数学の基礎学力分析II

数学の基礎学力分析 II

二宮 春樹

工学部 一般教育科

（2007 年 5 月 23 日受理）

An Analysis of Fundamental Scholastic Attainments in Mathematics II

by

Haruki NINOMIYA

Department of General Education, Faculty of Engineering （Manuscript received May 23, 2007）

Abstract

Continued from the paper which appeared in the Memoirs of the Osaka Institute of Technology vol. 50 no. 2(2005), pp. 89-119. In this study, the answers of students applying for a teaching post to tests of mathematics are examined. Educational problems revealed by these tests are explained.

キーワード; 数学，基礎学力，教職志望学生，教育問題

K e y w o r d ; Mathematics, Fundamental Scholastic Attainments, Student Applying for Teaching Post, Educational Problem

Memoirs of the Osaka Institute of Technology,

Series A

1

序

著者は学生の基礎学力に関する報告を大阪工 業大学紀要に発表した([1],[2],[3])．数学教職志 望学生の基礎学力については、表現力からみた 学生の基礎学力II において部分的に触れておい たが，２００５年度数学教育学会秋期例会にお ける文教大学教授白井和夫氏の報告([4])1に大き な衝撃を受けた．そこで，著者は，大阪工大工 学部２００５年度後期教職科目(現代)解析学2１ 週目の授業3においては，白石氏の採用したと同 じ問題で「算数の学力」の追跡調査を行い，さ らに２週目4，３週目5にそれぞれ数学基礎学力 に関する試験を実施し，数学教職志望学生の基 礎力について分析を行った．本稿6_{はその結果報} 告である．

1.1

１週目の調査問題

1. 次の割り算を行い、商と余りを求めよ． (1) 4500)560000 (2) 138)7773 2. 縮尺１万分の一の地図で、ある町の面積を 求めたら1348cm2 であった．この町の実 際の面積は何km2 か． 3. 角 A が 90◦ である直角三角形 ABC に おいて、AB = 2cm, AC = 3cmであると き、BC の長さを求めよ． 4. 長さ40cmのひもで長方形を作り、その面 積が 84cm2であるようにするとき、長方 形の縦と横の長さを求めなさい． 5. 以下の問いに答えよ． (1) 125を２進法で表せ． (2) ２進法で110011と表される数を１０進法 でかけ． 1 文教大学教育学部教員養成課程２００５年度新入生(国 語，社会，理科，美術専修所属の学生の中からおよそ半数 ほどの受講生の)４６名にたいして４月最初の授業で氏の 行なった試験結果の報告であるが，２００５年度数学教育 学会例会分科会において発表された際，聴講者の多数から 驚きの声があがった． 2_{受講できるのは２回生以上の学生である．} 3 受講生５２名 4_{受講生４６名} 5 受講生５０名 6_{投稿原稿を注意深く読まれた閲読者（無名氏）からの} ご意見をもとに加筆修正したものである。閲読者には感謝 の意を表する。

1.2

２週目の調査問題

1. T先生は「雨が降れば試験をする」と言っ た．ところが，T先生は嘘をついた．T先 生はどんなことをしたのかを記せ． 2. 以下の命題の否定命題を書け． (a) ある自然数は奇数である． (b) すべての自然数は偶数である． (c) このクラスのすべての学生は男子学 生である． (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をすれば合格できる． 3. Ｐ君は「１は最大の自然数である」という 新定理を発見したという．その証明を尋ね たところ，彼は次のように答えた： nが最大の自然数とします．もしも，n6= 1 ならば，n2 − n = n(n − 1) > 0 だから n < n2 ですね．ところで n2 は自然数で す．ゆえにnより大きい自然数n2 がある ことになりますね．しかし，それは n が 最大の自然数であることに反します．この 矛盾は n6= 1 と仮定したことに起因しま す．よってn = 1 でなければなりません． これで証明されました． さて，彼の証明のどこに誤りがあるのだろ うか判定せよ． 4. 実数 a, bが a2+ b2 6= 0 を満たすとする． 以下の中から正しいものを選べ． (1) a6= 0 かつ b6= 0 (2) a6= 0 または b6= 0 (3) ab6= 0 (4) (a, b)6= 0 (5) a_a22−b_+b22 = 1−b 2 1+b2 = 1₁₊₁−1 = 0

1.3

３週目の調査問題

A group 1. a, b は実数とする．a, bが同符号であるこ とを１つの式(等式または不等式)を用い て表せ． 2. a, bは実数とする．a, bが異符号であるこ とを１つの式(等式または不等式)を用い て表せ．

3. a, bは実数とする．a, bのうちどちらかは 0でない数であることを１つの式(等式ま たは不等式)を用いて表せ． B group7 4. a, b は実数とする．a= 1, b = 1であるた めの必要十分条件を a + bとabを用いて 表せ． 5. 実数には最大値および最小値がないことを 背理法を用いて証明せよ． C group 6. 実数の部分集合 A が次の条件をみたすと き，A は有界であるという：ある実数 C を選ぶと，A のすべての数 a にたいして |a| 5 C が成り立つ．  このとき，集合 A が有界ではないとは どういうことか説明せよ． 7.  関数f (x)が，次の条件をみたすとき 関 数f (x)は恒等的に０であるという：すべ ての実数x に対して f (x) = 0となる．  このとき，関数f (x)が恒等的に０では ないとはどういうことか説明せよ． 8.  実数の部分集合 A が次の条件をみたす とき，A は最小値をもつという：A のあ る実数m を選ぶと，Aのすべての数aに たいしてm5 a が成り立つ．  このとき，集合 A が最小値をもたない とはどういうことか説明せよ． 9. ２次式ax2+ bx + c (a6= 0)が次の条件を みたすとき，２次式 ax2+ bx + c は実数 解をもつと定義する: ある実数xを選ぶ と， ax2+ bx + c = 0 が成り立つ．  このとき，２次式ax2+ bx + cが実数解 をもたないとはどういうことか説明せよ． 10  実数の部分集合A, B が次の条件をみた すとき，A > B であると定義する：a > b がA のどの数 aおよび B のどの数 b に たいしても成り立つ．  このとき，A > B がなりたたないとは どういうことか説明せよ． D group 7 本稿では、問題文の記載にとどめ、このグループの問 題に対する結果と考察は省略した。 11. 「ある実数C を選ぶと，実数の部分集合 A のすべての数aにたいして |a| 5 C が 成り立つ」の否定命題をみたす部分集合A が存在することを示せ． 12. 「すべての実数xに対してf (x) = 0とな る」の否定命題をみたす関数f (x)が存在 することを示せ． 13. 「実数の部分集合Aのある実数mを選ぶ と，A のすべての数aにたいしてm5 a が成り立つ」の否定命題をみたす部分集合 A が存在することを示せ． 14. 「ある実数xを選ぶと，ax2+ bx + c = 0 が成り立つ」の否定命題をみたす ２次式 ax2 + bx + c (a 6= 0) が存在することを 示せ． 15. 「a > b が A のどの数 a および B のど の数 b にたいしても成り立つ」の否定命 題をみたす実数の部分集合A, B が存在す ることを示せ．

2

１週目の調査問題の結果と考察

１週目の解答分布を表示する．比較のために， 工大生の結果と文教大生の結果を併記した．

2.1

結果

2.1.1 1(1) 工大 124あまり 20 29(56％) 124あまり 2000 17(33％) 124あまり 4 4(8％) 124あまり 0 1 134あまり4 1 文教大  124あまり2000 24(52％) 124あまり20 19(41％) その他(小数化など) 3 2.1.2 1(2)

