っ て い た ら, そ れ ら を 閉 じ る と去 .畿烹 ズ(cap)が で き る(図3C)。 こ れ は トポ ロ ジ ー 的 に は あ ま り意 味 が な い も の で あ る(図 3D)。2つ の 半 周 ず つ のzipの 向 き が あ べ こ べ に な っ て い る 場 合(図4A)は も っ と面 白 い こ と に な る 。 曲 面 を 変 形 し て,2つ の(赤 い)zipが 向 き を 揃 え て 向 か い 合 う よ う に し て か ら(図4B),zipを 閉 め て い く(図4c)。 閉 じ る 部 分 が 頂 上 に 達 し,そ こ か ら は 下 向 き に 「残 っ た2つ の 辺 」 を 閉 じ て い く と き(図4C),曲 面 が 自 身 と 交 叉 す る 部 分 が 生 じ て い く 。 前 と 同 様 に,こ の 自 己 交 叉 は 曲 面 を 3次 元 空 間 内 に 描 い て み せ よ う と す る と 生 ず る も の で あ っ て,曲 面 自体 の 内 在 的 な トポ ロ ジ ー に は 無 関 係 で あ る 。 こ の よ うに し て で き る の が ク ロ ス キ ャ ッ プ(crosscap)で あ る。 図4Dで は 自 己 交 叉 を 分 か り易 く す る た め に,上 下 に 分 離 し て 描 い て あ る 。以 上 の説 明 を 見れ ば,曲 面 が どの よ うな もの で あ るか
非 専 門 家 に も理 解 で き る はず で あ る。 こ こで,い
くつ か
専 門 的 な 注 意 を して お く。 ま ず,今 後 扱 う曲 面 は コ ンパ
ク トで あ っ て,境 界 は持 っ て い て も よい こ とに す る。 ま
た,曲 面 が 連結 で あ る こ とは仮 定 しな い。
図5三
角 形 分 割
さ らに,曲 面 は三 角 形 分 割 され て い る もの と仮 定 す る。
図5は 三角 形分 割 され た 曲 面 の例 で あ る。 三 角 形 分割 さ
れ た 曲 面 を 理解 す る に は,キ ル トのパ ッチ ワー クを,但
し伝 統 的 な 四角 形 の パ ッチ で は な く,小 さな 三 角形 のパ
ッチ が 図5の よ うなzip対 で縫 い合 わ され た よ うな もの を
想 像 す れ ば よい。 す べ て の 曲 面 は 三角 形分 割 可 能 で あ る
が,そ の 証 明 は複 雑 で あ る[10]。 そ こで我 々 は,分 類 定
理 はす で に 三角 形 分 割 され て い る 曲 面 に 関 す る 主 張 で あ
る と考 え,三 角 形分 割 され た 曲 面 の み を扱 うこ とに す る
こ とに す る の で あ る。
定 義2.1.曲 面 か ら 開 円 盤 を 取 り 除 い た も の,ま た は 乗 り 除 く こ と を 穿 孔(perforation)と い う。 例 え ば,図IA は2つ の 穿 孔 が 施 さ れ た 曲 面 の 一 部 で あ る 。 定 義2.2.あ る 曲 面 が 通 賞(ordinaly)で あ る と は,そ れが 有 限 個 の 球 面 に ハ ン ドル の 接 着,ク ロ ス キ ャ ッ プ の 接 着,ク ロ ス ハ ン ドル の 接 着,ま た は 穿 孔 を 各 々 有 限 回 施 し た も の に 同 相 で あ る こ と を い う。 定 理2.3(準 備 版 分 類 定 理).全 て の 曲 面 は 通 常 で あ る 。 証 明.三 角 形 分 割 され た 任 意 の 曲 面 を 考 え る 。 つ ま り, 前 述 の よ うにzip付 き の 小 さ な 三 角 形 の パ ッ チ が 図5の よ うにzip対 で 縫 い 合 わ さ れ た よ うな も の を 考 え る。 全 て のzip対 を 開 き,曲 面 を 縁 にzipが 付 い た 三 角 形 に ま で バ ラ バ ラ に す る 。 