距離空間における不動点定理

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(1)誇 -. 説. ⅠⅠ. 距離空間における不動点定理木. 島. 洋. 一. この論説は御逝去された飯田裕教授への追，悼の意を表すために掲載させて頂いたものである. 不等式. 1 . はじめに. Ⅹを距離はの距離空間とし. への写像とする．. Ⅱ 乃， Ty.)三皿 x, め. T をⅩからⅩ. このとき，乃二 Ⅹを満たす. が成り立つならば. T を非拡大写像とよぶ．. どのような条件を仮定すれば T が不動点を有. 縮小写像と非拡大写像の中間に位置する写像に関して， Edelstein の不動点定理 (196 幻が. するか，これが問題である．その解答のいくつ. ある．すなわち， Ⅹがコンバク. かが誰それの不動点定理として知られている．. なる任意の 2 点毛ッに対して不等式. Ⅹの点刀を T の不動占とよぶ． Ⅹおよび T に. そのうちでもっとも有名なものは縮小写像の原理ともよばれている Banach. 穏 Tx. T 回. の不動点定理. (1922) である．すなわち， Ⅹが完備かっⅩの. が成り立っならば. 任意の点 x. Ⅴに対して不等式. が存在するならば. ( ただし. と. ，目. T は不動占を有する. 自然に次の疑問が起こる．コ. がさらにある，性質 (*) 0 く / く. 1). T は不動点を有する．. この定理の一般化がいくつも. かつ Ⅹの異. Banach の結果と Edelst ま n の結果を比較する. d{Tx, T 目垂 rd ば，目が成り立つような定数「. くは㌦. ト. 得られているが，. クトな」Y. をもっならば非拡大写. 像 T は不動点を有するのではないか ?. 性質. ( ホ ) が何であるかが問題である．. 非拡大写像に関して，Ⅹを Banach 空間あ. る. この論説では特にむ，巨の不動点定理- (1974). いはⅢ bert. Caristi の不動点定理 (1976) を取り上げ，著者による簡単な証明を紹介する．証明が原論. られている多くの不動点定理から類推して，著. と. 文のものより簡単かどうかは主観に. よ. るが 1 頁. 内には収まる．また，不動点定理ではないが Caristi の結果と密接な関係にある 2 つの定理の著者による簡単な証明も合わせて紹介する．. 者は性質. 空間の山部分集合とした場合に得. として次のものを考えた．. ( 木). Ⅹの任意の点. ズ. ・. ッに対してⅩの点. を. l とした場合を考察する，このように. すると事態はまったく一変し問題が一段と困難になる・便宜上，Ⅹの任意の点 x, Ⅳに対して. が存在し，. 不等式目. 2. ) 巨は (ガ，ひ) 十はい・目ひ. ）ワ. 最後に Ranach の不動点定理の仮定における定数 r. 名. がすべてのⅩの点ぴほついて成り立つ．. 言わば性質. (*) は距離空間における一種の. 凸，性を表現したものであ. のとき実際， T.