工大 56 あまり 45 43(83％) 56 あまり 15 6(12％) 56 あまり 55 1 56 あまり 42 1 56 あまり37 1 文教大   56 あまり45 42(91％) その他(小数化など) 4 2.1.3 2 工大 13.48km2 28(54％) 134.8km2 6(12％) 13480km2 _4(8％) 0.001348km2 _3(6％) 1348000km2 2(4％) 134800km2 2(4％) 1348km2 2(4％) 1.348× 10−2km2 1 13480000km2 1 0.00084km2 1 1348km2× 105km2 1 無答 1 文教大 134.8km2 17(33％) 13.48km2 13(28％) 13480km2 4(9％) 134800km2 3(7％) 0.1348km2 3(7％) 1348km2 2(4％) 1348000km2 1 134800000000cm2 ₁ 無答 2(2％) 2.1.4 3 工大 √ 13cm 36(69％) √ 13 13(25％) 2√6cm 2(4％) 無答 1 文教大 √ 13cm 18(40％) √ 13 12(26％) 13cm 2(4％) 13 1 x2 = 4 + 9 = 13 =√13 1 無答・その他 12(26％) 2.1.5 4 工大 6cm, 14cm 36(69％) 縦6cm, 横14cm 4(8％) 20± 2√79cm 4(8％) 縦14cm, 横6cm 3(6％) 縦16, 横4 2(4％) 縦 1₂ + 2√70,横 79₂ − 2√20 1 40±√1264 2 1 無答 1 文教大 方程式＋正答(1組でも正答) 31(67％) 答えのみ 9(20％) その他 6 2.1.6 5(1) 工大 1111101 31(60％) 1011111 5(10％) 110011 2(4％) 1111100 1 111101 1 10000001 1 11111100 1 無答 8(15％) 文教大  1111101 10(22％) 111101 1 無答・その他 35(76％)

2.1.7 5(2) 工大 51 34(65％) 55 1 102 1 46 1 44 1 81 1 97 1 66 1 115 1 52 1 無答 9(17％) 文教大 51 7(15％) 無答・その他 39(85％)

2.2

考察

１週目の問題の解答を分析する． 2.2.1 問題１ (1)(2)のいずれも学生に解かせるには些か気 が引けるほどの単純な，商とあまりを求めると いう，計算問題であるが，(1)には落とし穴があ る．正答率は，工大生３３％，文教大生５２％． 前者においては，理系学生であるにも関わらず 文系学生に比べて，正答率がかなり低い．落と し穴にひっかかって，560000÷ 4500 = 560000₄₅₀₀ = 5600 45 = 5600÷ 45 = 124あまり 20 と解答した 割合は，工大生５６％，文教大生４１％である． 前者においては，割り算を分数で表すという生 半可な知識が災いとなったのであろう，余計な 知識のない後者のほうが素直に計算できたので あろう，その反映が正答率の高低になったと推 測される．しかし，仮に１２４あまり２０も正 解とみなした場合でもその正答率は，工大生８ ９％，文教大生９３％であって後者の方が高い ことに変わりはなく，理系学生の前者において は初等計算そのものが覚束ない受講生の層がほ ぼ１割強存在することになる．そのような層の 存在は次の(2)における結果からみるとさらに 増えて２割近い数字と言ってもよい割合である： (2)の正答率は，工大生８３％，文教大生９１％． 文教大生の場合は，あまりを少数化した学生を 含めてのデータであるが，(1)と(2)では殆ど同 じで初等計算の覚束ない層の割合は１割未満の 数字(ただし，あまりを少数化した学生を除外す れば，その割合はもっと小さくなることに注意) である．この理由はどこにあるのだろうか．私 見であるが，理系学生は計算をすべて卓上計算 機で行っていることに起因する．パソコンで漢 字を変換することを習慣にする人の多くが漢字 を書く際その漢字を忘れて書けなくなっている のと同様に計算能力が衰退していると思われる． 2.2.2 問題２ 縮尺と単位換算が正しく理解されているの は，工大生５４％，文教大生２８％である．理 系学生と文系学生の知識の差を反映した割合で あるが，工大生の正解率が過半数を少し超えた 低い値なのは意外である．共通の誤りは次のよ うな５種類であった8_. 用いたと思われる計算式 文教大 1348× 104× 10−5km2 17(33％) 1348× 10−4× 105_km2 _4(9％) 1348× 108× 10−5km2 1 1348× 10−8× 1010km2 3(7％) 1348× 10−4× 104km2 2(4％) 用いたと思われる計算式 工大 1348× 104× 10−5km2 6(12％) 1348× 10−4× 105km2 4(8％) 1348× 108× 10−5km2 2(4％) 1348× 10−8× 1010km2 2(4％) 1348× 10−4× 104km2 2(4％) 2.2.3 問題３ 正解(と見なされる)率は，工大９４％，文 教大６７％．文系学生が３平方の定理を使う頻 度は低いのであろう．後者の正解率が低いのは， ３平方の定理を(知らないのではなくて)忘れた 結果と思われる．他方で工大生でもそれを忘れ た学生がいたり，2√6を答えとした9_{ものが２名} いることには驚かされる． 8_{1cm = 10}−5_{km ∴ 1cm}2 _{= 10}−10_km2_{. 地図での面} 積Scm2 は実際の面積S× (104)2cm2= S× 108cm2= S× 108_{× 10}−10_km2_{(= S× 10}−2_km2_). 9√_{4 + 9 =}√_{4 +}√_{9とする誤りはときに見られるので} あるが，2√6の値は，次のようにして導いたと思われる： √ 4 + 9 =√4√9 = 2√32_{= 2}√_{3· 2 = 2}√_6.

2.2.4 問題４ 式を立てるという手法はできている．x+y = 20, xy = 84 をみたす x, y が求める答えである が，工大生の場合，x + y = 20, xy = 84をみた す整数x, y が求める答えと考えて，その組み合 わせのなかから正解を選んだ得た学生が少なか らずいた．文教大生の場合は資料がないので不 明であるが，答えのみの９名(20％)のなかには 同様にようにして答えを導いたものが含まれて いると考えられる. なお，工大生においては， ２次方程式を解くときに計算ミスをしたものが ６名(10％)いたが，前節(３・１)で述べたよう に，理系学生の初等的計算力が退化しているこ との現れであろう． 2.2.5 問題５ 理系学生と文系学生の知識の差の如実に反映 された結果である．ただ，(２回生以上である) 工大生の場合，２進法を知らないか，知ってい ても２進法の無理解な(具体的表示の仕方がわか らない)学生の存在((1)８名(15％)(2)９名(17 ％))は，彼らが工学部の学生であることを考え れば憂慮すべきことである．幅広い教養教育の カリキュラムを組むことが望まれる．