こ うす る と,各 三 角 形 は 球 面 に 一 回 穿 孔 を 施 し た も の に 同 相 で あ る か ら,こ の 三 角 形 の 集 ま りか ら な る 曲 面 は 通 常 で あ る 。 さ て,あ るzipを 元 々 ペ ア で あ っ たzipと 閉 じ 直 し て み る 。 こ う し て で き る 曲 面 は, 次 に 示 す 補 題2.4に よ っ て,通 常 で あ る 。 さ らに,一 度 に1対 ず つzipを 元 通 り に 閉 じ直 して い く こ と を 続 け て い く と,各 段 階 で 補 題2.4を 適 用 す る こ と に よ り,や は り で き る 曲 面 は 通 常 で あ る 。 最 後 のzip対 が 閉 じ られ る と, 最 初 の 曲 面 が 復 元 さ れ,や は り こ れ は 通 常 で あ る こ と が 分 か る 。 ■ 有 し て い る 場 合 を考 え る 。 こ れ ら のzipを 閉 じ る と,そ れ ら の 相 対 的 な 向 き に 応 じ て キ ャ ッ プ(図3)も し く は ク ロ ス キ ャ ッ プ(図4)の い ず れ か が で き るeこ の 場 合 も や は り 得 ら れ る 曲 面 は 通 常 で あ る 。
A
Q
↓
↓
→
↑
f ■→
↑
B
図6穿
孔付 きハ ン ドル
補 題2.4.あ る 曲 面 の 境 界 部 分 に2つ のzipが 付 け られ て い る と す る 。 も し 元 の 曲 面 が 通 常 な ら ば,そ の2つ のzip を 閉 じ る こ と に よ っ て で き る 曲 面 も 通 常 で あ る 。 証 明.ま ず2つ のzipの 各 々 が 境 界 に 含 ま れ る あ る 円 周 全 体 を 占 め て い る 場 合 を 考 え る 。 も し こ れ らの2つ の 円 周 が 曲 面 の 同 じ 連 結 成 分 に 含 ま れ て い る な ら,こ れ らの 円 周 が お 互 い に 近 づ く よ う に 曲 面 を 変 形 さ せ て い きzipを 閉 じ る こ と に よ っ て,2つ の 円 周 は そ れ ら の 向 き に 応 じ て ハ ン ドル(図1)も し く は ク ロ ス ハ ン ドル(図2)の い ず れ か を 構 成 す る こ と に な る 。 つ ま り,新 し く で き る 曲 面 は 元 の 曲 面 に ハ ン ドル ま た は ク ロ ス ハ ン ドル を 接 着 し た も の で あ る か ら,当 然 通 常 で あ る 。 2つ のzipの 各 々 が 境 界 に 含 ま れ る あ る 円 周 全 体 を 占 め て い る が,そ れ ら の 円 周 が 曲 面 の 異 な る 連 結 成 分 上 に あ る と き は,2つ のzipを 閉 じ 合 わ せ る と2つ の 連 結 成 分 が 連 結 さ れ る 。 片 方 のzipを 伸 ば し て チ ュ ー一一ブ 状 に し,他 方 のzipと 閉 じ る 際,zipの 向 き に よ っ て は チ ュ ー一一ブ が 曲 面 と 交 叉 し て し ま う こ と が あ る が,前 と 同 様 に こ うや っ て 生 じ る 自 己 交 叉 は 曲 面 自 体 の 本 質 的 な トポ ロ ジ ー と は 無 関 係 な の で あ る 。 す な わ ち 起 こ る こ と は 元 の 通 常 の 曲 面 を 構 成 す る 球 面 の 数 が 一 つ 減 る と い う こ と だ け で あ る 。 し た が っ て 得 ら れ る 曲 面 は 通 常 で あ る 。 次 に2つ のzipが2つ 合 わ せ て あ る1つ の 円 周 全 体 を 共 最 後 に2つ のzipが 円 周 を 完 全 に 閉 め て お ら ず,な ん ら か の 隙 間 が 残 っ て い る場 合 を 考 え よ う。一 つ の 例 と し て, 図6Aの(青 い)zipを 閉 じ る と,2つ の 穿 孔 は 頂 上 の 部 分 に 穴 が 一 つ 開 い た ハ ン ドル(図6B)に 変 形 さ れ,さ ら に こ の 穴 は ハ ン ドル か ら離 れ た と こ ろ ま で 滑 らせ て い く こ と が で き る(図6c,図6D)。