問題15 は，問題 10 を真に理解しているか を見るために具体例を構成させたものである．
正解率は，
group ○
Pp 8％→6％ Pn 2％→2％ (Pp∪Pn)c 8％→2％ 全体 18％→10％
group ×
Pp 0→2％
Pn 8％→4％ (Pp∪Pn)c 36％→16％
全体 44％→22％
group 無解答
Pp 8％→8％ Pn 2％→6％ (Pp∪Pn)c 28％→54％
全体 38％→68％
Pp gr. 6％，Pn gr. 2％，(Pp∪Pn)c gr. 2％ ， 全体で10％と，問題 10における正解率を下回 り，無解答層が大きく増加した．問題14でもみ られた無解答層の大幅増加の理由は，否定命題 の論理構成ができなかった学生が増えた結果に よるものと思われる．
4.4 一覧表
4.4.1 正解率一覧
問題 ＃６〜＃１５における各グループおよび 全体の正解率一覧表
group 6 11 7 12
Pp 2％ 4％ 10％ 4％
Pn 0％ 2％ 4％ 4％
(Pp∪Pn)c 0％ 6％ 8％ 16％ 全体 2％ 12％ 22％ 24％
group 8 13 9 14
Pp 2％ 2％ 4％ 2％
Pn 0％ 2％ 4％ 2％
(Pp∪Pn)c 0％ 6％ 16％ 6％ 全体 2％ 10％ 24％ 10％
group 10 15
Pp 8％ 6％
Pn 2％ 2％
(Pp∪Pn)c 8％ 2％ 全体 18％ 10％ 4.4.2 無解答率一覧
問題 ＃６〜＃１５における各グループおよび 全体の無解答率一覧表
group 6 11 7 12
Pp 0％ 6％ 6％ 8％
Pn 0％ 4％ 2％ 4％
(Pp∪Pn)c 30％ 40％ 28％ 44％ 全体 32％ 50％ 36％ 56％
group 8 13 9 14
Pp 6％ 8％ 4％ 6％
Pn 4％ 6％ 0％ 6％
(Pp∪Pn)c 26％ 46％ 24％ 44％ 全体 36％ 60％ 28％ 56％
group 10 15
Pp 8％ 8％
Pn 2％ 6％
(Pp∪Pn)c 28％ 54％ 全体 38％ 68％
全体の無解答率に関しては，問題６，７，８，
９，１０を，それぞれ，もう一度具体的に考え させた問題１１，１２，１３，１４，１５のい ずれの場合においても，増加あるいは大幅な増 加となっている．それは，否定命題をつくれな い層が過半数近くあるいは過半数以上あること を示していると思われる．
5 補足
２００６年度(現代)解析学受講生に対して，
２００５年度行った調査問題の中から選んだ問 題＋アルファーで基礎力試験を行った．今回は，
彼らの基礎学力の変化をみるために，同じ問題 を第１週目(以下αと記す)と最終週(以下ω と 記す)において実施した試験に出題した18．ここ では、両方の試験をうけた受講生２３名に絞っ て，かれらの基礎力がどのように変化したのか を報告する．これ以降，受講生２３名のそれぞ れに固有番号をつけて 1,2,3,· · ·,22,23 で表 すことにする．
5.1 調査問題
以下の通りである．
1. 「雨が降れば試験をする」とA先生がいっ た．ところがA先生は嘘をついた．A先 生はどういうことをしたのだろうか，それ を書きなさい．
2. 日本人の A 君が「日本人はみんな嘘つき だ」といった．彼の言ったことは本当だろ うか嘘だろうか．それを判定しなさい．
3. 実数には最大値および最小値がないことを 証明せよ．
4. 以下に答えよ．
(a) a, bは実数とする． a, b が異符号 であることを１つの式(等式または不 等式)を用いて表せ．
(b) a, b は実数とする．a, b のうちど ちらかは 0でない数であることを１ つの式(等式または不等式)を用いて 表せ．
18試験問題の解答・解説はしていない．２週目の講義に おいて，αにおける試験の結果が悪かったことは学生に伝 えておいた．
(c) a, bは実数とする．a=1, b=1で あるための必要十分条件を a+b と abを用いて表せ．
(d) 実数の部分集合Aが次の条件をみ たすとき，Aは有界であるという：あ る実数Cを選ぶと，Aのすべての数 aにたいして|a|5C が成り立つ．
このとき，集合A が有界ではない とはどういうことか説明せよ．
(e) 関数f(x)が，次の条件をみたすと き 関数f(x)は恒等的に０であるとい う：すべての実数xに対してf(x) = 0 となる．
このとき，関数 f(x) が恒等的に ０ではないとはどういうことか説明 せよ．
(f) 実数の部分集合Aが次の条件をみ たすとき，Aは最小値をもつという：
A のある実数 m を選ぶと，A のす べての数 a にたいして m 5a が成 り立つ．
このとき，集合Aが最小値をもた ないとはどういうことか説明せよ．
(g) ２次式ax2+bx+c(a6= 0)が次の 条件をみたすとき，２次式ax2+bx+c は実数解をもつと定義する: ある実 数xを選ぶと，ax2+bx+c= 0 が 成り立つ．
このとき，２次式 ax2+bx+c が 実数解をもたないとはどういうこと か説明せよ．
(h) 実数の部分集合 A, B が次の条件 をみたすとき，A > B であると定義 する：a > bがA のどの数aおよび B のどの数bにたいしても成り立つ．
このとき，A > B がなりたたない とはどういうことか説明せよ．
(i) 「ある実数C を選ぶと，Aのすべて の数 aにたいして|a|5C が成り立 つ」の否定命題をみたす部分集合 A が存在することを示せ．
(j) 「すべての実数 x に対して f(x) = 0 となる」の否定命題をみたす関数 f(x) が存在することを示せ．