3

２週目の調査問題の結果と考察

3.1

結果

3.1.1 １ 以下は受講生の全解答である． 漢字，句読 点等すべて原文のままに記した． ここでは同一のものもダブって記してある． 1. 晴れているときに通常の授業を行った． 2. 雨が降ったが試験をしなかった． 3. 雨が降ったのに試験をしなかった．または 雨はふらなかったのに試験をした． 4. 雨が降っても試験をしなかった． 5. 雨が降らなかたのに試験をしたまたは雨が 降ったのに試験をしなかった． 6. 雨が降ったのに試験をしなかった． 7. 雨が降ったのに試験をしなかった又は雨が 降らなかったのに試験をした． 8. 雨が降らなかったが試験をした．又は雨が 降ったが試験をしなかった． 9. 晴れても試験をした． 10. 晴れていたのに試験をした． 11. 雨が降っても試験をしなかった． 12. 雨が降っていないのに試験をした．雨が 降ったのに試験をしなかった． 13. T先生は雨が降ったのにが試験をしなかっ た．雨が降らなかったのに試験をした． 14. T先生は「雨が降らなかったのに試験をし た」「雨が降ったが試験をしなかった」の いずれかをした． 15. T先生は当日の試験の話ではなかった．と 言った． 16. 雨が降ったのにが試験をしなかった． 17. T先生は雨が降っていないのに試験を行っ た．又は雨が降ったが試験を行わなかった． 18. 「雨が降っていないのに試験をした．又は 「雨が降ったのに試験をしなかった」． 19. 雨が降っていなかったら試験をしないと言 ったわけでは無いので、雨が降っていなく ても試験をした． 20. 試験をしなかった． 21. T先生が「雨が降れば試験をする」に反す る事をした． 22. 定期試験をした．休日にも雨が降ったから． 23. 雨が降ろうが降らなかろうが試験をした． 24. 生徒は当日雨が降れば試験をすると思って いたは晴れたのでしないと思った．しかし、 T先生は、今日とは言っていない．昨日（前 日）に雨が降ったのでテストをした．先生 と生徒の雨が降る日のズレが生じた． 25. 雨が降らなかったが試験をした． 26. 雨が降らなかったが試験をした． 27. 雨が降らなかったが、試験をした． 28. 雨が降ったのに試験をしなかった．

29. 雨が降らなかったが試験をした．雨が降っ たのに試験をしなかった． 30. 雨が降らなかったのに試験をした． 31. 雨が降らなくても試験をした． 32. 雨がふっていないのにテストをした．雨が ふっているのにテストをしなかった． 33. 何もしなかった． 34. 雨が降らなかったにもかかわらず試験を 行った．理由は：「嘘をついた」という表 現をしていることから、被害をこうむった と考えられる．そう考えると、もし、雨が 降ったのに試験をしなかったのであれば、 これは、生徒側からしたらうれしいはずで ある．「嘘をついた」ということにあてはま るが、この場合、不適切である．ゆえに、 雨が降らなかった、つまり晴れ、もしくは 曇りであったのに試験が行われた． 35. 雨が降っていないのに試験をした．雨が 降ったのに試験をしなかった． 36. 演習問題と書いてあるプリントをした．（言 って試験） 37. 雨が降らなかったのに試験をした．雨が 降ったのに試験をしなかった． 38. 雨が降らなかったがテストをした．なぜな ら、晴れればしないとは言っていないから． 39. 雨が降らなかったのに試験をした． 40. 晴れたが試験をした． 41. 雨が降ったのに試験をしなかった． 42. 雨が降ったが試験をしなかった．晴れたが 試験をした． 43. 無解答(４名) 分類 解答者の「解答」は，無解答を除いて，次の ５つのタイプに分類される： T 型  雨が降ったのに試験をしなかった． F1型  雨が降らなかった10が試験をした． 10 晴れた，といった類の表現もこれと同じものとみなし た． F2型  雨は降らなかったが試験をした，あるい は雨が降ったのに試験をしなかった． F3型  雨は降らなかったが試験をした．雨が 降ったのに試験をしなかった． F4型  T型，F1型，F2型，F3型のどれにも 当てはまらない． 3.1.2 分布表 解答タイプ T型 F1型 F2型 解答者数 7 13 10 割合 (％) 15.2 28.3 21.7 解答タイプ F3型 F4型 無解答 解答者数 4 8 4 割合 (％) 8.7 17.4 8.7 比較 (i) ２００４年度 においても同じ問題を解析 学受講生(５０名)に解答させたが，その 分布は以下の通りであった． 解答タイプ T 型 F1型 F2型 解答者数 16 10 0 割合 (％) 32 29 0 解答タイプ F3型 F4型 無解答 解答者数 6 8 10 割合(％) 12 16 20 (ii) ２００４年度微積分Iの新入生クラス(受 講生１８５名)において，上の問題を解答 させたが，その分布は以下のとおりであ った． 解答タイプ T 型 F1型 F2型 解答者数 29 46 26 割合 (％) 15.7 24.9 14.1 解答タイプ F3型 F4型 無解答 解答者数 49 24 11 割合(％) 26.5 13.0 5.9 (ii) ２００５年度基礎数学Iの新入生(法学系) クラス(受講生９３名)において，上の問 題を解答させたが，その分布は以下のとお りであった．

解答タイプ T 型 F1型 F2型 解答者数 19 39 12 割合 (％) 20.4 41.9 12.9 解答タイプ F3型 F4型 無解答 解答者数 8 8 7 割合 (％) 8.6 8.6 7.5 3.1.3 ２ 以下は受講生の全解答である．漢字，句読点 等すべて原文のままに記した．なお，以下の記 号を用いた． ○：正解または正解とみなしたもの ×：誤答または誤答とみなしたもの 1. (a) ある負の数は偶数である．× (b) ある負の数は奇数である × (c) 無解答 (d) このクラスのある学生は怠けて失敗 する．× 2. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスの学生は女子学生がいる． ○ (d) このクラスの学生は適切な努力をし ても不合格になる．× 3. (a) すべての自然数は偶数でない．× (b) ある自然数は奇数でない．× (c) このクラスのある学生は女子学生で ない．× (d) このクラスの学生は適切な努力をす れば不合格にならない．× 4. (a) ある自然数は奇数でない．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生でない．× (d) このクラスのすべて学生は適切な努 をしても合格できない．× 5. (a) すべての自然数は奇数でない．× (b) ある自然数は偶数でない．○ (c) このある学生は男子学生でない．○ (d) このクラスのある学生は適切な努力 をしても合格できない．○ 6. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしても合格できない．× 7. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしなければ合格できない．× 8. (a) 自然数なのでは偶数であるかもしれ ない．× (b) 自然数は奇数もふくまれる．○ (c) このクラスの学生の中に１人でも女 子がいる．○ (d) このクラスの学生の中に１人でも努 力しても合格できない学生がいる．○ 9. (a) ある自然数は奇数でない．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生でない．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をすれば合格できない．× 10. (a) すべての自然数は偶数である．× (b) ある自然数は奇数である．○ (c) このクラスには女子学生がいる．○ (d) このクラスのすべての学生が適切な 努力しても合格できるとはいえない． × 11. (a) ある自然数は偶数である．× (b) 自然数には希数が含まれる．○ (c) このクラスの学生の中に女子学生が 存在する．○ (d) このクラスのすべての学生の中にが 適切な努力しても不合格になる学生 がいる．○ 12. (a) ある自然数が２のとき偶数でない．× (b) 自然数が１のとき偶数でない．×