2つzipが あ る 円 周 全 体 を 占 め て い な い 場 合,一 般 に は 以 下 の よ うに 考 えれ ば よ い 。 ま ず,こ れ ら の2つ のzipは 元 の 大 き さ を 保 っ て い て,他 の と こ ろ に あ るzipた ち は 眼 鏡 を 書 け な い と 見 え な い く ら い に 小 さ く縮 ん で い る と想 像 し て み る。こ うす る と(眼 鏡 を は ず し た ま ま で い れ ば)我 々 は2つ のzipが 円 周 を 完 全 に 占 め て い る 場 合 と 同 様 に 変 形 を 思 い 浮 か べ る こ と が で き る 。 つ ま り,円 周 を 閉 じ る こ と に よ っ て,図1か ら 図4に 図 示 され て い る よ うな 「ハ ン ドル ー,「 ク ロ ス ハ ン ドル 」,「キ ャ ッ プ 」,「ク ロ ス キ ャ ッ プ 」 が 得 ら れ る 。 は ず し て い た 眼 鏡 を 再 び か け れ ば,曲 面 上 に 小 さ な 穿 孔 が あ る こ と に 気 付 く で あ ろ うが,こ の 曲 面 は 明 ら か に 通 常 で あ る 。 ■↑
C
↓ 一 」.冷
孔 を 滑 らせ て ク ロ ス キ ャ ッ プ か ら は ず し(図7H),穿 孔 の 周 囲 に 残 っ て い る(赤 い)zip対 を 閉 じ る と さ ら に も う 一 つ の ク ロ ス キ ャ ッ プ が で き る(図71) 。 曲 面 の 内 在 的 な トポ ロ ジ ー は,矢 印 が 黒 と 白 の(赤 と 青 の)ど ち ら のzipを 先 に 閉 じ る か に よ ら な い は ず な の で, ク ロ ス ハ ン ドル1つ(図7C)は ク ロ ス キ ャ ッ プ2つ(図 71)に 同 相 で あ る こ とが 分 か る 。 ■/
↓
↓
B
C
/
〆
導
忽
＼ ＼ 一 ＼図8ハ
ン ドル とク ロス ハ ン ドル の 入 れ 替 え
図7ク ロ ス ハ ン ドル1つ は ク ロ ス キ ャ ッ プ2つ と 同 相 続 く2つ の 補 題 は ハ ン ドル と ク ロ ス ハ ン ドル と ク ロ ス キ ャ ッ プ の 関 係 を 説 明 し て い る 。 補 題2.6(Dyckの 定 理 【7】).クロ ス キ ャ ッ プ を 少 な く と も 1つ 含 む 曲 面 上 で は,ハ ン ドル と ク ロ ス ハ ン ドル は 相 互 に 入 れ 替 え る こ と が で き る。 補 題2.5.ク ロ ス ハ ン ドル1つ は ク ロ ス キ ャ ッ プ2つ と 同 相 で あ る 。証 明.図7Aの よ うな 「Klein穿 孔(Kleinperforation)一 を 持 つ 曲 面 を 考 え る 。い ま,図7Aに お い て 平 行 で 同 じ方 を 向 い て い る 黒 い 矢 印 が 付 い た(青 い)2つ のzip同 ± を ま ず 閉 じ た 場 合,穿 孔 は2つ の 穿 孔 に 分 か れ(図7B),さ ら に 残 っ た2つ のzipを 閉 め る と ク ロ ス ハ ン ドル が で き る (図7C)。 一 方,図7Aに お い て 平 行 で 逆 の 方 を 向 い て い る 白 い 矢 印 が 付 い た2つ の(赤 い)zipを 先 に 閉 め た 場 合 に は,「 メ ビ ウ ス の 橋(図7D)」 を 伴 う穿 孔 が 得 られ る(図 7D)。 そ の 境 界 部 分 を 一 定 の 高 さ ま で 持 ち 上 げ る と,曲 面 の 一 部 は そ れ よ り下 に 回 り込 む 形 に な っ て,ク ロ ス キ ャ ッ プ の 下 半 分 が 作 ら れ る(図7E)。 い ま 仮 に ク ロ ス キ ャ ッ プ の 上 半 部 分 を 「見 え な い 円 盤 」 に よ っ て 蓋 を し て お く と(図7F),こ の 円 盤 を ク ロ ス キ ャ ッ プ の 自 己 交 叉 の 線 か ら離 れ る よ う に 滑 らせ て い く こ と が で き る(図 7G)。 