(2) 横浜経営研究. 18 (100). 第惚巻. 第 2 号 (1997) Ⅰ n +. T. Tx ，. ぱ. T. 十 T. れ十. T. n+. ぱ. ィ円 3. T. 八十 T. 十. ). 一ぱ (x, 7Ⅰ). れ十. T. ノじ. Tx. Ⅹは完備で T をⅩからⅩへの写像と. 定理. する．このとき，Ⅹ上で定義された下半連続か同様に，. っ下に有界な実数値関数 f(,) で不等式. 今の場合は不等式. 八 T め + d ㌦。 Tx) ニ / は). T",,T 付 'めニ Ⅰ一一別，。 r"㎡，。 T功. が Ⅹのすべての点ガで成り立っようなものが. ァめ. 存在すれば T は不動点を有する．. が示されれば十分である．そのため，次の 2 つ. の不等式が成り立っことを数学的帰納法で. 証明. 証明. を三. /(W)t ひ 1. の. 点. 任意. を. ひれ. ⅡⅠ 耳プ. 点. Ⅹ. の. し. て. て発. ぱ刀， ( T"十， )二 1 1 一. ァ. 義て定し. %. よも. 2% Ⅰ主れ. っ出. Trn+lあ T,,+2力ミ T"m axd(Tx, T, め. Ⅹ上の実数値関数 s ㈲. 5(W) 二㎞ f げ㈲ l/(力士 d(W, めにヵ. する. Ⅰ. T. Ⅲ． Carilsti の不動点定理. 不等式. が成り立つことを示すことにあった. 十. 縮小写像の原理の証明における要点は. は. T2. m. T は不動点を有する．. d(T%x, T" 十 'め垂㍗ (x。 Tx). Ⅲ. . Ⅰ. 三一. が成り立っような定数， ( ただし， 0 く，く 1) が存在するならば. m. 三一1. 択ノ，. X a垂. 三一く 2一一. Ty) 。㎡ x 。 Ty), ㎡ y. 几 )@. 「. ガ. 証明される. 垂は (Tx, 7Ⅵ 十 2 め. 垂 rmax {d(みタ) 。㎡ :lt,T刃。. ぱ. イル3 ，. d(x, T れ十 2. d(Tx, T 力. Ⅱ. ㎡. の不等式は以下のようにして. 2. Ⅹが完備かっⅩの任意の点 x, ノに対. して不等式. 証明. .J. 第. Ciri6の不動点定理. 怒三一. 定理. 三一. l. Ⅱ．. m. 十. アのみを述べるに止め詳細は割愛する．. 垂. モノ一一. りも一般的な結果を解説する．. なお，この論説を通じて定理の証明はアイデ. X a. m @. 1. X1. ma. れ十. ノト Ⅰ. の系として 1992 年に得られた．ここではそれよ. T2. の系として 1987 年に，さらに別証明もある定理. ㎡. m. ナ三一. Ⅰれ. Ⅸ三一. ｜. X2. m. く一一. は不動点を有する．その最初の証明はある定理. 十 2. "+ l m ax は (刃， TJ 光 ), 1%7 垂れ十 2. d(x, T. ズ. /(. ひれ十. 1)十は (ひれ，ひれ十 1)巨. Ⅰ てひ. nt),. 1. /(",,. 、 ) ニ，(",,) 千万. ). Ⅰ. を満たすよう. 第 1 の不等式は以下のようにして. 証明される. に選べばれ，t は収束し. その極. 限は T の不動点である. Caristi の不動点定理と密接な関係にあ. d(T" 十 2x, T れ十 3 め. る. 2. T. T3. m .t. 2. く一一. 怒三一. ヰ. く一一. 八十. つめ定理を述べる. 定理 (Ekeland による，変分不等式，1979). f(x). を完備なⅩ上で. 定義された下半連続か.