(c) このクラス少なくとも１人の女子が いる．○ (d) このクラスの少なくとも１人は努力 しなければ合格しない．× 13. (a) 無解答  (b) 無解答  (c) 無解答 (d) 無解答 14. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は偶数とは限らない． × (c) このクラスに少なくとも１人女子学 生がいる．○ (d) このクラスのすべての学生は適切な努 力をしても合格できるとは限らない． × 15. (a) ある奇数は自然数はでない．× (b) すべての自然数が偶数なら，自然数a が偶数の時、(a−1)も偶数であるで． × (c) このクラスのすべての学生は男子学 生でない．× (d) 男子学生はすべてこのクラスの学生 である．× 16. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は女子で ある．× (d) このクラスのすべての学生は努力な しで合格できる．× 17. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数には奇数がふくまれ る．○ (c) このクラスには女子学生がいる．○ (d) このクラスのすべての学生には適切な 努力しても合格できない学生がいる． ○ 18. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力しても合格できない．このクラ スのすべての学生は適切な努力しな ければ合格できる．× 19. (a) ある奇数は自然数でない．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生でない．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をすれば合格できない．× 20. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべてではないが何人 かの学生は男子学生である．× (d) このクラスのすべてではないが何人 かの学生は適切な努力をすれば合格 できる．× 21. (a) ある自然数はでない．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生でない．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしても合格できない．× 22. (a) ある自然数が２であれば奇数にはな らない．× (b) 自然数１，２，３，４，５があると する．それらすべての自然数は奇数 １，３，５，偶数２，４がある．よっ て(b)の命題はなりたたない．× (c) 無解答 (d) 適切なという言葉は人それぞれによっ て度合いが違う．適切にしても、おな かを痛めて受けれない子もいて合格 できないこともあるので命題はなり たたない．× 23. (a) すべての自然数は奇数でない．○ (b) ある自然数は偶数でない．○ (c) このクラスのある学生は女子学生で ある．○ (d) このクラスのある学生は適切な努力 をしなければ不合格になる．×

24. (a) 自然数には偶数も含まれているため 奇数だけとは限らない．× (b) 自然数は奇数と偶数の組でありすべ ての自然数は偶数でない．× (c) ”このクラス ”がどのクラスをさして いるのか × (d) ”適切な ”がはっきりしない．× 25. (a) すべての自然数は偶数である．○ (b) ある自然数は奇数である．○ (c) このクラスのある学生は女子学生で ある．○ (d) このクラスのある学生は、適切な努 力をしたのに不合格だ．× 26. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) 無解答 (d) 無解答 27. (a) すべての自然数は偶数である．○ (b) ある自然数は奇数である．○ (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのある学生は努力をして も合格できない．○ 28. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は偶数と奇数である． × (c) このクラスのすべての学生は、男子 学生と女子学生である．× (d) このクラスのすべての学生は努力を しなかったら合格できない．× 29. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしなければ不合格になる．× 30. (a) ある自然数は偶数である（奇数でな い）．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生ではない．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしなければ不合格する．× 31. (a) ある自然数は奇数ではない．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生ではない．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしなければ合格できない．× 32. (a) ある自然数は０又は偶数である．× (b) すべての自然数は０または奇数であ る．× (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．このクラスの一部の学生 は男子学生である．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしなくても合格である．この クラスの一部の学生は適切な努力を しても不合格である．このクラスの 一部の学生は適切な努力をしなくて も合格である．× 33. (a) 全ての自然数は奇数でない．○ (b) ある自然数は偶数でない．○ (c) このクラスのある学生は男子学生で ない．○ (d) このクラスのある学生は適切な努力 をしても合格できない．○ 34. (a) 無解答 (b) 無解答 (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのすべての学生は一生懸 命努力しても不合格になる．× 35. (a) その自然数は偶数である．× (b) 偶数である自然数は１つもない．× (c) このクラスに学生は男子学生は１人 もいない．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしても合格できない．× 36. (a) ある自然数は奇数でない．× (b) すべて自然数は奇数でない．×

(c) このクラスすべての学生は女子学生 でない．× (d) このクラスすべての学生は適切なけ れば合格できない．× 37. (a) ある自然数は奇数でない．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのある学生は男子学生で ある．× (d) このクラスのある学生は適切な努力 をすれば合格できる．× 38. (a) ある自然数は偶数でない．× (b) すべての自然数は実数である．× (c) このクラスの学生に女子学生がいる． ○ (d) このクラスのすべての学生は努力を しなければ合格できない．× 39. (a) ある自然数は奇数でない．× (b) すべての自然数は偶数でない．× (c) このクラスのすべての学生が男子学 生ではない．× (d) このクラスのすべての学生が適切な努 力をすれば合格できるわけではない． × 40. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生ではない．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしなければ合格できない．× 41. (a) ある自然数は偶数である．× (b) ある自然数は奇数である．× (c) このクラスには一部女子学生がいる． ○ (d) このクラスの一部の学生は適切な努 力をしても不合格である．○ 42. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしても合格できない．× 43. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスのすべての学生は女子学 生である．× (d) このクラスのすべての学生は不適切 な努力をすれば不合格である．× 44. (a) ある自然数は偶数である．× (b) すべての自然数は奇数である．× (c) このクラスの一部の学生は女子学生 である．○ (d) このクラスの一部の学生は、適切な 努力をすれば合格できる．× 45. (a) 或る自然数は偶数である．× (b) 無解答 × (c) このクラスの一部、ないしは全ての 学生は女子学生である．○ (d) 無解答． 46. (a) ある自然数は奇数でない．× (b) すべての自然数は奇数でない．× (c) このクラスのすべての学生は男子学 生でない× (d) このクラスのすべての学生は適切な 努力をしても合格できない．× 分布 問題 ○ × 無解答 (a) 4(8.7％) 40(87.0％) 2(4.3％) (b) 10(21.7％) 33(71.7％) 3(6.5％) (c) 13(28.3％) 29(63.0％) 4(8.7％) (d) 7(15.2％) 36(78.3％) 3(6.5％) 3.1.4 ３ 以下は受講生の全解答である．漢字，句読点 等すべて原文のままに記した．なお，以下の記 号を用いた． ○：正解または正解とみなしたもの △：正解とみなされるには表現に明確さが欠け ているもの ×：誤答または誤答とみなしたもの 1. n2 が自然数と定めていること．×

2. 最大の自然数があると仮定したことがおか しい．または最大の自然数どおしをかけれ ば最大個あるという矛盾が生じるため．？ と定めていること．n2 が自然数と定めて いること．× 3. nが最大ということはn→ ∞ またn2 → ∞ × 4. 矛盾がn 6= 1 としたことに起因するから といって、n = 1でなければならないとし たところに誤りがある × 5. 最大の自然数が存在するときめつけている とこが誤り．○ 6. nを最大の自然数としたところに誤りがあ る．自然数とは無限にあり最大の自然数は 存在しない × 7. nを最大の自然数とするならばn2−n > 0 という形にはならない．よって、n2−n > 0 をつかうのならn2 _{を最大の自然数としな} ければならない．× 8. 「最大の自然数が存在する」ということが 証明されていない．○ 9. nが最大の自然数だとしてもn2 > nはこ れに反しないから．× 10. 「この矛盾は n 6= 1 としたことに起因し ます」が誤り．この矛盾は n を最大の自 然数と仮定したことに起因するのでこれは 誤りである．最大の自然数は存在しないと いう証明になる．○ 11. P君の証明において、n2−n > 0という形 にはならない．よって、n2−n = n(n−1) > 0 とあるが自然数には{0}は含まれない． よって、n2− n = n(n − 1) > 0 の部分が 誤りといえる．× 12. もしもn6= 1ならばの表現がおかしい．大 小の関係は１つ１つの数字で判断するべき で或る．全ての数字にあてはまる仮定で方 程式はつくらなければならない．× 13. 最大の自然数は存在しないので最大の自然 数を n としたことが最大の自然数だとし たことがまちがえている．× 14. 「nを最大の自然数とします」最大の自然 数などありません．× 15. nが最大の自然数とすれば、n2 は存在し ない．× 16. nが最大の自然数に反し、矛盾であるn6= 1と仮定したところに着目したまでは良か った．しかし、だからn = 1でなければな らないわけではなく、しかもn(n− 1) > 0 という式も成り立たなくなり、そこで矛盾 が生じる．× 17. n6= 1 と仮定したから．× 18. 矛盾は n6= 1 と仮定したことに起因して いるからといってn2 を考えていることが おかしい．× 19. n：最大の自然数と仮定した点．自然数は、 無限集合なので n と仮定しても，それよ り大きい値が出てくるのは当然である．× 20. 「n2 は自然数です」−→ n2 が自然数であ ることは証明されていない．× 21. n2−nという場合だけに着目したこと．× 22. n6= 1 と仮定したことに起因します．× 23. n より大きい自然数n2 といっているがn もn2 _{も同じ数であって、２乗がつくと数} ではない．× 24. nとn2 を比較してしまったから誤りであ る．n2 が示されている部分がn2以外の何 かで表されているなら証明ができている． × 25. n(n− 1) > 0 6= 1 なら n2− n において n とn2 の関係式はn2 > n となる．よっ て、この証明は誤っている．× 26. nを最大の自然数と仮定したのならn2 は 明らかに n より大きいので n2 は存在し ない つまり題意に反する．× 27. 数は無限にあるものなので、nを最大の自 然数として置くことはできない．無限にあ る数字の中で最大をとることはできない． × 28. n が最大の自然数ならばある自然数を n とする．× 29. この矛盾は n6= 1 と仮定したことに起因 するのではなく、最初の仮定 n が最大の 自然数としたことに起因する．△