こ う して お い て こ の 仮 の 円 盤 を 取 り 除 く。 こ の 穿 証 明.図8Aの よ うにzipが 付 け ら れ た2つ の 穿 孔 を 考 え る 。 い ま 黒 い 矢 印 が 付 い た(青 い)zip対 を 先 に 閉 じ る と (図8B),穿 孔 を 持 つ ハ ン ドル が で き る。 こ の 穿 孔 に は 閉 じ る と ク ロ ス キ ャ ッ プ が で き る よ うな 向 き を 持 っ(赤 い)zip対 が 付 い て い る 。 逆 に も し,片 側 の チ ュ ー一一ブ を 自 己 交 叉 させ て お く こ と に よ っ て(図8C,ま た 図2C),白 い 矢 印 が 付 い た(赤 い)zip対 を 先 に 閉 じ る と,今 度 は 穿 孔 を 持 つ ク ロ ス ハ ン ドル を得 る(図8D)。 こ の 穿 孔 に は 閉 じ る と ク ロ ス キ ャ ッ プ が で き る よ うな 向 き を 持 っ(青 い)zip対 が 付 い て い る 。 ど ち ら の 場 合 も 穿 孔 を ハ ン ドル ま た は ク ロ ス ハ ン ドル か ら離 れ た と こ ろ ま で 滑 らせ て い く こ と が で き る 。 こ れ は 図6BCDで 穿 孔 を 滑 らせ て ハ ン ドル か ら分 離 で き た の と ま っ た く 同 様 で あ る。 以 上 に よ り,ク ロ ス キ ャ ッ プ 付 き ハ ン ドル と ク ロ ス キ ャ ッ プ 付 き ク ロ ス ハ ン ドル は 同 相 で あ る 。 ■ 定 理2.7(分 類 定 理).任 意 の 連 結 な 閉 曲 面 は,い く つ か ク ロ ス キ ャ ッ プ が 接 着 さ れ た 球 面 か,い く つ か の ハ ン ド
ル が接 着 され た 球 面 の どち らか に 同 相 で あ る。
証 明.定 理2.3(準 備 版 分 類 定 理)よ り,連 結 な 閉 曲 面 は ハ ン ドル,ク ロ ス ハ ン ドル,ク ロ ス キ ャ ッ プ が い く つ か 接 着 さ れ た 球 面 と 同 相 で あ る 。 場 合1:ク ロ ス ハ ン ドル ま た は ク ロ ス キ ャ ッ プ が 少 な く と も1つ あ る と す る 。 補 題2.5よ り各 ク ロ ス ハ ン ドル は2つ の ク ロ ス キ ャ ッ プ と 同 相 で あ る か ら,こ の よ うな 曲 面 は 全 体 と し て ク ロ ス キ ャ ッ プ と ハ ン ドル だ け が 接 着 さ れ た(つ ま り ク ロ ス ハ ン ドル を 持 た な い)球 面 と 同 相 で あ る 。い ま ク ロ ス キ ャ ッ プ が 少 な く と も1つ あ る の で, 補 題2.6に よ っ て 各 ハ ン ドル は ク ロ ス ハ ン ドル と 入 れ 替 え ら れ,さ ら に ク ロ ス ハ ン ドル は ク ロ ス キ ャ ッ プ2つ と 同 値 で あ る か ら(補 題25),結 果 と して,曲 面 は い く つ か の ク ロ ス キ ャ ッ プ の み が 接 着 さ れ た 球 面 に 同 相 で あ る が 分 か る。 場 合2:曲 面 に は ク ロ ス ハ ン ドル と ク ロ ス キ ャ ッ プ の ど ち ら も接 着 さ れ て い な い と す る 。 こ の と き 曲 面 は ハ ン ドル の み が 接 着 さ れ た 球 面 に 同 相 で あ る 。 以 上 に よ っ て,任 意 の 連 結 な 閉 曲 面 は い く つ か の ク ロ ス キ ャ ッ プ が 接 着 さ れ た 球 面 か,い く つ か の ハ ン ドル が 接 着 さ れ た 球 面 の ど ち ら か に 同 相 で あ る 。 ■ ロ ジ ー の み に 着 目 し て い る場 合 に は あ ま り適 切 な 名 前 で は な い 。