(k) 「A のある実数 m を選ぶと，A の すべての数 a にたいして m 5 a が 成り立つ」の否定命題をみたす部分 集合 Aが存在することを示せ．
(l)「ある実数xを選ぶと，ax2+bx+c= 0が成り立つ」の否定命題をみたす ２ 次式ax2 +bx+c (a6= 0) が存在す ることを示せ．
(m) 「a > b が A のどの数 a および B のどの数 b にたいしても成り立つ」
の否定命題をみたす実数の部分集合 A, B が存在することを示せ．
(n) 何故，0 でない数を 0 で割ることが できないのか，すなわち，任意の数 a6= 0に対して， 何故 a0 が存在しな いのか，その理由を述べよ
5. 以下の命題の真偽を判定せよ．
(a) あらゆる実数 θにたいし sin
(√ 2π 4 cosθ
)
= cos (√
2π 4 sinθ
) である．
(b) ある実数θ にたいし sin
(√ 2π 4 cosθ
)
= cos (√
2π 4 sinθ
) である．
(c) あらゆる実数 θにたいし tan(cosθ) = tan(sinθ) である．
(d) ある実数θ にたいし tan(cosθ) = tan(sinθ) である．
(e) あらゆる実数 θにたいし sin
(√ 2π 4 cosθ
)6= cos(√42π sinθ ) である．
(f) あらゆる実数 θにたいし tan(cosθ)6= tan(sinθ) である．
6. 以下に答えよ．
(a) 「すべての実数x にたいして
−15sinx51 である」の 否定命題を書け．
(b) 「tanx はすべての実数値をとる」
の否定命題を書け．
(c) 「あらゆる実数x にたいして cosx= 0 となる」
の否定命題を書け．
問題＃1,問題＃3,問題＃4(a)〜(n)は２０ ０５年度と，字句の一部の違いを除けば，同じ 問題である．
5.2 分析法
以下では，＃1, ＃4(a),(b),(c), (e)〜(n)と
＃ 6の解答結果について記すことにしたい．
ωで正解または正解と見なされる解答をした 率を ω1,αで正解または正解と見なされる解答 をした率を α1,ωで誤答または誤答と見なされ る解答をした率を ω2, αで誤答または誤答と見 なされる解答をした率を α2,ωで無解答をした 率を ω3,αで無解答をした率を α3で表すとき，
∆T
α→ω≡ω1−α1, ∆F
α→ω≡α2−ω2, ∆N
α→ω≡α3−ω3
を順に，それぞれ，基礎力 up 度，向上度，停 滞度と定義する19．これらには，
∆T
α→ω=
∆F
α→ω+ ∆N
α→ω
の関係があり，
−100≤ ∆T
α→ω≤100,
−100≤ ∆F
α→ω≤100,−100≤ ∆N
α→ω≤100 である．
∆F
α→ω=a, ∆N
α→ω=b とすると，
(i) a >0, b >0の場合．a％の人が誤答から，
そして b ％の人が無解答から脱した結果 新たに正解に達した人が a+b ％増えた．
(ii) a >0, b <0の場合．
(1) a+b >0の場合．a％の人が誤答か ら脱した結果新たに正解に達した人 が a+b ％増えた．しかし，無解答 者が −b％増えた．
(2) a+b <0 の場合．誤答者が a ％増 え，無解答者が−b％増えた結果正解 に達しなかった人が新たに −(a+b)
％増えた．
(iii) a <0, b >0の場合．
(1) a+b >0 の場合．b ％の人が無解答 から脱した結果新たに正解に達した 人が a+b ％増えた．しかし，誤答 者が −a％増えた．
19(α1−100)2+(ω1−100)2+(α2−100)2+(ω2−100)26= 0の場合に限る．
(2) a+b < 0 の場合．無解答が b ％増 え，誤答者が −a ％増えた結果正解 に達しなかった人が 新たに−(a+b)
％増えた．
(iv) a < 0, b < 0 の場合．誤答者が −a ％増 え，無解答が−b％増えた結果正解に達し なかった人が新たに −(a+b) ％増えた．
ことを意味する．我々は，a+bの値が正数であ るときに，教育的効果があったと判断し，その 値が負数であるときには，教育的効果はなかっ たと判断する．
5.3 ＃1
4.1.1節と同じ意味の記号T, F1, F2, F3, F4
を用いる．
5.3.1 解答変化
簡単のため F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 4, 無解答＝nと表せば，各受講生は以下のように 解答した．但し，各表の第２行目はα，第３行 目はωにおける解答を示す．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 4 3 4 1 1 4 n
2 3 2 3 3 1 1 4 3
10 11 12 13 14 15 16 17 18
2 4 1 2 3 1 2 1 1
2 4 2 2 2 1 2 1 T
19 20 21 22 23
4 1 1 1 1
4 n 1 T T
5.3.2 分布表
週 T 型 F1型 F2型 α 0(0％) 12(52.2％) 3(13.0％) ω 3(13.0％) 5(21.7％) 7(30.4％)
週 F3型 F4型 無解答 α 2(8.7％) 5(21.7％) 1(4.3％) ω 4(17.4％) 3(13.0％) 1(4.3％)
5.3.3 考察
∆T
α→ω= 13.0％, ∆F
α→ω= 13.0％,∆N
α→ω= 0％ である．この問題の結果で見る限り，教育的効 果はあった．
5.4 ＃4(a)〜(n)
この節では，記号1, 0, nは，1：正解または 正解とみなしたもの，0：誤答または誤答とみな したもの，n：無解答 を表すことにする．以下 における受講生の解答は正・誤の判定をした結 果で記してある．