30. 自然数に０は含まれるので、n6= 1 と仮定 したうえでの証明でn2−n = n(n−1) > 0 の不等式に =(イコール) をつけなければ ならない．× 31. 最大の自然数 n = 1 が間違いであるのは ２が自然数であることより明らか．彼の場 合、「n より大きい自然数 n2 があること がnが最大の自然数であることに反する」 という矛盾の原因は、n6= 1仮定したこと ではなく、nが最大の自然数としたことに ある．× 32. n2− nがまちがっている．もともと「nが 最大の自然数」と仮定しているのでn2 と いうものが存在しない．つまりn =∞ で あり、∞ の２乗が存在しない事と同じだ から．× 33. n2− n = n(n − 1) > 0の不等合．× 34. 矛盾の原因は、n6= 1 ではなく、nを最大 の自然数とおいたところにある．よって、 矛盾の起因に誤りがある．△ 35. n が最大の自然数ならば n2 は存在しえ ない．× 36. n2 _{− n = n(n − 1) > 0 n − 1 > 0 n >} 1 n 6= 1 のとき nは１より大きいのでn は最大の自然数ではない．× 37. 自然数は無限に有り、n2 も存在する．従っ て、nを最大の自然数と仮定したことがそ もそもの間違い．× 38. nより大きい自然数n2 _{があるとしたこと} が誤り．× 39. 無解答 ８名 分布 ○ △ 3(6.5％) 2(4.3％) × 無解答 33(71.7％) 8(17.4％) 3.1.5 4 正解として選んだ番号の組み合わせは次のと おり．以下の記号を用いた． ○：正解 ×：誤答 1. (2) １０名 × 2. (2) (4) ５名 ○ 3. (1) ４名 × 4. (1) (2) (3) (4) (5) ３名 × 5. (1) (2) (3) (4) ３名 × 6. (1) (3) ３名 × 7. (1) (2) (3) ２名 × 8. (2) (3) ２名 × 9. (4)  ２名 × 10. (1) (2) (3) (5) × 11. (1) (2) (4) (5) × 12. (1) (3) (4) × 13. (2) (4) (5) × 14. (2) (4) (6) × 15. (2) (3) (5) × 16. (1) (3) (5) × 17. (1) (2) (4) × 18. (1) (2) × 19. (3) × 20. 無解答 分布 (2)+(4) (2) (4) 5(10.9％) 10(21.7％) 2(4.3％) 上記以外の誤答 無解答 28(61.0％) 1

3.2

考察

２週目の問題は表現力(論証力・国語力)の 観点から受講生の基礎力を問うたものである．

3.2.1 問題１ 日常的な会話の中での論理的思考力を確かめ る問題であるが，教職科目受講生の解答として は深刻な結果である．(２００４年度および２０ ０５年度を通して) T 型の解答者が過半数にも はるかに達しないことおよび F1 型の解答者が ３割近くもいることに驚きを禁じ得ない(これは 彼らに限定されたものではなく，現代学生全般 に見られる結果ではないかと思われる)．また， F4型 あるいは無解答の解答者層が無視できな いほど存在することにも注意を払う必要がある． 見方によっては，F4型 あるいは無解答層は好ま しい存在であるとも解釈できるが，著者として は教育上憂慮すべき学生層とみる． 3.2.2 問題２ 「すべて」と「ある」を含む命題の否定命題 を書かせる問題であるが，それができない，あ るいは適切な日本語を用いて正確に表現する力 量の乏しいと思われる受講生の層がかなり存在 する．数学教育経験上，一般にこの種の問題を 不得手とする学生が多いことは良く知っている ことだが，著者は，(d)の否定命題において，問 題文で「適切な」という語句の意味を考えるこ となく，その「適切な努力をすれば」が，例え ば，「どんなにしても」にするのが相応しいと考 えた教職受講生が皆無であったことに衝撃を受 けるものである．それにしても，(a) (「ある・・・ は・・・である」の否定命題)の正解率が極端に低 いのは何故であろうか？(b) (c) (「すべての・・・ は・・・である」の否定命題)のそれは大体同じと 考えられ，(a) の正解率の３倍といえる数字で ある．一方，(c) (d)は同じタイプの問題である が，正解率に大きな差がでたのは，学生たちが ( c) (d) においては論理的に考えず「感覚的に」 あるいは「願望的に」捉えて答えたためではな かろうか．この問題の結果からみると，「すべて の・・・は・・・である」の否定命題の論理構成は， 「ある・・・は・・・である」の否定命題の論理構成 よりも正しく行われるように見える． 3.2.3 問題３ 自然数に最大数が存在しないことを当たり前 に思っている学生に，その理由を問うと，返って くる答えは「それは常識です」とか「明らかで す」が殆どである．この問題は，その理由は背 理法で答えられることを示すものであるが，自 然数に最大数が存在しないという常識がこの問 題の解答に大きく作用していると思われる．お よそ９４％の受講生が証明の真偽判定を間違え ている結果である．仮に△印の解答も正解のう ちにいれるとすると，約１割の受講生は「証明」 の誤りがどこにあるのかを理解していることに はなるものの，依然として圧倒的多数はそれが わからないことを示す． 3.2.4 問題４ ２つの数のどちらかが０でないことを表現 した数式から導かれる結果を選ばせたのである が，正解11者は約１１％という低さである．解 答を別の観点から分析しよう：選ばれる解答群 (1)(2)(3)(4)(5)のうち，(1)と(3)は「and」の解 答として同じ，(2)と(4)は「or」の解答として同 じものであり，これらは選ばれるとすればセット で選ばれるべきものである．(5)は，(1)(2)(3)(4) とは無関係のもので分数(式)の計算に関して現 今問題となっている点を調査するために加えら れた．いま， • (1)(3) を正解とした解答グループをand • (2)(4) を正解とした解答グループをor • (1)(3)+(2)(4), (1)(3)+(2), (1)(3)+(4); (2)(4)+(1),(2)(4)+(3) のいずれかを正解 とした解答グループを andor • (1)(3)+(5) を正解とした解答グループを and(5) • (2)(4)+ (5) を正解とした解答グループを or(5) • (1)(3)+(2)(4), (1)(3)+(2), (1)(3)+(4); (2)(4)+(1),(2)(4)+(3) のいずれかとさら に (5) を正解とした解答グループを an-dor(5) となずける．このとき，セットで選択した分布は： and or andor 3(6.5％) 5(10.9％) 4(8.7％)) and(5) or(5) andor(5) 11(2.2％) 11(2.2％) 4(8.7％) なお，(1)+(2),(1)+(4),(3)+(2),(3)+(4)のい ずれかをセットで選択した分布は：