(3) 距離空間における不動点定理つ下に有界な実数値関数とする．意の正の数 E, r. と. このとき，任. f( め巨 inf.パヵ +6 を満たす. (木島. 洋一，. く. によって定義しⅩの点列 @t. 101. Ⅰ. を任意の点. 19. 閉. から出発して，. て色. Y の任意の点ひに対して，Ⅹの点. で次の性質. ひ. 月 Unn+l) 十 d( び， n,1.l@+1) ニハ V,,,). を有するものが存在する．すなわち，パめニ f ㈲かつ㎡佑め垂「で，さらに不等式. /(力士Ⅰ d(v, めシバ. f(U,,+ ， 1)ニ S(U,,) ヰ五 1 を満たすよう. に選べば，鰍は収束しその極限，は目めの最小値を与える点である・. め. が，．・と異なるⅩの任意の点，に対して成り立っ. 以上の. 定理がすべて本質的に同じアイデア. 3. で証明されていることに注意されたい．また，. ・. 証明. Ⅹ上の実数値関数，(め. 3. る. 定理のうちの任意の. 1. 証明することもできる． Ⅱ. u. 二市 ft, パヵ @ は7% Ⅰ (u., 幻垂 / (u.)@ り. ぱ. によって定義し， Ⅰ'1 =. Ⅰ. @t. Ⅹにおける五列. つを. これはちょっとした演. Ⅳ．非拡大写像の不動点定理 (*) をもっ距離空間で T はⅩからⅩへの非拡大写像を表すものとする． Ⅹは性質. 十. Ⅰ d(u.". び. "+1). 軽. ." n@. 戸. く. Ⅰ・・. Ⅰ. ここで次、の 6 条件を考える．すなわち，. l. 工. ニを満たすように. s(. びガ. 。 1,. 十一-. 選べば. は収束 1,, その極. {び Ⅱ. (東工大・情理研Ⅰが. 司E. る. よ. かつ S の値域がⅩのあるコン. Ⅹへの非拡大写像 S が存在する．. 高. 明を簡易. 化したものである．に. ご二 %. (2,. パクト部分集合に含まれるようなⅩから. 最初にその原形を示. して証明したものを著者が一般化し (町 ima-Takahashi. ヂの値域がⅩのあるコンパクト部分集. 合に含まれるような正の整数ねが存在する．. 限が求めるものである．もう 1 つの定理は著者の共同研究者であ. 定理. 2. 習問題である．. を. ん，. パび"-1). 橋渉. つを選んで他の. る最小値定理，. 1995). 。 3,. T は不動点を有する．. (4, T の軌道。T" 矧は有界である．。 5, d(Xn. T,,,)づ 0 となるようなⅩの有界な点列 № t が存在する． (6). inf d は． Tx) 二 0 ，。t, ・. ァ. ㌦). を. 完備なⅩ上で定義された下半連続か. っ下に有界な実数値関数とし㎡月をⅩ上で定義された下に有界な実数値関数とする．とき， inf g( 刀く 9. に対して。. モ. Ⅹ. 点. 光. 次のダイアグラムが得られる．. この. ㈲であるⅩの任意の点. t.と異なるⅩの. このとき，それら 6 条件の論理的関係を示す. び. で不等式. 2). (4). (3). l5l D. パめ十八び・カニれ v.。を満たすものが存在するならば. 鮒月は最小値. をとる. 要. のめ -@ 六る. 明す. 正二二口. を. 日定星 @. リ. ムラグアイダよ. + d(w,, 刀ニ f(u. 捕る. を七一. $ にⅡ リ二 Inf. り. のあ. Ⅹ上の実数値関数パ ".. 次で. 証明.

(4) 20 (102) 補題. 横浜経営研究血 f d(、，，乃 ) 二 0 ．. Ⅹが有界ならば. 九色. 証明. 第惚巻. X. 背理法による. もし inf d(x, 乃 ) 二 2 分ノ 0 と仮定するとⅩ. 第 2 号 (1997) される． (5ト (4)はⅩの勝手な点 " を選び. A 二は l Iimsup "づ. d. 。。. ㏄ル) 由 im" づsup ㎡ ",h)@ 。。. て三Ⅹ. は非有界となる．便宜上，性質(*) における. を. 考. 1.1 十. 1)@ Y ． Kijima ， Fixed@ points@ of@ nonexpansive@ selfmaps@. もは. V,. 参考文献. E). で，かつ毛 +, が毛と T 毛の中点となっているな. T 刀. 2 (あ十. て. d( 卯， T 毎) 垂. し. 掩が. ノ. ?, ",. 二レよ. ガ. れ. ぬ，抑，. い． (6@(4) を示す反例は例えばⅩを実数全体，：. 法を用いて次の不等式が導びかれる． Ⅹの点列. と. リの中点とよぶことにすると数学的帰納. かは. カ. ︵ぱ、ん. z を. で定義されるⅩの部分集合 A に注目すればょ. of@ a@ compact@. metric@. space. ， J，. Math. ．. Anal. Appl ． 123@ (1987) ， 114-116. ㎡め， Tx,,)垂れ +2) は + 。. ). 一 2" 刊，. 2)@ Y ． Kijima ， A@ fixed@ point@ theorem@ for@ nonexpansive@ self maps@ ・. が成り立っ．これよりⅩが非有界であることが従う．補題を用いて (4@(5@. vexity ， Math. 3) Y. K 田 m. a.. of@ a@ metric@ space@. ， Japonica@37(1992). On. a. with@ some@. con-. ， 707-709. minimization the0rem , RlNIS. Kokyur0ku 897 (1995),59-62. ，. さら口 2@(3) が証明. ( きじき. よういち. 横浜国立大学経営学部教授 ).

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