そ こ でConwayは ク ロ ス キ ャ ッ プ が1つ 接 着 され た 球 面 を ク ロ ス 曲 面(crosssurface)と 呼 ぶ こ と を 提 案 し て い る よ うで あ る。 ク ロ ス 曲 面 と い う名 前 は ク ロ ス キ ャ ッ プ の こ と だ け で な く,球 面 の 対 瞭 点 の 同 一 視 と い う別 の 美 し い 構 成 法 を 思 い 起 こ させ る も の で も あ る 。 こ の よ うに す れ ば,ク ロ ス キ ャ ッ フ.が2つ 接 着 さ れ た 球 面 は ダ ブ ル ク ロ ス 曲 面(doublecrosssurface),ク ロ ス キ ャ ッ プ3 つ の 場 合 は 」トリプル ク ロス 曲 面(triplecrosssurface),以 下 同 様 に 呼 ぶ こ と が で き る。 但 し,例 外 的 に ダ ブ ル ク ロ ス 曲 面 は し ばU)Kleinの 壺(Kleinbottle)と 呼 ば れ,ト リ プ ル ク ロ ス 曲 面 は 轍 典 面(Dyck'ssurface)[9]と 呼 ば れ る こ と が 多 い 。3.安
定 写 像 へ の 応 用
こ こか らは,ZIP証 明 の 中 で 導 入 され た ク ロス ハ ン ドル
に 着 目 し,安 定 写像 の理 論 へ の応 用 を 考 え る。 具体 的 に
言 え ば,閉
曲 面 か ら の 平 面R2へ
の 安 定 写 像 に 対 す る
Whitney-Thomの
合 同 式 の合 同 を 実 現 す る最 小 個 数 の カ
ス プ特 異 点 を持 つ安 定 写像 を 具体 的 に 記述 す る こ とが 目
的 で あ る。
注.定 理2.7(分 類 定 理)に 登 場 す る す べ て の 曲 面 は お 互 い に 同 相 で は な い 。 こ の こ と は そ れ ら の 向 き 付 け 可 能 性 と オ イ ラ ー一一lftによ っ て 区 別 で き る 。す な わ ち,g個 の ハ ン ドル が 接 着 さ れ た 球 面 は 向 き 付 け 可 能 で あ り,そ の オ イ ラ ー一一数 は2-2gで あ る 。 ま た,g個 の ク ロ ス キ ャ ッ プ が 接 着 さ れ た 球 面 は 向 き 付 け 不 可 能 で あ り,そ の オ イ ラ ー 数2-2gで あ る 。 多 く の トポ ロ ジ ー の 教 科 書(例 え ば [6,8,12])に 詳 しい 解 説 が あ る 。 注.通 常,g個 の ハ ン ドル が 接 着 され た 球 面 の こ と を 種 数(genus)gの 向 き 付 け 可 能 閉 曲 面 と 呼 び,g個 の ク ロ ス キ ャ ッ プ が 接 着 され た 球 面 の こ と を 種 数(genus)gの 向 き 付 け 不 可 能 閉 曲 面 と 呼 ぶ 。 曲 面 の 呼 び 方 の 慣 例 に つ い て は 次 に も 注 意 が あ る 。 曲 面 の 名 前 に つ い て.ハ ン ドル が1つ 接 着 さ れ た 球 面 を トー一一ラ ス(torus)と 呼 び,ハ ン ドル が2つ 接 着 さ れ た 球 面 を ダ ブ ル トー ラ ス(doubletorus),3つ だ と ト リプ ル ト 濡 烹 煮(tripletorus)と 以 下 同 様 に 呼 ぶ 。 ク ロ ス キ ャ ッ プ が1つ 接 着 さ れ た 球 面 は 伝 統 的 に 実 射 影 平 面(real projectiveplane)と 呼 ば れ て い る。 こ の 名 前 は ア フ ィ ン 構 造 を 考 慮 す る射 影 幾 何 学 に 由 来 し て い て,単 に そ の トポ 3.1安 定 写 像 は じ め に 安 定 写 像 に つ い て 説 明 す る 。 定 義 等 に 関 し て は[6]と[4]を 参 照 し た 。 さ て,MnとNPを そ れ ぞ れn次 元,p次 元 の 多 様 体 とす る 。 Mnか らNPへ のC。。級 写 像 空 間 全 体 の 集 合 をC。。