(1)+(2) (1)+(4) (3)+(2) (3)+(4)

1(2％) 0 2(4％) 0

この解答グループを sub-andorとなづける． 我々は，andor, sub-andor, and(5), or(5),

an-dor(5) の５グループ合わせておよそ72％も存 在することを算数・数学教育の今日的反映と捉 えている．数学教育志望者のなかにそのような 層がかなりの割合で潜んでいるのではないかと 危惧する．

4

３週目の調査問題の結果と考察

4.1

結果

以下では，Bグループを除いた問題の全解答を 記す．漢字，句読点等すべて原文のままに記し た．なお，次の記号を用いた． ○：正解または正解とみなしたもの ×：誤答または誤答とみなしたもの． 4.1.1 １ 1. ab > 0 (27名) ○ 2. ab= 012 (3名) ○ 3. a = b (3 名) × 4. a|x| = b × 5. a× b = +ab × 6. 0 < aかつ0 < b or 0 > aかつ0 > b × 7. a > b > 0 (3名) × 8. a = 0 のとき a 5 b で b− a = 0 かつ a < 0 のときa= b でb− a = 0 × 9. a + b > 0, ab > 0 or a + b < 0, ab > 0  × 10. |a − b| < a or |a − b| < b × 11. |a + b| = |a| + |b| × 12. a > 0 and b > 0 × 13. b > a > 0 × 14. a = b−→ a − b = 0 × 12 正解はab > 0であるが，等号も加えたab= 0も正 解とみなした． 15. a > 0, b > 0 のとき、相加平均、相乗平均 が使える．a + b= 2√ab, a+b₂ =√abが成 り立つとき、a = b である．× 16. 無解答 (3名) 分布 ○ × 無解答 30(60％) 17(34％) 3(2％) 4.1.2 2 1. ab < 0 (28名13) ○ 2. ab= 014 (2名15) ○ 3. a =−b × 4. −a|x| = b × 5. a× b = −ab × 6. 0 < aかつ0 > b or 0 > aかつ0 < b × 7. a < 0 < b × 8. a < b < 0 × 9. a = 0 のとき a > b で b− a 5 0 かつ a < 0のとき a < b でb− a = 0 × 10. a + b > 0, ab < 0 or a + b < 0, ab < 0  × 11. |a − b| > a + b × 12. |a − b| = |a| + |b| × 13. a > 0 > b or b > 0 > a × 14. a < 0 and b < 0 × 15. b < 0 < a (2名) × 16. ±a = ∓b × 17. a =−b −→ a + b = 0 × 13_{問題１の解答で1の答えを書いた学生は全員この答え} を書いた． 14 正解はab < 0であるが，等号も加えた ab5 0も正 解とみなした． 15 問題２の解答で2の答えを書いた3名のうち2名が この答えを書き，残りの1名は上の答えを書いた．

18. a > 0 かつ b < 0 とする．a− b = 0 → a− (−b) = 0 → a + b = 0, b − a 5 0 → −b − a 5 0. a < 0 かつ b > 0 とする． a− b 5 0 → b − a = 0 → −a − b 5 0 b− (−a) = 0, b + a = 0 ∴ 異符号である．  × 19. 無解答 (3名) 分布 ○ × 無解答 30(60％) 17(34％) 3(2％) 4.1.3 3 解答者 50 名を次の２グループにわける： P : 問題 １と 2 において○の(1 または 2 の)解答をした30 名の学生 N : 問題 １と2において×の( 3∼19まで の)解答をした20 名の学生 P gr. 1. a2+ b2> 0 (6 名) ○ 2. a2+ b26= 0  ○ 3. |a| + |b| 6= 0 ○ 4. ab6= 0 (6 名) × 5. a + b6= 0 × 6. i) もう一方が０の時 ab = 0 ii) もう一方 も０でない時 × 7. a + b= 2, a + b = a, a + b = b × 8. a_b = 0 × 9. a5 0 < b (2 名) × 10. (a + b)2 = a2+ 2ab + b2> 0 (2 名) × 11. ab = 0 (2名) × 12. a6= 0 × 13. a + b6= a − b × 14. 無解答(4名) N gr. 15. a2_{+ b}2 _{> 0 (3 名) ○} 16. ab6= 0 × 17. a + b6= 0 × 18. 1_a < b→ 1_a− b < 0 × 19. ab = 0 × 20. a + b= a × 21. a∪ B 6= 0 × 22. a6= 0 or b 6= 0 × 23. |a + b| > 0 × 24. a + b = 0, a6= b × 25. a6= 0かつ b = 0またはa = 0かつb6= 0  × 26. a5 0 < b × 27. a > b であるとすると b = 0 なら aは０ ではない．× 28. ab= 0 or ab 5 0 × 29. _a+bx = y × 30. 無解答 (3名) 分布 group ○ × 無解答 P 8(16％) 18(36％) 4(8％) N 3(6％) 14(28％) 3(6％) 全体 11(22％) 32(64％) 7(14％) 4.1.4 6 解答者 50 名を次の3 グループにわける： Pp : Pグループ のうちで，問題 3 において ○の(1, 2, 3 のいずれかの)解答をした 8 名の学生 Pn : P グループ のうちで，問題 3 において 4 の解答をした6 名の学生(即ち「ab6= 0 が a, b のどちらかが０でないことを示す 式」と誤解している学生) (Pp∪Pn)c : Pp グループおよび Pn グループのいず れにも属さない残り36 名の学生

Pp gr. 1. ある実数C をえらぶと、Aの要素の中に １つでも|a| > C(a ∈ A) が存在するとき  × 2. |a| > C(a ∈ A)となる a∈ Aが存在する  × 3. ある実数 C を選んだときに、|a| > C と なる場合集合 A は有界ではない．× 4. |a| > C のとき、Aは触点を持っていない ため、有界ではない × 5. すべての実数 C を選ぶと、A のある数 a にたいして |a| > C がなりたつ ○ 6. ある実数 C を選ぶと A のすべての数 a にたいして |a| > C がなりたつ × 7. |a| = C が成り立たないを証明 × 8. ある実数C を選ぶと、部分集合Aのすべ ての数 aにたいして |a| > C がなりたつ  × Pn gr. 9. ∀a ∈ Aに対して、|a| 5 CとなるC が存 在しない × 10. 集合 A が有界ではないとは、Aのすべて の数 a に対して |a|a 5 C が成立せず、 |a| > C が存在すること × 11. |a| > C となる時 × 12. 実数の部分集合A であるが どの実数C を選んでも |a| > C が成り立つとこの集 合は有界でない．× 13. ある実数 C を選ぶと A のすべての数 a にたいして|a| > C がなりたつ × 14. ある実数 C を選ぶと、 A ある数 a にた いして |a| 5 C が成り立たない． × (Pp∪Pn)c gr. 15. a > C, a <−C × 16. ある実数 C を選ぶと A のある数 a に対 して |a| > C が成り立つ．この条件をみ たすとき集合 A は有界でない． × 17. ある実数C をえらぶとAのすべての数 a に対して |a| = C であるということ．  × 18. ある実数C は正である × 19. ある実数C を選ぶと、A のすべての数 a にたいして × 20. C が集合 Aの中の実数だから × 21. ある実数 C を選ぶと A のすべての数 a にたいし、|a| > C が成り立つ． × 22. |a| < C だと触点を持たないため有界では ない．× 23. ∃a ∈ A について、C ∈ R をどのように とっても|a| > C となる．× 24. 限りない数ある実数のなかにA というグ ループをつくり、その中に属する数をつく ることが、「有界」であるとする．その中 には他の実数が入ってこれない条件をとも なうことになり、つまり，Aが有界でなく なるとき、その制限が解かれるので、Aは 実数全体の集合となる．× 25. ∃a ∈ A に対して C ∈ R が|a| 5 C とな るとき C∈ A × 26. 有界でないとは |a| > C が成り立つこと であり、A の要素 aの絶対値が実数より 大きいことである．× 27. a∈ A × 28. ∀a ∈ A に対して |a| より大きい実数は存 在しない × 29. ∀C ∈ R としたとき A3 a = C となると き、すなわち、ある実数 C を選んだとき に、C = aとなる集合の要素が存在する とき × 30. A6⊂ C × 31. ある実数 Cを選んだとき、Aの中のaが １つでも |a| < C となってしまうと集合 A は有界で無くなる．× 32. 集合 A が有界でなければ|a| 5 C が成り 立たない．×

33. 集合Aが有界であるとすると、まず|a| = C のとき有界である．しかしA が実数だ から |a| < C は有界ではない．∵ 実数は 無界だから．× 34. 集合A が有界でない場合ければ |a| > C 数えられない集合である．× 35. |C|が∞ である、ということ × 36. 無解答(15名) 分布 group ○ × 無解答 Pp 1(2％) 7(14％) 0 Pn 0 6(12％) 0 (Pp∪Pn)c 0 21(42％) 15(30％) 全体 1(2％) 34(68％) 15(30％) 4.1.5 7 Pp gr. 1. すべての実数の中でf (x)6= 0になるxが 少なくとも１つ存在するとき ○ 2. f (x)6= 0 となる実数x が存在する ○ 3. ある実数xを代入してf (x) = 0とならな いとき恒等的に０ではない ○ 4. ある実数x に対してf (x)6= 0 ○ 5. ある実数xに対してf (x)6= 0 となる．○ 6. 無解答 (3名) Pn gr. 7. f (x)6= 0 となる実数x が存在する ○ 8. ∀x のときに f (x)6= 0 になること × 9. すべての実数xを代入してf (x)6= 0とな ること × 10. すべての実数xに対してf (x)6= 0 である  × 11. ある実数xに対してf (x) = 0とならない  ○ 12. 無解答 (１ 名) (Pp∪Pn)c _gr. 13. どの実数をxに代入してもf (x)6= 0とな る式であるということ × 14. すべての実数xに対してf (x)6= 0である  × 15. 関数f (x) の形によってf (x) の値は変化 する．例えばf (x) = 5x2+ 5のときx = 1 のとき f (x) = 10となり、f (x)6= 0とな る．よって恒等的に0 ではない． × 16. すべての実数xに対してf (x)6= 0となる  × 17. すべての実数 x に対してf (x)6= 0 × 18. x軸上に交わらないということ．即ち解が ないということ．× 19. ある実数xに対してf (x) = 0となる．○ 20. 関数 f (x)上にない実数がある．× 21. ∃x ∈ R, f(x) 6= 0となる ○ 22. 関数f (x)が恒等性を持たず、０だけでな く、他の値を示す場合が考えられるとき、 関数 f (x) が恒等的に０ではないという こと．× 23. ∀x ∈ Rにおいて f (x)6= 0 がある．× 24. f (x)が０になるときはf (x) = (x−a)(x− b)(x− c)(x − d) · · · (x − n)になるという ことである．よってf (x)6= 0 になるには xの実数に重解がない時である．× 25. 関数f (x)において全てのxに対してf (x)6= 0である．× 26. 全ての実数 x において写像 f に対して ０以外の数に対応すること、すなわち x : f → {0}c × 27. すべての実数xに対してf (x) = 0になる には、四則演算よりf (x) = x−a = 0(x = a) となればよい．しかし、f (x)6= 0 のと きは x6= a × 28. もし、ある実数aに対してf (a)6= 0(例え ばf (a) = 1)のとき関数f (x) が恒等的に ０ではなくなる ○ 29. f (x)が恒等的に０ではないということは、 f (0) のとき０だが恒等的に０でないため  ×

30. 関数f (x)が恒等的に０でない場合f (x) > 1 or f (x) < 1 すべての実数に対して０を 含まない × 31. a− a = f(x) × 32. x が実数でない × 33. x が指数であること × 34. 関数 f (x)が恒等的に０でない ある実数 x に対して f (x)6= 0 となる．○ 35. 無解答 (14名) 分布 group ○ × 無解答 Pp 5(10％) 0 3(6％) Pn 2(4％) 3(6％) 1(2％) (Pp∪Pn)c 4(8％) 18(36％) 14(28％) 全体 11(22％) 21(42％) 18(36％) 4.1.6 8 Pp gr. 1. A の中のどんな実数 m をとっても A の なかにm > aとなるaが少なくとも一つ 存在するとき ○ 2. m > a となるa∈ A が存在する × 3. A のある実数 m がA のすべての数aに 対して m > aが成り立つ × 4. A のある実数 m を選ぶと A のすべての 数a に対してm= aが成り立つ × 5. A のある実数 m を選ぶと A のすべての 数aに対して m > aが成り立つ × 6. 無解答 (3名) Pn gr. 7. ∀a ∈ A に対して m 5 a となる m が A の中に存在しない × 8. A のある実数m が無限遠にあるとき、A は最小値をもたない × 9. A は最小値を持つ−→ m 5 aが成り立つ m > a × 10. A のある実数 m を選ぶと A のある数 a に対してm= aが成り立たない × 11. 無解答(2名) (Pp∪Pn)c gr. 12. m = a  × 13. 集合Aが実数を持たないとは、Aのある実 数mがAのすべてのaに対して、m= a とならず、m >∀aが存在するということ． × 14. 実数の部分集合 Aが次の条件をみたす  A は最小値をもつ→ A のある実数mに ついて A のすべての aで m5 a が成り 立つ 最小値を持たないとは a∈ A で a が全て等しい場合．全ての a = m となっ て、最小値はなくなる．× 15. A のある実数 m を選ぶと A のすべての 数 aAに対してm > a が成り立つ × 16. m を A の中からではなく別のところか ら持ってきたものでm5 a だった また a5 mだった × 17. A のある実数 m を選ぶと A のすべての 数a に対してm = aが成り立つ × 18. 最小値のmの値でくらべると−1 5 0, −1 5 10, −1 5 −1, −1 5 5, −1 5 2 となり m5 aがなりたつ × 19. A のすべての実数を選ぶと A のある数a に対して m = a が成り立たないという こと × 20. A のある実数 m を選ぶと A のある数 a に対して m > aが成り立つ．この条件を みたすとき、集合Aが最小値を持たない．  × 21. 部分集合Aの数のなかで１つでも m > a が成立する．× 22. 集合A は下に下界でないということ．  × 23. Aが最小値を持たないということは、Aは 部分集合でありながら最小値に関する条件 がなされていないということがいえる．つ まり、最小値として、定めることができな い．言い換えると、最小値は無限数である．  ×