(M",NP)と おく。C。。(Mn,NP)に はW匝 軸ey位 想(WhitneyC。 。-topology)と 呼 ば れ る 位 相 を 導 入 す る こ と が で き,こ の 位 相 空 間 CoD(Mn,NP)を 写 像 空 間 と い う。Whitney位 相 の 正 確 な 定 義 は 文 献[4]に 委 ね る こ と に す る が,大 ま か に 言 え ば,コ ン パ ク ト集 合 の 上 で の2つ の 写 像 の 無 限 階 ま で の 偏 微 係 数 が 近 い と き に,そ れ ら2つ の 写 像 は 近 い と 定 め る よ うな 位 相 で あ る 。 次 に 安 定 写 像 を 定 義 す る。 ま ず,C。 。(Mn,NP)内 の2つ の 写 像fとgが 屈 値 で あ ゑ と は,適 当 に 選 ん だ2つ の 微 分 同 相 写 像h:Mn→MnとH:NP→NPに 対 して f=H-logoh が 成 り 立 っ こ と を い う。 ま た2つ の 写 像fとgが 同 値 で あ る こ と をf∼gと 表 す 。 次 が 安 定 写 像 の 定 義 で あ る 。 定 義3.2(安 定 写 像).写 像 空 間C・c(Mn,Np)内 の 写 像fが 安 定(stable)で あ る と は,集 合 Uf={9∈COD(Mii,NP)If∼9}
が 開集 合 とな る こ とで あ る。
上 の 定 義 に お い て集 合UfがC。。(M?,NP)の開集 合 で あ る
とい うこ とは,安 定 写 像fが 写 像 の 近 くに は 偏 微 係 数 が 近
い 写 像(す な わ ち,特 異 点 の タイ プ が ほ とん ど変 化 しな
い 写 像)し か な い こ と を意 味 して い る。 つ ま り,安 定 写
像fは,そ れ を 写 像 空 間 の 中で 少 しぐ らい 動 か して も写 像
の 性 質 が 著 し く変化 す る こ とが な い 「
安 定 した 」 写 像 な
の で あ る。
ま た,我 々 が 注 目す るn=p=2の
場 合,安 定 写 像 全 体
の 集 合 は 写 像 空 間 の 中 で 稠密 で あ る。 つ ま り曲面 か ら平
面 へ の任 意 のC。
。
級 写 像 は い つ で も安 定 写 像 に よ っ て 近
似 で き るの で あ る。
3.2曲
面 か ら平 面 へ の 安 定 写 像 の 安 定 写 像
前節 を 見 れ ば 分 か る よ うに 安 定 写 像 の 一 般 的 な 定 義 は
多 少難 解 で あ る。 しか しな が ら我 々 が 扱 う曲 面 か ら平 面
へ の 安 定 写 像 は ,そ こに現れ る特異点の言葉 による局所
的 な 条 件(と 多 少 の 大 域 的 条 件)に
よっ て 特 徴 づ け る こ
と もで き る。 以 下 に これ を 説 明 す る。
一 般 に 安 定 写 像 に は
,次 元 対 ご とに 決 ま っ た 型 の 特 異
点 しか 現 れ な い こ とが 知 られ て お り,こ の よ うな 特 異 点
は 安 定 特 異 点 と呼 ば れ る。 曲面 か ら平 面 へ の 安 定 写 像 の
場 合 は 次 の よ うに な る。
さ て,曲 面 か ら平 面 へ のco。級 写 像 の 場 合 は そ こ に 現 れ る 特 異 点 が 折 り 目特 異 点 と カ ス プ 特 異 点 の み で あ る と い う条 件 に 加 え て,以 下 の 大 域 的 な 条 件 を 充 た す も の を 安 定 写 像 と考 え る こ と も で き る: (1)制 限 写 像tlF(D:F(f)→R2は 高 々 二 重 点 し か 持 た な い は め 込 み で あ り,二 重 点 は 横 断 的 に 交 わ る。 言 い 換 え る と,二 重 点 に お け る 像 は 局 所 的 に(す な わ ち R2の 局 所 座 標(X,Y)を う ま く選 べ ば) {(X,Y)∈R21XY=0} の 形 を して い る 。 (2)折 り 目特 異 点 と カ ス プ 特 異 点 はfに よ っ て 交 わ ら な い 。 つ ま り,f(F(f))∩f(C(f))=￠ で あ る 。 (3)カ ス プ 特 異 点 ど う し はfに よ っ て 交 わ ら な い 。 っ ま り,p≠q∈c(f)に 対 してf(p)≠f(q)で あ る 。いず れ にせ よ,曲 面 か ら平 面へ の安 定 写像 に 現れ うる