24. A が最小値を持たないことは、m∈ A が ∀a ∈ Aに対して a < mが成り立つ × 25. A のある実数∀x が Aのすべての数に対 して m = a が成り立つとすると、a は a5 xの全ての実数であるということであ る．このとき最小値をもたない．× 26. m(∈ A)において∀a(∈ A) に対してm5 aが成り立たない ∴ A = ∅ ×

27. ∀a(∈ A), ∀m = inf A とおいたとき、a < m となるa が存在すること．すなわち集 合A の下界が存在しないということ × 28. A が最小値を持たないには、A のある実 数 m を選んだとき A の中の数が１つで も m > a をみたすと集合 A は最小値を 持たない． × 29. A が最小値を持たないとすると、m 5 a は成り立たない． × 30. Aが最小値を持たないということは、ある 実数 m = aより小さい実数が無限にある 集合 × 31. m5 aであることから、Aは常に aより 大きい． × 32. m =∞ である × 33. m = a の場合 すべての数が１つだから 最小値と区別出来ない． × 34. Aが最小値を持たない−→ A は空集合で ある． × 35. 無解答(13名) 分布 group ○ × 無解答 Pp 1(2％) 4(8％) 3(6％) Pn 0 4(8％) 2(4％) (Pp∪Pn)c 0 23(46％) 13(26％) 全体 1(2％) 31(62％) 18(36％) 4.1.7 9 Pp gr. 1. すべての実数xに対してax2+ bx + c6= 0 が成り立つ． ○ 2. 判別式 D = b2 − 4ac < 0 のとき２次式 ax2_{+ bx + cの解は虚数解となる． ×} 3. ２次式の判別式より b2 − 4ac < 0 のと き16解なし． ○ 4. ある虚数 x を選ぶと ax2 + bx + c = 0 がなりたつ．(すべての実数x においては ax2+ bx + c = 0は成り立たない) × 5. −b ±√b2_{− 4ac < 0 ×} 6. ax2+ bx + c = 0となる x が１つも存在 しないとき × 7. 無解答 (2名) Pngr. 8. ax2 + bx + c = 0となる x が存在しない  × 9. x を入れても判別式 D = √b2_{− 4ac > 0} を満たさなければ０にならず、実数解をも つこともない × 10. ax2 _{+ bx + c = 0 の x について解く．} 両辺を a(6= 0) で割るとx2 + b_ax + c_a = 0(x +_2ab )2 − _4ab22 + _ac = 0 ( x +_2ab )2 = b2_−4ac 2a ここで両辺の平方根をとって x + b 2a = ± b2_−4ac 2a , x = −b± √ b2_−4ac 2a このとき b2− 4ac < 0 となると x は実数解をもた ない ○ 11. ax2+bx+c6= 0 x > 0の時 ax2+bx+c6= 0となる．x < 0 の時x2 > x の関係より ax2+ bx + c6= 0 よって実数解を持たない ときは ax2+ bx + c6= 0 となる．× 12. a > 0 の時ax2+ bx + c > 0が成り立つ． a < 0 の時ax2+ bx + c < 0が成り立つ． × 13. すべての実数xに対してax2+ bx + c = 0 が成り立たない．○ (Pp∪Pn)c gr. 14. D = b2− 4ac < 0となる．○ 16 正解は「すべての実数xに対してax2+ bx + c6= 0 が成り立つ」であるが，この解答者のように文章的表現に 不備はあっても判別式の符号が負であることを答えとして いる(実数解をもたない⇐⇒判別式の符号が負，の記憶に 基づくと思われるが)タイプのものも以下正解とみなした．

15. D = b2− 4ac < 0  ○ 16. ある実数x を選ぶと ax2+ bx + c6= 0が なりたつ．× 17. ある実数x を選ぶと ax2+ bx + c6= 0と なり b2− 4ac < 0 となる × 18. b2− 4ac > 0, b2− 4ac = 0 の時実数解を もち b2− 4ac < 0 の時虚数解をもつ × 19. 「ax2+ bx + c が実数解をもたない」とい うことはx と交わる解がないということ． × 20. すべての実数xに対してax2+ bx + c = 0 が成り立たない．このとき、２次式ax2+ bx + c は実数解をもたない ○ 21. ２次式 ax2 + bx + c を f (x) とすると f (x)6= 0 × 22. どんな実数xに対してもax2+ bx + c = 0 が成り立たない． ○ 23. 実数解とはたとえ小数であってもきちんと 割り切れている数のことである．つまり、 平方根などがとれない数ではないことなの で、実数解を持たないとは、解に虚数や平 方根のついたものが出てくるということ．  × 24. ax2+ bx + c(a6= 0) ∀x ∈ Rのとき ax2+ bx + c = 0 b = 0 のときax2+ c = 0 で虚 数解になる また a = bのとき 同様になる f (x)6= 0 ×

25. ax2 + bx + c(a 6= 0) x = −b±√_2ab2−4ac (i)

b2 = 4ac, b = 2√ac のとき 2√_2aac = 2√_ac x は虚数より実数にならない．(ii) b2 = ±√ac のとき x はかならず虚数になる． よって実数にはならない．× 26. ax2+ bx + c = 0 の解が全て虚数である． つまり解の公式よりx = −b±√_2ab2−4ac にお いて√4acが負である．∴ |a−c| = |a|+|c| である． × 27. D = b2− 4ac < 0 であるときと、a > 0 のとき ax2 + bx + c >. a < 0 のとき ax2_{+ bx + c < 0であるとき実数解をもた} ないということ．すなわち(x, y)において ax2+ bx + c = f (x)がx 軸と交わらない ということ． × 28. どんな実数xを選んだとしてもax2+bx+ c 6= 0 となるとき２次式 ax2+ bx + c が 実数解をもたない． ○ 29. x が虚数解のとき × 30. まず実数解をもたないということは D5 b2− 4acであるということ．よって虚数解 をもつことである．× 31. ax2+ bx + c = 0が実数解を持たない場合． xが実数ではない．または、文字a, b, cが 実数でない場合に限る． × 32. 判別式 D = b2− 4ac < 0のとき ○ 33. x が虚数 × 34. 解の公式−b±√_2ab2−4ac の計算で√b2− 4ac < 0 を表す × 35. 実数解をもつとは x 軸と共有点をもつと いうこと．逆にもたないのは共有点をもた ないということ．ax2_{+ bx + c = 0とする} と判別式b2− 4ac > 0のとき共有点２つ． b2−4ac = 0のとき共有点１つb2−4ac < 0 のとき共有点０ 実数解をもたない． ○ 36. 解の公式は x = −b±√_2ab2−4ac と表される． このうち、D = b2− 4acとおくと、２次 式がax2+ bx + c実数解を持たない条件は D < 0 すなわち、b2− 4ac < 0 ⇐⇒ b2 < 4ac という条件がなりたつこと． ○ 37. ２次式 ax2_{+ bx + c が実数解を持たない} =⇒すべてのxに対してax2+ bx + c6= 0 となる × 38. 無解答 (12名) 分布 group ○ × 無解答 Pp 2(4％) 4(8％) 2(4％) Pn 2(4％) 4(8％) 0 (Pp∪Pn)c 8(16％) 16(32％) 12(24％) 全体 12(24％) 24(48％) 14(28％) 4.1.8 10 Pp gr. 1. a5 b a ∈ A, b ∈ B が存在する ○