孤 立特 異 点 は カ ス プ 特 異 点 の み で あ る とい うこ とに な る
が,こ
の カ ス プ 特 異 点 の 個 数 に つ い て は 次 に 述 べ る
Whitney-Thomの
合 同式 が重 要 で あ る。Whitney-Thomの
合 同 式 は,閉 曲 面 か ら平 面 へ の安 定 写像 に 現れ るカ ス プ
特 異 点 の個 数 の 偶奇 は 定 義域 の 閉 曲 面 の トポ ロ ジー 的性
質 だ け で決 定 され,安 定 写像 の選 び方 に は依 らな い とい
うこ とを 主 張 して い る。
命 題3.2.曲 面 か ら 平 面 へ の 安 定 写 像 に 現 れ る 特 異 点 は, 定 義 域 と 値 域 の 局 所 座 標 を 適 当 に 選 ぶ こ と に よ り,次 の い ず れ か の よ うに 記 述 で き る: (1)(X,y)ト →(X,y2) (2)(x,y)ト →(x,y3-xy). 局 所 的 に 上 の(1)の 形 で 書 く こ と が で き る 特 異 点 を 哲 りL則撞暴 慮(foldsingularity)と 呼 び,(2)の 形 で 書 く こ と が で き る 特 異 点 を 攻、ろズ 猛 異 哀(cuspsingularity)と 呼 ぶ 。 つ ま り曲 面 か ら 平 面 へ の 写 像 の 場 合 は 折 り 目 特 異 点 と カ ス プ 特 異 点 の み が 安 定 特 異 点 と い う こ と に な る 。 折 り 目 特 異 点 と カ ス プ 特 異 点 の 周 囲 の 様 子 は こ の 記 事 の 始 め の ペ ー一一ジ に あ る 図0に 描 か れ て い る 。図OAの 「紙 の 折 り 目」 に な っ て い る(青 い)実 線 部 分 に は 折 り 目特 異 点 が 並 ん で い て,図OBで 「ひ だ 」 の 尖 点 に な っ て い る(赤 い)点 が カ ス プ 特 異 点 で あ る 。 ち な み に,図OBの(青 い)点 線 部 分 は 折 り 目 特 異 点 に な っ て い る 。 折 り 目特 異 点 も カ ス プ 特 異 点 も,と も に ヤ コ ビ 行 列 の 階 数 が1に な る 点 で あ る 。 折 り 目 特 異 点 全 体 の 集 合 をF(f)で,カ ス プ 特 異 点 全 体 の 集 合 をC(f)で 表 す こ と に す る と,F(f)は1次 元,C(f) は0次 元 集 合 に な る こ と が 容 易 に 分 か る 。 定 理3.4(Whitney-Thomの 合 同 式).M2を 閉 曲 面 とす る。 任 意 の 安 定 写 像f:M2→R2に 対 し て, X(M2)≡#C(f)(mod2) が 成 り立 つ 。 但 し,#C(f)は カ ス プ 特 異 点 の 個 数 を 表 す 。 3.3い く つ か の 写 像 の 具 体 的 構 成 適 当 な 閉 曲 面 を1つ 固 定 し て 考 え る と,上 で 述 べ た Whitney-Thomの 合 同 式 は,そ の 閉 曲 面 か ら 平 面 へ の 安 定 写 像 に 現 れ る カ ス プ 特 異 点 の 個 数 が 取 り う る値 を 制 限 す る も の と 思 う こ と が で き る。 実 は そ の 評 価 は 「最 良 」 で あ る。 我 々 は こ の こ と を,い くつ か の 写 像 を 以 下 に 述 べ る や り 方 で 具 体 的 に 構 成 す る こ と に よ っ て,証 明 す る。 A →^R2
4
Cノ
r一図9ハ
ン ドル 付 き球 面 か らの 安 定 写 像
定 理3.5.
(イ)任 意 の 種 数 の 向 き付 け可 能 閉 曲面 か らR2へ の,カ
ス プ 特 異 点 の な い 安 定 写 像 が構 成 で き る。
(ロ)任 意 の 偶 数 種 数 の 向 き付 け 不 可 能 閉 曲面 か らR2へ
の,カ ス プ 特 異 点 の な い 安 定 写 像 が 構 成 で き る。
(ハ)任 意 の 奇 数 種 数 の 向 き付 け 不 可 能 閉 曲面 か らR2へ
の,ち
ょ うど1個 の カ ス プ 特 異 点 を持 つ 安 定 写 像
が構 成 で き る。
=一一勲 ご,②
図10任
意 の 向 き付 け可 能 曲 面 か らの 安 定 写 像
証 明.(イ)分
類 定 理 よ り,任 意 の種 数 の 向 き付 け 可 能
閉 曲 面 は,球 面 に 適 当 な 数 の ハ ン ドル を 接 着 した もの に
同 相 で あ る。 ま ず,ハ
ン ドル が1つ だ け接 着 され て い る
場 合 を考 え る(図9A)。
図9Bの
よ うに 球 面 の 「
端 一 にハ
ン ドル を移 動 し,そ の ま ま 「自然 に 」R2へ つ ぶ す よ うに
写 像fを 作 る(図9C)。 こ う して で き た写 像fは 図9Cの(青
い)実 線 部 分 に 折 り目特 異 点 を 持 ち,そ の 他 の 点 の 近 傍
で は 局 所 的 な 埋 め 込 み とな っ て い る。従 っ て,こ の 写 像f
は カ ス プ 特 異 点 を 持 た な い 安 定 写 像 で あ る。 同様 に して
ハ ン ドル が 任 意 個 接 着 され て い る場 合 で も,ハ ン ドル を
うま く移 動 させ れ ば カ ス プ 特 異 点 を 持 た な い 安 定 写 像 を
構 成 す る こ とが で き る(図10)。
→ ' .6 ,'層 、 幽 、 亀「^R2
づ
」 → 燭K
B
&
1>ノ
図11偶
数種 数 の 向 き付 け不 可能 曲 面 か らの 安 定写 像
(ロ)任 意 の 偶 数 種 数 の 向 き 付 け 不 可 能 閉 曲 面 は,球 面 に 偶 数 個 の ク ロ ス キ ャ ッ プ を 接 着 し た も の に 同 相 で あ る 。補 題2.5よ り,2つ の ク ロ ス キ ャ ッ プ は1つ の ク ロ ス ハ ン ドル と 同 相 で あ る か ら,こ の 閉 曲 面 は い く つ か の ク ロ ス ハ ン ドル が 接 着 さ れ た 球 面 に 同 相 で あ る 。 従 っ て, (イ)の ハ ン ドル を つ ぶ し た 方 法 と 似 た や り方 で,図ll の よ う に 写 像fを 構 成 す れ ば,こ のfは 折 り 目特 異 点 の みを 持 つ 安 定 写像 で あ る。3次
元 空 間 内 に あ るク ロス ハ ン
ドル を 平 面 に射 影 す る とき,ク
ロスハ ン ドル の 自己 交叉
が 平 面 上 で 折れ 曲 が っ た り しな い よ うに射 影 す れ ば,カ
ス プ特 異 点 は 出 現 しな い こ とに 注 意す る。 図lIBの
中 に
描 かれ た 点線 部 分 は 特 異 点 で は な い の で あ る。
図12ク
ロ スキ ャ ッ プの 上 部 と下 部
(ハ)任 意 の 奇 数 種 数 の 向 き付 け 不 可 能 閉 曲 面 は,球 面 に 奇 数 個 の ク ロ ス キ ャ ッ プ を 接 着 し た も の で あ る 。 補 題2.5を 使 う と ク ロ ス キ ャ ッ プ を1つ 残 し て,他 の ク ロ ス キ ャ ッ プ を2個 ず つ の 対 で ク ロ ス ハ ン ドル へ 入 れ 替 え て し ま う こ と が で き る。ク ロ ス ハ ン ドル の 部 分 で は(ロ) で 示 し た よ うな や り 方 で,カ ス プ 特 異 点 を 持 た な い 安 定 写 像 が 構 成 で き る の で,ク ロ ス キ ャ ッ プ の 部 分 だ け を 考 え よ う。B
C
図13ク
ロス キ ャ ッ プの 上 部 の 変 形
ま ず ク ロ ス キ ャ ッ プ を 以 下 の よ うに 変 形 す る 。 分 か り 易 くす る た め に,ク ロ ス キ ャ ッ プ を 図12の よ うに 上 部 と 下 部 に 切 っ て 変 形 を 説 明 し て い く 。 上 部 は 通 常 撫 の 傘(Whitneyumbrella)と 呼 ば れ る が,こ のWhitneyの 傘(図13A)を,ま ず 自 己 交 叉 の あ る 部 分 か ら 片 側 を縮 め て い き(図13B),最 終 的 に 図13Cの よ うに な る ま で 変 形 す る 。A
B
C
図14ク
ロ スキ ャ ッ プの 下 部 の 変 形
D
ま た 下 部(図14A)の 切 り 口 部 分 は8の 字 を 描 い て い て,底 の 方 は1本 の 円 周 に な っ て い る 。 図14B下 の 円 周は 小 さ く し て お き,図14Cに 描 か れ て い る 縦 の 円 周 を ゴ ム で 絞 る よ うに 縮 ま せ て い く 。 そ うす る と,こ の ゴ ム よ り右 側 の 下 の 部 分 は 少 し 垂 れ 下 が っ て い る よ うな 感 じ に な る(図14D)。
